Una introducción a la estimación de estados en sistemas de potencia

RESUMEN

El presente artículo describe un método bastante conocido para la estimación de estados en sistemas de potencia como es el de los mínimos cuadrados ponderados. El artículo es producto de una revisión y recopilación de la literatura citada e intenta mostrar de una forma sencilla, el significado de la estimación de estados.

Palabras clave: Estimación de estados, Sistemas de Potencia, Mínimos Cuadrados Ponderados, SCADA.

LA ESTIMACION DE ESTADOS

Tradicionalmente la estimación de estados está relacionada con la teoría de control /2/ donde el diseño de estimadores de estado está basado en un modelo en el espacio de estados que describe el proceso físico de la aplicación. El diseño de un estimador de estado está también basado en un modelo de medidas que describe como los datos obtenidos a partir de un sistema de medida o de un sistema de sensores dependen de las variables de estado.

Usualmente, el problema de estimación está enfocado a tres áreas:

• Estimación en línea o filtrado óptimo.

• Predicción.

• Retrodicción o Estimación fuera de línea.

La estimación en línea significa la estimación del estado presente utilizando todas las medidas que están disponibles. La predicción significa estimar estados futuros. La retrodicción es la estimación de estados pasados o bien es un proceso que explica un hecho que ha sucedido en el pasado.

Los estimadores de estados ejecutan un análisis estadístico empleando un conjunto de m datos redundantes e imperfectos que son medidos del sistema de potencia para determinar el estado del sistema /3/. El estado del sistema es una función de n variables de estado: voltajes de bus, ángulos de fase relativos, posiciones de tap en transformadores. La solución obtenida de una estimación de estado, no es la verdadera representación del sistema, es la mejor representación posible basada en medidas. Para el proceso de estimación, es necesario tener un número de medidas m mayor que el número de estados (m > n) esto de modo a tener una representación completa del estado en el sistema.

Como concepto introductorio acerca de la estimación de estados en sistemas de potencia, adoptaremos el concepto señalado en /4/, el cual dice que la estimación de estados es el proceso de asignar un valor a una variable de estado de un sistema desconocido basado en medidas a partir del sistema y de acuerdo a un criterio. Usualmente el proceso involucra mediciones imperfectas que son redundantes y el proceso de estimar los estados del sistema está basado en un criterio estadístico que estima el verdadero valor de las variables de estado de modo a minimizar o maximizar el criterio elegido. Un criterio común y familiar empleado es aquel de minimizar la suma de los cuadrados de las diferencias entre los valores estimados y "verdaderos" de una función. En sistemas de potencia, las variables de estado son las magnitudes de tensión y los ángulos de fase relativos en los nodos del sistema.

UN BOSQUEJO DE CÓMO OPERA LA ESTIMACION DE ESTADOS

De acuerdo con /3/, la estimación de estados es ejecutada en forma periódica (por ejemplo cada 5 minutos), sobre demanda, o debido a un cambio en la configuración del sistema tal como el aislamiento de una sección de línea.

En sistemas grandes, la administración de la energía se produce en centros de control o EMS conformadas por sistemas computarizados denominados Sistemas de Administración de Energía (EMS: Energy Management Systems). La adquisición y el control remoto es ejecutada por otros sistemas de computadoras denominados Control Supervisorio y Adquisición de Datos SCADA (SCADA: Supervisory Control and Data Acquisition) /5/. Estos últimos sistemas pueden ser instalados en una variedad de sitios incluyendo centros de control. Un sistema de administración de energía típicamente incluye un SCADA atreves del cual se comunica con plantas de generación, subestaciones y otros dispositivos remotos.

Un sistema SCADA consiste de una estación maestra que se comunica con unidades remotas o RTU"s (RTU: Remote Terminal Unit) con el propósito de permitir a los operadores observar y controlar plantas físicas. Los RTU"s transmiten el estado del dispositivo, envían y reciben señales de control y datos desde los puntos de operación hacia y desde la estación maestra. Las comunicaciones se realizan generalmente vía circuitos dedicados con la RTU respondiendo a requisiciones periódicas desde la estación maestra (mediante polling o consulta) aproximadamente cada 2 a 10 segundos dependiendo la criticidad del dato.

Algunas de las funciones tradicionales de un sistema SCADA son:

• Adquisición de datos: proporciona datos medidos remotamente e información del estado al operador.

• Control supervisorio: Permite al operador controlar remotamente dispositivos de control, por ejemplo abrir y cerrar interruptores.

