La paradoja de los gemelos, en las teorías de la relatividad

Introducción

I.a. Objetivos

El presente trabajo busca dar algunas indicaciones de cómo fue tratada la llamada "paradoja de los gemelos" (también conocida en la literatura como "paradoja de los relojes") entre su formulación en 1911 hasta la comprobación experimental en 1972 de lo formulado por Einstein en 1905. A tal fin, se esbozarán algunas herramientas técnicas para la comprensión del problema, luego se procederá a desarrollar el curso histórico de su tratamiento para finalmente hacer algunas observaciones generales. No se incluirán desarrollos matemáticos en el trabajo.

I.b. Consideraciones técnicas e históricas preliminares

En su trabajo de 1905, "Sobre la electrodinámica de los cuerpos en movimiento", Einstein sentó fundó lo que fue conocido finalmente como "Teoría Especial de la Relatividad". La misma consistía de dos principios aparentemente incompatibles: el primero afirmaba que la leyes físicas no variaban según el observador (esto es, que todos los observadores son igualmente relevantes o, como también es formulado, que no existe un observador privilegiado); el segundo principio simplemente afirmaba que la velocidad de la luz en el vacío es la misma para todos los observadores inerciales. De estos dos principios Einstein dedujo las transformaciones de Lorentz (formuladas con anterioridad a la Teoría einsteineana), especies de reglas de "traducción" de coordenadas espacio-temporales desde un sistema inercial (p.e.: un observador moviéndose a velocidad constante) a otro. Así, afirma Russell que Einstein volvió inteligibles estas transformaciones[1]De las mismas, se deduce que el tiempo entre dos eventos que un observador en un sistema inercial A observa en relación a otro que se encuentra en un sistema inercial B con una velocidad relativa v de este último, se verá "dilatado" si se lo compara con el mismo intervalo temporal medido en su propio sistema. Esta última medida, la que realiza A con respecto a su propio sistema, se conoce con el nombre de "tiempo propio". Asimismo, A observará que las longitudes de los objetos en el sistema B se verán "contraídas". Todos estos fenómenos están limitados a que los observadores se encuentren en sistemas inerciales, esto es, no acelerados (sin cambio de velocidad ni dirección).

Años más tarde, Einstein formuló la llamada "Teoría General de la Relatividad", que incluye la predicción de fenómenos gravitatorios. Esta Teoría, a diferencia de la anterior, es capaz de manipular en sus cálculos fenómenos de aceleración. Asimismo, se postuló el llamado "principio de equivalencia", según el cual los fenómenos que experimenta un cuerpo en reposo bajo un campo gravitatorio son indiscernibles de aquellos que experimenta un cuerpo en movimiento bajo una aceleración determinada, en el caso de que la fuerza gravitatoria y la fuerza de aceleración sean de igual magnitud. Entre otras consecuencias de esta Teoría, se indica que un cuerpo sometido a una fuerza gravitatoria (o de aceleración, por lo dicho) experimentará un aumento en el ritmo de su tiempo propio, observado desde un sistema en reposo.

Historia

La paradoja de los gemelos, también conocida como paradoja de los relojes, tiene su origen en el trabajo de Einstein de 1905[2]en el cual se presenta la siguiente situación:

"Si existen en el sitio A dos relojes que marchan de forma síncrona, y uno de ellos se lleva a lo largo de una curva cerrada con velocidad constante hasta que haya vuelto a A, lo que necesita, digamos, t segundos, entonces, a su llegada a A se habrá retrasado ½t(v/V)2 respecto del reloj que no se ha movido."

Nada había de paradójico, aunque sí mucho de contrario a nuestras intuiciones pre-relativistas sobre el tiempo, en esta formulación. La paradoja se presenta como tal en el trabajo de 1911 de Paul Langevin[3]en el cual se reemplaza a los relojes por gemelos, uno de los cuales permanece en la tierra mientras que el otro realiza un viaje hasta cierta distancia, luego se detiene y vuelve hasta reencontrarse con su hermano. El carácter paradójico surge entonces cuando se indica que ambos –dado el principio de que todos los observadores son igualmente válidos- pueden reclamar el derecho de encontrarse en reposo, razón por la cual los dos habrían observado que el tiempo del otro se ha visto "dilatado". Así, al volver el gemelo que viaja, ambos pueden decir que el otro ha "envejecido menos", lo cual sí es insostenible puesto que implica que cada uno ha visto el tiempo del otro acontecer más lento que el propio, hasta el momento de encontrarse nuevamente. Langevin, en ese mismo trabajo, presentó una solución a la paradoja en la cual se afirmaba la diferencia de edades y se adjudicaba el origen de la asimetría entre los dos observadores a la aceleración que sufría el que viajaba, razón por la cual postuló que si bien los movimientos inerciales eran relativos, la aceleración era "absoluta".

