Introducción a la estadística (página 2)

EJERCICIO:

EJERCICIO:

2.3. PRESENTACIÓN GRÁFICAS DE LOS DATOS

Problemas

1.-En una fiesta el 50% de los invitados son hombres de todos los hombres de la fiesta el 40% de ellos son calvos y de ellos el 50% habla ingles, si 4 calvos hablan ingles.

¿Cuantas mujeres hay en la fiesta?

8=40%

12=50%

8+12=20 MUJERES

R=20 MUJERES

2.-efectuar dos descuentos consecutivos primero de un 10% y luego uno de 20%, este equivalente a efectuar un descuento de.

R=28%

3.-Si pedro tuviera un 15% menos de la edad que tiene tendría 34 años.¿cuantos años tiene en este momento?

34 años*85%=6+34+6 años=40 años

R=40 años

2.4. MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL, MEDIA, MEDIANA, MODA.

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

Las medidas de centralización más evidentes que podemos calcular para describir a un conjunto de observaciones numéricas es su valor medio.

La medida es la suma de todo los valores de una variable dividida entre el numero total de datos de los que se disponen.

Ejemplo: consideremos 10 pacientes de edades 21,32,15,54,60,61,64,60,71,80.la medida de edad de estos sujetos será:

_

X = 21+32+15+54+60+61+64+60+71+80

———————————————————-

10(n)

_

X= 52.3

Mas formalmente denotamos por x1, x2, xn.los n datos que tenemos recogidos de la variable en cuestión el valor medio vendrá denotando por la siguiente formula:

MEDIA:

Media(x) ∑xn/n

MEDIANA:

La mediana es la observación equidistante de los extremos.

15, 21, 32, 59, 60, 60, 61, 61, 71,80

60+60÷2=60 mediana

1.-si son elementos pares buscar la parte media entre ambos extremos.

2.-de los 2 valores encontrados realizar la suma de ellos y dividir en 2

3.-si el número de elementos es impar: ubicar el dato central de dicha lista ya que dicho valor es la mediana

MODA:

Moda: es el valor que se presenta con mayor frecuencia, en la lista de observaciones

Moda: 60

Cuando no existan datos repetidos en una lista de observaciones se dice que no existe la moda.

Moda=Ø

Dato nulo

2.5. MEDIDAS DE DISPERSIÓN, RANGO, VARIANZA.

MEDIDA DE DISPERSIÓN

RANGO

VARIANZA

La varianza de los datos es la medida de cuadrados de las inferencias entre cada valor de la variable y la medida aritmética de la distribución.

ЅІx=∑ (xj-media(x))²

N

Esta varianza muestral se obtiene como la suma de las diferencias de cuadrados y por lo tanto tiene como unidades de medida de la variable el cuadrado de la misma medida.

ЅІ=(21-52.3)²+(32-52.3)²+(15-52.3)²+(59-52.3)²+(60-52.3)²+(61-52.3)²+(64-52.3)²+(60-52.3)²+(71-52.3)²+(80-52.3)²

10

=427.61

La desviación típica es la raíz cuadrada de la varianza, expresa la dispersión de la distribución, la desviación típica, es la medida mas utilizada en estadística.

Aunque esta formula de la desviación típica muestral es correcta en la práctica la estadística nos interesa para realizar inferencias poblacionales por lo que el denominador en lugar de n se utiliza el valor de n-1.por lo tanto, la medida que se utiliza es la cuasi desviación típica dada por:

Sx=Σ (xj-media(x)²

N-1

S=21.797

AMPLITUD:

Es la diferencia entre el valor mayor y menor de la distribución.

15-21

32-59

60-60

61-64

71-80

A=80-15

=65

COEFICIENTE DE VARIACION:

Es una medida de dispersión relativa de los datos y se calcula dividiendo la desviación típica muestral por la media y multiplicando el cociente por 100.

CV=5 100=20.678/52.3 *100=39.5%

—

X

EJERCICIO:

En esta tabla se exhibe las edades de una muestra de 36 personas que asistieron a ver una película, calcular:

1. frecuencia relativa de la cuarta clase
2. frecuencia acumulada de la tercera clase
3. media
4. mediana
5. moda
6. desviación típica
7. amplitud
8. coeficiente de variación
9. varianza
10. coaxi desviación típica

3.- 10.5+16.5+22.5+28.5+34.5=112.5/5=22.5

4.-

MEDIANA

8+13=10.5

14+19=16.5

20+25=22.5

26+31=28.5

32+37=34.5

5.-MODA

20-25

6.-

DESVIACIÓN TÍPICA

√72=8.48

7.-AMPLITUD

34.5-10.5=24

8.-COEFICIENTE DE VARIACIÓN

8.48

22.5 =37.68%

9.-VARIANZA

(10.5-22.5)²+(16.5-22.5)²+(22.5)²+(22.5)²+(28.5-22.5)²+(34.5-22.5)²

144+36+0+36+144=360/5=72

10.-COASI DESVIACIÓN TÍPICA

48. √360/5-1=√90

EJERCICIO:

LA ASISTENCIA DE UNA SALA DE CINE ES DE 20 PERSONAS CON LAS SIGUIENTES EDADES.

