La matemática de la Mecánica Cuántica (página 2)

Enviado por Joaqu�n Gonzales Alvarez

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El Principio de Incertidumbre no sólo se cumple para la coordenada y el impulso. Sino también para otras magnitudes como es el caso de la energía E y el tiempo t. Así se cumple que:

(ΔE) (Δt) » h.

También es un par complementario de incertidumbre el constituído por la amplitud de campo electromagnético u y su velocidad de variación ∂u/∂t, por lo que se cumple:

(Δ∂u/∂t)(Δu) » h

La Ecuación de Schrodinger

Así como en la mecánica clásica la ecuación fundamental es la conocida F=ma, en Mecánica Cuántica lo es la Ecuación de Schrodinger la cual para el caso más elemental de un solo grado de libertad e independencia del tiempo tiene la forma:

d2ψ/ dx2 + (8π2m/ h2 ) (E-V) ψ = 0 (Ecuación Diferencial Estacionaria de Schrodinger)

donde ψ recibe el nombre de funciσn de onda la cual es la incógnita de la ecuación. La función de onda expresa el comportamiento del sistema que se estudia. La ecuación diferencial de Schroodinger se asemeja por su forma a la ecuación de onda en mecánica clásica y es así que a la Mecánica Cuántica se le llama también Mecánica Ondulatoria. En la ecuación de Schrodinger sólo hay que sustituir V por la energía potencial del sistema que se estudia y la E, energía total, permanece constante. La probabilidad de encontrar la posición de una partícula en este caso de un solo grado de libertad, vendrá dada según Bohm, por el cuadrado de ψ que sσlo dependerá de x. Para el caso mas general de tres grados de libertad dependerá de x,y,z.. Cuando el sistema estudiado depende también del tiempo, se requerirá de la ecuación de Schrodinger adaptada a esta situación y entonces la función de onda ψ dependerá de x, y, z, t y por ende también su cuadrado para determinar la probabilidad.

Veamos como se aplica la antes vista Ecuación Estacionaria de Schrodinger para el caso del movimiento libre (V=0) de una partícula entre dos paredes rígidas situada una en x=0 y la otra en x=L.

Haciendo V=0 en la ecuación se tendrá:

d2ψ/dx 2 +( 8π2m/h2 )E = 0

cuya solución puede comprobarse por integración o sustitución en la ecuación, que es:

ψ = Asen √ (8π2m/h2E) x

y como nada mas llega la partícula hasta x=L, para este valor ψ=0 se tendrá que cumplir que el seno debe ser 0 y por tanto .

√ (8π2m/h2 E)L = nπ

y por tanto:

En = n2h2/8mL2 n= 1, 2, 3,……….

Para cada valor del número entero n al cual se le llama número cuántico principal, la energía toma un valor al que se le llama valor del estado estacionario n.

En el caso de los átomos mientras un electrón se mueve en un nivel estacionario de energía ni emite ni absorbe energía según el Postulado de Bohr. Si el electrón pasa de un nivel de energía E2 a otro de menor energía E1 se emite un fotón cuya frecuencia se calcula mediante la ya vista E=hf donde E es la diferencia entre las de los dos niveles involucrados. Caso de que el paso del electrón sea de un nivel de menor energía a uno de mayor, se absorbe un fotón.

Antes de continuar este breve recorrido por lo mas elemental de la Mecánica Cuántica, nos referiremos a la llamada onda de De Broglie que se asocia a toda partícula cuya longitud de onda viene dada por λ= h/mv donde m es la masa de la partνcula y v su velocidad. Dada la pequeñez de h es evidente que sólo la onda de De Broglie se manifestará en partículas del micromudo, el mundo de la Mecánica Cuántica.

La teoría de la longitud de onda de Louis de Broglie, es de pensar que motivó a Schrodinger para su desarrollo del tramiento ondulatorio de la Mecánica Cuántica centrada en su ecuación. Volvamos a ésta para mostrar como aparece implícita la expresión de l =h/mv al aplicar la la ecuación ´Hy =Ey a la partícula libre:

h 2/8p 2m d2y /dx2 = Ey y en esta ocasión hallaremos la solución por el método de operadores:

D2 + 8p 2mE/h2 = 0 con lo cual D= ± i(8p 2mE/h2)1/2 y por tanto:

y = A exp –i(8p 2mE/h2)1/2 x lo cual podemos escribir poniendo k en lugar del coeficiente de x,y = A exp (–ikx).

Y como k es el úmero de onda igualamos el coeficiente de x a 2p /l tmbién hacemos E=p2/2m y despejando nos encontramos con la longitud de onda de Louis de Broglie l =h/mv ya que p=mv.

Pondremos un ejemplo más de aplicación de la Ecuación de Schrodinger, esta vez al oscilador armónico. En la ecuación de Scrhodinger se sustituye la energía potencial de nuestro caso V= mw 2×2/2. La x tomará el valor de la amplitud en el momento en que E=V. La ecuación tomará la forma:

d2y /dx2 + 8p 2mEy /h2 – (2p mv /h)2x2y = 0.. Así la función de onda será:

y = N exp (- x2/2 a2) donde a es la amplitud y N un coeficiente de normalización.