II.a La solución de Einstein.

Ha sido indicado[4]que Einstein discutió este problema en 1911 y que el mismo fue incluido en algunas conferencias realizadas en 1914. En ellas, sostuvo que la aceleración que presentaba el gemelo viajante (en el punto de detenimiento y vuelta atrás) era irrelevante para los cálculos de la diferencia temporal pero aceptó que en sí ésta desencadenaba el que dicho gemelo experimentara menos tiempo que su hermano en la tierra. Recién en 1918, casi tres años después de la fundación de la Teoría General de la Relatividad en la cual la aceleración se ve compatibilizada con los principios relativistas, publicó un trabajo en el cual se contestaba directamente a sus críticos. El artículo, titulado "Diálogo sobre las objeciones a la teoría de la relatividad"[5], se desarrolla como una conversación entre un adherente a la Teoría de la Relatividad y un crítico; este artículo es escasamente citado en la bibliografía sobre el tema. El diálogo comienza con la queja de que los relativistas no habían contestado a las numerosas críticas que se les fueron realizando hasta dicho momento, lo cual indica que Einstein consideraba que el problema era importante. La solución que se propone para la paradoja de los gemelos indica explícitamente que, según su autor, la Teoría Especial de la Relatividad no era apta por sí sola para resolver quién envejecía más. Se afirma en este trabajo que las diferencias entre los tiempos propios de cada uno de los hermanos se deben a los efectos de la aceleración sufrida por el gemelo viajante. Así, en los períodos de tiempo en los cuales ambos están en movimiento inercial, cada uno de ellos puede afirmar que el otro ha envejecido menos. Sin embargo, dado que la Teoría General de la Relatividad contiene el principio de equivalencia, según el cual un cuerpo en reposo sometido a una fuerza gravitatoria x se encuentra en igual circunstancia que otro en movimiento bajo una aceleración –x, sumado al hecho de que en dicha Teoría los campos gravitatorios "aumentan" la velocidad de los relojes, se llega a la conclusión de que debido a la aceleración el gemelo que viaja envejece más que el gemelo en la tierra. Este resultado es el opuesto al que dan la mayoría de las soluciones a la paradoja. Por otra parte, el mismo ha sido rechazado en sus aspectos técnicos por Unnikrishnan (2005:p. 5), así como considerado trivial por otros autores, como se indicará. Soluciones similares a la de Einstein, que afirman que no es posible solucionar la paradoja en el marco de la Relatividad Especial, fueron ofrecidas por Tolman (1934), Born (1924) y Møller (1952).

II.b. Soluciones que apelan a la Relatividad Especial

Entre mediados de la década de 1950 y principios de la década del "70 hubo un resurgimiento de la discusión sobre esta paradoja, aparentemente impulsado por la comprobación experimental de la dilatación del tiempo mediante el conteo de desintegración de mesones (partículas subatómicas que ingresan constantemente a la tierra a una velocidad cercana a la de la luz, miembros de los llamados "rayos cósmicos") cuya diferencia entre lo contado a dos kilómetros de altura con respecto al conteo a nivel del mal respondía con suma precisión a la predicciones relativistas, si se toma en cuenta la vida media de estas partículas en laboratorios[6](de esta manera, las partículas en cuestión funcionan como "relojes", a través de los cuáles es posible determinar cuanto tiempo pasó en su sistema inercial entre el momento que pasaron por el contador a dos kilómetros de altura y el momento en el cual llegan al contador al nivel del mar). Asimismo, considerando el auge de la cuántica y los desarrollos que derivarían en la Teoría Cuántica de Campos (1930-1970), teoría en la cual se compatibilizó la Teoría Especial de la Relatividad con la Mecánica Cuántica, favorecieron el que se buscara una solución a la paradoja que ignorara las soluciones que apelaban al factor de la aceleración (y, por lo tanto, al uso de la Teoría General de la Relatividad[7]como causa determinante del fenómeno[8]

En la bibliografía del mencionado período relevada para este trabajo, se destacan los siguientes artículos[9]Es importante subrayar que en todos los casos, se considera trivial la solución que afirma que el origen de la asimetría es la aceleración, dado que en ninguno de estos casos la aceleración es considerada:

