La matemática de la Mecánica Cuántica

2. Primeros Conceptos
3. La Ecuación de Schrodinger
4. Operadores
5. Conmutación de Operadores
6. Valores medios
7. Conclusiones
8. Bibliografía

Introducción

A partir de los trabajos a principios del siglo XX de Max Planck y Albert Einstein, se sabe que las radiaciones electromagnéticas como la luz, las de radio, los rayos infrarrojos y ultravioletas, etc., tienen la curiosa propiedad de que para ciertos fenómenos como las interferencias luminosas, el arco iris y otros se comportan como ondas ( la propagación de una vibración u oscilación) y en otros como los fotoeléctricos (célula fotoeléctrica) se comportan como un flujo o chorro de partículas llamadas cuantos que en el caso de la luz se llaman fotones. Esta curiosa propiedad se llama "naturaleza dual de la radiación", que en el caso lumínico recibe el nombre de "naturaleza dual de la luz". De estos temas se ocupa la Mecánica Cuántica cuyos métodos matemáticos de análisis tratamos en el presente trabajo.

Primeros Conceptos

Los cuantos no son partículas de sustancia, son partículas de energía. Son la menor cantidad de energía que puede haber de determinada radiación. Así por ejemplo, la menor cantidad de energía que puede haber de luz verde, es el cuanto o fotón de luz verde. No puede haber medio cuanto, ni un tercio de cuanto. ni nada por el estilo.

El número de oscilaciones por unidad de tiempo en las ondas se llama frecuencia (la representaremos por f, en muchos libros se representa por la letra griega nu: υ). Por analogνa a los cuantos también se les asigna una frecuencia f. En el caso de la luz cada color se diferencia por su frecuencia. El rojo tiene relativamente baja frecuencia y el violeta, alta, pero todos tienen su frecuencia característica.

Los cuantos tienen una energía E que viene dada por la fórmula:

E = h f

Donde h es la muy importante constante de Planck, que veremos en todas las ecuaciones de la Mecánica Cuántica.

La constante de Planck h, tiene un valor sumamente pequeño, tanto que h sólo tiene un valor significativo cuando aparece junto a magnitudes sumamente pequeñas, que son las que trata la Mecánica Cuántica, o sea las relativas a átomos, electrones, fotones, protones, neutrones, etc., que constituyen las llamadas partículas elementales y son, repetimos, el tema de la Mecánica Cuántica y de la Física Atómica, que son las ciencias del micromundo.

Cuando se trata de la física de las cosas grandes, o sea del macromundo, que es la física habitual del movimiento de los vehículos, proyectiles, etc, la h se hace insignificante y no aparece en sus ecuaciones. La característica matemática de la Mecánica Cuántica es la aparición en todas sus ecuaciones del constante h

En la Mecánica Cuántica, es fundamental, el Principio de Incertidumbre o de Indeterminación de Heisenberg, que expresa que de una partícula del micromundo (electrones, etc.) no se puede determinar a la vez, con la misma precisión, su posición x, y su cantidad de movimiento p ( velocidad multiplicada por la masa). Esto es, mientras menos error en la medida de x cometamos, mayor error cometeremos en la medida de p. Podemos decir, no podemos, en el micromundo, medir a la vez, con precisión, la posición y la velocidad de una partícula.

Es por lo anterior, que en la Mecánica Cuántica, no se puede determinar con precisión el comportamiento de un sistema físico, sólo se puede hallar la probabilidad del comportamiento de un sistema. La probabilidad es una característica que diferencia radicalmente la Mecánica Cuántica de la Mecánica del macromundo.

El Principio de Incertidumbre de Heisenberg, se puede expresar con símbolos matemáticos así:

(Δx) (Δp)» h

donde Δ error, imprecisiσn.. Se puede ver que si Δx se hace grande, entonces Δp se tiene que hacer pequeρo para que su producto se mantenga constante. Y esto es lo que dice el Principio de Incertidumbre de Heisenberg.