Si las fracciones vienen expresadas encualquierotrosistema,lamaneramás sencilla de determinar cuál es la mayor de dos dadas es –como ya lo decíamos en el Cuaderno anterior– traducirlas a su expresión decimal y decidir en con- secuencia. De todas formas, vamos a exploraralgúnotroprocedimiento–den- trodelpropiosistemaderepresentación numérico– para el caso de fracciones expresadas en este sistema.
Si las fracciones poseen el mismo denominador, tampoco hay problema alguno:bastacompararlosnumeradores ydecidirenconsecuencia.Así,6/13es mayor que 5/13 porque en la primera se consideran más partes congruentes deltodoqueenlasegunda.Elproblema puede presentarse cuando las fraccio- nes poseen denominadores distintos. Reducir dos fracciones a un denomina- dor común consiste en hallar un par de fracciones respectivamente equivalentes a cada una de ellas y que posean el mismo denominador.La prioridad está,pues,en la búsqueda de ese denominador. Por lo que dijimos en el Cuaderno anterior acerca de lasfraccionesequivalentes,esedenominador común debe ser fruto de una ampli?cación de los dos dados (o, al menos, de uno de ellos),lo que signi?ca que ha de ser múltiplo de ambos. Es decir, común. El primero que satisfacelacondicióndesermúltiplocomún es,precisamente,elmínimomúltiplocomún. Por consiguiente, el denominador común más pequeño es el mínimo múltiplo común de los dos denominadores dados.
Al dividir ese denominador común entre cada uno de los denominadores iniciales logramos descubrir cuál es el factor de ampli?cación que se va a utilizar en cada fracción.Si ahora lo aplicamos a los respec- tivos numeradores, conseguiremos las dos fracciones equivalentes a las dos iniciales,y con un denominador común. 3 1 7 15 44 11 En el ejemplo anterior (11y 4 ),para buscar las fracciones equivalentes hallamos prime- ro el denominador común:m.m.c.(11,4) = 44.Elfactordeampli?caciónparalaprimera fracción es 44 :11 = 4,y para la segunda,44 :4=11.Losrespectivosnumeradoresserán: 4 x 3 = 12,y 11 x 1 = 11.Las dos fracciones equivalentes son, respectivamente, 12 y 44. Ahora se“ve”que 3/11 es mayor que 1/4.
No siempre el m.m.c. de los dos deno- minadores coincide con su producto (ya sabemos que esto sólo ocurre cuando los dos números son primos relativos, como vimos en el Cuaderno nº 8). Por ejemplo, para el caso de 12y 28, se tiene: m.m.c.(12, 28) = 84. El factor de ampli?cación para la primera fracción es 84 : 12 = 7, y para la segunda, 84 : 28 = 3. Los respectivos numeradores serán: 7 x 7 = 49, y 3 x 15 = 45. Las dos fracciones equivalentes son, respectivamente, 49 y 45 .Y“se ve”que 7/12 es mayor que 15/28.
También puede darse el caso de que uno de los denominadores sea múltiplo del 84 84 Tomemos el ejemplo de las fracciones 1 4 hay más”, pero la vía de averiguación luce evidente: llevemos las dos fraccio- nes a un denominador común.
La magia del denominador común
respectivamente,128 y128.Sesigueviendoque 8 ni exclusivamente,sin otra explicación.Esta presentación sólo memorística y formulista no lleva al encuentro con la verdadera matemática…
Una última consideración acerca de la ra- zón por la que se sugiere acudir siempre al mecanismo de la búsqueda del m.m.c. de los denominadores, y no conformarse con (y tener que “cargar”) múltiplos mayores: por economía.Por ejemplo,cuando se trata de mangos y de naranjas, el denominador comúninmediatoes“frutas”;otrodenomina- dormás“amplio”,queincluyealanterior,sería “productos vegetales”; y otro, todavía más amplio,sería“objetos de la naturaleza”.Si no hayrequerimientosagregados,essu?cientey más preciso el denominador frutas.