Grünbaum (1954): Propone una formulación de la paradoja en la cual la aceleración no interviene en absoluto. Considérese tres sistemas (ver gráfico) A, B y C, todos en movimiento inercial y con un reloj cada uno en su posición cero del eje x. B se aleja de A con velocidad v1 y C se acerca a A con velocidad v1 (A la percibe como – v1). A y B coinciden en un momento dado, luego B y C coinciden y, más tarde, A y C coinciden. Al cruzarse A y B, los relojes de ambos se ponen en cero. Por último, al cruzarse B y C, los relojes de ambos coinciden en su valor, independientemente del tiempo particular que marquen, condición a través de la cual se logra que el reloj de C contenga la misma información temporal que el de B. De esta manera, se reproduce la situación de la paradoja original sin ninguna apelación a la aceleración y, por lo tanto, el problema puede ser tratado dentro de los límites de la Teoría Especial de la Relatividad. Finalmente, los cálculos realizados por Grünbaum demuestran que el gemelo que viaja envejecerá más lento que el que permanece en la tierra.

Dingle (1958): En el marco de una disputa epistolar en la revista Science con McMillan, McCrea y Crawford, Dingle sostuvo que no existía en realidad ninguna paradoja y que los gemelos (o los relojes) no manifestarían ninguna diferencia temporal. Considérense tres sistemas A, B y C. A y C están a cierta distancia, en reposo relativo uno con respecto al otro y fueron sincronizados, esto es, un observador situado en una distancia intermedia recibirá dos rayos de luz conjuntamente, uno proveniente de A y otro de C, cada vez que los relojes marquen un segundo. A y B están sincronizados mientras están en la misma posición. B parte hacia C: mientras viaja, B ve que el reloj en C va "más rápido" y al llegar a éste último observará que marca más tiempo que el propio de B. Sin embargo, al volver de C a A, B experimenta el proceso contrario y todas las diferencias de tiempos se ven "compensadas". Así, el reloj de B y el de A marcarán el mismo tiempo al retorno.

Builder (1959): Ignora el trabajo de Grünbaum en lo referente a tomar una formulación en la cual no haya aceleración (aunque cita el trabajo de Grünbaum en otros aspectos): simplemente considera a) que los efectos de la aceleración pueden ser despreciados y b) que si, en ausencia de la aceleración, igual hay una diferencia de aumento temporal en los cálculos entre ambos relojes (o gemelos) entonces la apelación a la Teoría General de la Relatividad es superflua y el problema es "evadido" (p. 138), dado que en la Relatividad General se hace uso de la Relatividad Especial y, por tanto, todo problema de la última afecta a la primera. Por otra parte, a pesar de no usar la propuesta de Grünbaum en lo relativo a las aceleraciones, al realizar sus cálculos utiliza tres sistemas inerciales, considerando que el viaje del gemelo a la ida y el viaje a la vuelta se enmarcan en distintos sistemas. De esta manera, su solución no difiere en lo sustancial de la presentada en 1954. En lo que sí se distingue de los artículos citados, en cambio, es que da una explicación del origen de la paradoja. Ésta reside en que se utilizan las transformaciones de Lorentz en un ámbito en el cual no es posible aplicarlas. «According to the restricted [special] theory, the Lorentz transformation relate the place and time (spatial and temporal coordinates) of the occurrence of an event in any one inertial reference to the place and time of occurrence of the same event in any second inertial reference system S"». Ahora bien, la paradoja surge cuando se calculan los tiempos de cada gemelo tal como los observa el otro, en relación a los eventos de partida, punto de viraje y retorno; llamaremos a estos eventos E1, E2 y E3 respectivamente. Asimismo, llamemos A al gemelo estacionario y B al que viaja. Todos los eventos indicados coinciden con B (cero intervalo temporal entre el evento y su "captación") y ocurren siempre en la misma coordenada dentro del sistema de referencia donde B se encuentra. Por otro lado, sólo los eventos E1 y E3 coinciden con A en estos puntos. Si se toma esto en consideración, entonces existe una única respuesta (que es que B envejecerá menos) tanto si se hacen los cálculos desde el sistema de A como si se los hacen desde el sistema de B. Véase el siguiente ejemplo, que toma en consideración los eventos, como prueba[10]

