Elementos de lógica matemática y álgebra proposicional (Presentación PowerPoint)

• • • • 2 1. Introducción: En algún libro de “Lógica” hemos leído que la “lógica Aristotélica” se puede definir como: “la conformidad de la razón con la verdad”. A la “lógica formal” se la define asimismo, como “el conjunto de leyes y reglas relativas al razonamiento deductivo, que permiten distinguir lo verdadero de lo falso”. Se admite también definir a la lógica diciendo que: “es la ciencia que expone las leyes, modos y formas del conocimiento científico”. Hay otras definiciones tanto para la “lógica Aristotélica” como para la “lógica formal”. Por ejemplo puede decirse que el objeto de la “lógica”, “es el estudio de los métodos y principios aptos para distinguir el razonamiento correcto del incorrecto”. Lógica Matemática

3 • La lógica formal nos propone razonamientos del tipo: 1. Todos los hombres son mortales. 2. Todos los griegos son hombres. 3. luego todos los griegos son mortales. • Estos planteos se llaman “Silogismos”. • Pero peligrosamente puede hacerse un razonamiento falso o capcioso que se pretenda hacer pasar por verdadero, tal como: 1. El perro tiene cuatro patas y camina. 2. El caballo tiene cuatro patas y camina. 3. luego la mesa, que tiene cuatro patas, camina. O bien: 1. Tomé vino con soda y me hizo mal. 2. Tomé wysky con soda y me hizo mal. 3. luego la soda me hace mal. • A estos razonamientos engañosos se los llama “Sofismas”. Lógica Matemática

4 • Los brillantes matemáticos • Bernard Bolzano (1781-1848), que creó la teoría de conjuntos; • Augustus De Morgan (1806-1871), con su lógica de las clases y • George Boole (1815-1864) con la creación del álgebra proposicional, fundamentaron un nuevo capítulo de la matemática llamado: “Lógica Matemática” • Básicamente se le aplica a la lógica, las definiciones concretas y los razonamientos rigurosos propios de la matemática. • Se establece para cada expresión del lenguaje un significado exacto y se adopta además un simbolismo apropiado, con una interpretación sin ambigüedades. Los argumentos verbales se pueden analizar así desde un punto de vista lógico. • Cabe señalar ahora que, el cálculo electrónico, la computación y la automatización, son modernos y avanzados desarrollos científicos y tecnológicos que se fundamentan precisamente en la “Lógica Matemática”. Lógica Matemática

• 5 2. Proposiciones: Si se aceptan como intuitivos los conceptos de “verdad” ó “falsedad” y no se pretende dar una definición formal, se puede decir que: Proposición es toda expresión o afirmación, con significado en un idioma, de la cual tenga sentido decir si es “verdadera” o “falsa”. • Las proposiciones son bivalentes, es decir que pueden asumir dos valores claramente diferentes: “verdadero (v)” o “falso (f)”. • Resulta conveniente hacer corresponder a las dos posibilidades “v” y “f” los signos “1” y “0”, respectivamente. • Las diversas partes elementales de un discurso pueden ser tomadas como “proposiciones”. Estas se pueden ligar entre sí mediante “conectivos lógicos”, formando así estructuras de significado claro y preciso. Lógica Matemática

• 6 Las siguientes son proposiciones: a) ¾ es un número fraccionario. b) El tigre es un insecto. c) El carburador tiene una falla. d) El transistor está conduciendo. e) Hoy es lunes. f) Llueve. • No le compete a la lógica establecer el valor de verdad de las proposiciones. De ello deben ocuparse por ejemplo: para a) y b) las ciencias particulares (matemática, biología). para c) y d) las especialidades de la técnica (mecánica, electrónica). para e) y f) simplemente la observación o comprobación directa. Lógica Matemática