Lo mismo ocurre con el denominador obtenido por la vía del m.m.c. de los denominadores dados: es más preciso y 3 a c a c 3 16 27 32 b c b c su?ciente.Si se utilizan denominadores más “amplios”(múltiplos del m.m.c.),llegaremos afraccionesequivalentesmásabultadas,más “molestas”para manejar…
Por ejemplo,en el caso de 4 y 32,si se toma por denominador común el producto 4 x 32 = 128,el factor de ampli?cación para la primera fracción sería 128 : 4 = 32, y para la segunda, 128 : 32 = 4. Los respectivos numeradores serían: 32 x 3 = 96, y 4 x 23 = 92.Las dos fracciones equivalentes serían, 96 92 3/4 es mayor que 23/32, pero los cálculos han sido algo más engorrosos y las fraccio- nes ?nales más abultadas. Imaginemos si se tratara de denominadores aún mayores…
Y ya que hablamos de economía,tampoco está de sobra advertir que si las fracciones que se desea ordenar no vienen en for- mato irreducible, conviene llevarlas a tal formato.Así,por ejemplo,para comparar 20 y 36, lo primero que hacemos es observar que ambas son reducibles, simpli?cables: la primera se reduce a 4/5,y la segunda a 3/4. Ahora sí se puede buscar el denominador común, que será 20 (y no 180, como se hubiera obtenido al calcular m.m.c.(20, 36)…), y continuar. Sin olvidar nunca que disponemos del recurso de comparación de los decimales correspondientes,que en este caso nos dice que 27/36 (3/4 = 0,75) es menor que 16/20 (4/5 = 0,8). otro, con lo cual el primero pasa a ser el denominador común. Por ejemplo, para el caso de 4 y 23 se tiene: m.m.c.(4,32) = 32. El factor de ampli?cación para la primera fracción es 32 :4 = 8, y para la segunda, 1. Los respectivos numeradores serán: 8 x 3 = 24, y 1 x 23 = 23. Las dos fracciones equivalentes son, respectivamente, 24 y 23 . “Se ve”que 3/4 es mayor que 23/32.
La búsqueda de fracciones equivalentes a dos (o más) dadas es una actividad muy útil para tareas como comparar (la que nos ocupa ahora), sumar o restar fracciones o resolverproblemasqueimpliquenelusode fracciones (como veremos más adelante); debe,pues,convertirse en algo muy familiar, casi rutinario, pero sin que esto implique perder el sentido de lo que se hace.
Por ello se sugiere utilizar el mecanismo de la búsqueda del m.m.c.de los denominado- res dados, y de los respectivos factores de ampli?cación,y no reglas memorísticas (por ejemplo,“paracomparar b y d, semultiplican a x d y b x c y se comparan ambos produc- tos:si a x d > b x c,entonces a > d ;si a x d < b x c, entonces a < d; y si a x d = b x c, entonces b y d son equivalentes”). Reglas como éstas deben aparecer posteriormen- te, al ser descubiertas y dotadas de signi- ?cado por los que aprenden una vez que entiendan el porqué de los procedimientos; pero no deben ser enseñadas al comienzo,
al denominador común b x d. ¿Existe alguna fracción entre y ? mayor valor: 8 7, 77 66, 666,5555 , 44444 ? . El recurso a los decimales nos permite y 18 16, lo que nos permite ubicar en me- ), contaríamos a la vista con 4 fracciones 9 4 8 5 3 7 b c b c b c b c 20 2 8 26 5 7 7 5 5 3 45 99 3 5 6 20 15 6 45 Quizá la resolución del último ejer- cicio nos está llevando a preguntarnos si las fracciones pueden estar tan “pe- gadas”unasdeotrascomounopudiera imaginar; en otras palabras, que si doy dos fracciones muy próximas, siempre puedo ubicar otra en medio de ambas. Estoesloqueplanteabaunodelosejer- cicios propuestos al comienzo:
7 8 9 9
Aparentemente,pareciera que no.Pero ya sabemos que tenemos el recurso de los otros sistemas de representación para ver más allá de las limitaciones de cada sistema en particular. Así, llevadas a su expresión decimal, estamos preguntando si existe alguna fracción entre 0,7 y 0,8. Y vemos que hay… in?nitas.Por ejemplo:0,78;0,78; 0,79; 0,791; 0,8; 0,83; 0,85; etc.Y si lo de- seamos, podemos expresarlas también en la forma numérica;así,por ejemplo,las tres últimas: 4, 5, 17. Otra forma de visualizarlo es ampli?cando ambas fracciones; por ejemplo, llegando a 14 18 dio la fracción 18 (justamente 5 ). Pero si el factor de ampli?cación hubiera sido 5 ( 35 y 40 45 intermedias: 36 (justamente 4), 37 , 38 y 45 .Es otra manera de ver que existen in?nitas fracciones intermedias. 45 5 45 45 39 El hecho de que siempre existan in?nitasfraccionesentredosdadas,por muy próximas que parezcan –es decir, que no haya “huecos” entre cualquier par de fracciones–, es una propiedad que recibe el nombre de densidad del conjunto de las fracciones. Esto, evi- dentemente, no existía en el conjunto de los números naturales.
A veces se desea introducir un nú- mero determinado de fracciones entre dos dadas, pero, además, que queden a “distancias”igualesunasdeotras.Esta actividadrecibeelnombredeinterpola- cióndefracciones.Enelúltimoejercicio hemos visto la forma de resolver este problemasilasdosfraccionesextremas se presentan con el mismo denomina- dor. Vamos a uno de los casos propues- tos al comienzo del Cuaderno:
Interpole tres fracciones entre 1/4 y 1/2.
Primero, trataremos de llevar las dos frac- ciones a expresiones equivalentes con un denominador común. Aquí la tarea es sen- cilla:1/4y2/4.Comonossolicitaninterpolar tres fracciones, utilizaremos 4 como factor de ampli?cación de ambas fracciones, que pasan a ser: 16 y 16 . Las fracciones a inter- polar son,pues:16,16,(ó 8 ) y 16. b Justi?quelareglamencionadaanteriormen- te:“Paracomparar a yd ,semultiplicanax dybxcysecomparanambosproductos: si a x d > b x c,entonces a> d ;si a x d < b x c,entonces a < d;y si a x d = b x c, entonces a y d son equivalentes”. Ayúdese con el recurso de reducir las fracciones a y c d
10. En cada par de fracciones decida cuál es la mayor:13 y 3 ; 21 y 10 ;0,45 y11. Utilice el procedimiento que desee.
¿Cuál de las siguientes fracciones tiene 555 4444 33333
Este es un caso típico en el que, antes de proceder, hay que llevar todas las fraccio- nes a irreducibles. Así transformadas, las fracciones son, respectivamente: 8 , 6 , 6 ,4 y 3 4 asegurar que la fracción mayor es 7/8. Ordenedemenoramayorlassiguien- tes fracciones: 1;0,31; 14; 3 1 y 10
La presencia de tantas fracciones y de algu- nos denominadores tan altos, nos sugiere la utilización de las expresiones decimales para todas las fracciones,antes que la bús- queda de un denominador común. Estas expresiones decimales son:1/3 = 0,3; 0,31; 14/45 = 0,31; 31/99 = 0,31; 3/10 = 0,3.Y ordenadas de menor a mayor:3/10 < 0,31 < 14/45 < 31/99 < 1/3.
+ ? Evidentemente, no podemos ha- 10 del saber: 1. Situaciones de agrupar, reunir, juntar… lo que aportan varios simultáneamente. 2. Situaciones de agregar, añadir… algo a lo que ya existe.