El gemelo B se separa de A, evento E1, y va hacia una estrella cuya distancia con la tierra (medida desde la tierra) es de 6 años luz. Viaja a 0.6 c (un sesenta por ciento de la velocidad de la luz). Como el gemelo B se mueve hacia la estrella, la distancia para él se ve Lorentz-contraída (con respecto a un observador en reposo en relación a la estrella), y es de 4,8 años luz. Entonces, a su velocidad, tarda 8 años (tiempo propio) en llegar –evento E2- a la estrella (4,8 años luz/0,6c). Sin embargo, el gemelo A en la tierra calcula 10 años para que su hermano llegue a la estrella (6 años luz/0,6c). Ahora bien, supongamos que ambos tienen poderosos telescopios y pueden observar al otro. El gemelo A en la tierra observará que su hermano llegó a la estrella luego de pasados 16 años en la tierra (dado que a los diez años que calcula para que B complete el viaje hay que sumarle los 6 que tarda la luz en volver desde la estrella hasta la tierra). Si A pudiera ver el reloj de su hermano, consideraría que el tiempo de B transcurrió a la mitad que el suyo (8 –B- /16 –A-).

Por su parte, B también observa el tiempo de A dilatado. Cuando B llega a la estrella, B cuenta 8 años de tiempo propio. Pero al llegar a la estrella, él ve la luz que salió de la Tierra hace 4 años (10 años de tiempo propio de A menos 6 años luz de distancia con la estrella). Así, el también observa el tiempo de A como la mitad del suyo (4 –A- / 8 –B-).

En el regreso de B, el gemelo A ve el tiempo de B aumentar de 8 a 16 años en sólo cuatro años del tiempo propio de A, porque él experimentó 16 años hasta que recibió el rayo lumínico desde B en la estrella y cuando B vuelva habrán pasado 20 años del tiempo propio de A (10 años por cada ida y vuelta del viaje a 6 años luz/0,6c de velocidad).

A la vuelta, B observa el reloj de A incrementarse de 4 a 20 años. Sin embargo, en su tiempo propio, habrán pasado sólo 8 años, como se explicó anteriormente. Así, A y B ven que el tiempo del otro ahora va el doble que el propio. Sin embargo, al volver a la Tierra –evento E3-, el gemelo B habrá experimentado 16 años y el gemelo A 20. Por lo cual, B envejece más lento.

II.c. Un experimento crucial.

En 1972 se realizó un experimento[11]que comprobó que el gemelo que realiza el viaje envejecería más lento que su hermano en la tierra. El experimento consistió en llevar relojes atómicos a bordo de aviones comerciales en viajes, unos hacia el Este y otros hacia el Oeste. El resultado fue que el que viajaba hacia el Este (cuya velocidad era mayor, dado que se adicionaba a la velocidad de rotación de la tierra) iba más lento que aquel que viajaba hacia el Oeste. En ambos casos, las medidas diferían de los relojes de control en tierra. Asimismo, los resultados coincidían con la resolución del problema propuesta por Builder (1959), quien es citado en el artículo del experimento. Luego de esta comprobación empírica, cesaron casi completamente los artículos especulativos con respecto al tema. De la bibliografía consultada, Shlegel (1977) afirma haber "encontrado" una solución que no apela a la asimetría por aceleración, que es idéntica a la realizada por Grünbaum (1954); de igual manera, los cálculos afirman (con distintas magnitudes) que para todos los observadores quien viaja ha envejecido menos. Asimismo, Kroes (1983), en un comentario a Shlegel, indica –sin mayor novedad- que esto es una prueba decisiva para la eliminación del concepto de tiempo absoluto. Weeks (2001) propone una nueva versión de la paradoja en un universo cerrado, en el cual el gemelo viajante no realiza ninguna aceleración para volver a la posición inicial[12]dado que el universo cerrado en cuestión permite un viaje "rectilíneo" (a través de una geodésica) que retorna al punto de partida. Sin embargo, al volver a casa el incremento del tiempo propio es menor que el de su hermano estacionario. Weeks indica que esto prueba que un observador tiene situación privilegiada por sobre el otro, contra los principios relativistas. Afirma que dicha posición privilegiada es consecuencia del hecho de que el universo sea finito (esté o no en expansión) y que todos los movimientos son absolutos en relación al Fondo de Microondas Cósmico (Cosmic Microwave Background). Algo similar es propuesto por Unnikrishnan (2005).

Conclusiones. Observaciones

En el presente trabajo se ha intentado reconstruir una de las diversas líneas históricas respecto al tratamiento de la paradoja de los gemelos. En particular, se han recogido tres clases de propuestas:

• a) Aquellas que afirman que la Teoría Especial de la Relatividad no es apta para la resolución del problema, dadas las aceleraciones involucradas, y por lo tanto apelan a la Teoría General de la Relatividad.

