x 1 3 = 2 x15 1 =15 2 . 17 6 ¿Cuántas horas son los 5/6 de un día?
La lógica de resolución del problema sugiere considerar las 24 horas del día como un todo, que es “operado” por el factor 5/6; es decir, las 24 horassedividenen6lotesde4horascadauno,delosqueseconsideran 5;lo que nos da un total de 20 horas.Este resultado se obtiene directa- mente por la multiplicación 5x 24 = 5 x624= 20 horas.Queremos insistir en la importancia dehabituarnosaconsiderarla multiplicacióndeunafracciónporun enterocomoel modelo de operación que responde directamente a situaciones similares a la dada.
Llevo recorridos 2/3 de un trayecto que tiene 72 km de longitud. ¿Cuánto me falta para llegar?
Puedo aplicar el operador 2 a 72 km para saber lo que llevo recorrido ( 3x 72 = 2 x372 = 48 km) y luego efectuar la resta 72 – 48 = 24 km. Pero también puedo aplicar directamente el operador 1/3 (lo que falta es 1 – 2= 1) a 72: 1x 72 = 72 = 24 km. 3 3 3 3 19. ¿Cuánto es el doble de 1/2, más la mitad de 1/2?
20.¿Cuántoslitrostiene un recipiente que se ha llenado con los 5/6 de 12 botellas de 1/2 litro cada una?
5.2. La multiplicación de dos fracciones Entremos ahora a la multiplicación genérica de dos fracciones. ¿Cuál es el Veamos tres posibles versiones de esta operación.
a) La primera fracción actúa como operador de la segunda. Así, podemos leer esa multiplicación como “los dos quintos de un tercio”. Considerando 2/5 (2 x 1/5) como el doble de 1/5, podemos entender “los 2 quintos de 1 tercio” como el doble de “1 quinto de 1 tercio”. Ahora bien, “1 quinto de 1 tercio”signi?caquelatercerapartede untodosefraccionaasuvezen5partes, con lo que cada una de estas nuevas fracciones unitarias representa 1/15 del todo inicial. Es decir, considerar “1 2 1 gulo. Por ejemplo, al multiplicar 4 x 2 podemos pensar en un rectángulo que tengatalesfactorescomomedidadesus lados; si suponemos que 4/5 se re?ere a la base y 2/3 a la altura, su respectiva representación sería:
Base:4/5
Altura:2/3 sentido de una expresión como 5 x 1 ? 2 3 5 3 quintode1 tercio”equivaleaconside- rar de una sola vez “1 quinceavo” del todo. En otras palabras: 1 x 1 =15. Y por lotanto, 5 x 3 seráeldobledeloanterior: 2 5
Lasmismasconsideracionespueden hacerse para la multiplicación 3 x 2. Lo que cabe destacar es que en ambas multiplicaciones ( 2 x 1 y 1 x 2 ) se ob- tieneelmismoresultado:2/15;esdecir, unafracciónquetienecomonumerador el producto de ambos numeradores, y como denominador el producto de am- bos denominadores.
b)Lasdosfraccionesrepresentanlas longitudesdelosladosdeunrectángulo, y su producto, el área de dicho rectán- 1 5 5 3 3 5 5 3 3 2
x 4 5 18 puede llegar al estado ?nal 8/15 por la aplicación de un solo operador, 8/15 (8/15 x 1 = 8/15), se deduce que el producto de dos fracciones puede considerarse como la composición (aplicaciónsucesiva)dedosoperadores fraccionarios sobre la unidad. Veamos esto en el contexto grá?co: 1) En cualquiera de sus campos de signi?- cado,el producto de dos fracciones es una fracciónquetienecomonumeradorelproducto de ambos numeradores y como denominador el producto de ambos denominadores.
2) A partir de sus versiones primera y última se desprende que la fracción a/b posee dos posibles signi?cados funcionales: “funciona” como un estado y como un ope- rador (Dienes, 1972). En el primer caso se resalta su sentido estático:indica la relación entre el número a de partes que se con- sideran de un todo dividido en b partes congruentes, y el número total b de estas partes. En el segundo, su sentido dinámico, operativo:indica que el otro factor (entero o fraccionario),considerado como un todo, se divide en b partes, de las que se van a considerar a de ellas. Estado parcial
Estado final
Estado final Estado inicial
1
Estado inicial
1 1er operador
4/5
2° operador
2/3
1er operador
8/15 5 3 8 Y la de su producto, la del área con rayado intersectado:
Como puede verse, el área de inter- seccióncontiene8delas15cuadrículas quesegeneraronalsuperponerlosgrá?- cosiniciales,loquesigni?caunaregión querepresentalos8/15delaunidad.Es decir, 4 x 2 =15.
c) La multiplicación de fracciones comocomposicióndeoperadores:Des- deestaperspectiva,unamultiplicación como 3 x 4 signi?caría el resultado ?nal de aplicar, en primer lugar, el operador 4/5sobrelaunidad,conloquesellega- 2 5 8 3 4 8 ría al estado parcial 4/5(4/5 x 1 = 4/5); y en segundo lugar, aplicar sobre esta fracción el operador 2/3, con lo que se llegaría –de acuerdo con lo expresado en a)– al estado ?nal 15( 2 x 5= 15). Pues bien, como partiendo de la unidad se = 2 3 Al terminar de revisar los diversos signi?cados atribuibles a la multiplicación de fracciones, podemos establecer dos grandes conclusiones:
puesto o producto: 2 3 x 4 3= 2 3 x 4 3 = 1/2. Así, x 4 5= 50 28, lo que nos lleva directamente a: x 1.200 = 672 pesos. =100 6 , es decir, del 6%, que contradice el progresivos,10 7 x 4 5 = 50 28 ó su equivalente 100. 19 9 9 9 9 9 9 3 7 3 ¿Cuántos días son los 2/3 de los 3/4 de un lapso de 360 días?
Puede procederse por pasos, llevando las respuestas a días (3/4 de 360 días son 270 días; 2/3 de 270 días son 180 días). Pero también puede aplicarse el operador com- x 1/2 x 360 días = 180 días.