La longitud de onda de De Broglie se vincula al momento angular del electrón en su órbita del siguiente modo. Según la teoría de De Broglie, la longitud de la órbita debe ser igual a un número entero de longitudes de onda l =h/mv, así que llamando r al radio de la órbita se cumplirá que 2p r=nh/mv donde n número entero. Por tanto se cumplirá que mvr=nh/2p . En el primer miembro tenemos la expresión del momento angular y la expresión completa muestra la cuantificación de dicha magnitud. Así como a los niveles de energía se le asigna como vimos, el número principal n, al momento angular se le hace corresponder un segundo número cuántico l. Como un electrón es una carga eléctrica que se mueve alrededor del núcleo según el modelo atómico de Rutherford –Bohr, constituye una corriente eléctrica y por ende crea un campo magnético por lo cual un tercer número cuántico m caracteriza al electrón. Por último, el electrón se comporta como si tuviera un movimiento de rotación similar al de una peonza, aportando un momento magnético adicional de espín al cual le corresponde un cuarto número cuántico s.Según el Principio de Exclusión de Pauli, en un mismo nivel de energía no puede haber mas de un electrón con el mismo juego de números cuánticos n, l, m, s.

Operadores

La Ecuación de Schrodinger la podemos escribir así.

( -h2 /8π2m d2/dx2 + V ) ψ = Eψ

Notamos en la expresión anterior que el paréntesis y su contenido indican una operación sobre ψ que da como resultado la multiplicación de esa función por el valor E. A expresiones como ese paréntesis que indican que se efectúe una operación sobre una función, se les llama operador, concepto éste que cumple un papel muy importante en Mecánica Cuántica y que en general designaremos por Ä y toda expresión como esa última de la Ecuación de Schrodinger, utilizando operadores, la escribiremos así en general:

Ä ψ = a ψ

Una ecuación de ese tipo se denomina de funciones propias, en este caso las soluciones para ψ, y de valores propios, los que vaya tomando para cada solución, lo representado por a

Un ejemplo de ecuación de funciones y valores propios es la de Schrodinger. En el ejemplo que vimos la aplicación al movimiento de las partículas libres, los valores propios fueron los de la energía en cada uno de los niveles.

En el caso visto de la Ecuación de Schrodinger, al operador correspondiente al paréntesis se le llama hamiltoniano el cual se representa por ¨¨H. Así, dicha ecuación puede escribirse:

¨H ψ = E ψ

Otro operador muy utilizado en Mecánica Cuántica es el operador momento lineal ¨P= -ih/2π d/dx. En una ecuaciσn de funciones y valores propios con este operador:

-ih/2π d/dx ψ = pψ (p=mv)

Se tiene que la solución es

ψ = C exp i 2πp/h x

la cual comparada con la clásica onda plana:

u = c exp ikx (k=2π/λ)

nos lleva a la expresión de la longitud de la onda de De Broglie de la cual ya habíamos hablado:

λ = h/p

Para los casos en que se trate de tres variables, en los operadores habrá que utilizar el símbolo de derivada parcial, esto es, en vez de d, aparecerá ∂ para cada variable.

Los operadores para las variables son ellas mismas y para la energía potencial potencial también será ella misma. Esto es V.

Utilizando operadores se puede pasar de las conocidas expresiones de la Mecánica Clásica a las de la Mecánica Cuántica, sustituyendo la magnitud clásica por operadores cuánticos como los antes descritos, pero esto no quiere dedir que el formalismo todo de la Mecánica Cúantica se puede obtener sencillamente con realizar las citadas sustituciones de magnitudes por operadores. Sin embargo en muchos casos podrá hacerse, como obtener (que no deducir) la Ecuación de Schrodindiger a partir del empleo de la expresión clásica de la conservación de la energía:

p2 /2m + V = E

Donde en el primer término se reconoce a la energía cinética T. a la cual se suma la potencial V y se iguala a la energía total E.

Sustituyendo p por el operador cuántico correspondiente antes visto, se obtendrá la Ecuación de Schrodinger.

Conmutación de Operadores

Veamos el caso de conmutación del operador momentum con la coordenada. Si el operador es respecto a una coordenada distinta a aquella con la cual se investiga la conmutación, conduce a igualdad:. En la explicación en aras de la facilidad, designaremos al operador momentum respecto a x con el símbolo p, así tendremos para lo que acabamos de exponer que se cumplirá que: py – yp = 0.

Analicemos el caso en el cual el momentum es respecto a la misma coordenada con la cual se quiere analizar la conmutación o no.

Veamos. (px – xp)y = -h/2p ¶ /¶ x(xy ) + ih/2p x¶ y /¶ x = -ih/2p y , o sea que no comutan. De modo que se dará la conmutación del tipo py pero no la del tipo px. De aquí se infiere que no puede determinarse al mismo tiempo la posición y el momentum de una partícula a lo largo de la misma coordenada, lo cual está contenido en el Principio de Indeterminación o de Incertidumbre de Heisenberg que ya vimos anteriormente. Este principio como ya hemos dicho, se cumple también para el par energía (E)-tiempo que toma precisar esa energía (t): D E D t» h.