15 45 17 16

25 31 13 19

18 28 12 21

20 27 10 21

32 26 9 23

ENCONTRAR:

MODA

DESVIACIÓN TÍPICA

MEDIANA

MEDIA

COEFICIENTE VARIACIÓN

AMPLITUD

VARIANZA

COAXI DESVIACIÓN TÍPICA

MEDIANA:

23.25

23

19.75

19.5 107/5=21.4

22.5

MEDIANA

23.25

22

19.75

19.5

22.5

107

AMPLITUD:

VM-VM 45-9=36

VARIANZA:

(9-21.4)²+(16-21.)²+(12-21.4)²(13-21.4)²+(15-21.4)²+(16-21.4)²+(17-21.4)²+(18-21.4)²+(19-21.4)²+(20-21.4)²+(21-21.4)²+(21-21.4)²+(23-21.4)²+(25-21.4)²+(26-21.4)²+(27-21.4)²+(28-21.4)²+(31-21.4)²+(35-21.4)²+(45-21.4)²

422.68/20 =71.134

DESVIACIÓN TÍPICA:

√71.134=8.43

COASI DESVIACIÓN:

1422.68/19=√74.8=8.65

COEFI. DE VARIACIÓN

8.43/21.4*100=34.39%

UNIDAD 3: ANÁLISIS COMBINATORIO

3.1. PRINCIPIO FUNDAMENTAL

3.2. ORDENACIONES

3.3. PERMUTACION

3.4. COMBINACIONES

El análisis combinatorio es la rama de las matemáticas que estudia los diversos arreglos o selecciones que podemos formar con los elementos de cada conjunto dado, los cuales nos permite resolver muchos problemas prácticos, por ejemplo: podemos averiguar cuantos números diferentes de teléfono hay, palcas o loterías se pueden formar utilizando un conjunto dado de letras y dígitos.

El principio fundamental del análisis combinatorio en la mayoría de los problemas , se observa que una operación o actividad aparece en forma repetitiva y es necesario conocer las formas o maneras que se puede realizar dicha operación, para estos casos es necesario conocer determinadas técnicas o estrategias de conteo, que facilitaran el calculo señalado.

Ejemplos:

1. Diferentes maneras de vestir en una personas, utilizando un numero determinado de prendas
2. Ordenar 5 artículos en 7 casilleros.
3. Contestar 7 presuntas de un examen de 10
4. Designar a 5 personas de un total de 50 para integrar una comisión.
5. Sentarse en una fila de 5 asientos 4 personas.
6. Escribir una palabra de 7 letras utilizando 4 consonantes y 3 vocales.

3.1. PRINCIPIO FUNDAMENTAL

PRINCIPIO DE MULTIPLICACIÓN

Si un evento o suceso A puede ocurrir en forma independiente de m maneras diferentes, entonces el numero de maneras distintas en que puede suceder ambos sucesos es de m x n.

Ejemplo:

En la etapa final de fútbol de la primera división profesional.

4 equipos: América (A), Guadalajara (G), Cruz Azul (C), UNAM (U), disputan el primer y segundo lugar (campeón y subcampeón).

De cuantas maneras diferentes estos equipos pueden ubicarse en dichos lugares.

A: Campeonato de fútbol

M: Campeón: 4

N: Subcampeón: 3

m.n= 4.3= 12 maneras diferentes.

MÉTODO DEL ÁRBOL

3.2. ORDENACIONES

MÉTODOS DE CONTEO

En diferentes casos se tomara de algún conjunto parte de sus elementos o todos ellos, para formar diferentes agrupaciones que se van a distinguir por el orden de sus elementos o por la naturaleza de algunos de ellos, si los elementos que forman una agrupación son diferentes entre si, serán llamadas agrupaciones sin repetición y si alguna de ellas son iguales se digan que son agrupaciones con repetición, entre los métodos de conteo mas conocidos tenemos la permutación, variación y combinación.

3.3. PERMUTACIONES

PERMUTACIÓN

Es un arreglo de todos 0o parte de un conjunto de objetos, considerando el orden en su ubicación, cuando en un arreglo solo entran una parte de los elementos en conjunto. Es importante resaltar que el orden es una característica importante de la permutación, cuando variamos el orden de los elementos o determinarlos.

Ejemplo: Determinar los siguientes arreglos o permutaciones que se pueden hacer con las letras A, B y C tomadas de 2 en 2.

3 x 2= 6 permutaciones.

ab

ac

ba

bc

ca

cb

TEOREMA I

PERMUTACIÓN LINEAL CON ELEMENTOS DIFERENTES

El numero de permutaciones de n objetos tomados en grupos de k elementos siendo k menor que n y denotado P , estará dado por:

P= n!

