– Un proceso de servicios, que es la forma y la rapidez con la que es atendido el cliente
– Proceso de salida, que son de los siguientes dos tipos:
a. Los elementos abandonan completamente el sistema después de ser atendidos, lo que tiene como resultado un sistema de colas de un paso. Por ejemplo los clientes de un banco esperan en una sola fila, son atendidos por uno de los tres cajeros y, después que son atendidos abandonan el sistema.
b. Los productos, ya que son procesados en una estación de trabajo, son trasladados a alguna otra parte para someterlos a otro tipo de proceso, lo que tiene como resultado una red de colas. Por ejemplo, los productos primero son procesados en la estación de trabajo A y después son enviadas a la estación de trabajo B o C. Los productos terminados en ambas estaciones, B y C, luego son procesados en la estación D, antes de abandonar el sistema.
Elementos que Conforman la Teoría de Colas
Proceso Básico de Colas: Los clientes que requieren un servicio se generan en una fase de entrada. Estos clientes entran al sistema y se unen a una cola. En determinado momento se selecciona un miembro de la cola, para proporcionarle el servicio, mediante alguna regla conocida como disciplina de servicio. Luego, se lleva a cabo el servicio requerido por el cliente en un mecanismo de servicio, después de lo cual el cliente sale del sistema de colas.
Fuente de Entrada o Población Potencial: Es un conjunto de individuos (no necesariamente seres vivos) que pueden llegar a solicitar el servicio en cuestión. Podemos considerarla finita o infinita. Aunque el caso de infinitud no es realista, sí permite (por extraño que parezca) resolver de forma más sencilla muchas situaciones en las que, en realidad, la población es finita pero muy grande. Dicha suposición de infinitud no resulta restrictiva cuando, aún siendo finita la población potencial, su número de elementos es tan grande que el número de individuos que ya están solicitando el citado servicio prácticamente no afecta a la frecuencia con la que la población potencial genera nuevas peticiones de servicio.
Cliente: Es todo individuo de la población potencial que solicita servicio. Suponiendo que los tiempos de llegada de clientes consecutivos son 0 < t1< t2<…, será importante conocer el patrón de probabilidad según el cual la fuente de entrada genera clientes. Lo más habitual es tomar como referencia los tiempos entre las llegadas de dos clientes consecutivos: T{k} = tk – tk-1, fijando su distribución de probabilidad. Normalmente, cuando la población potencial es infinita se supone que la distribución de probabilidad de los Tk (que será la llamada distribución de los tiempos entre llegadas) no depende del número de clientes que estén en espera de completar su servicio, mientras que en el caso de que la fuente de entrada sea finita, la distribución de los Tk variará según el número de clientes en proceso de ser atendidos.
Capacidad de la Cola: Es el máximo número de clientes que pueden estar haciendo cola (antes de comenzar a ser servidos). De nuevo, puede suponerse finita o infinita. Lo más sencillo, a efectos de simplicidad en los cálculos, es suponerla infinita. Aunque es obvio que en la mayor parte de los casos reales la capacidad de la cola es finita, no es una gran restricción el suponerla infinita si es extremadamente improbable que no puedan entrar clientes a la cola por haberse llegado a ese número límite en la misma.
Disciplina de la Cola: Es el modo en el que los clientes son seleccionados para ser servidos. Las disciplinas más habituales son:
– La disciplina FIFO (first in first out), también llamada FCFS (first come first served): según la cual se atiende primero al cliente que antes haya llegado.
– La disciplina LIFO (last in first out), también conocida como LCFS (last come first served) o pila: que consiste en atender primero al cliente que ha llegado el último.
– La RSS (random selection of service), o SIRO (service in random order), que selecciona a los clientes de forma aleatoria.