El Principio de Indeterminavión de Heisenberg, como todos los conceptos y relaciones de la Mecánica Cuántica sólo se hacen evidentes a escala submicrocópica. Específicamente en la variante del Principio para el caso que acabamos de citar en el par energía-tiempo, éste se manifiesta con características notables para distancias inferiores a la longitud de Planck, la cual es de 1.616 x 10-33 cm. En el ámbito de estas dimensiones, la peculiar variación de la indeterminación del tiempo que toma la precisión de la energía, da lugar a que la fluctuación de ésta provoquela creación de pares partícula-antipartícula,en virtud de la ecuación relativística: E=mc2. Esta frenética producción de partículas-antipertículas, debida a las fluctuaciones cuánticas, produce deformaciones en el tejido del espacio-tiempo, a muy pequeña escala constituyendo lo que pudiéramos llamar rugosidades del espacio- tiempo. Esas deformaciones que contrastan por su pequeñez a la vez que gran curvatura con las suaves ondulacioes que prevee la Teoría General de la Relatividad, son causa de la hasta ahora insalvable incompatibilidasd de la Mecánica Cuántica y la Teoría General de la Relatividad. La presencia de las fluctuaciones cuánticas y consecuente aparición de materia en forma de pares partícula-antipartícula, se prodecen a nivel sub-planckiano hasta en lo que se considera como vacío absoluto. Tal hecho hecho motiva reflexiones y especuaciones de índole inclusive filosóficas.

Analicemos la justificación de la posibilidad de aparición de materia aún en lo que se denomina vacío absoluto. Al cumplirse la expresión D ED t» h y al variar continuamente el tiempo, habrá variación de energía, y como E= mc2 habrá creación de materia en forma de pares partícula-antipartícula.

De modo que el vacío absoluto no es tal vacío pero así aparece por la compensación continua entre creación de partículas y aniquilación por contacto materia-antimateria..

A partir de lo expuesto, habría que valorar la aseveración de la Teoría del Big Bang de que todo surgió de la nada.

Actualmente se trabaja por llevar adelante la Teoría de las Cuerdas y aunque no se ha podido llevar a la comprobación experimental, los teóricos de la misma plantean que como las cuerdas (sustitutas de las partículas elementales) no pueden tener dimensiones subplanckeanas no detectan las rugosidades del espacio-tiempo antes tratadas cuyas dimensiones son mas pequeñas que la longitud de Planck. Razonando de esa manera y apelando a un radical positivismo, los teóricos de las cuerdas piensan salvar la incmpatibilidad entre Mecánica Cuántica y Teorría General de la Relatividad. Así esperan fundamentar el buscado gravitón eludiando los molestos infinitos que la teoría de las partículas encuentra.

Mediante razonamientos semejantaes a los vistos los teóricos de las cuerdas proponen la tesis de la no reducción a un punto geométrico del universo si se produce el supuesto Big Crunch que algunos auguran al universo como final del proceso iniciado en el Big Bang. Alegan que algunas de las extradimensiones que necesitan para sus fundamentaciones, se encuentran enrrolladas y sus energías son de dos tipos: de vibraciión y de enrrollado, la primera depende del radio y la segunda del inverso de éste. Dichas energías sumadas dan la total. Llegando el Big Crunch, tendiendo a dimensiones subplanckianas, la energía que depende directamente del radio decrece pero el colapso no se produce porqur la energía que depende del inverso del radio, en compensación aumenta. En vez de un colapso se produce un rebote. En definitiva la Teoría de las Cuerdas no se enfrenta a singularidades que pongan en litigio la Teoría General de la Relatividad con la Mecánica Cuántica.

Valores medios

Como ya hemos dicho, la Mecánica Cuántica es una ciencia probabilística por lo cual muchos conceptos de la Teoría de las Probabilidades tendrán que estar presentes en su tratamiento.

Uno de esos conceptos es el de densidad de probabilidad, la cual representaremos por φ se calcularα mediante la fórmula:

φ = dW/dx

donde W probabilidad de ocurrencia en el intervalo dx.

Se tendrá por tanto, que: que existe conmutación del tipo

dW = φ dx.

El valor medio de una variable x viene dado por:

<x> = ∫ xφdx

En Mecánica Cuántica para el concepto análogo de φ se utiliza (ψ)2, pero para ψ compleja que es el caso comϊn, se representa ψ*ψ, que en la integral anterior se utiliza intercalando la variable entre la conjugada de la funciσn de onda (la que aparece con asterisco) y la función de onda misma:

<x> = ò y *xy dx

Cuando se trate de otra magnitud que no sea la coordenada, se colocará en vez de ésta la magnitud en cuestión. Si los límites son menos y más infinito, la integral será igual a uno.

Conclusiones

Hemos daado una visión panorámica de manera más bien elemental de los procedimientos matemáticos que se siguen para el estudio de la Mecánica Cuántica manteniendo constante relación con la base conceptual de dicha disciplina.