Una pequeña bola de goma tiene la propie- dad de rebotar hasta los 9/10 de su altura de caída. Si se suelta desde 1 metro de al- tura,¿qué altura alcanzará en su tercer rebote?
Unamanerasencilladeresolverelproblema es proceder por pasos,es decir,por rebotes de la bola de goma: el primer rebote llega hasta una altura de 10 x 1 m = 0,9 m. El segundo, hasta una altura de 10 x 0,9 m = 0,81 m.Y el tercero, hasta la altura de 10 x 0,81 m = 0,729 m.
Otra forma de plantearse la solución es pensando en 9/10 como operador que se aplicatresvecesalaalturainicialde1m.Así, larespuestaseobtienemedianteelproduc- to10x10x10x 1 m = 93/103 x 1 m = 0,729 m. [Este procedimiento permite generalizar la solucióndelproblemaacualquiernúmeron de rebotes y a cualquier factor de rebote r. Así,si la altura inicial es a,la altura alcanzada en el rebote n será:a x r n].
En una tienda de ropa, un vestido de señora se vendía por 1.200 pesos.Al cabo de un mes,el vendedor le aplicó un 30% de descuento; pero como seguíasinvenderse,decidiórematarlo con un descuento adicional del 20% sobre el último precio. ¿Cuál fue el precio de?nitivo de venta?
Si consideramos estos porcentajes como expresiones de fracciones (30/100 ó 3/10, y 20/100 ó 1/5,respectivamente), podemos calcular el primer descuento: 10 x 1.200 = 360 pesos, y de ahí el precio co- rrespondiente: 1.200 – 360 = 840 pesos. Ahora procedemos igual para el segundo descuento: 1 x 840 = 168 pesos, y para el precio de?nitivo:840 – 168 = 672 pesos.
Pero como nos piden el precio ?nal,podía- mos haber abreviado el proceso averiguan- do los porcentajes de precios que conser- vaba el vestido en cada fase de descuento 5 5 (70% ó 7/10 en la primera fase,y 80% ó 4/5 en la segunda fase),y aplicándolos sucesiva- mentecomooperadoresmultiplicativos.Así, el precio en el primer descuento sería:10 x 1.200 = 840 pesos;y en el segundo: 4 x 840 = 672 pesos.O bien,?nalmente,podríamos haber aplicado un solo operador multipli- cativo, el producto de los dos operadores: 7 10 28 50
En el problema anterior, ¿cuál es el descuento de?nitivo que se aplica al precio del vestido en relación con el precio inicial?
Desde luego, hay que rechazar como respuesta la suma de los descuentos pro- gresivos (30% + 20% = 50%)…Tampoco se resuelve aplicando los descuentos como operadores progresivos (como se acaba de hacer con los precios progresivos en cada fase de descuento), porque en este caso se tendría un descuento total de 10 x 2 10 sentido común.
Una forma de resolver el problema es la que utilizamos en la parte ?nal del pro- blema anterior: aplicar el producto de los dos operadores referidos a los precios 56 Esto nos indica que ésa es la relación entre el precio ?nal y el inicial. Por consiguiente,
el descuento final es: 1 – = 100 – 100 100 = , es decir, un 44% [Estos problemas 100 =1).Otambién,sieloperador4/5lleva , y aplicar este operador a 12; así: 5 x 12 3 x 36 = (1 – 1) x 36 = 1 x 36 – 1 x 36 = 12 12 20 5 8 2 x 3 56 56 100 44 pueden resolverse también por la vía del razonamiento proporcional, aplicando la técnica de la regla de tres, como veremos en el próximo Cuaderno].
5.3. Propiedades de la multiplicación de fracciones a)Conmutativa:Elordenenquese multiplican dos fracciones no modi?ca suproducto.Yalomencionamosalcon- siderarlasfraccionescomooperadores. La propiedad también es evidente si ambasseconsiderancomolasmedidas de los lados de un rectángulo.
b) Asociativa: Si hay más de dos factores,elordenprogresivoenque“en- tran”enlamultiplicaciónesindiferente: el resultado siempre es el mismo. En- tendida la multiplicación de fracciones como composición de operadores, esto signi?caqueelresultado?nalnoqueda afectado por el orden de aplicación en que se toman los operadores.
c) Existencia de un elemento re- ductor: Es decir, la fracción 0; cuando multiplica a otra fracción, el producto es 0.
d) Existencia de un elemento neutro: Es decir, la fracción 1; cuando multiplica a una fracción, ésta no varía. 2 5 2 8 e) Existencia de un elemento inverso: Esta es una propiedad nueva conrespectoalcasodelamultiplicación de números naturales. En términos de la fracción como operador, significa que existe un operador inverso para cada uno de los operadores-fracciones (excepto para el 0). Por ejemplo, si el operador 2/3 lleva de 1 a 2/3 (2/3 x 1 = 2/3),eloperador3/2llevade2/3a1( 3 x 2 3 de2/3a8/15( 4 x 3 =15),eloperador5/4 lleva de 8/15 a 2/3 ( 4 x15= 3 ).
Grá?camente: 1 (operador 2/3) 2/3 2/3 (operador 4/5) 8/15 2/3 (operador 5/4) 8/15 1 (operador 3/2) 2/3
Como puede observarse, la fracción inversa de cualquier otra (excepto del 0) se obtiene invirtiendo sus términos, numerador y denominador. Así, la frac- ción inversa de 8/15 es 15/8; la de 1/4 es 4; la de 2 es 1/2; la de 1 es 1, etc. Obsérvese que siempre el producto de una fracción por su inversa es igual a 1, que es el elemento neutro de la multi- plicación.
f) Distributiva con respecto a la suma y a la resta: Cuando uno de los factores es una suma indicada, el otro factor puede multiplicar a cada uno de los sumandos o bien a la suma de los 3 3 3 3 3 3 3 12 12 mismos.Análogamente,cuandounode losfactoresesunarestaindicada,elotro factor puede multiplicar al minuendo y al sustraendo o bien a la diferencia de los mismos.
¿Cuál es el valor de 1 2 de 12? ¿Y el de los 11/12 de 36?