Mecanismo de Servicio: Es el procedimiento por el cual se da servicio a los clientes que lo solicitan. Para determinar totalmente el mecanismo de servicio debemos conocer el número de servidores de dicho mecanismo (si dicho número fuese aleatorio, la distribución de probabilidad del mismo) y la distribución de probabilidad del tiempo que le lleva a cada servidor dar un servicio. En caso de que los servidores tengan distinta destreza para dar el servicio, se debe especificar la distribución del tiempo de servicio para cada uno.
La Cola: Propiamente dicha, es el conjunto de clientes que hacen espera, es decir los clientes que ya han solicitado el servicio pero que aún no han pasado al mecanismo de servicio.
El Sistema de la Cola: Es el conjunto formado por la cola y el mecanismo de servicio, junto con la disciplina de la cola, que es lo que nos indica el criterio de qué cliente de la cola elegir para pasar al mecanismo de servicio. Estos elementos pueden verse más claramente en la siguiente figura:
Un modelo de sistema de colas debe especificar la distribución de probabilidad de los tiempos de servicio para cada servidor.
Distribución de los tiempos de servicio y llegada en un sistema de cola
Aunque a veces se sabe exactamente cuándo se van a producir las llegadas al sistema, en general el tiempo que transcurre entre dos llegadas consecutivas se modela mediante una variable aleatoria. En particular, cuando la fuente es infinita se supone que las unidades que van llegando al sistema dan lugar a un proceso estocástico llamado de conteo; si todos los tiempos entre llegadas son variables aleatorias independientes idénticamente distribuidas, se dice que es un proceso de renovación. Usualmente, el proceso que se utiliza es un proceso de Poisson.
Cuando la fuente es finita se suele asumir que la probabilidad de que se produzca una llegada en un intervalo de tiempo es proporcional al tamaño de la fuente en ese instante.
Se llama capacidad del servicio al número de clientes que pueden ser servidos simultáneamente. Si la capacidad es uno, se dice que hay un solo servidor (o que el sistema es monocanal) y si hay más de un servidor, multicanal. El tiempo que el servidor necesita para atender la demanda de un cliente (tiempo de servicio) puede ser constante o aleatorio.
Parámetros de la teoría de cola
– ?n = Tasa media de llegadas de nuevos clientes cuando hay n clientes en el sistema (número promedio de llegadas por unidad de tiempo).
– 1/? = Tiempo promedio entre llegadas.
– µn = Tasa media de servicio de nuevos clientes cuando hay n clientes en el sistema (número promedio de clientes al cual puede dar servicio la instalación en una unidad de tiempo, suponiendo que no hay escasez de clientes).
– 1/µ = Tiempo promedio servicio.
– Lq = Número esperado de clientes en la cola (excluye los clientes que están en servicio).
– L = Número esperado de clientes que se atienden y/o esperan en el sistema.
– Wq = Tiempo estimado que emplea un cliente esperando en la cola.
– W = Tiempo estimado que emplea un cliente esperando más el que emplea siendo atendido (tiempo esperado en el sistema).
– Po = Probabilidad de encontrar el sistema vacío u ocioso.
– Pn = Probabilidad de encontrar exactamente n clientes en el sistema.
– ? = Fracción esperada de tiempo que los servidores individuales están ocupados.
La Distribución de Poisson
Esta distribución es muy frecuente en los problemas relacionados con la investigación operativa, sobre todo en el área de la gestión de colas. Suele describir, por ejemplo, la llegada de pacientes a un ambulatorio, las llamadas a una central telefónica, la llegada de coches a un túnel de lavado, etc. Todos estos casos pueden ser descritos por una variable aleatoria discreta que tiene valores no-negativos enteros.
La Distribución Exponencial
La distribución de Poisson describe las llegadas por unidad de tiempo y la distribución exponencial estudia el tiempo entre cada una de estas llegadas. Si las llegadas son de Poisson, el tiempo entre ellas es exponencial. La distribución de Poisson es discreta, mientras que la distribución exponencial es continua, porque el tiempo entre llegadas no tiene por qué ser un número entero.