7 • No son proposiciones en cambio: frases imperativas u órdenes: ( Escriba esto.) interjecciones o exclamaciones: ( ¡Que barbaridad! ) instrucciones: ( Volver al paso anterior.) frases sin sentido de “v” o “f” : ( El mineral “x” es una piedra preciosa.) igualdades matemáticas tales como: (a + b) . (a – b) = a2 – b2 • Estas expresiones, aunque formalmente tengan sentido, no son susceptibles de ser calificadas como v ó f , que es la esencia del concepto de proposición. Lógica Matemática

8 • Vinculando dos o mas proposiciones se pueden obtener otras. Todo razonamiento lógico elaborado, debe partir necesariamente de una adecuada vinculación de algunas proposiciones elementales. • En una demostración de lógica matemática se parte precisamente de proposiciones elementales tales como axiomas, postulados o hipótesis y se desea saber, mediante razonamientos lógicos, si las conclusiones que se obtienen son “v” o “f” , para cada valor de verdad de las proposiciones componentes. • Las relaciones entre proposiciones se llaman “conectivos lógicos” o también “operaciones lógicas” y se corresponden con algunas partículas gramaticales que les sirven de nombre. Lógica Matemática

9 • Si se presentan en una tabla las distintas posibilidades lógicas de las proposiciones componentes y a cada combinación, se le hace corresponder el valor lógico de la proposición resultante, se tiene lo que se denomina “tabla de verdad”, que expresa la llamada “función valor de verdad: v(p)”. • Es generalizado representar las proposiciones con letras minúsculas: p; q; r; s; t; . . • También suelen utilizarse en aplicaciones prácticas, abreviaturas o nombres significativos. Lógica Matemática

• 3. Operaciones del Álgebra Proposicional: 3.1. Conjunción: La partícula gramatical “ y ” que relaciona dos proposiciones en el lenguaje corriente, es en general de significado claro. Por ejemplo la frase “Si el domingo llueve, iré al cine”, puede ser descompuesta para su análisis lógico, en proposiciones simples : p: es domingo q: llueve r: iré al cine Estas proposiciones se pueden conectar lógicamente en forma de razonamiento: si p y q entonces r Lógica Matemática 10

• Las diferentes combinaciones para p y q , con sus dos valores posibles son: p q r a) no es domingo y no llueve; no voy al cine. b) no es domingo y llueve; no voy al cine. c) es domingo y no llueve; no voy al cine. d) es domingo y llueve; iré al cine. la “ r ”, como proposición resultante, suele escribirse: “ p y q ” ó solamente “ y ” • La correspondiente “tabla de verdad” con “0” y “1” en lugar de “ f ” y “ v ”, será: Lógica Matemática f f v v p 0 0 1 1 f v f v q 0 1 0 1 f f f v y 0 0 0 1 12

• Un enunciado industrial como: “Sistema de seguridad para el operador de un balancin”, conduce a igual razonamiento. p: el brazo derecho está apoyado en la butaca. q: el brazo izquierdo está apoyado en la butaca. r: funciona el balancín. el razonamiento sería: si p y q entonces r • El producto de dos números binarios es: 0.0 = 0; 0.1 = 0; 1.0 = 0 y 1.1 = 1 Se pueden dar las siguientes proposiciones: p: el primer factor vale 1. q: el segundo factor vale 1. r: el producto vale 1. de manera similar se puede expresar: Lógica Matemática si p y q entonces r

• Estos últimos razonamientos y muchos otros semejantes, conducen a una tabla de verdad similar a la del primer ejemplo, por lo que el conectivo lógico “ y ” ó “conjunción” queda identificado con esta tabla. p 0 0 1 1 q 0 1 0 1 y 0 0 0 1 • De la observación de la tabla, puede expresarse que “la conjunción solo es verdadera cuando ambas proposiciones son verdaderas “. • También se puede decir que: “para que el resultado sea falso basta con que lo sea una cualquiera de las proposiciones ó ambas”. Lógica Matemática 14