Para obtener “los 1 2 ” de 12, podemos llevar la fracción a su forma impropia:1 2 = 5 3 = 5 x 12 = 20.También puede procederse distributivamente:1 2 x 12 = (1+ 2 ) x 12 = 1×12 + 2 x 12 = 12 + 24 = 12 + 8 = 20.
Análogamente,aplicando el operador: 11 x 36 = 11 12 36 = 33. Pero también puede ser: 11 12 36 – 36 = 36 – 3 = 33.
5.4. La potenciación de fracciones Nosfaltadecirunapalabraacercadela potenciacióndefracciones.Conservando elconceptoquedábamosenelCuaderno nº 6 acerca de la operación, de?nimos la potencia de una fracción (a/b)n como el producto repetido de la fracción a/b por sí misma n veces: (a/b)n = a/b x a/b x … x a/b = an/bn. Por consiguiente, la potencian-ésimadeunafracciónesotra fraccióncuyosnumeradorydenominador
(1/10) = 1/10 = 0,1 (nos referiremos a ellas como 1ª y 2ª, 2:4; 4 : 3; 5 :10 21 sonlaspotenciasn-ésimasdelnumerador y del denominador, respectivamente, de la fracción dada.
Uncasomuyparticulardepotencias de fracciones es el de las fracciones de- cimales,esdecir,lasdelaforma(1/10)n, n=0. Así, si: (1/10)0 = 10/100 = 1/1 = 1 una unidad 1 una décima (1/10)2 = 12/102 = 1/100 = una centésima (1/10)3 = 13/103 = 1/1000 = una milésima n = 0,
n = 1,
n = 2, 0,01 n = 3, 0,001 etc. Como podemos ver, disponemos de otra forma de representación de los de- cimales(verCuadernonº2),entendidos ahora como potencias de fracciones cuya base siempre es la fracción 1/10. Además,elexponentecoincide,encada caso, con el número de decimales de la unidad decimal correspondiente. Las potencias correspondientes a una millonésima, a una cienmilésima y a una diezmilésima son,respectivamente:(1/10)6, (1/10)5 y (1/10)4.
Un número decimal como 0,03 puede representarse ahora como 3 x 0,01 = 3 x (1/10)2.Análogamente 0,582 como 582 x (1/10)3,o como 5 x 1/10 + 8 x (1/10)2 + 2 x (1/10)3,según convenga.
6. La división de fracciones Aligualqueconelrestodelasopera- ciones,tenemosquepreguntarnosporel sentidoquepuedetenerunadivisiónde gidosatressistemasderepresentación en los que cabe efectuar la división de fracciones: al decimal (con expresiones decimales exactas), al numérico (nos centraremos aquí también en éste), y al grá?co continuo (como visualización). Uno de los signi?cados asignables a la división de dos fracciones es el rela- cionado con la comparación de ambas magnitudes, no en el sentido de cuál es la diferencia entre ambas (relación aditiva),sinodecuántasvecesesmayor una con respecto a la otra o de cuántas veces está contenida (“cabe”) una en la otra. Un segundo signi?cado hace alusión al operador inverso derivado de una posible multiplicación previa. Veamos estos dos casos. a fraccionescomo 3 : 3.LlinaresySánchez a?rman que “su vinculación a procedi- mientos o situaciones intuitivas es tan remota que podemos aceptar que no existen” (1988: 151). Sin embargo, sí es posible hallar algún sentido. Pero antes de desarrollar este punto, y como en el caso de la multiplicación, debemos in- dicarquetambiénaquíestamosrestrin- 2 4 Enelprimero,podemosformularnos tres preguntas según sea la relación entre las fracciones que se dividen, b : c d respectivamente): Pregunta Situación Ejemplos ¿Cuántas“veces”cabe la 2ª fracción en la 1ª?
¿Cuál es la enésima parte de la 1ª fracción?
¿Qué parte de la 2ª fracción cabe en la 1ª? 1ª fracción = 2ª fracción
La 2ª fracción es entera
1ª fracción < 2ª fracción 3 2 3 3 3 6 :2; 7 :4; 1 :1/2; 5 : 2 ; 9 3 2 4 8
6 :2; 7 :4; 2 :6; 4 :9; 1/4 :3; 9:4
2 :6; 4 :9; 1: 4; 1/4 :3; 2: 4
: 4,sabemosquesuresultadodebeser 22 ¦ ¦ ? ? ¦ ¦ ? ? ¦ ¦ ? ? ¦ ¦ ? veces: 1 1 1 1 1 1 1 1/2 La grá?ca nos muestra que 2/3 cabe “7 veces y media” en 5; es decir, 5 : 2= 7 1/2 = 15.
b) 2 : 3. La pregunta ahora es qué parte de 3/4 cabe en 2/3 (puesto que 2/3 < 3/4). Si –con el ?n de poder compararlas– llevamos ambas fracciones a sus repre- sentaciones equivalentes de igual denominador, 8/12 y 9/12, respectivamente:
vemos que de las 9 cuadrículas de 3/4 (en su forma 9/12) sólo caben 8 en 2/3 (en su forma 8/12). Es decir, que sólo 8/9 de 3/4 están contenidos en 2/3. Por lo tanto, 2/3 (operador 4/5) 8/15 2/3 (operador 5/4) 8/15 la utilizada en la multiplicación previa (4/5). La“regla”paradividirfraccioneses, pues, sencilla: se multiplica la primera porlafraccióninversadelasegunda.La regla derivada –se multiplican en cruz numeradores y denominadores– debe ser, en todo caso, descubierta por los propios aprendices… 3 Veamos grá?camente el sentido de un par de los ejemplos dados: a) 5 : 2 ; y b) 3 : 3.
a) 5 : 2/3.Gra?camoslas5unidadesconcatenadasydivididasen3cuadrículas cada una:
Vamosa“ver”cuántasvecesestácontenido2/3(representadoalternativamente por ¦¦ y ?? para ayudarnos en la visualización) en el espacio de las 5 unidades: 2 4 3 2 3 4 2 3 4 8 : 3= 9. 3 2 2 Si ahora analizamos ambos resultados descubrimos que: 5 : 2 = 15 = 5 x 3 , y que 3 : 3 = 8 = 3 x 4 . En otras palabras, el resultado de dividir una fracción entre otra coincide con el resultado de multiplicar la primera por la fracción inversa de la segunda.