Esta distribución se usa mucho para describir el tiempo entre eventos, específicamente, la variable aleatoria que representa el tiempo necesario para servir a la llegada. Un ejemplo típico puede ser el tiempo que un médico dedica a un paciente.
Modelos de la teoría de cola
– Modelo de la Cola Infinita, Fuente Infinita y una Unidad de Servicio.
Para este modelo se considera lo siguiente:
1.- Las llegadas son aleatorias y provienen de una distribución de probabilidad de Poisson o de Markov.
2.- Se supone que el tiempo de servicio es también una variable aleatoria que sigue una distribución exponencial o de Markov. Se supone además que los tiempos de servicios son independientes entre sí e independientes del proceso de llegada.
3.- Sólo hay una unidad de servicio.
4.- La disciplina de cola se basa en el principio FIFO (primero en llegar primero en salir) y no hay un límite para el tamaño de la cola.
5.- Las tasas de llegadas y de servicio no cambian con el tiempo. El proceso ha estado en operación el tiempo suficiente para eliminar los efectos de las condiciones iniciales.
para n = 0,1,2,3,–. 
para n = 1,2,3, –..
– Probabilidad de encontrar exactamente n clientes en el sistema:
– Probabilidad de encontrar el sistema vacio:
– Factor de utilización:
– Número estimado de clientes que esperan ser atendidos:
– Número estimado de clientes en el sistema, ya sea esperado en la cola y/o siendo atendidos:
– Tiempo estimado que emplea un cliente esperando en la cola:
– Tiempo estimado que emplea un cliente en el sistema:
– Probabilidad de que el tiempo empleado (T) exceda a un valor particular t:
a) Incluyendo el tiempo de servicio.
b) Excluyendo el tiempo de servicio.
– Modelo de la Cola Infinita, Fuente Infinita y una Unidad de Servicio Múltiple.
Para este modelo de considera lo siguiente:
1.- Las llegadas son aleatorias y provienen de una distribución de probabilidad de Poisson o de Markov.
2.- Se supone que el tiempo de servicio es también una variable aleatoria que sigue una distribución exponencial o de Markov. Se supone además que los tiempos de servicios son independientes entre sí e independiente del proceso de llegada.
3.- Hay varias unidades de servicio.
4.- La disciplina de cola se basa en el principio FIFO (primero en llegar primero en salir) y no hay un límite para el tamaño de la cola.
5.- Las tasas de llegadas y de servicio no cambian con el tiempo. El proceso ha estado en operación el tiempo suficiente para eliminar los efectos de las condiciones iniciales.
para n = 0,1,2,3,–. 
S : número de unidades de servicio.
– Probabilidad de encontrar exactamente n clientes en el sistema:
– Probabilidad de encontrar el sistema vacio:
– Factor de utilización:
– Número estimado de clientes que esperan ser atendidos:
– Número estimado de clientes en el sistema, ya sea esperado en la cola y/o siendo atendidos:
– Tiempo estimado que emplea un cliente esperando en la cola:
– Tiempo estimado que emplea un cliente en el sistema:
– Probabilidad de que el tiempo empleado (T) exceda a un valor particular t:
Incluyendo el tiempo de servicio.
Cuando 
debe sustituirse por &µ t.
– Modelo de la Cola Finita, Fuente Infinita y una Unidad de Servicio.
Para este modelo de considera lo siguiente:
1.- Las llegadas son aleatorias y provienen de una distribución de probabilidad de Poisson o de Markov.
2.- Se supone que el tiempo de servicio es también una variable aleatoria que sigue una distribución exponencial o de Markov. Se supone además que los tiempos de servicios son independientes entre sí e independiente del proceso de llegada.
3.- Hay una unidad de servicio.
4.- La disciplina de cola se basa en el principio FIFO (primero en llegar primero en salir) y no hay un límite para el tamaño de la cola.