• Marcado: Identifica un dispositivo para restricciones de operación específicas y previene operación no autorizada.

• Alarmas: informa al operador eventos no planeados y condiciones de operación no deseables.

• Proporciona al operador la posibilidad de disparos automáticos o iniciados en respuesta a emergencias del sistema.

• Tendencias: Grafica mediciones sobre escalas de tiempo elegidas.

MODELO DE MEDIDAS Y EL METODO DE LOS MINIMOS CUADRADOS PONDERADOS

Considere el conjunto de medidas dadas por el vector /1/:

Donde:

es una función vectorial de variable vectorial, no lineal que relaciona las medidas con el vector de estados

Como en la mayoría de los sistemas de medición, los datos medidos están contaminados con ruido aleatorio el cual distorsiona los valores reales /3/. Afortunadamente las propiedades estadísticas asociadas con las medidas permiten ciertas presunciones para estimar el valor medido. Primero se asume que el ruido medido tiene un valor esperado o promedio de cero; ello implica que el error en cada medida tiene igual probabilidad de tomar un valor positivo o negativo. También se asume que el valor esperado para el cuadrado de la medida de error es normal y tiene una desviación estándar s además de una correlación entre medidas cero. Una variable se dice que es normal si su función de densidad de probabilidad tiene la forma:

El gráfico de esta distribución es conocida como la campana de Gauss. La desviación estándar s es una medida de la dispersión de la distribución normal alrededor de la media y proporciona un indicador de cómo muchas muestras caen dentro de un intervalo dado alrededor de la media. Una gran desviación estándar implica que existe una alta probabilidad de que el ruido medido tomará valores grandes. Contrariamente, una desviación estándar pequeña implica que existe una alta probabilidad de que el ruido medido tome pequeños valores.

En consecuencia, en atención a las propiedades estadísticas de las medidas de error, comúnmente se asume lo siguiente:

• E[ei]=0, i=1, 2, å ¬ m.

• Las mediciones de error son independientes, E[ei , ej] = 0. Por lo tanto,

La desviación estándar si de cada medida es calculada para reflejar la precisión expectada de la medida correspondiente empleada.

El estimador de mínimos cuadrados ponderados asume la siguiente función objetivo:

Para que esta función tenga un mínimo, se deben satisfacer las condiciones de optimabilidad de primer orden, lo cual puede ser expresado de la siguiente forma:

Expandiendo la función no lineal en serie de Taylor alrededor del vector de estado tendremos:

Despreciando los términos de orden elevado, se obtendrá una solución iterativa conocida con el nombre de Gauss-Newton.

Donde k es el índice de iteración y es el vector solución para la iteración k. Además,

G(x) se denomina matriz Ganancia, la cual es dispersa positiva definida y simétrica.

Como resumen, la (k+1)esima solución puede ser obtenida a partir de la kesima con la ecuación:

Para conocer si la solución converge, se puede recurrir a una ecuación de la forma:

Aunque otro criterio de convergencia válido también podría ser:

Donde e es un factor de convergencia predefinido.

EL ALGORITMO DE LOS MINIMOS CUADRADOS PONDERADOS

La estimación de estados por mínimos cuadrados ponderados involucra resolver iterativamente la ecuación (5), con lo que se requiere de una estimación inicial Luego la solución iterativa directa es bastante sencilla y será:

• 1) Iniciar las iteraciones haciendo k=0.

• 2) Inizializar el vector de estados

• 3) Calcular la matriz de ganancias G(), con la ecuación (3) y obtener su inversa.

• 4) Calcular la funcional g(), con la ecuación (4).

• 5) Calcular – [G()]-1g(), o bien emplear la ecuación (5).

• 6) Efectuar la prueba de convergencia mediante (6) o (7).

• 7) Si no cumple la prueba de convergencia, incrementar k en una unidad e ir al paso (3); caso contrario detener las iteraciones.

OBSERVABILIDAD

Recordemos que en teoría de control, la observabilidad es una propiedad importante que define la existencia de una solución de control óptimo. Un sistema es observable en un tiempo t0 si con el sistema en un estado inicial x(t0) es posible determinar este estado a partir de observaciones de la salida y(t) durante un intervalo finito de tiempo.