Ya hemos conseguido una forma de obtener el resultado de la división de dos fracciones, pero todavía tenemos que profundizar en su signi?cado. Para ello nos remitimos al terreno de las fracciones como operadores multiplicativos. En uno de 2 4 9 2 3 3 5 8 los ejemplos mostrábamos que 2 x 4= 15 podía entenderse como la acción de la fracción-operador4/5sobrelafracción- estado2/3parallegaralafracción-esta- do8/15.Siahoraplanteamosladivisión 8 15 5 2/3(porelcarácteropuestoqueposeen ambasoperaciones).Pero,comolomos- trábamos grá?camente, 8 5 8 4 2 de8/15pasamosa2/3porlaaccióndel operador multiplicativo 5/4 (inverso de la fracción-operador 4/5); es decir,15 : 4 = 15x 5 = 3 .
Por lo tanto, dividir una fracción- estado (8/15) entre una fracción-ope- rador (5/4) para llegar a una segunda fracción-estado (2/3) representa la “operación” inversa de una multipli- cación previa, y equivale a multiplicar la primera fracción-estado (8/15) por la fracción-operador inversa (5/4) de
: f) 16: 3 g) x 21 h) 11:15 3 es 6? 3 23 3 5 7 7 24. ¿Cuántas unidades hay que agregar al denominador de 2/3 para que la fracción se reduzca a su mitad?
Probablemente los lectores ya han percibi- do que la división entre fracciones no tiene restricciones (salvo que la segunda fracción no puede ser 0):siempre se puede efectuar, no importa si la primera fracción es mayor, igual o menor que la segunda, y el resulta- do es siempre otra fracción. Es decir, toda fracción (excepto 0) “divide” a cualquier otra, y cualquiera de ellas es“dividida” por todas las demás (excepto por 0). Por esta razón no se habla de “divisibilidad” entre fracciones como algo singular y restringido, como ocurría con los números naturales; aquínonecesitamosunCuadernoadicional sobre ese tema…
Una última palabra sobre las opera- ciones de multiplicar y dividir fraccio- nes: necesitamos familiarizarnos tam- biénconellas,aplicarlasmentalmentey noenredarnostantoconreglasescritas. Porejemplo:la“mitad”(entendidacomo dividir entre 2, o multiplicar por 1/2) de unafracciónpuedeobtenerseduplican- do el denominador (la mitad de 3/5 es 3/10) o bien reduciendo el numerador a su mitad, si es par (la mitad de 6/7 es 3/7). Análogamente, el “triple” de una fracción puede obtenerse triplicando el numerador(eltriplede3/5es9/5)obien 2 3 3 x 3 8 5 5 14 1 3 5 7 3 9 Siel150%deunnúmeroes225,¿cuál es el número?
Considerando a 150% como la fracción 150/100 = 3/2,el enunciado nos describe la situacióndeunamagnitudinicialdesconoci- da, a la cual se aplica el operador 3/2 para llegar al resultado 225. Para “regresarnos” de aquí hacia la magnitud desconocida debemos aplicar el operador inverso 2/3 a 225; es decir, 2x 225 = 2 x3225 = 150. [Este problema también puede resolverse me- diante la aplicación de la técnica de la regla de tres, como veremos en el Cuaderno siguiente].
21. Dos quintas partes de un número es el doble de 15.¿Cuál es el número?
¿Cuántas veces 3/4 es 18?
Evidentemente, se trata de dividir 18 : 4 = 18 x 4= 183 4 = 24 veces.
22.Resuelva: 2:3; 1:7; 2 3/4 :1/2; 7 :15; 1 5 : 3 2; 1:1; 0 : 8 ; 6 : 1; 1 : 3 ; 4 : 8 ; 0,83 : 0,1; ¿cuántas veces 4 5
23. ¿Cuál es el valor de la mitad de (1/2 :1/2)? 1 5 8 3 3 1 reduciendoeldenominadorasutercera parte, si es múltiplo de 3 (el triple de 7/15 es 7/5). Y así en los demás casos.
Resuelva mentalmente las siguientes operaciones: la mitad de 2/3; cuatro veces 5/12;la quinta parte de 10/11; lasextapartede2/3;eldoblede7/10; cinco veces 7/25;2/5 :3/4
Indique cuáles de los resultados de estas operaciones tienen un valor aproximado a1(intenteresolverlomentalmente):a) 3 x4 b) 6:7 c)10x 3 d) 1 5x 4 e) 3 2 5 3
7. La resolución de problemas en el campo de las fracciones En el campo de las fracciones, los problemas pueden referirse a la utiliza- ción del concepto de fracción y de sus diversas representaciones, así como al uso de las operaciones con fracciones. Todo ello en situaciones abstractas –referidasalasrepresentacionessimbó- licas de las fracciones– o de aplicación a contextos de la vida diaria. Vamos a plantear algunos de estos tipos de problemas. Lo que sugerimos a nues- tros lectores es que, una vez leído el enunciado de cada situación, intenten resolver el problema por cuenta propia, antes de revisar la vía de solución que se presenta posteriormente.