5.- Las tasas de llegadas y de servicio no cambian con el tiempo. El proceso ha estado en operación el tiempo suficiente para eliminar los efectos de las condiciones iniciales.
6.- No se permite que el número de clientes exceda un número especificado (M). A cualquier cliente que llega cuando la cola está llena se le niega la entrada al sistema y este cliente lo deja para siempre.
para n = 1,2,3,–. 
M : número máximo de clientes en el sistema.
– Probabilidad de encontrar exactamente n clientes en el sistema:
– Probabilidad de encontrar el sistema vacio:
– Factor de utilización:
– Número estimado de clientes en el sistema, ya sea esperando en la cola y/o atendidos:
– Número estimado de clientes que esperan ser atendidos:
– Tiempo estimado que emplea un cliente esperando en la cola:
– Tiempo estimado que emplea un cliente en el sistema:
– Modelo de la Cola Finita, Fuente Infinita y una Unidad de Servicio Múltiple.
Para este modelo de considera lo siguiente:
1.- Las llegadas son aleatorias y provienen de una distribución de probabilidad de Poisson o de Markov.
2.- Se supone que el tiempo de servicio es también una variable aleatoria que sigue una distribución exponencial o de Markov. Se supone además que los tiempos de servicios son independientes entre sí e independiente del proceso de llegada.
3.- Hay varias unidades de servicio.
4.- La disciplina de cola se basa en el principio FIFO (primero en llegar primero en salir) y no hay un límite para el tamaño de la cola.
5.- Las tasas de llegadas y de servicio no cambian con el tiempo. El proceso ha estado en operación el tiempo suficiente para eliminar los efectos de las condiciones iniciales.
6.- No se permite que el número de clientes exceda un número especificado (M). A cualquier cliente que llega cuando la cola está llena se le niega la entrada al sistema y este cliente lo deja para siempre.
para n = 0,1,2,3,–.
M: número máximo de clientes en el sistema. 
– Probabilidad de encontrar exactamente n clientes en el sistema:
– Probabilidad de encontrar el sistema vacio:
– Factor de utilización:
– Número estimado de clientes que esperan ser atendidos:
– Número estimado de clientes en el sistema, ya sea esperando en la cola y/o atendidos:
– Tiempo estimado que emplea un cliente esperando en la cola:
– Tiempo estimado que emplea un cliente en el sistema:
– Modelo de la Cola Finita, Fuente Finita y una Unidad de Servicio.
Para este modelo de considera lo siguiente:
1.- Las llegadas son aleatorias y provienen de una distribución de probabilidad de Poisson o de Markov.
2.- Se supone que el tiempo de servicio es también una variable aleatoria que sigue una distribución exponencial o de Markov. Se supone además que los tiempos de servicios son independientes entre sí e independiente del proceso de llegada.
3.- Hay una unidad de servicio.
4.- La disciplina de cola se basa en el principio FIFO (primero en llegar primero en salir) y no hay un límite para el tamaño de la cola.
5.- Las tasas de llegadas y de servicio no cambian con el tiempo. El proceso ha estado en operación el tiempo suficiente para eliminar los efectos de las condiciones iniciales.
6.- No se permite que el número de clientes exceda un número especificado (M). A cualquier cliente que llega cuando la cola está llena se le niega la entrada al sistema y este cliente lo deja para siempre.
para n = 1,2,3,–.
M: número máximo de clientes en el sistema.
– Probabilidad de encontrar exactamente n clientes en el sistema:
– Probabilidad de encontrar el sistema vacio:
– Número estimado de clientes que esperan ser atendidos:
– Número estimado de clientes en el sistema, ya sea esperando en la cola y/o siendo atendidos:
– Tiempo estimado que emplea un cliente esperando en la cola:
– Tiempo estimado que emplea un cliente en el sistema:
– Modelo de la Cola Finita, Fuente Finita y una Unidad de Servicio Múltiple.