Estas situaciones suelen venir caracterizadas –en la interpretación verbal que de ellas hace el sujeto– por verbos tales como recibir, agregar, ga- nar, reunir, adquirir, obtener, acumular, guardar… y otros similares. En estas circunstancias, la operación aritméti- ca de la adición nos ayuda a llegar al resultadodecalculareltotaldelascan- tidadesrecibidas,agregadas,ganadas, reunidas, etc.”
Hasta aquí un extracto de lo expre- sado en el Cuaderno nº 3; todo ello es válido también en el caso de las frac- ciones, con la salvedad de que lo que ahora se agrega o reúne son partes de un todo. Así, 2 + 1 es la operación que sirve de modelo para una situación en la que, por ejemplo, estamos reunien- do 2/3 de una pieza de tela con 1/5 de la misma pieza (u otra similar), y deseamos tener una “medida” del total reunido, medida expresada también en términos de fracción de la pieza completa de tela. Para culminar esta parte, vamos a dejar establecido que entre dos frac- ciones cualesquiera siempre existe una relación de orden: cualquiera de ellas siempre es menor, igual o mayor que la otra.
3. La suma de fracciones De entrada digamos que como la fracción se presenta como “número que mide el número de veces que la parte está contenida en el todo, con- siderado éste como la unidad”, resulta bastante espontáneo establecer una aritmética de las fracciones, es decir, considerar las operaciones aritméticas aplicadas a las fracciones. En este sen- tido y como en el caso de los números naturales, antes de establecer los pro- cedimientos o algoritmos operativos necesitaremos dotar de sentido a cada operación.
3.1. ¿Qué signi?ca sumar fracciones?
¿Qué signi?ca una expresión como 2 1 3 5 blar del “cardinal del conjunto unión…” tal como lo hacíamos para la adición de números naturales en el Cuader- no nº 3. Pero sí podemos recoger el sentido de la suma “como un modelo de situaciones de la vida diaria, o de situaciones lúdicas, o de otras áreas 3 5 3.2. Sumar fracciones en siete sistemas de representación… De nuevo la diversidad. Es decir, la posibilidad de efectuar la operación en cualquier sistema y, en particular, en el que resulte más cómodo en cada caso. Pero primero veamos cómo se suma al interior de cada sistema de represen- tación.
a) Decimal: Simplemente se su- man las cantidades decimales. Es un método muy sencillo y directo para el caso de expresiones decimales exac- tas; por ejemplo, 0,5 + 0,208 + 1,25 = 1,958. En el caso de expresiones periódicas, hay que sumar con más cuidado, porque el resultado será probablemente otra expresión decimal periódica.
Por ejemplo: 0,3 + 0,83 = 0,3333… + 0,8333… = 1,1666… = 1,16. Es decir, se trata de extender su?ciente- mente los decimales de los períodos, sumar, y tratar de ver qué nueva frac- ción periódica se genera. Así: 0,127 + 2,1534 = 0,1272727… + 2,153434…= 2,280707…=2,2807.Perosiseencuen- tran di?cultades para ello, es preferible pasarlossumandosalaformanumérica y proceder como se dirá luego.
b)Porcentual:Sesumanlosporcen- tajes. Por ejemplo, 40% + 35% = 75%.
gamente, 16+ 36 = 5 4+ 3 4= 20+ 15= 31(111 20, 11 c) Punto sobre la recta: Se toman lossegmentosquevandelorigenacada uno de los puntos señalados, se conca- tenansobrelarectaapartirdelorigeny semarcaelpuntoextremodelsegmento suma. No es recomendable trabajar en estesistemaporelriesgodeimprecisión al manejar los segmentos (al medirlos y transportarlos).