(n-k!)

!=factorial

Donde n, k son elementos de números naturales y O<=K<= n

Estas permutaciones son llamados lineales por que son ordenados los objetos en una linea recta de referencia.

Problema 1:

En una carretera de 400 metros planos participan 10 atletas, de cuantas formas distintas podrán ser premiados los 3 primeros lugares con medallas de oro, plata y bronce.

P= n!

(n-k!)

P10= 10! = 10!=10x9x8x7x6x5x4x3x2x1x

(10-3) 7! 7x6x5x4x3x2x1x

10x9x8x=720 puntuaciones

TEOREMA 2:

PERMUTACION LINEAL CON ELEMENTOS REPETIDOS

El numero de permutaciones p distintas de n elementos tomados de n en n , en donde hay un primer grupo de objetos iguales entre si, n2 objetos iguales entre si de un segundo tipo y así sucesivamente hasta n k objetos iguales entre si, de un ultimo tipo.

• De cuantas maneras distintas se podrán ordenar las siguientes figuras

• n1=círculos=3

n2=triángulos=1

n3=cuadrados=2

n4=hexágonos=1

Pk n1n2n3n4= k! / n1!n2!n3!n4!nk!

P= 3,1,2,1= 7!/ 3!1!2!1! = 7x6x5x4x3x2x1x/ 3x2x1x1x2x1x1

840/2= 420

PERMUTACIÓN CIRCULAR

Son agrupaciones donde no hay primera ni último elemento, por hallarse en una línea cerrada. Para encontrar el número de permutaciones circulares se pueden formar con n objetos distintos, hay que considerar fija la posición de un elementos, el n-1 elemento restante, podrá cambiar el lugar de n-1 formas diferentes, tomando todas las posiciones sobre la circunferencia relativa del primer punto.

El número de permutaciones circulares será:

Pnc = (n-1)

Ejemplo: De cuantas formas diferentes pueden sentarse en una mesa circular , 1 padre y sus 5 hijos.

Pnc= P6C= (6-1)!

=5!= 120

De cuantas maneras diferentes se podrán ubicar las cifras de 1 al 7 dentro de la siguiente figura:

=7x P6c

=7x(6-1)!=7×5!

=840

3.4. COMBINACIONES

COMBINACIÓN

Es cada uno de los diferentes arreglos que se pueden hacer con parte o todos los elementos de un conjunto dado sin considerar el orden de su ubicación. El numero de combinaciones de n elementos diferentes tomados de k en k menor o igual que n esta dado por:

Ckn= n! = n(n-1)(n-2) . (n-k+1)

(n+k)k! k(k-1)(k-2) (1)

Ejemplo:

Si disponemos de 5 puntos no colineales cual es el máximo numero de triángulos que se podrán formar.

N= 5 puntos

K=3 puntos

C53= 5! = 5x4x3x2x1x=20=10

(5!-3)!3! 2!3x2x1 2×1

A . B. C ABC BCD ACE AED ABD BCE DCE ABE ACD DBE

4. E

Ejemplo:

Una señora tiene 3 frutas manzana, piña y fresa ¿Cuántos sabores diferentes de jugo podrá preparar con estas frutas?

n=3

k=1,2,3

C31= 3!/(3-1)!1!= 6/2 =3

C32=3!/(3-2)!2!=6/2=3

C33= 3!/ (3-3)!3!=6/1=1

COMBINACIONES

M MP MPF

P MF

F PF

Se desea formar parte de un comité de 7 personas seleccionando a 4 físicos y 3 matemáticos de un grupo de 8 físicos y 6 matemáticos.

¿De cuantas maneras podrá seleccionarse?

PROBLEMAS

¿Cuántos de dos cifras se pueden formar con los dígitos 1,3,5,7?

4×4= 16 maneras

1,3,5,7,11,13,15,17,,31,33,35,37,71,73,75,77

¿De cuantas formas se pueden ubicar en una fila de 7 asientos a 3 hombres y 4 mujeres si estas deben ocupar los lugares impares?

4x3x3x2x2x1x1=144

-Determinar cuantos números de 3 cifras existen en el sistema base 6: 0,1,2,3,4,5

5x6x6=180

-De un grupo de 5 estudiantes, cuantos grupos diferentes de 3 alumnos podrían formarse.

n= 5

k= 3

Cnk= 5! = 5x 4x 3x 2x = 20/10= 10

(5-3)! 3! 2 3x 2x 1

EJERCICIOS

-Un hombre tiene 9 bonos financieros de 9 compañías distintas y piensa regalarlos a sus 3 hijos de la siguiente manera, a su hijo mayor 4, a su segundo hijo 3, y el menor. ¿De cuantas formas puede repartir los bonos?

P9 = 4,3,2 = 9!/4! 3! 2! =9x8x7x6x5x4x3x2x1/ 4x3x2x13x2x1x2x6

15120/ 12= 1260

-De cuantas maneras diferentes se pueden sentar 8 personas en una mesa redonda de 5 asientos, si 3 están en espera.