• • 3.2. Disyunción: La partícula gramatical “ o ” que relaciona dos proposiciones en el lenguaje corriente, debe ser interpretada teniendo en cuenta el sentido de la oración en la que está incluída. Por ejemplo la frase “Regalaré la ropa que me quede chica o que esté fuera de moda” puede ser descompuesta para su análisis lógico, en proposiciones simples : p: esta prenda me queda chica. q: esta prenda está fuera de moda. r: la regalaré Estas proposiciones se pueden conectar lógicamente en forma de razonamiento: si p o q entonces r Lógica Matemática 15

• Resulta claro, por el sentido de la frase, que si una prenda me queda chica y a la vez, también está fuera de moda, la regalaré. • Es decir que el “ o ” incluye el caso en que ambas proposiciones sean verdaderas. • Se puede considerar también, como otro ejemplo, un “Sistema de alarma para la seguridad de una sala, que tiene solo una puerta y una ventana”. Las proposiciones pueden ser: p: la puerta es violentada. q: la ventana es violentada. r: se activa la alarma. • Aquí también vale poner: si p o q entonces r Y por supuesto se incluye como “verdadero” el caso en que se violente la puerta y la ventana a la vez. Lógica Matemática 16

• Este segundo conectivo lógico, la “disyunción o”, se corresponde con la pertícula gramatical “o” , mas comunmente utilizada. • La tabla de verdad correspondiente es, en sus dos versiones: p f f v v q f v f v o f v v v p 0 0 1 1 q 0 1 0 1 o 0 1 1 1 • En palabras puede describirse la tabla diciendo que: “la disyunción solo es falsa cuando ambas proposiciones son falsas” • También puede decirse que: “para que el resultado sea verdadero basta que sea verdadera una cualquiera de las proposisiones o ambas”. Lógica Matemática 17

• • r: • 3.3. Disyunción Excluyente: La partícula gramatical “ o ” en el sentido de la frase: “Debo necesariamente estar presente en un acto, mañana a las 12:00 hs, en la ciudad de Salta o en la ciudad de Neuquén”, excluye lógicamente la posibilidad de estar a la vez en ambos lados. Sean las proposiciones: p: estaré en Salta. q: estaré en Neuquén. concurro al acto. Estas proposiciones se pueden conectar lógicamente en forma de razonamiento: si p o q , pero no ambas, entonces r Lógica Matemática 18

r: • Otro caso semejante sería el siguiente planteo: “Se trata de crear un sistema para envasar juntos dos productos A y B, de iguales medidas pero de diferente color (por ejemplo rojo y azul)”. • Las proposiciones podrían ser: p: A es rojo q: B es rojo se envasa el par A;B • Y la expresión lógica sería: si p o q , pero no ambas, entonces r Lógica Matemática 19

• Se tiene así el conectivo lógico “ disyunción excluyente ” ó también “o exclusivo”, cuyo símbolo es “o” (o subrayado) y su tabla de verdad es: p f f v v q f v f v o f v v f Ó bien p 0 0 1 1 q 0 1 0 1 o 0 1 1 0 • La descripción verbal de la tabla de verdad puede ser: La disyunción excluyente es verdadera solo cuando ambas proposiciones son diferentes. • O también: El o exclusivo es falso cuando las dos proposiciones tienen igual valor lógico (o son iguales). Lógica Matemática 20

• 3.4. Negación: Con cierta frecuencia se utiliza la negación de una proposición dada. Sea la proposición: p: el uranio es un metal. su negación será: – p: el uranio no es un metal. p -p p -p • La tabla de verdad correspondiente es: f v v f O bien 0 1 1 0 • Los símbolos que se utilizan para la negación suelen ser “ una barra horizontal sobre la proposición que se niega ( p ). Lógica Matemática – “; “ ~ “ ó también 21