Obsérvese que en los tres sistemas anterioreslasumaesdirecta,yaqueen ellosnoexistelaequivalenciainternade fracciones y, por consiguiente, los su- mandos no admiten transformaciones.
d) Numérico (y verbal asociado): Este es el caso que habitualmente (y casi siempre, únicamente) se presenta en los textos. Vamos a trabajarlo con más detalle. En primer lugar –y puesto que ahora aparecen denominadores–, recordemos lo expresado para tal situa- ción al hablar de la suma de números naturales(Cuadernonº3):puedosumar 3piñascon5piñasparatener8piñas, porqueambossumandosposeenelmis- modenominador.Perosiquierosumar3 piñas con 5 naranjas, no puedo llegar a un resultado único a no ser que halle un denominador común para ambos 1 3 + , la Por ejemplo, para sumar situación grá?ca sería: El problema consiste en encontrar una cuadrícula de tamaño menor a las correspondientes a 1/3 y 1/5, que en- caje un número de veces exacto en 1/3 y otro número de veces exacto en 1/5. Esto se consigue si la cuadrícula 1/3 se divide en 5 partes congruentes y la cuadrícula1/5en3partescongruentes: enamboscasosseconseguiráunacua- drícula del tamaño 1/15 del todo:
1/3 dividido en 5 partes congruentes:
1/5 dividido en 3 partes congruentes:
Y como puede observarse, las cua- drículas de tamaño menor coinciden en ambos casos y representan 1/15 de la ?gura total. Ahora los sumandos se transforman en:
Y la suma, agrupada sobre el grá?co de una sola unidad, es 8/15: Como puede observarse, el procedi- miento“dibuja”loquehacemoscuando sumamos en el sistema numérico a/b y tiene esa virtud visualizadora. Pero sumandos,quepuedeserfrutas:tengo, en total, 8 frutas.
Así,lasuma17+ 15dacomoresultado 20/17, ya que estoy agrupando 5 die- 5 17 2 3 5 6 10 cisieteavos(porcionesobtenidasaldi- vidiruntodoen17partescongruentes) con otros 15 diecisieteavos, lo que me produce un total de 20 de éstos. Pero para el caso de la suma 2 + 5 , primero debo reducir ambas fracciones a un denominador común –tal como se hizo antes– y luego proceder a sumar los numeradores: 1 + 5 = 10+ 10= 11 . Análo- 27 16 20 20 20 como fracción mixta).
Buscar el denominador común de dosfraccionesparaprocederasusuma no es, pues, solamente una técnica o métodoparasumar,sinoprioritariamen- te una necesidad teórica: si no existe un denominador común, la suma no es posible en el sistema numérico de representación de las fracciones.
e) Gráfico continuo: En este sis- tema también hay que contar con un mismo tipo de división del todo (un mismo número de partes congruentes) en cada una de las fracciones. Si éstas nolotieneninicialmente,hayquepasar a expresiones grá?cas equivalentes. 1 3 1 5
.Análogamente,5 + 4 7 = 35 7 + 4 7= 39 7 . = 17 5 . Esta es la manera de pasar de una = 30 78+ 115 = 193 .Si hubiéramos llevado las = 579= 193. 12 –una vez asimilado el procedimiento y su signi?cado– también se pueden pasar las fracciones grá?cas a la forma a/b, sumar en este sistema y devolver la respuesta en forma grá?ca, si así nos interesa.