24 a)Vaciando 18 litros de gasolina en el tanque de un carro, el indicador del nivel de gasolina pasa de 1/4 a 5/8 de tanque.¿Cuál es la capacidad total del tanque?
b) Después de gastar 1/5 del sueldo en ropa, 1/4 en comida, 1/3 en alquiler y 1/6 en otros gastos, me quedaron 120 pesos.¿Cuál es mi sueldo?
c) El promedio de tres fracciones es 1. Si dos de las fracciones son 6/5 y 3/2,¿cuál es la otra fracción?
d)Unequipodefútbol tiene que ganar, al menos, 3/5 de todos sus partidos si quiere pasar a la fase ?nal. Hasta ahora, de 12 partidos sólo ha gana- do el 50%.Si faltan 13 partidos,¿cuántosdeéstosdebeganar,al menos,para clasi?car a la fase ?nal?
e) Los alumnos de noveno grado de una escuela obtienen los siguientes re- sultadosenunapruebasobre20puntos: 30%salenaplazados;1/4,connotasen- tre10y13puntos(ambaspuntuaciones incluidas);15 alumnos,con notas entre 14 y 17 puntos (ambas puntuaciones incluidas);y1/5,connotasentre18y20 puntos (ambas puntuaciones incluidas). Decida si son verdaderas o falsas las siguientes a?rmaciones: a) Hay 15% de alumnos con notas entre 14 y 17 puntos b) Hay un total de 90 alumnos de noveno grado c) 7/10 de los alumnos aprobaron d) Hay un total de 60 alumnos de noveno grado e) Hay 25% de alumnos con notas entre 14 y 17 puntos f) El número de alumnos que sacaron entre 10 y 13 puntos es mayor que el de los alumnos que sacaron entre 14 y 17 puntos g) Hay un total de 80 alumnos de noveno grado
f) ¿Cuál es el 50% del 150% de 50?
g) Un pastel se cor- taquitandocadavez latercerapartedel pastel que hay en el momento de cor- tarlo.¿Qué fracción del pastel original queda después de efectuar tres cortes sucesivos?
h) Llevo dos días leyendo una novela. Ayer leí la mitad del libro y hoy la ter- cera parte de lo que me quedaba.¿Qué fracción del libro me falta por leer?
i) Una piscina vacía se llena con el agua de un grifo en 2 horas y,una vez llena, puede vaciarse en 3 horas por undesagüeubicadoenelfondo.Sicon la piscina vacía y el desagüe abierto, alguien, distraídamente, abre el grifo, ¿alcabodecuántotiempoempezaráa desbordarse el agua de la piscina?
j) El número de viviendas de una urbani- zación es tal que si se vende la cuarta parte,quedan por vender menos de 118; pero si se vende la tercera parte, que- darían por vender más de 103.¿Cuántas viviendas tiene la urbanización?
k) Hallar la fracción que veri?ca si- multáneamente: – la diferencia denominador-nume- rador es 3 – la fracción es menor que 3/5 – la fracción es mayor que 11/20
l) En un salón hay 99 niñas y 1 niño. ¿Cuántas niñas tienen que salir del salón para que las que queden representen el 98% del total de infantes que quedan en el salón?
m) Un padre reparte 96.000 pesos entre sus dos hijos,de modo que los 3/7 de lo que le da al mayor equivalen
– 2= 3. Si 3 oc- 8 8 .Lo que falta para llegar a 3 es:3 – 27 = 30 10 10 25 27 3 a los 3/5 de lo que recibe el menor. ¿Cuánto recibe cada hijo?
n) Tres vendedores llegan a la playa con sendos bidones de limonada, con distintas cantidades de líquido en cada uno.Paraconseguirlamismacantidaden los tres haría falta tomar 1/3 del primer bidón y agregárselo al segundo;después, pasar 1/4 del nuevo contenido de éste al tercero y,?nalmente,llevar 1/10 de este último al primero.Con ello se conseguiría que en cada bidón hubiese 9 litros de li- monada.¿Quécantidadderefrescohabía inicialmente en cada envase?
ñ) Por mudarse de vivienda, Rafael vende un armario y una cama, cada uno a 600 pesos. El armario se vende un 20% por encima de su precio de costo, mientras que la cama, un 20% por debajo de su pre- cio de costo.Rafael piensa que así ni gana ni pierde respecto a lo que le costaron ambos muebles. ¿Está en lo cierto?
o) En un alma– cén se produjo una invasión de insectos dañinos. A pesar de que se fumigó con un determina- do producto, los insectos no han desaparecido. Consultadosobre el caso, otro ex- perto asegura que ese insecticida pierde cada semana un 25% de la toxicidad que mostraba la semana anterior. Si, actualmente,el insecticida ya ha llegado a tener menos del 20% del agente tóxico que mata a los insectos, ¿hace cuántas semanas que se fumigó?
p)Adela gana 120 pesos diarios,más el 4% sobre el monto de las ventas del día. Al cabo de 18 días labora- les recibe 4.220 pesos. ¿Cuál fue el monto total de las ventas durante esos días?
Vamos,pues,areportaralgunasvías desoluciónparapodercontrastarlascon las que hemos podido obtener entre todos. 8 4 5 4 3 6 60 60 60 60 60 20 20 1 6 2 12 15 a) La variación en el indicador del tanque de gasolina viene dada por la resta 5 – 1, es decir, por la resta 5 8 tavos de tanque equivalen a 18 litros, 1 octavo corresponde a 6 litros, y 8 octavos –el tanque lleno–, a 8 x 6 = 48 litros. Obsérvese el uso de la representa- ción verbal (3, 1 u 8 octavos) de las fracciones…
b) Se trata de ver qué parte del sueldo (el todo) se ha gastado e identi?car lo no gas– tado con los 120 pesos. El monto gastado viene de la suma: 1 + 1+ 1+ 1= 12+ 15+ 20 + 10= 57= 19.Lo que queda por gastar es 1 – 19=20.Si un veinteavo del sueldo equivale a 120 pesos,es fácil ver que el sueldo total es de 20 x 120 = 2.400 pesos.
c) Que el promedio de las tres fracciones sea 1 signi?ca que su suma,dividida entre 3, es igual a 1.Por consiguiente,la suma de las tresfraccionesdebeseriguala3.Ahorabien, la suma de las dos dadas es: 5 + 3= 10+ 10= 27 10 – 10 =10.También se podían haber utilizado los valores decimales de las fracciones 6 + 3: 5 2
x 2 3= 9 2 x 2 3x 1 = (2/3)3 x 1 = 8/27 del pastel inicial. Obsérvese la similitud de esta solución con 26 = 1,2 + 1,5 = 2,7;ahora lo que falta para 3 es 0,3,que equivale a la fracción 3/10.
d) De los datos del problema deducimos algunos valores de interés: – se juegan 25 (12 + 13) partidos – se deben ganar: 3/5 x 25 partidos = 15 partidos – hasta ahora se han ganado: 50% x 12 partidos = 1/2 x 12 partidos = 6 partidos Por consiguiente,hay que ganar al menos 9 de los 13 partidos restantes.
e) Leído con atención el enunciado, se ve que antes de responder a cada una de las a?rmaciones es preciso conocer por completo la distribución de los alumnos por rangos de notas.Para ello disponemos de los datos en forma numérica:3/10 apla- zados; 1/4 entre 10 y 13 puntos; 1/5 entre 3 3 14 y 17 puntos. Si la cuarta parte del total es 15, este total está formado por 4 x 15 = 60 alumnos de noveno grado.