PC5= (5-1)!=24 formas

C85=8!/(8-5)!5!=56

56 x 24= 1344

-Las visitas a un hospital del 18 de septiembre se obtuvieron los siguientes edades 15,45,17,16,25,31,13,19,42,33,20,28,22,27,25,26,32,32,31,22. Calcular la media, moda, mediana, varianza, desviación típica, cuasi desviación, amplitud y coeficiente de variación.

13,15,16,7,19,20,22,22,25,25,26,27,28,31,31,32,32,33.42,45

– Media: 26.05 521/20= 26.05

-Moda: 22, 25, 31, 32

-Mediana: 25.5

-Desviación típica:

S2 =(13-26.05)2 +(15-26.05)2+(16-26.05)2+(17-26.05)2+(19-26.05)2+(20-26.05)2+(22+26.05)2+(25-26.05)2+(25-26.05)2+(26-26.05)2+(27-26.05)2+(28-26.05)2+(31-26.05)2+(32-26.05)2+(32-26.05)2+(33-26.05)2+(42-26.05)2+(45-26.05)2/20=

S2=170.3+122.10+101+81.90+49.70+36.60+16.40+1.10+1.10+0.0025+0.9025+3.80+24.5+24.5+35.40+35.40+48.30+254.40+359.10/20= 69.14

-Varianza: 69.14

-Desviación típica: 8.31

-Cuasi desviación:

=1382.90/20-1=1382.9/19= 72.78=8.53

-Coeficiente de variación: 31.40%

CV= 5/x 100=8.53 / 26.05 x 100= 31.40

-Amplitud: 145-13= 32

UNIDAD 4: TEORÍA DE LA PROBABILIDAD

4.1. PROBABILIDAD SUBJETIVA

4.2. PROBABILIDAD COMO FRECUENCIA

4.3. ESPACIO MUESTRAL

4.4. EVENTOS

4.5. EVENTOS EXCLUYENTES

4.6. TABLAS DE PROBABILIDAD

4.7. INDEPENDECIA ESTADISTICA

4.8. PROBABILIDAD MARGINAL

4.9. TEOREMA DE BAYES

LA PROBABILIDAD

La probabilidad es la posibilidad de que algo pase.

Las posibilidades se expresan como fracciones o como decimales que están entre uno y cero. Tener una probabilidad de cero significa que nunca va a suceder y tener una probabilidad de una indica que va a suceder siempre.

1. En la teoría de la probabilidad un evento es uno o más de los posibles resultados de hacer algo.
2. La actividad que origine uno de dichos eventos se conoce como experimento aleatorio.
3. Al conjunto de todos los resultados posibles de un experimento se le llama "espacio muestral" del experimento.
4. Se dice que 2 eventos son mutuamente excluyentes si uno solo y solo uno de ellos puede tener lugar a un tiempo.

Existen 3 tipos básicos de clasificar a la probabilidad, estas 3 formas presentan planteamientos porcentuales.

1. Probabilidad de planteamiento clásico: se define como:

0…1

0.153 = 15.3 %

1 = 100 %

1. Numero de resultado en los que presenta el evento entre el numero total de resultados posibles.
2. Cada uno de los resultados posibles debe ser igualmente posibles.

1. Probabilidades de planteamiento de frecuencia relativa se define:

1. La frecuencia relativa observada de un evento durante un gran numero de intentos.
2. La fracción de veces que un evento se presenta a la larga, cuando los condiciones son estables.

1. Probabilidad de planteamiento. Esta basada en las creencias de las personas que efectúan la estimación de probabilidad.

4.1. LA PROBABILIDAD SUBJETIVA

Se puede definir como la probabilidad asignada a un evento por parte de un individuo basada en la evidencia que tenga disponible.

ESPACIO MUESTRAL, EVENTOS Y PROBABILIDAD

Un experimento aleatorio es un experimento en el cual su desarrollo no es previsible con certeza. Para definir la probabilidad según la clase es necesario tener claro el concepto de "equiprobabilidad" de evento. Decimos que 2 eventos son equipadles si tienen misma posibilidad de ocurrir. Es conveniente describir los sucesos equiprobables mas sencillos del experimento aleatorio.

En algunos cosas los eventos equiprobables los dictara el sentido común, en otras casos será un acuerdo convencional.

El espacio muestral de un experimento aleatorio es el conjunto formado por todos los posibles resultados equiprobables mas elementales del experimento.

Un evento es un subconjunto del espacio muestral si "S" denota el espacio muestral de un experimento aleatorio y "E" denota un evento de ese experimento se define la probabilidad según la clase del evento "E" como:

Ejemplo 1:

Se lanzan 2 dados sanos. Determinar la probabilidad de que la suma que muestran los 2 dados es 8.

(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6)

(2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6)

(3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6)

(4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6)

(5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6)

(6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)

S = 36

E = 5

Ejemplo 2:

Se tienen 30 bolas en una urna y extraemos 1 bola al azar, ¿cual es la probabilidad de extraer una bola determinada?