f) Gráfico discreto: Este sistema no se presta con tanta claridad para representar la suma de fracciones y puede conducir a resultados erróneos. En efecto, en la suma 1 + 1, los suman- dos (el número de • respecto al total de objetos) vendrían representados, por ejemplo y respectivamente, por:
• ? ? • ? ? ? • ? ? ? Alefectuarlasuma–entendidacomo agrupación–unotenderíaareunirtodos los objetos en un solo conjunto: • ? ? • ? ? ? ? ? • ? lo que ofrecería la visualización enga- ñosadelafracción3/11comoresultado dela“suma”.Obsérveseademás,quesi paradesignar1/3hubiéramosdibujado un • y dos ?, tendríamos en la agrupa- ción ?nal la fracción correspondiente a 2/8,demodoquelasumadependeríade las diversas representaciones de cada sumando, con lo que no se garantizaría un único resultado ?nal. Esta ambigüedad de la suma en el sistema de representación grá?co dis- creto se debe al manejo de cantidades discretas,lascuales“arrastran”haciala aplicacióndelasumadenúmerosnatu- rales, perdiéndose de vista la situación defracciones.Poresoespreferible,silos sumandossepresentanenestesistema, pasarlos al sistema numérico, sumarlos dentrodeéstey,siasíserequiere,pasar larespuestadenuevoalsistemagrá?co discreto.
En resumen, vemos cómo se suma en cinco de los siete sistemas de repre- sentación (excluimos el verbal, por su dependenciainmediatadelnumérico,y el grá?co discreto por su ambigüedad). El de uso más sencillo, aunque limitado ensuaplicación,eselporcentual.Entre los cuatro restantes –aplicables a cual- quier tipo de fracciones–, el de acceso másrápidoalarespuestaeseldecimal; y el que más se ha promocionado tra- dicionalmente, el numérico. En el caso 3 1 1 1 1 3 1 5 5 Efectúe la suma: 13 + 23
En el sistema numérico se tiene: denomi- nador común = m.m.c.(5,6) = 30.El factor de ampli?cación para la primera fracción es 6, y para la segunda, 5. Los respectivos numeradores serán: 6 x 13 = 78,y 5 x 23 3 5 2 4 5 9 de los dos sistemas restantes (grá?co continuo y punto sobre la recta), es preferible llevarlos a la forma numérica y proceder a sumar en ella.
11. Efectúe las siguientes sumas de fracciones (hágalo como lo desee): a) 3 + 5 b) 1,5 + 2,3 c) 3 + 16 d) 7 + 0,08 e) 2 + 3+ 6 f) 5 + 4 +20 Yahoraveamosalgunassituaciones particulares:
La suma de un entero más una fracción puede facilitarse si nos familiarizamos con las diversas formas que pueden adoptar los enteros como fracciones cuyo numerador esmúltiplodeldenominador. Así,1+12pue- de pasarse inmediatamente a 12+12,es decir, 17 12
Las fracciones mixtas pueden verse como la suma de la parte entera y de la fracción 5 2 propia. Así, 3 2 equivale a 3 + 5 ó a 1 5 + 2 5 fracción mixta a una impropia. 5 6 5 = 115.Las dos fracciones equivalentes son, respectivamente,78/30 y 115/30.Así: 13 + 23 6 30 30 fracciones a la forma decimal, tendríamos: 13/5 = 2,6 y 23/6 = 3,83, cuya suma es 6,43. La expresión numérica de 6,43 es: 643 – 64 90 90 30
Pero hay todavía otra forma de efectuar la suma,llevando los sumandos a la forma de
= 180 + 30 13 = 193. Como vemos, se presen- = 8 7, resultados a los que se puede llegar = 7 8 . El ejercicio de este cálculo mental + 1 3 + 6 1; 5 3+ 4 1 +20 3 ; 1 2+ 8 3 ; 1 5+ 4 3 + 20 1 ; 2 1 + d c sebuscacomodenominadorcomún 13 1 1 1 1 1 2 1 3 1 3 6 5 6 5 6 5 6 30 30 30 30 1 1 3 2 4 2 4 1 4 2 fracción mixta:2 5+ 3 5 = 2 + 3 + 3 + 5= 5 + 3+ 5 . Ahora se trata de sumar estas dos fracciones ( 3+ 5 = 18+ 25 = 43= 1 + 13) y agregar 5 unidades.El resultado ?nal es 6 + 13 30 30 30 tan tres formas de efectuar la suma: ¿cuál considera como la mejor para usted?