Ahora sabemos que la distribución de alumnos es:18 aplazados (30% ó 3/10),15 entre 10 y 13 puntos (1/4), 15 entre 14 y 17 puntos (1/4) y 12 entre 18 y 20 puntos (1/5). A partir de aquí puede decidirse acerca de la veracidad de cada a?rmación.
f) Si consideramos los porcentajes como fracciones, el problema se enunciaría: ¿Cuánto es la mitad (50%) de los 3/2 (150%) de 50? Cuestión que se resuelve –como ya sabemos– considerando ambas fracciones como operadores, lo que nos lleva a la multiplicación: (1/2 x 3) x 50 = 3 x 50 = 3 x 50 = 150/4 = 75/2 [El problema también puede resolverse en el campo de la proporcionalidad, como veremos en el Cuaderno nº 11].
g) Vamos a seguir el proceso de cortes sucesivos del pastel mediante la siguiente tabla: Corte nº Porción cortada Porción inicial del pastel Porción restante del pastel original 1
2 1
2/3 1 – 1= 2
– 2 = 6– 2 = 4 3 4/9 h) Una manera sencilla de resol- ver el problema es imaginando el número de pá- ginas que pueda tener el libro. Su- pongamos que son 60. Entonces, ayer leí 30 (la mi- tad) y hoy, 10 (la tercera parte de las 30 que me quedaban).Así, me faltan por leer 20 páginas, que representan 1/3 de las 60 que contiene el libro. Esta fracción se conserva, cualquiera que sea el número de páginas del libro (puede veri?carlo con otros números). 3 3 2 3 9 9 9 9 4 9 4 27 4 8 – 27= 12– 27=27 1/3 x 1 = 1/3
1 3 1 3 9 4 x 4 =27 3 1 1 6 5 4 20 18 y 20 puntos.Entre estos tres rangos de alumnos tenemos:10 + 4 + 5 = 20+ 20+ 20= 15 = 4 . Luego la cuarta parte (1 – 4 = 1/4) equivale a los 15 alumnos con notas entre 4 2 4 3 Así, después del tercer corte queda una porción equivalente a 8/27 del pastel original. El problema podría haberse resuelto más directamente si hubiéramos considerado la parte del pastel que “queda” después de cada corte (y no la que se “quita”…). Esta parte que queda es 2/3 de cada porción inicial. Esta fracción actúa como operador en cada corte. Así, si la porción inicial es 1 (el pastel completo), la que queda después de 3 cortes es: 2x 2 3 la planteada en el problema b).
27 Uno de los métodos para resolver el pro- blema es,de nuevo,el de ensayo y ajuste a partir de los múltiplos de 12 cuyos 3/4 sean menores que 118 (1ª condición) y cuyos 2/3 sean mayores que 103 (2ª condición). Así, podemos probar con el número 120 (cumple la 1ª condición,pero no la 2ª),con el número 180 (cumple la 2ª condición, pero no la 1ª) y con otros, hasta llegar a la respuesta: 156. En efecto, 3x 156 = 117 < 118,y 2x 156 = 104 > 103.La urbanización cuenta con 156 viviendas.
k) Si nos referimos a los valores decimales de las fracciones,la 2ª y 3ª condiciones nos aseguranqueelvalordelafracciónbuscada se halla entre 0,55 (11/20) y 0,6 (3/5). Por lo tanto, es un valor ligeramente superior a 1/2, lo que nos sugiere la presencia de fracciones cuyo numerador es ligeramente mayor que la mitad del denominador. De este tipo son las fracciones:3/5,4/6,4/7,5/8, 5/9, 6/10, 6/11, etc. Si consideramos ahora la 1ª condición,la selección se reduce a 4/7 y 5/8, y el ensayo nos deja la única opción, 4/7,cuyo valor decimal es 0,571…
l) El porcentaje inicial de niñas es del 99% (99 niñas y 1 niño). Pudiera pensarse –de una forma muy “automática”– que basta retirar a 1 niña para alcanzar el porcen- taje deseado del 98%. Pero si se hace así, quedarían en el salón 98 niñas y 1 niño (99 infantes), con lo cual el porcentaje de niñas sería (98/99) x 100%,que es 98,989%, mayor que 98%.Está claro,pues,que deben retirarse más niñas.
Para saber cuántas, observemos que el denominador de la fracción que va a dar el porcentaje va a ser 1 unidad mayor que el numerador de dicha fracción. Por otro lado,el porcentaje ?nal que se desea (98%), representado como fracción numérica, es 98/100, que es equivalente a 49/50. Esta fracción cumple con la condición anterior. Por lo tanto, deben retirarse 50 niñas del salón para que las 49 restantes represen- ten el 98% de todos (50) los infantes del salón.
m) De acuerdo con el enunciado, el her- manomayorrecibemayorasignaciónqueel menor.Vamosarepresentarlasituacióngrá- ?camente.Para ello,tomaremos la cantidad recibida por el mayor como un rectángulo dividido en 7 cuadrículas congruentes, y la recibida por el menor,como un rectángulo dividido en 5 cuadrículas congruentes:
Recibido por el hermano mayor:
Recibido por el hermano menor:
Las cuadrículas son del mismo tamaño puesto que el contenido de las tres pri- 3 1 1 2 1 3 6 6 6 6 6 2 3 3 6 1 También puede resolverse a partir de las fracciones indicadas:Si ayer leí la mitad,para hoy me quedaba 1/2 del libro; leer 1/3 de esta mitad signi?ca considerar 1/3 como operador de 1/2 (o dividir 1/2 entre 3): hoy he leído 1x 2 = 6 de todo el libro. Por consiguiente, llevo leído 1 + 6 del libro, es decir, 6+ 1 = 4del libro.Me falta:1 – 4= 6 – 4 = 2 = 1/3 del libro [Trate ahora de resolver el problema grá?camente…].