Para este modelo de considera lo siguiente:
1.- Las llegadas son aleatorias y provienen de una distribución de probabilidad de Poisson o de Markov.
2.- Se supone que el tiempo de servicio es también una variable aleatoria que sigue una distribución exponencial o de Markov. Se supone además que los tiempos de servicios son independientes entre sí e independiente del proceso de llegada.
3.- Hay varias unidades de servicio.
4.- La disciplina de cola se basa en el principio FIFO (primero en llegar primero en salir) y no hay un límite para el tamaño de la cola.
5.- Las tasas de llegadas y de servicio no cambian con el tiempo. El proceso ha estado en operación el tiempo suficiente para eliminar los efectos de las condiciones iniciales.
6.- No se permite que el número de clientes exceda un número especificado (M). A cualquier cliente que llega cuando la cola está llena se le niega la entrada al sistema y este cliente lo deja para siempre.
M: número máximo de clientes en el sistema. 
– Probabilidad de encontrar exactamente n clientes en el sistema:
– Probabilidad de encontrar el sistema vacio:
– Número estimado de clientes que esperan ser atendidos:
– Número estimado de clientes en el sistema, ya sea esperando en la cola y/o siendo atendidos:
– Tiempo estimado que emplea un cliente esperando en la cola:
– Tiempo estimado que emplea un cliente en el sistema:
EJERCICIOS:
El modelo simple de teoría de colas que se ha definido, se basa en las siguientes suposiciones:
a) Un solo prestador del servicio y una sola fase.
b) Distribución de llegadas de poisson donde ? = tasa de promedio de llegadas.
c) Tiempo de servicio exponencial en donde ? = tasa de promedio del servicio.
d) Disciplina de colas de servicio primero a quien llega primero; todas las llegadas esperan en línea hasta que se les da servicio y existe la posibilidad de una longitud infinita en la cola.
A partir de estas suposiciones se pueden derivar las siguientes estadísticas de desempeño:
? = ? / ?
P0 = 1- ? / ?
Pn = P0(? / ?)n
Lq = ? 2
? ( ? – ? )
Ls = ? / ( ? – ? )
Wq = ?
? ( ? – ? )
Ws = 1 / ( ? – ? )
Ejemplo:
Suponga que un cajero bancario puede atender a los clientes a una velocidad promedio de diez clientes por hora (? = 10). Además, suponga que los clientes llegan a la ventanilla del cajero a una tasa promedio de 7 por hora (? = 7). Se considera que las llegadas siguen la distribución exponencial. En la condición uniforme el sistema de colas tendrá las siguientes características de desempeño.
? = 7 / 10, el prestador del servicio trabajara el 70% del tiempo.
P0 = 1- 7 / 10 = 0.3; 30% del tiempo no habrá clientes en el sistema (ni en la cola, ni recibiendo servicio).
Pn = 0.3 (7 / 10)n, una fórmula para descubrir la posibilidad de que n se encuentre en el sistema en cualquier momento dado: n = 1, 2, 3,…….; P1 = 0.21, P2 = 0.147; P3 = 0.1029; etc.
Lq = 72 = 1.63; en promedio 1.63 clientes estarán en la cola.
10 (10 – 7)
Ls = 7 / (10 – 7) = 2.33; en promedio 2.33 clientes estarán en el sistema (en la cola y en servicio).
Wq = 7 = 0.233; el cliente pasa un promedio de 0.233 horas esperando en la 10 (10 – 7) cola.
Ws = 1 / (10 – 7) = 0.333; el cliente pasa un promedio de 0.333 horas en el sistema (en la cola en servicio).
Si los clientes se alejan del cajero siempre que existan 3 o más clientes antes que ellos en el sistema, la proporción de clientes perdida es:
1- (P0 – P1 – P2 – P3).
