Grafos

Enviado por merma16

Hoy en día podemos ver muchas cosas que nos pueden parecer de lo mas cotidianas, carreteras, líneas telefónicas, líneas de televisión por cable, el transporte colectivo metro, circuitos eléctricos de nuestras casas, automóviles, y tantas cosas mas; lo que no pensamos frecuentemente es que estos forman parte de algo que en matemáticas se denomina como grafos.

En este trabajo se tratará de explicar lo que son los grafos, sus tipos, y algunas derivaciones de ellos, así como su representación gráfica y en algunos casos, su representación en algún programa informático, así como en la memoria.

En este trabajo, se explicando de manera muy sencilla los conceptos y algunas metodologías con un lenguaje no tan rebuscado para su mayor entendimiento.

Grafos

Desafortunadamente no existe una terminología estandarizada en la teoría de los grafos, por lo tanto es oportuno aclarar que las presentes definiciones pueden variar ligeramente entre diferentes publicaciones de estructura de datos y de teoría de grafos, pero en general se puede decir que un grafo como indica su nombre lo indica es la representación (para nuestro caso) gráfica de los datos de una situación particular, ejemplo:

Los datos contienen, en algunos casos, relaciones entre ellos que no es necesariamente jerárquica. Por ejemplo, supongamos que unas líneas aéreas realizan vuelos entre las ciudades conectadas por líneas como se ve en la figura anterior (más adelante se presentaran grafos con estructuras de datos); la estructura de datos que refleja esta relación recibe el nombre de grafo.

Se suelen usar muchos nombres al referirnos a los elementos de una estructura de datos. Algunos de ellos son "elemento", "ítem", "asociación de ítems", "registro", "nodo" y "objeto". El nombre que se utiliza depende del tipo de estructura, el contexto en que usamos esa estructura y quien la utiliza.

En la mayoría de los textos de estructura de datos se utiliza el termino "registro" al hacer referencia a archivos y "nodo" cuando se usan listas enlazadas, árboles y grafos.

También un grafo es una terna G = (V,A,j ), en donde V y A son conjuntos finitos, y j es una aplicación que hace corresponder a cada elemento de A un par de elementos de V. Los elementos de V y de A se llaman, respectivamente, "vértices" y "aristas" de G, y j asocia entonces a cada arista con sus dos vértices.

Esta definición da lugar a una representación gráfica, en donde cada vértice es un punto del plano, y cada arista es una línea que une a sus dos vértices.

Aristas

Son las líneas con las que se unen las aristas de un grafo y con la que se construyen también caminos.

Si la arista carece de dirección se denota indistintamente {a, b} o {b, a}, siendo a y b los vértices que une.

Si {a ,b} es una arista, a los vértices a y b se les llama sus extremos.

Aristas Adyacentes: Se dice que dos aristas son adyacentes si convergen en el mismo vértice.
Aristas Paralelas: Se dice que dos aristas son paralelas si vértice inicial y el final son el mismo.
Aristas Cíclicas: Arista que parte de un vértice para entrar en el mismo.
Cruce: Son dos aristas que cruzan en un punto.

Vértices

Son los puntos o nodos con los que esta conformado un grafo. Llamaremos grado de un vértice al número de aristas de las que es extremo. Se dice que un vértice es `par' o `impar' según lo sea su grado.

Vértices Adyacentes: si tenemos un par de vértices de un grafo (U, V) y si tenemos un arista que los une, entonces U y V son vértices adyacentes y se dice que U es el vértice inicial y V el vértice adyacente.
Vértice Aislado: Es un vértice de grado cero.
Vértice Terminal: Es un vértice de grado 1.

Caminos

Sean x, y " V, se dice que hay un camino en G de x a y si existe una sucesión finita no vacía de aristas {x,v1}, {v1,v2},…, {vn,y}. En este caso

x e y se llaman los extremos del camino
El número de aristas del camino se llama la longitud del camino.
Si los vértices no se repiten el camino se dice propio o simple.
Si hay un camino no simple entre 2 vértices, también habrá un camino simple entre ellos.
Cuando los dos extremos de un camino son iguales, el camino se llama circuito o camino cerrado.
Llamaremos ciclo a un circuito simple
Un vértice a se dice accesible desde el vértice b si existe un camino entre ellos. Todo vértice es accesible respecto a si mismo

Clasificación de grafos

Los grafos se pueden clasificar en dos grupos: dirigidos y no dirigidos. En un grafo no dirigido el par de vértices que representa un arco no está ordenado. Por lo tanto, los pares (v1, v2) y (v2, v1) representan el mismo arco. En un grafo dirigido cada arco está representado por un par ordenado de vértices, de forma que y representan dos arcos diferentes.