S = 30

P (1) = 1 = 0.03333 = 3.33 %

30

Ejemplo 3:

Supongamos que 20 de color verde y 10 de color azul, ¿Cuál es la probabilidad de sacar una bola azul?

P (A) = 10 = 0.333 = 33.3 %

30

TEOREMA DE LA ADICIÓN

Para el cálculo de probabilidades hay que tomar en cuenta los axiomas y teoremas:

AXIOMA 1:

AXIOMA 2:

AXIOMA 3:

TEOREMA 1:

TEOREMA 2:

TEOREMA 3:

TEOREMA 4:

TEOREMA 5:

TEOREMA DE LA PROBABILIDAD TOTAL

Sea A1, A2,…An un sistema completo de sucesos tales que la probabilidad de cada uno de ellos es 0 y sea B un suceso cualquiera del que se conoce las probabilidades condicionales

P ( B / Ai )

Probabilidad de B tal que A iesima, entonces la probabilidad del suceso B viene dado por la expresión:

P(B) = P(A1) * P(B/A1) + P(A2) * P(B/A2) + … + P(An) * PB/AN)

Ejemplo:

Una compañía dedicada al transporte público explota 3 líneas de una ciudad, de forma que el 60% de los autobuses cubre el servicio de la 1ra línea, el 30% cubre la 2da y el 10% cubre el servicio de la 3ra línea. Se sabe que la probabilidad que diariamente un autobús se avería es del 2%, 4% y 1% respectivamente para cada línea. Determine la probabilidad de que 1 día el autobús sufra una avería.

L1 = 60 % Av1 = 2 %

L2 = 30 % Av2 = 4 %

L3 = 10 % Av3 = 1 %

P (Av) = p (L1) * P(AV/L1) + P(L2) * P(Av/2) + P(L3) * P(Av/L3)

P (Av) = (0.6) (0.02) + (0.3) (0.04) + (0.1) (0.01)

P (Av) = 0.02 + 0.012 +0.001

P (Av) = 0.025 = 2.5 %

Ejercicio:

Se tiene una urna vacía y se lanza una moneda. Si sale águila, se introduce a la urna una bola blanca y si sale sol una bola negra. El experimento se repite 3 veces y posteriormente se introduce la mano en una urna retirando una bola. ¿Cuál es la probabilidad de que en la urna quede una bola blanca y una negra?

Águila B

Sol N

PT = P (BBN) * P (BN) + P (BNN) * P (BN) = 3/8 * 2/3 + 3/8 * 2/3

PT = 6/24 + 6/24 = 12/24 = 50%

Ejercicio:

Se lanzan dos monedas al aire. Si sale 2 sol se extrae una bola de la urna 1 que contiene 2 bolas blancas y 3 bolas negras. Si sale 1 sol y 1 águila, se extrae una bola de la urna 2 que contiene 4 bolas blancas y 1 negra. Si salen 2 águilas se extrae una bola de la urna 3 que contiene 3 bolas blancas y 2 negras. ¿Cuál es la probabilidad de extraer una bola blanca después de lanzar las 2 monedas?

PT = P (U1) * P (U1/B) + P (U2) * P (U2/B) + P (U3) * P (U3/B) =

(1/3) * (2/5) + (1/3) * (4/5) + (1/3) * (3/5) = 2/5 + 4/15 + 3/15 = 9/15 =

0.6 = 60 %

En cierto país hay una enfermedad peligrosa, se sabe que un 12% de la población padece dicha enfermedad. Se dispone a realizar una prueba para detectar esa enfermedad pero nos indica el resultado de la enfermedad que es positivo en un 90% de los casos de personas enfermas que también da positivo en el 5% de las personas que se consideraban sanas.

¿Cuál es la probabilidad total de encontrar 1 persona sin esta enfermedad?

PT = P (E) * P (E/PS) + P (S) * P (S/PS)

PT = (0.12) (0.10) + (0.88) (0.95)

PT = 0.012 +0.836 = 0.848 = 84.8 %

En una asesoría fiscal se ha contratado a 3 personas para hacer declaraciones de renta. La primera de ellas se encarga de efectuar el 30%, la segunda el 45% y la tercera el 25% restante. Se ha comprobado que de las declaraciones realizadas por la primera persona, es del 1% erróneas, la segunda comete errores en el 3% de los casos y la tercera en el 2% de los casos. Calcula la probabilidad de elegir al azar una declaración de renta y esta sea errónea.

PT = P (P1) * (P1/E) + P (P2) * P (P2/E) + P (P3) * P (P3/E) =

PT = (0.3) (0.01) + (0.45) (0.03) + (0.25) (0.02) =

PT= 0.003 + 0.0135 + 0.005 = 0.0215 = 0.15 %

EJERCICIO:

Se tienen 3 urnas, cada una de ellas contiene un número diferente de bolas blancas y rojas, la urna 1 tiene 3 bolas blancas y 2 rojas, la urna 2 tiene 4 blancas y 2 rojas y la urna 3 tiene 3 bolas rojas. Alguien elige al azar una urna teniendo cada una de ellas la probabilidad de 40, 35 y 25% respectivamente y saca una bola. ¿Cuál es la probabilidad de sacar una bola roja?