i)Segúnelenunciado,elritmodellenadode la piscina es superior al ritmo de su vaciado; por consiguiente,en la situación indicada la piscina empezará a llenarse lentamente y se desbordaráapartirdelmomentoenquese llene completamente.Una forma de llegar a larespuestaespreguntándonosquéocurre, por ejemplo,en una hora.De acuerdo con los datos,en 1 hora se llena 1/2 de la piscina y se vacía 1/3 de la misma. La cantidad de agua que queda al cabo de una hora viene dadaporlaresta 1– 1= 6– 2 = 6 delapiscina. Por lo tanto,se llenará en 6 horas y a partir de ahí empezará a desbordarse.
j) El primer dato de la venta nos indica que los 3/4 del número de viviendas es menor que 118;y el segundo dato,que los 2/3 del número de viviendas es mayor que 103.Además,si puede hablarse tanto de la 4ª como de la 3ª parte, concluimos que el número de viviendas de la urbanización es un múltiplo de 12. 4 3
28 meras del mayor debe ser igual al de las tres primeras del menor,con lo que debe ser igual en todas.Ahora percibimos que el padre debe“distribuir”equitativamente los 96.000 pesos en 12 cuadrículas,por lo que en cada una de ellas se depositarán 96.000 : 12 = 800 pesos. De modo que el mayor percibirá 7 x 800 pesos = 5.600 pesos y el menor, 5 x 800 pesos = 4.000 pesos.
n) Podemos representar todo el proceso en 4 pasos, si consideramos la situación inicial como el paso 1. En la siguiente tabla se muestra la situación ?nal: Paso nº
4 Situación resultado Bidón 1 Bidón 2 Bidón 3 9 9 9 La última acción, la que lleva a la situación ?nal, afecta a los bidones 1 y 3. Para inferir la situación anterior, pensemos que el bidón 3 tenía tal cantidad de líquido que al extraerle 1/10 llegó a 9 litros: estos 9 litros representan,pues,9/10 de la cantidad anterior; fácilmente se desprende que tal cantidad era de 10 litros,de la que se sacó 1 litro (1/10) para verterlo en el bidón 1. Consecuentemente, éste tenía 8 litros en ese momento.He aquí la tabla con la infor- mación de los dos últimos pasos:
Procediendo de una manera análoga para los demás pasos se llega a completar la tabla anterior, que describe así todo el proceso: Paso nº
4 Situación resultado Bidón 1 Bidón 2 Bidón 3 9 9 9 3 2 1 8 8 12 9 12 8 10 7 7 ¿Se le ocurre otra serie similar de trans- formaciones –dadas en forma de fraccio- nes– que puedan llevar la distribución de limonada desde la situación inicial hasta la ?nal?
ñ)Conocemos los precios de venta deam- bos muebles:600 pesos;vamos a averiguar sus precios de compra.Como el armario se vende al 120% (6/5) de su precio de costo,aplicamos a 600 el operador inverso 5/6, con lo que llegamos a: 600 x 5= 500 pesos.Rafael gana100 pesos en esta venta.
Análogamente, la cama se vende al 80% (4/5) de su precio de costo; para saber su precio de compra, aplicamos a 600 el operador inver- so 5/4, con lo que llegamos a: 600 x 5 = 750 pesos. Rafael pierde 150 pesos en la venta de la cama. Así que, en conjunto, Rafael pierde 50 pesos en esta venta simultánea.
o) El procedi- miento de re- solución pue- de consistir en averiguar con qué porcenta- je de toxicidad trabaja el in- secticida cada semana(75% delaquemostrabalasemana anterior), y detectar así en qué semana se ubica tal porcentaje por debajo del 20%. Ese proceso puede recogerse en la siguiente tabla: 4 6
29 Por consiguiente,la observación del porcentaje de toxicidad por debajo del 20% ocurre al comienzo de la 7ª semana.En ese momento,hace 6 semanas que se fumigó. p) En sus 18 días laborales,Adela ha percibido 18 x 120 = 2.160 pesos por concepto de salarios diarios ?jos.Por lo tanto,por concepto de porcentajes sobre el monto de las ven- tas del día ha recibido 4.220 – 2.160 = 2.060 pesos, correspondientes al 4% de comisión sobre las ventas. Para conocer el monto total de estas ventas podemos aplicar a 2.060 pesos el operador inverso al 4%,es decir,100/4 que es 25.El monto de las ventas será:2.060 x 25 = 51.500 pesos. 8. Y ahora, otros ejercicios “para la casa”… 25.Decida si cada una de las siguien- tes proposiciones es verdadera o falsa: a) El valor de una fracción no va- ría si se multiplican numerador y denominador por una misma cantidad > 1 b) Ídem,si se suma o resta una misma cantidad > 0 al numerador y al denominador c) La suma de dos fracciones propias es siempre mayor que la unidad d)Lasumadedosfraccionesessiem- pre mayor que cada una de ellas e)Lasumadedosfraccionespropiasno puede ser nunca un número entero f) En alguna oportunidad,el producto de dos fracciones puede ser igual a una de ellas g) Al dividir una fracción entre otra, elresultadonuncapuedesermayor que la primera fracción h) Al multiplicar dos fracciones, el producto siempre es mayor que cada una de ellas
26. La suma de una fracción y su inversa es17/4yladiferenciaentreambas,15/4. ¿Cuáles son las fracciones?
27. Rosa ha pasado 2/5 de sus vaca- ciones en la casa de su hermano;1/3, en la de su abuelita; 1/5, en un cam- pamento, y 3 días de retiro. ¿Cuánto duraron sus vacaciones? 28. El 70% de los habitantes de un país habla un idio- ma y el 60% de los mismos habitantes habla otro idioma. Si cada habitante habla al menos1idioma,¿quéporcentaje de los mismos habla los dos idiomas? 29. ¿Cuántas veces contiene 2 a 1/2? ¿Y 3 a 1/3? ¿Y 4 a 1/4? ¿Y n a 1/n?