Ejemplos

G1 = (V1, A1)

V1 = {1, 2, 3, 4} A1 = {(1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4), (3, 4)}

G2 = (V2, A2)

V2 = {1, 2, 3, 4, 5, 6} A2 = {(1, 2), (1, 3), (2, 4), (2, 5), (3, 6)}

G3 = (V3, A3)

V3 = {1, 2, 3} A3 = { <1, 2>, <2, 1>, <2, 3> }

Gráficamente estas tres estructuras de vértices y arcos se pueden representar de la siguiente manera:

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Algunos de los principales tipos de grafos son los que se muestran a continuación:

Grafo regular: Aquel con el mismo grado en todos los vértices. Si ese grado es k lo llamaremos k-regular.

Por ejemplo, el primero de los siguientes grafos es 3-regular, el segundo es 2-regular y el tercero no es regular

Grafo bipartito: Es aquel con cuyos vértices pueden formarse dos conjuntos disjuntos de modo que no haya adyacencias entre vértices pertenecientes al mismo conjunto

Ejemplo.- de los dos grafos siguientes el primero es bipartito y el segundo no lo es

Grafo completo: Aquel con una arista entre cada par de vértices. Un grafo completo con n vértices se denota Kn.

A continuación pueden verse los dibujos de K3, K4, K5 y K6

Un grafo bipartito regular: se denota Km,n donde m, n es el grado de cada conjunto disjunto de vértices.

A continuación ponemos los dibujos de K1,2, K3,3, y K2,5

Grafo nulo: Se dice que un grafo es nulo cuando los vértices que lo componen no están conectados, esto es, que son vértices aislados.
Grafos Isomorfos: Dos grafos son isomorfos cuando existe una correspondencia biunívoca (uno a uno), entre sus vértices de tal forma que dos de estos quedan unidos por una arista en común.

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Grafos Platónicos: Son los Grafos formados por los vértices y aristas de los cinco sólidos regulares (Sólidos Platónicos), a saber, el tetraedro, el cubo, el octaedro, el dodecaedro y el icosaedro.

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Grafos Eulerianos.

Para definir un camino euleriano es importante definir un camino euleriano primero. Un camino euleriano se define de la manera más sencilla como un camino que contiene todos los arcos del grafo.

Teniendo esto definido podemos hablar de los grafos eulerianos describiéndolos simplemente como aquel grafo que contiene un camino euleriano. Como ejemplos tenemos las siguientes imágenes:

El primer grafo de ellos no contiene caminos eulerianos mientras el segundo contiene al menos uno.

Grafos Conexos.

Un grafo se puede definir como conexo si cualquier vértice V pertenece al conjunto de vértices y es alcanzable por algún otro. Otra definición que dejaría esto más claro sería: "un grafo conexo es un grafo no dirigido de modo que para cualquier par de nodos existe al menos un camino que los une".

Árboles.

Un árbol se define como un tipo de grafo que no contiene ciclos, es decir es un grafo también acíclico, pero a su vez es conexo. Tal es el caso de los siguientes dos grafos en donde se puede notar que ninguno de los dos contiene repeticiones (ciclos).

Bosques de árboles.

Los bosques de árboles son un caso similar a los árboles, son acíclicos, pero no son conexos. Como ejemplo tenemos la siguiente figura.

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Recorrido de un grafo.

Recorrer un grafo significa tratar de alcanzar todos los nodos que estén relacionados con uno que llamaremos nodo de salida. Existen básicamente dos técnicas para recorrer un grafo: el recorrido en anchura; y el recorrido en profundidad.