PT = P (U1) * P (U1/R) + P (U2) * P (U2/R) + P (U3) * P (U3/R) =

PT = (0.40) (0.4) + (0.35) (0.33) + (0.25) (1) =

PT = 0.16 + 0.1155 + 0.25 = 0.52 = 52 %

El 75% de los jóvenes asiste a clases en un tipo de transporte y el resto acude a clases caminando. Llega puntual a la clase el 60% de los que utilizan algún transporte y el 90% de los que legan caminando. ¿Cuál es la probabilidad de que un alumno llegue puntual a clase?

PT = (PT) * P (T/PC) + (PC) * P (C/PC)

PT = (0.75) * (0.60) + (0.25) * (0.90)

PT = 0.45 + 0.225 = 0.675 (100) = 67.5 %

El volumen de producción diario de 3 fábricas de una empresa es de 1000 unidades en la 1er fábrica, 1500 en la 2da y 2500 en la 3ra. Con ciertos desajustes, algunas unidades salen defectuosas, en concreto es el 1% en las primeras 2 fabricas y el 3% en la 3ra. Calcular el % de unidades buenas diseñadas en estas fábricas.

PT = P (P1) * P (P1/U1) + P (P2) * P (P2/U2) + P (P3) * P (P3/U3) =

PT = (10) * (0.99) + (15) * (0.99) + (25) (0.97) =

PT = 9.9 + 14.85 + 24.25 = 49 = 4900 Unidades

(4900) (100) / 5000 = 98

Se lanza una moneda al aire, si sale sol se ponen 7 bolas blancas en 1 urna, si sale águila se ponen 4 bolas blancas. Se lanza por segunda ocasión la moneda y se colocan 5 bolas negras, si cae sol, o 2 bolas negras si cae águila. Después se saca una bola de la urna resultante. ¿Cuál es la probabilidad de que la bola que se saque sea negra?

PT = PA (A2N) + PA (S 5N) + PS (A 2N) + PS (S 5N)

PT = 4/11 (2/7) + 4/11 (5/7) + 7/11 (2/7) + 7/11 (5/7)

PT = 8/77 + 20/77 + 2/11 + 5/11 = 1

4.9. TEOREMA DE BAYES

El teorema de Bayes, dentro de la probabilidad estadística proporciona la distribución de la probabilidad condicional de un evento A dado otro evento B (probabilidad posterior), en función de la distribución de la probabilidad condicional del evento B dado A y de la distribución de probabilidad marginal del evento A (probabilidad simple)

Partiendo de las formulas de probabilidad condicional.

P (A / B) = P (A B) / P (B)

P (A B) = P (B) P (A / B)

Para eventos estadísticamente dependientes se procederá a enunciar el teorema de Bayes.

Sean A1, A2,…An eventos mutuamente excluyentes tales que, cualquier evento B en el espacio muestral pertenece a uno y solo uno de estos eventos. Entonces la probabilidad que ocurra cualquier evento Ak dado que ha ocurrido el evento B se calculara

P (Ak / B) = P (Ak B) / P (B)

Por lo tanto, sustituyendo la formula de la probabilidad condicional se obtiene la formula general del teorema de Bayes

P (Ak / B) = P (Ak) P (B / Ak)

P (A1) P (B/A1) + P (A2) P (B/A2) + … + P (Ak) P (B/Ak)

Ejemplo:

3 maquinas denominadas A,B,C, producen un 43, 26 y 31% de la producción total de una empresa respectivamente se ha detectado que un 8,2 y 16% del producto manufacturado por estas maquinas es defectuoso.

1. Se selecciona un producto al azar y se encuentra que es defectuoso. ¿Cuál es la probabilidad de que haya sido fabricado en la maquina B?
2. Si el producto seleccionado resulta que no es defectuoso, ¿Cuál es la probabilidad de que haya sido fabricado en la maquina C?

PRODUCCIÓN DEFECTUOSO

A = 43 % 8 %

B = 26 % 2 %

C = 31 % 1.6 %

P (D / B) = P (B) P (D / B)

P (A) P (D/A) + P (B) P (D/B) + P (C) P (D/C)

= (0.26) (0.02)

(0.43) (0.08) + (0.26) (0.02) + (0.31) (0.016)

= 0.0052

0.0344 + 0.0652 + 0.00496

= 0.0052 = 0.1166 = 11.66 %

0.04456

Una empresa recibe visitantes en sus instalaciones y los hospeda en cualquiera de sus 3 hoteles de la ciudad, Los Andes, Terranova y Playa Varadero. En una proporción de 18.5%, 32% y 49.5% respectivamente, de las cuales se ha tenido información de que se les ha dado un mal servicio en un 2.8%, 1% y 4% respectivamente.