El estimador de estados para sistemas de potencia emplea un conjunto de mediciones efectuadas en el sistema de modo a estimar su estado. Dado ese conjunto de mediciones junto a sus ubicaciones, el análisis de observabilidad de la red determinará si se puede encontrar una única estimación para el estado del sistema. Este análisis puede ser ejecutado fuera de línea, durante la fase inicial de la instalación del estimador de estados de modo a ver si la configuración de medidas existentes es la adecuada. Si el sistema es no observable entonces se deberá ubicar mediciones adicionales en lugares particulares. El análisis de observabilidad también se lo puede hacer en línea, antes de ejecutar el estimador de estados. Ello asegura que el estado estimado pueda ser obtenido mediante las medidas recibidas del último escaneo. Fallos en las comunicaciones, los cambios de topología, o fallas en las mediciones podrían causar que el estado del sistema entero, no sea estimado.

En /1/ se puede encontrar la teoría necesaria para efectuar éste análisis; sin embargo, por el carácter introductorio del presente artículo nos conformaremos con la idea general planteada en /3/ que dice que una variable de estado es inobservable si no puede ser estimada. La inobservabilidad ocurre cuando el criterio de observabilidad es violado (m<n o bien mediciones menor que el numero de estados) por lo que hay insuficientes datos redundantes de las mediciones para determinar el estado del sistema. Ello implica que la matriz:

es singular y por lo tanto no tiene inversa.

EJEMPLO DE APLICACIÓN

En /1/, /3/, /4/ y /6/, se pueden encontrar buenos ejemplos aclaratorios respecto al tema; sin embargo en /3/ existe un ejemplo básico para entender el significado de lo que significa la estimación de estados en sistemas de potencia. La figura 1 muestra el sistema de ejemplo, cuyos datos son los que se muestran en la tabla 1.

Figura 1. Sistema de ejemplo /3/

Siendo la barra 1 de referencia, el primer paso en el proceso de estimación es identificar los estados desconocidos los cuales son:

El siguiente paso es determinar las funciones que corresponde a cada una de las mediciones:

La matriz de derivadas parciales es:

La matriz de covarianzas es:

De modo a tener una idea de la influencia de asumir un estado inicial en la estimación final, en la tabla 2 se resume los resultados obtenidos para tres estados iniciales diferentes, mostrándose también el número de iteración y la norma del error obtenido en cada itreración.

El anexo posee un programa básico en MATLAB con el cual se elaboró la tabla 2.

CONCLUSIONES

El presente artículo mostró de forma introductoria, el problema de estimación de estados en sistemas de potencia. Se describió el método tradicional de los mínimos cuadrados ponderados mediante el cual, básicamente se pudo ver que el estado de un sistema de potencia es una función de las variables de estado (ángulos y tensiones) y las mediciones realizadas. El método presentado es básico y de fácil implementación para sistemas de pequeño orden.

ANEXO

Programa en MATLAB para la obtención de resultados.

BIBLIOGRAFIA

/1/ Power System State Estimation, Ali Abur, Marcel Dekker Inc., 2004, ISBN: 0-8247-5570-7

/2/ Classification, Parameter Estimation and State Estimation, F. Van der Heijden, R.P.W. Duin, D. de Ridder, D.M.J Tax, John Wiley and Sons Inc., 2004, ISBN 0-470-09013-8.

/3/ Power System Stability and Control, Leonard Grigsby, CRC Press, 2007, ISBN 13: 978-0-8493-9291-7.

/4/ Power Generation, Operation, and Control, Allen J. Wood, Bruce F. Wollenberg, John Wiley and Sons Inc. 1996, ISBN: 0-471-58699-4.

/5/ The Electrical Engineering Handbook, Richard C. Dorf, CRC PRESS, 1993, ISBN 0 – 8493 – 0185 – 8.

/6/ Power systems, Leonard Grigsby, CRC PRESS, 2007 ISBN – 0-8493-9288-8.

xx/ Estimacion de estado en sistemas eléctricos de potencia: parte 1 detección de errores grandes, Mauricio Granada, Scientia et Technica Año IX, No 22, Octubre 2003. UTP. ISSN 0122-1701.

Autor:

Rogelio José Choque Castro

Rogelio José Choque Castro, Nacido en La Paz Bolivia, es Ingeniero Electricista titulado en la Universidad Mayor de San Andrés (UMSA). Trabajó durante diez años en la Industria Textil (área de mantenimiento), Supervisor Proyecto de Electrificación Rural Illimani Sud, Residente de Obra Proyecto Porvenir Chive, docente de la Universidad de Aquino Bolivia (UDABOL) y Universidad Los Andes. Sus áreas de interés: Simulación de Transitorios en Sistemas de Potencia, Electrónica de Potencia, Procesamiento Digital de Señales, Sistemas de Control.