30. Si a los 2/3 de un número se le suman 24 unidades, se obtiene el doble del número. ¿De qué número se trata?
31. Si en una fracción impropia se restan 2 unidades al numerador y al denominador(supongaquepuedeha- cerlo),¿lafracciónresultanteesmenor ¿Sí? ¡Oui!
30 Referencias bibliográ?cas
– Dienes, Z. P. (1972). Fracciones. Barcelona: Teide. -Llinares,S.ySánchez,M.V.(1988). Fracciones. La relación parte-todo. Ma- drid: Síntesis.
Respuestas de los ejercicios propuestos 1. Las expresiones e) y h) 2. 36 libros 3. 1 2 , 3 1 , 10 1 4. 49 objetos 5. 4,75; 0,46; 1,227 6. 2213/1100, 15/4, 22/45,53/997.a)5b)5/2c)1d)400% e) 1000% f) 60% 8. 4/7, 7/5, 3/2 9. No; Sí 10. 13/20 < 2/3; 26/10 < 21/8; 0,45 < 5/11 11. a) 22/15 b) 3,83 c) 31/9 d) 163/315e)1f)112.m = 0,n:cualquier entero >0 13. 3 14. a) 7/15 b) 1/2 c) 1/9 d) 0,87 e) 1/4 f) 0 15. 2 5/8 m 16. 50 kg 17. 14 1/2 años 18. 5/48 19. 1 1/4 20. 5 litros 21. 75 22. 1/4; 1/35; 11/2; 2/3; 18/55; 7/5; 0; 54; 3/5; 2; 15/2; 2 1/2 veces 23. 1/2 24. 3 25. Verdaderas: a, f 26. 4 y 1/4 27. 45 días 28.30%29.4veces;9veces;16veces; n2 veces 30. 18 31. Mayor; menor 32. 3/5, 7/10, 4/5 y 9/10 33. 3 kilos 34. Un lado:1,1/6,5/6;otrolado:5/6,1/2,2/3; tercerlado:2/3,1/3,135.12;24;36;48 36. 10 km 37. 19, 20 y 21 38. 20 y 30 39. 30 solicitudes 40. 1/4 41. En 105 años (recuerde que ya hemos perdido “medio” ambiente) o mayor que la inicial? ¿Y si se hace lo mismo en una fracción propia?
32.Interpole 4 fracciones entre 1/2 y 1. Hágalo como lo desee.
33.Se coloca un pastel sobre un plato de la balanza y se equilibra con las 3/4 partesdeunpastelsimilar,másunpeso de 3/4 de kg.¿Cuánto pesa el pastel?
34.Dibujeuntriánguloequiláteroytrace unos círculos pequeños en sus vértices y en la mitad de sus tres lados. Se trata ahora de colocar dentro de cada uno de esos círculos una de las siguientes fracciones:1/6,1/3,1/2,2/3,5/6 y 1,de tal modo que la suma de las fracciones colocadasencadaladodeltriángulo(dos vértices y una posición central) sea 2.
Dadas dos fracciones distintas,forma- mos una nueva cuyo numerador es la suma de los numeradores de las dos fracciones dadas y cuyo denominador eslasumadelosdenominadoresdelas mismas fracciones.Veri?que con diver- sos ejemplos si el valor de esta nueva fracción está comprendido entre los valores de las dos fracciones iniciales.
35. Halle los números de dos cifras (escritos en la forma AB) tales que,si se les suman los 3/4 del propio número,se obtiene el número BA. 36. Llevo recorridos 7/15 de un camino y aún me falta 1/3 de km para llegar a la mitad.¿Cuáleslalon- gitud del camino?
37. Tres números naturales consecuti- vos son tales que 2/3 del mayor más 2/5 del intermedio suman igual que el menor más 3 unidades. ¿Cuáles son los números?
38. El 30% de un número es igual al 20% de otro número. Averiguar cuá- les son,si ambos números suman 50.
39. Se ha recibido un determinado nú- mero de solicitudes para un empleo. La mitadhasidorechazadapornocumplir los requisitos. Otros 3 candidatos se ex- cluyen después de la entrevista.El resto, 2/5 del número inicial de candidatos, pasa a otra etapa de selección.¿Cuántas solicitudes se recibieron?
40.Hallar la mitad de los tres cuartos de dos tercios.
41. He aquí un problema ¿irreal? Si, a partir de hoy y en 35 años, el “medio” ambiente (1/2) actual pasa a ser un “tercio”deambiente(1/3),ysisesigueal mismo ritmo de destrucción,¿en cuánto tiempo llegaremos a no tener “ningún” ambiente (0)? 5 6 2
Posdata: El desarrollo del sentido numérico La presencia del conjunto de las fracciones nos permite disponer de un nuevo sistema de representación para los números, particularmente para los decimales. Y, consiguientemente, una alternativa adicional para realizar algunas operaciones. Así, por ejemplo, si tenemos que calcular (6,5)2, podemos proceder: a) por la multiplicación directa habitual: 6,5 x 6,5 = … = 42,25 b)aplicando las propiedades de la multiplicación: 6,5 x 6,5 = (6 + 0,5) x 6,5 = 6 x 6,5 + 0,5 x 6,5 = 39 + 3,25 = 42, 25 c) por la vía del cuadrado de una suma (Cuaderno nº 6): (6,5)2= (6 + 0,5)2 = 62 + 2 x 6 x 0,5 + (0,5)2 = 36 + 6 + 0,25 = 42,25 d)por la vía del cuadrado de una fracción: (6,5)2= (65/10)2 = (13/2)2 = 132/22 = 169/4 = 42 1/4 = 42 + 0,25 = 42,25 La capacidad para representarse un número (como 6,5) de diversas formas, para optar por una de ellas según sea la operación o actividad exigida, y para poder operar con soltura–y mentalmente– en esta diversidad,es una de las destrezas que tenemos que lograr. De quienes la han alcanzado se dice que han desarrollado un marcado sentido numérico. Y en rigor, el objetivo del aprendizaje de la aritmética es el desarrollo del sentido numérico de los aprendices.
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