1. Si se selecciona un visitante al azar, ¿Cuál es la probabilidad de que no se les haya dado respectivamente?
2. Se selecciona un visitante al azar y se encuentra que el hospedado del servicio prestado es la probabilidad que se haya hospedado en Los Andes
3. Si el visitante seleccionado se quejo del servicio prestado, ¿Cuál es la probabilidad de que se haya hospedado en el Playa Varadero?

1. = (18.5) (97.2) + (32) (99) + (49.5) (96)

   = (0.17932 + 0.3168 + 0.4752)

   = 0.9718 = 97.18 % PROBABILIDAD DEL BUEN SERVICIO

    

2. P (B.S) = P (A) P (B.S) + P (T) P (B.S) + P (PV) P (B.S)

   = (0.185) (0.972) = 0.17982 = 0.185 % QUE NO SE QUEJO

   0.9718 0.9718

3. P (A) = P (A) P (BS)
4. P (PV) = P ( PV) P (MS) = (0.495) (0.04)

P (MS) 0.02818

= 0.0198 / 0.02818 = 0.702 = 70.26 % QUE SE QUEJO

P (MS) = P (A) P (MS) + P (T) P (MS) + P (PV) P (MS)

= (0.185) (0.028) + (0.32) (0.01) + (0.495) (0.04)

= 0.00518 + 0.0032 + 0.0198

= 0.02818 = 2.8 % TOTAL DE MAL SERVICIO

El 75% de los jóvenes que tiene videoconsola ha recibido propaganda de un determinado videojuego, y el 25% restante, no. El 30% de los que recibieron la propaganda ha utilizado después, dicho videojuego y también lo ha hecho el 5% de los que no la recibieron. Calcular de forma razonada:

1. La probabilidad de que un joven con videoconsola, seleccionado al azar haya utilizado este videojuego.
2. La probabilidad de que un joven con videoconsola seleccionado al azar haya recibido propaganda y no haya utilizado el videojuego.

1. = 0.225 + 0.0125

   = 0.2375 = 23.75 %

2. P (0.75) (0.30) + (0.25) (0.05)
3. P (0.75) (0.70) = 0.525 = 52.5 %

Se tienen 3 urnas, cada una de ellas contiene un numero diferente de bolas blancas y rojas, la urna 1 contiene 3 bolas blancas y 2 rojas, la urna 2, 4 bolas blancas y 2 rojas, y la urna 3 contiene 3 bolas rojas.

Se elige al azar con una probabilidad de 40,20 y 40% respectivamente para cada una, calcular:

1. Si se extrae una blanca, ¿Cuál es la probabilidad de que esta sea de la urna 1?
2. Si se extrae una bola roja, ¿Cuál es la probabilidad de que sea de la urna 3?
3. Si se extrae una bola blanca, ¿Cuál es la probabilidad de que sea de la urna 2?

B = P (0.40) (0.6) + P (0.20) (0.66) = 0.372 = 37.2 B

R = P (0.40) (0.4) + P (0.20) (0.33) + P (0.40) (0.01) = 0.23 = 23 R

1. P (B1) = P (0.40) (0.6) = 0.24 = 0.6451 = 64.51 %

   0.372 0.372

2. P (1) = (P1) (P3) / PTB

   P (R3) = P (0.40) (0.1) = 0.004 = 0.0173 = 1.73 %

   0.23 0.23

3. P (R3) = (P3) P (3R) / PTR
4. P (B2) = (P2) P (4B) / PTB

P (B2) = P (0.20) (0.66) = 0.132 = 0.3548 = 35.48 %

0.372 0.372

En la UVG el 50% de los alumnos habla ingles, el 20% francés y el 5% habla los 2 idiomas. ¿Cuál es la probabilidad de encontrarse a un alumno que hable una lengua extranjera?

P (1) = 50 %

P (F) = 20 %

P (InF) = 50 %

P (LE) = P (T) + P (F) – P (InF)

P (LE) = 50 + 20 = 65 %

PROBABILIDAD CONDICIONAL

Sea un espacio muestral en donde se ha definido un evento E donde la P(E)70, si deseamos determinar la probabilidad de que ocurra un evento A (el también definido en el mismo espacio muestral), dado que E ya ocurrió, entonces deseamos determinar una probabilidad de tipo condicional que se determina de la siguiente manera:

P (A /E) = P (A E)

P (E)

DONDE: P (A / E) = probabilidad de que ocurra a dado que E ya ocurrió.

P (A E) = probabilidad de que ocurra A y E en un mismo momento.

P (E) = probabilidad de que ocurra E.