= 1- (0.3 – 0.21 – 0.147 – 0.1029) = 0.2401
En este caso se perderá el 24% de los clientes debido a que la espera es demasiado larga.
Ahora es posible evaluar el desempeño del sistema de colas. El administrador tendrá que tomar en consideración el tiempo perdido del prestador del servicio ( 30% ), el tiempo que espera el cliente ( 0.233 horas ) y la longitud de la línea que se forma ( 1.63 clientes). Si este rendimiento es inaceptable se puede colocar un segundo prestador del servicio o hacer otros cambios en las características de las llegadas, de la cola o del portador de los servicios.
Ejemplo:
Frente a una ventanilla del Banco Estatal se presentan 560 personas diarias (jornada de 8 horas); el cajero puede dar servicio a 100 personas como promedio por hora. Con la hipótesis de llegadas Poissonianas y servicios exponenciales, encontrar el factor promedio de utilización del sistema, el tiempo ocioso promedio en el sistema, la probabilidad que haya 3 clientes en el sistema, el número promedio de personas en el sistema, la cantidad promedio de clientes en la cola, el tiempo promedio que permanece una persona en el sistema, el tiempo promedio de un cliente en la fila, el tiempo promedio que tarda un servicio, la probabilidad que existan 4 personas.
Ws = W – Wq ; Ws = 2 min – 1,4 min; Ws = 0,6 min En promedio el tiempo que tarda un servicio corresponde a ,6 minutos.
Ejemplo:
En una empresa la reparación de un cierto tipo de maquinaria existente en el mercado se realiza en 5 operaciones básicas que se efectúan de una manera secuencial; si le tiempo que se lleva en realizar cada uno de los 5 pasos tiene una distribución exponencial con media de 5 minutos. Estas máquinas se descomponen según una distribución Poisson con una razón media de 2 máquinas / hora y en la fábrica solo hay un mecánico que las repara. Calcular las características de operación de la empresa.
Ws = W – Wq; Ws = 1.66 – 1.249; Ws = 0.411 hor = 25 min En promedio el tiempo de un servicio es de 25 minutos
Conclusión
El origen de la Teoría de Colas está en el esfuerzo de Agner Kraup Erlang (Dinamarca, 1878 – 1929) en 1909 para analizar la congestión de tráfico telefónico con el objetivo de cumplir la demanda incierta de servicios en el sistema telefónico de Copenhague. Sus investigaciones acabaron en una nueva teoría denominada teoría de colas o de líneas de espera. Esta teoría es ahora una herramienta de valor en negocios debido a que un gran número de problemas pueden caracterizarse, como problemas de congestión llegada-salida.
La teoría de las colas es el estudio matemático de las colas o líneas de espera. La formación de colas es, por supuesto, un fenómeno común que ocurre siempre que la demanda efectiva de un servicio excede a la oferta efectiva.
Los sistemas de colas son muy comunes en la sociedad. La adecuación de estos sistemas puede tener un efecto importante sobre la calidad de vida y la productividad.
Para estudiar estos sistemas, la teoría de colas formula modelos matemáticos que representan su operación y después usa estos modelos para obtener medidas de desempeño. Este análisis proporciona información vital para diseñar de manera efectiva sistemas de colas que logren un balance apropiado entre el costo de proporcionar el servicio y el costo asociado con la espera por ese servicio.
Bibliografía
– http://www.wikilearning.com/monografia/la_teoria _teoria_de_colas/15124-2
– http://www.mitecnologico.com/TeoriaDeColasProceso_ModelosPoisson
– http://sitios.ingenieria-usac.edu.gt/estadistica/analisis/teoriacolas.html
– http://www.utpl.edu.ec/blog/simulacionsistemas/category/teorias/
– http://www.mitecnologico.com/Main/LineasDeEsperaIntroduccion
– Prof. Julia Marcano de R. Guía Electiva II. Teoría de Cola.
Autor:
María Belda
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