Recorrido en anchura: El recorrido en anchura supone recorrer el grafo, a partir de un nodo dado, en niveles, es decir, primero los que están a una distancia de un arco del nodo de salida, después los que están a dos arcos de distancia, y así sucesivamente hasta alcanzar todos los nodos a los que se pudiese llegar desde el nodo salida.
Recorrido en profundidad: el recorrido en profundidad trata de buscar los caminos que parten desde el nodo de salida hasta que ya no es posible avanzar más. Cuando ya no puede avanzarse más sobre el camino elegido, se vuelve atrás en busca de caminos alternativos, que no se estudiaron previamente.

Representación de grafos en programas.

Hay tres maneras de representar un grafo en un programa: mediante matrices, mediante listas y mediante matrices dispersas.

Representación mediante matrices: La forma más fácil de guardar la información de los nodos es mediante la utilización de un vector que indexe los nodos, de manera que los arcos entre los nodos se pueden ver como relaciones entre los índices. Esta relación entre índices se puede guardar en una matriz, que llamaremos de adyacencia.
Representación mediante listas: En las listas de adyacencia lo que haremos será guardar por cada nodo, además de la información que pueda contener el propio nodo, una lista dinámica con los nodos a los que se puede acceder desde él. La información de los nodos se puede guardar en un vector, al igual que antes, o en otra lista dinámica.
Representación mediante matrices dispersas: Para evitar uno de los problemas que teníamos con las listas de adyacencia, que era la dificultad de obtener las relaciones inversas, podemos utilizar las matrices dispersas, que contienen tanta información como las matrices de adyacencia, pero, en principio, no ocupan tanta memoria como las matrices, ya que al igual que en las listas de adyacencia, sólo representaremos aquellos enlaces que existen en el grafo.

Dígrafo (grafo dirigido).

A un grafo dirigido se le puede definir como un grafo que contiene aristas dirigidas, como en el siguiente caso.

Aplicaciones de los dígrafos

Una de las aplicaciones mas importantes es de hallar el camino mas corto hacia un destino, ya sea de una ciudad a otra, de unos departamentos a otros, para el recorrido de árboles, sirve para la representación de algoritmos, etc. Un ejemplo de esto es la tarea de freír un huevo.

Grado de un grafo.

Grado de incidencia positivo: El grado de incidencia positivo de un nodonjes el número de arcos que tienen como nodo inicial anj. Ejemplo: El grado de incidencia de 1 es igual a 3.
Grado de incidencia negativo: El grado de incidencia negativo de un nodonjes el número de arcos que terminan ennj. Ejemplo: El grado de incidencia negativo de 1 es igual a 1.
Grado de un nodo: Paradigrafoses el grado de incidencia positivo menos el grado de incidencia negativo del nodo. Ejemplo: El grado de 1 es igual a 3 –1 = 2, el grado del nodo 4 es 2 –2 = 0. Para grafos no dirigidos es el número de líneas asociadas al nodo.

Ciclo de un grafo.

Ciclo: Es una cadena finita donde el nodo inicial de la cadena coincide con el nodo terminal de la misma.

Ciclo simple: Es el ciclo que a su vez es una cadena simple.

Estructuras no lineales: Grafos

Las estructuras de datos no lineales se caracterizan por no existir una relación de adyacencia, entre sus elementos, es decir, un elemento puede estar relacionado con cero, uno o más elementos.

La estructura no lineal de datos más general es el grafo donde sus nodos pueden relacionarse de cualquier manera sin una relación de orden predefinida.

Estructuras no lineales: Grafos Entre las múltiples aplicaciones que tienen estas estructuras podemos mencionar:•Para modelar diversas situaciones tales como: sistemas de aeropuertos, flujo de tráfico, y responder a preguntas como: ¿Qué tiempo es más corto?, ¿Cómo es más barato?, o ¿Qué camino es más corto?. •Los grafos también son utilizados para realizar planificación de actividades, tareas del computador, planificar operaciones en lenguaje de máquinas para minimizar tiempo de ejecución.¿Qué tarea debo hacer primero?. •Para representar circuitos eléctricos, de aguas etc… , y preguntar, están todas las componentes conectadas.