• b) La posición de Dingle, según la no existe tal paradoja, porque al volver se compensarían las diferencias de medida. Es importante mencionar que, de haber sida adecuada la propuesta de Dingle, entonces el fenómeno de dilatación del tiempo sería sólo un fenómeno apariencial, pues no existiría verdadera dilatación, sino sólo "la percepción" de que el tiempo fluye más o menos rápido.

• c) La posición resumida en Builder, según la cual los errores clásicos para que la paradoja surgiera eran producto de un mal uso de las transformaciones de Lorentz, que no medían los intervalos entre eventos según cada observador. Además, esta formulación implicaría que cualquier intento de solucionar la paradoja dejando de lado la Teoría Especial de la Relatividad sólo "ocultará" el problema.

Para culminar, indico que en el presente trabajo se ha focalizado el análisis (sin pretensión de exhaustividad) en las soluciones que hacen uso de la Teoría Especial. Hubiera sido deseable, pero excesivo para los fines actuales, profundizar más en las soluciones que hacen uso de la Teoría General de la Relatividad, así como aquellas que utilizan los diagramas de Minkowsky para la resolución y las que se realizan a través del efecto Doppler relativista, con el cual no es necesaria la intervención de eventos para el cálculo, dado que pueden realizar en continuo la mediciones de los sucesivos incrementos y decrementos temporales (Lasky, 2006: p. 23).

Referencias

(en orden cronológico aquellas que corresponden al estudio histórico):

• Cushing, J.T., Philosophical Concepts in Physics, Cambridge, Cambridge University Press.

• Russell, B. (1958), ABC de la relatividad, Madrid, Ediciones Orbis, Hyspamerica, 1986.

• Einstein, A. (1905), "Sobre la electrodinámica de los cuerpos en movimiento" en Stachel, J (Comp), Einstein 1905: un año milagroso, Crítica, pp. 111-143

• Langevin, P. (1911), "L"évolution de l"espace et du temps" en Scientia, X, p.31.

• Einstein, A. (1918), "Diálogo sobre las objeciones a la teoría de la relatividad" en Die Naturwissenschaften. (Citado por Unnikrishnan (2005) y Dingle (1958))

• Born, M. (1924), Einstein"s Theory of Relativity, London, pp. 216, 282. (Citado por Dingle (1958)).

• Tolman, R.C. (1934), Relativity Thermodynamics and Cosmology, Oxford, Oxford Clarendon Press. (Citado por Builder (1959).)

• Møller, C., M., (1952), The Theory of Relativity, Oxford, pp. 48, 258. (Citado por Dingle (1958)).

• Grünbaum, A. (1954) "The Clock Paradox in the Special Theory of Relativity" en Philosophy of Science, Vol. 21, Nº3, VII/1954, pp. 249-253.

• Dingler, H. (1958), "Clock paradox of Relativity" en Science, New Series, Vol. 127, Nº 3290, 17/I/1958, pp. 158-162.

• Builder, G. (1959), "The resolution of the twin paradox" en Philosophy of Science, Vol. 26, Nº2 (VI/1959), pp. 135-144.

• Rosen, P. (1959), "The Clock Paradox and Thermodynamics" en Philosophy of Science, Vol. 26, Nº2, IV/1959, pp. 145-147.

• Hafele, J.C. Keating, R.E. (1972a), "Around-the-world Atomic Clocks: Predicted relativistic Time Gains" en Science, New Series, Vol. 177, Nº 4044, 14/07/1972, pp.166-168.

• Hafele, J.C. Keating, R.E. (1972b), "Around-the-world Atomic Clocks: Observed relativistic Time Gains" en Science, New Series, Vol. 177, Nº 4044, 14/07/1972, pp.168-170.

• Schlegel, R. (1977), "The Clock Paradox: some new thoughts" en Philosophy of Science, Vol. 44, Nº2, VI/1977, pp.306-312.

• Kroes, P. (1983) "The Clock Paradox, or How to Get Rid of Absolute Time" en Philosophy of Science, Vol. 50, Nº1, III/1983, pp. 159-163.

• Weeks, J.R. (2001), "The twin paradox in a Closed Universe" en The American Mathematical Monthly, vol. 108, Nº7 (agosto-septiembre 2001), pp. 585-590.

• Unnikrishnan, C.S. (2005), "On Einstein"s resolution of the twin clock paradox" en Current Science, vol. 89, Nº12, 25/XII/2005.

• Lasky, R. (2006), "Time and the Twin paradox" en Scientific American Especial Edition, Febrero 2006, Vol. 16, Issue 1, pp. 20-23.

Enviado por:

Ing.+Lic. Yunior Andrés Castillo S.

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