• • • En la teoría pura de la Lógica Matemática se definen dos conectivos lógicos adicionales: “Implicación” ( ) y “Doble Implicación” ( ), pero a los fines del presente trabajo, se prefiere no tenerlos en cuenta. Se han definido cuatro conectivos lógicos básicos: Conjunción Disyunción (y) (o) Disyunción exclusiva ( o ) Negación (-) que deben utilizarse siempre teniendo en cuenta sus respectivas tablas de verdad. Es bueno aclarar que en la confección de las tablas de verdad se ha utilizado (y se seguirá empleando en lo sucesivo) la notación con “0” y “1” en lugar de “falso” y “verdadero”. Asimismo se adopta el orden dado por la numeración binaria natural. La conveniencia de esta adopcción quedará clara mas adelante. Lógica Matemática 22

4. Enunciados Compuestos: • Del mismo modo que pueden manejarse expresiones algebraicas complejas mediante el uso de las operaciones aritméticas elementales, así también se pueden emplear varios conectivos lógicos en forma simultánea para construir “enunciados lógicos compuestos”. • Las distintas operaciones lógicas se pueden enlazar mediante sus símbolos y el uso de paréntesis y corchetes tiene el significado normal del álgebra. • El valor lógico de un enunciado compuesto depende exclusivamente del valor lógico de las proposiciones simples y el resultado lógico que se obtenga quedará claramente expresado sólo cuando se de la tabla de verdad correspondiente. Lógica Matemática 23

• Para resolver el enunciado compuesto que se proponga, se debe confeccionar una tabla donde se destine una columna para cada variable o proposición. • Luego hacia la derecha, habrá además de una columna para cada proposición, una columna para cada conectivo lógico del enunciado, en el mismo orden en que está escrita la expresión simbólica. • Se procede a llenar la tabla con los “0s” y “1s” correspondientes, comenzando por las proposiciones dadas y luego siguiendo con los conectivos en el orden indicado por la expresión, teniendo en cuenta claramente la tabla de verdad de cada uno. • El enunciado o fórmula proposicional, tiene su valor de verdad expresada en la columna final correspondiente. Esa columna final, es precisamente el resultado del enunciado lógico compuesto y suele destacarse con una doble barra vertical. Las columnas intermedias son solo pasos útiles que aclaran el procedimiento. Lógica Matemática 24

• El problema general de la confección de la tabla de verdad para un enunciado lógico compuesto a partir de las proposiciones simples, se ejemplifica a continuación: • Sea el enunciado compuesto: ( ( p o -q ) y -p) Origina la siguiente tabla: p 0 0 q 0 1 (p 0 0 o 1 0 -q) 1 0 y 1 0 -p 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 final 7º Lógica Matemática 32

• En el ejemplo visto, se puede verificar que el resultado obtenido es el mismo que correspondería a la simple conjunción entre p y q, luego negadas . De manera que: ( ( p o -q ) y -p ) = -(p y q) • La equivalencia anterior permite enunciar, sin que esto sea una demostración formal, el importante “Teorema de la Equivalencia Lógica”: Dos enunciados lógicos compuestos diferentes, que tengan la misma tabla de verdad, son “lógicamente equivalentes” (o equivalentes o iguales desde el punto de vista lógico). Esta afirmación es importante para las aplicaciones: El “comportamiento lógico equivalente” puede extenderse a cualquier dispositivo cuyo funcionamiento responda a una tabla de verdad, en forma totalmente independiente de la naturaleza del mismo. Lógica Matemática 33

1. 2. • Dos equivalencias entre enunciados compuestos son de gran trascendencia tanto teórica como en las aplicaciones del álgebra proposicional. Se conocen como leyes de De Morgan y se pueden expresar simbólicamente: – ( p o q ) = -p y -q – ( p y q ) = -p o -q • Para la demostración de la equivalencia lógica se confeccionan las tablas de verdad correspondientes a cada miembro del enunciado, verificando así la igualdad de los resultados: p q _ (p o q) -p y -q 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 0 0 1 1 0 1 1 1 0 1 0 1 6º = Lógica Matemática 44

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