Grafos Los grafos pueden ser utilizados como la estructura básica para múltiples aplicaciones en el área de la Computación. Un grafo G (N, A, f) es un conjunto no vacío, donde:•N={n1, n2, … ,nM) es el conjunto de nodos o vértices•A={a1, a2, …, a K} es el conjunto de aristas y•La función f : R →ΜΧΜindica los pares de nodos que estαn relacionados.•Grafos Dirigidos (Dígrafos) En estos grafos, las aristas que comunican dos nodos tienen un único sentido, una arista puede ir de x a y, pero no de y a x. Se expresa gráficamente con flechas que indican el sentido de la relación entre cada par de nodos.

Grafos•Grafos no dirigidos En estos grafos, las aristas que comunican dos nodos tienen dos sentidos. Si una arista va de x a y, la misma arista va de y a x. Se expresa gráficamente por líneas. La representación gráfica de un grafo se define con un círculo o rectángulo para los nodos y las relaciones con líneas o flechas según sea un grafo no dirigido o un dígrafo, respectivamente.

ANEXO

Representación de grafos

Las representaciones de grafos más habituales están basadas en matrices de adyacencia y listas de adyacencia. En este ejercicio se pretende representar distintos grafos utilizando tanto matrices como listas de adyacencia.

Apartado a)

El plan de estudios de determinada titulación se compone de 6 asignaturas, que por simplicidad, denominaremos y . A la hora de matricularse de las distintas asignaturas se ha de tener en cuenta una serie de dependencias entre ellas (prerrequisitos). De esta forma, un alumno no se puede matricular en una asignatura hasta haber aprobado aquellas otras que sean prerrequisito de dicha asignatura. Representaremos a continuación los prerrequisitos del plan de estudios como un grafo dirigido de dependencias.

Por ejemplo, un arco del nodo al nodo indica que no es posible matricularse de sin haber aprobado previamente . A continuación se muestran las operaciones del TAD grafos necesarios para construir el grafo de dependencias.

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Teniendo en cuenta que una operación de la forma

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añade al grafo

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un arco con origen en

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y destino en

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, se pide: Representar gráficamente y mediante matrices de adyacencia cada uno de los grafos

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Solución propuesta:

A continuación se muestra la representación gráfica de los grafos.

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La representación basada en matrices de adyacencia utiliza dos componentes. El primero es un conjunto que contiene los nodos del grafo. El segundo es una matriz booleana que representa los arcos. Existe un arco entre un nodo y otro si la posición de fila y columna tiene el valor (representado por una ). Las casillas vacías tienen valor

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Apartado b)

Una compañía telefónica desea realizar un estudio sobre las llamadas que realizan sus abonados. Para ello, se desea construir un grafo cuyos nodos son los abonados (identificados por su número de teléfono). La existencia de un arco con origen en el nodo y destino en el nodo indica que el abonado ha llamado alguna vez al abonado . En este grafo se realizan también borrados cuando alguno de los abonados se da de baja de la compañía telefónica. A continuación se muestra una serie de operaciones para la obtención del grafo de llamadas entre usuarios:

Se pide: Representar gráficamente y mediante listas de adyacencia cada uno de los grafos , y .

Solución propuesta:

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Apartado c)

Teniendo en cuenta que el conjunto de asignaturas del plan de estudios no varía (aunque si lo pueden hacer los prerrequisitos), es posible representar el grafo del apartado a) ¿utilizando listas de adyacencia? ¿Por qué?

Solución propuesta:

Sí. De hecho, la representación basada en listas de adyacencia es más general que la basada en matrices de adyacencia. Por tanto, como es posible representarlo utilizando matrices de adyacencia, también es posible representarlo utilizando listas de adyacencia.

Teniendo en cuenta que el conjunto de abonados varía continuamente y es infactible dar una cota máxima del número de abonados, sería posible representar el grafo del apartado b) utilizando matrices de adyacencia? Por qué?

Solución propuesta:

No, ya que no podemos fijar de antemano las dimensiones de la matriz de adyacencia ni tampoco el nombre de los nodos a que corresponde cada fila y columna de dicha matriz.

Margareth Iglesias

República Bolivariana de Venezuela.

Ministerio de Educación, Cultura y Deporte.

I U. Politécnico "Santiago Mariño"

Barcelona – Edo. Anzoátegui.