P (A E) = | A E |

| S |

P (E) = | E |

| S |

| A E |

P (A / E) = | S |

| E |

| S |

Se lanzan al aire dos dados normales, si la suma de los números que aparecen es de por lo menos 7:

1. Determine la probabilidad de que en el segundo dado aparezca el numero 4
2. Determine la probabilidad de que ambos números sean pares
3. Determine la probabilidad de que en el primer dado aparezca el numero 2

(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6)

(2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6)

(3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6)

(4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6)

(5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6)

(6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)

E = 21

Se seleccionan al azar 2 números del 1 al 9, si la suma de los 2 números es par:

1. Determine la probabilidad de que ambos números sean pares.
2. Determine la probabilidad de que ambos números sean impares.

1 , 2 , 3 , ,4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9

1. P (E/A) = |E| = 6 = 0.375 = 37.5 %

   |A| 10

2. E = 6
3. E = 10

P (E/A) = |E| = 6 = 0.625 = 62.5 %

|A| 10

Dada la siguiente tabla referente a la producción de flechas para camión de carga pesada, se inspeccionan 200 flechas del tipo A y B, 300 de tipo C y 400 de tipo D. El resultado de la inspección fue la siguiente:

1. Si se selecciona al azar una flecha y resulta que es del tipo B, ¿Cuál es la probabilidad de que no tenga defectos?
2. Si la flecha seleccionada es del tipo C cual es la probabilidad de que tenga defectos del tipo 2?
3. Si la flecha seleccionada tiene defecto del tipo 1, ¿Cuál es la probabilidad de que sea del tipo A?
4. ¿Cuál es la probabilidad de que una flecha no tenga defectos?
5. ¿Cuál es la probabilidad de que una flecha tenga defectos?

1. P (TB) 2

2. P (BS/D) = 1.65 = 0.825 = 82.5 %

   P (TC) 3

3. P (C/CD2) = 0.14 = 0.0466 = 4.6 %

   P (TA) 1.32

4. P (A/CD1) = 0.54 = 0.406 = 40.9 %

   PT 1100

5. P (TS/D) = 909 = 0.826 = 82.6 %
6. 100 – 82.6 % = 17. 41 %

Una pareja de recién casados ha decidido formar una familia de solo 3 hijos.

1. Determine la probabilidad de que tenga puros hijos varones.
2. ¿Cuál es la probabilidad de que tenga como máximo 1 hijo varon?
3. ¿Cuál es la probabilidad de que su segundo hijo sea varon?
4. Si esta familia por lo menos tiene una hija, ¿Cuál es la probabilidad de que su segundo hijo sea varon?
5. Si esta familia tiene como máximo un hijo varon, ¿Cuál es la probabilidad de que tenga puras hijas?

1. 1/8 = 0.125 = 12.5 %
2. 4/8 = 1.5 = 50 %
3. 4/8 = 0.5 = 50 %

   VVV

   VVM P (A) = 3 = 0.75 = 75 %

   VMV P (E) 4

   MVV

4. Por lo menos una hija
5. Puras hijas

MMM

MMV P (A) = 1 = 0.25 = 25 %

MVM P (E) 4

VMM

Según las estadísticas, la probabilidad de que un auto llegue a cierta gasolinera y cargue gasolina es de 0.79, mientras que la probabilidad de que le ponga aceite al motor es de 0.11 y la probabilidad de que ponga gasolina y aceite al motor es de 0.06.

1. Si un auto carga gasolina cual es la probabilidad de que le cargue aceite.
2. Si un auto le pone aceite al motor cual es la probabilidad de que le ponga gasolina.

P (G) = 0.79

P (A) = 0.11

P (G A) = 0.06

A)

P (A) = P (G A) = 0.06 = 0.75 = 7.5 % CARGO ACEITE

P (E) P (G) 0.79

B)

P (G A) = 0.06 = 0.54 = 5.4 % CARGA GASOLINA

P (A) 0.11

La probabilidad de que un auto de carreras cargue gasolina en cierto circuito en la primera ½ hr. de recorrido es de 0.58, la probabilidad de que cambie de neumático en esa primera ½ hr. de recorrido es de 0.16, la probabilidad de que cargue gasolina y cambie de neumáticos en la primera ½ hr. de recorrido es de 0.05.

1. cual es la probabilidad de que cargue gasolina o cambie de neumáticos en la primera ½ hr. De recorrido.
2. Cual es la probabilidad de que no cargue combustible y no cargue de neumáticos.
3. Si el auto cambia de neumáticos en la primera ½ hr. De recorrido, cual es la probabilidad de que cargue combustible también.
4. Si el auto carga combustible en la primera ½ hr. De recorrido, cual es la probabilidad de que cambie de neumáticos.

P (G) = 0.58

P (N) = 0.16

P (G N) = 0.05

1. P (G N) = 0.58 +0.16 – 0.05 = 0.69 = 69 %
2. 100 – 69 = 31 %

   P (G) 0.58

3. P (G N) = 0.05 = 0.0862 = 8.62 %
4. P (G A) = 0.05 = 0.3125 = 31.25 %

P (N) 0.16

Betzaida Guadalupe Reyes Santiago