Es importante familiarizarse con los resul- tados de las sumas de las fracciones más habituales. Por ejemplo, 2 + 4 = 4 ó 1+ 1 + 1 8 mediante un cálculo mental,bien sea mane- jandolosdecimalesasociadosobuscandoel denominador común.Así, para el segundo ejemplo, 2 + 4 + 8 = 0,5 + 0,25 + 0,125 = 0,875 = 7/8; o también: 1+ 1 + 8= 8 + 8 + 1 8 con fracciones debe ser uno de nuestros objetivos de aprendizaje y debe ponerse en práctica en lo posible.
Realice mentalmente las sumas de las siguientes fracciones: 1 2 + 4 + 6 +12; 3 + 6 ; 5 + 3 + 15 3 2 a c ¿Cuál es el resultado de la suma 0,3 + 0,6?
Sumadas como expresiones decimales, el resultadoes:0,3+0,6=0,333…+0,666… = 0,999… = 0,9.Ahora bien,si al inicio hu- biéramos pasado a la forma numérica (0,3 = 3/9 = 1/3 y 0,6 = 6/9 = 2/3) tendríamos: 0,3 + 0,6 = 1+ 3= 3= 1.Ambas respuestas (0,9 y 1) son válidas pues, como vimos en elCuadernoanterior,representanelmismo valor:la unidad.
Llegue al mismo resultado del ejer- cicio anterior sumando 3/11 y 8/11 como fracciones numéricas y como fracciones decimales.Y análogamente, con 2/7 y 5/7.
3.3. ¿Y la regla para sumar fracciones? Algún(a) lector(a) debe estar pen- sando que se nos está olvidando lo más “importante”, lo que no debe faltar: el algoritmo para sumar fracciones, el que aparece en todos los libros, el que aprendimosdesdesiempre:Parasumar a b el m.m.c.(b, d); se divide este número entrebyelresultadosemultiplicapora; se divide después entre d y el resultado se multiplica por c; se suman los dos productos anteriores. Así, b + d es una fracción que tiene como numerador la última suma y como denominador, el denominador común hallado.
Como hemos dicho en otras opor- tunidades, esta regla (o alguna otra similar, como aquella de “se multiplica en cruz, etc.”) no debe darse inicial- mente,ymenossinexplicaciónalguna. Lo ideal es proceder como lo hemos hecho aquí, ofreciendo las alternativas de los sistemas de representación y, en el caso del sistema numérico, justi?- cando la absoluta necesidad de sumar fracciones con igual denominador. La regla,entodocaso,debeserdescubier- ta después por los mismos aprendices, expresada con sus propias palabras y dotadadesigni?cadoporellosmismos. Sólo así se justi?ca su formulación y su uso.
A partir de los contenidos desarro- llados hasta ahora, justi?que todas las “reglas para sumar fracciones” que pueda encontrar en diversos libros de texto. Formule ahora, además, una regla para el caso de la suma de tres o más fracciones y justifíquela.
3.4. Las propiedades de la suma de fracciones Sonsimilaresalasqueposeelasuma de números naturales (ver Cuaderno nº 3), sólo que los sumandos son ahora fracciones:
no da ese valor. En cambio, 1 6+12 1es igual 14 a) Conmutativa: El orden en que se consideran dos sumandos no modi?ca su suma.
b) Asociativa: Si hay más de dos sumandos, el orden progresivo en que “entran” en la suma es indiferente: el resultado siempre es el mismo.
c) Existencia de elemento neutro: Es decir, la fracción 0; cuando se suma a una fracción, ésta no varía.
Y es válido el comentario que ha- cíamos entonces: “Las propiedades de la suma no son simplemente para aprenderlas –porque forman parte de 3 1 + 3 12. Si n? 1 1 6 8 lo que hay que saber–, sino sobre todo para utilizarlas. Porque las propiedades están ahí para facilitarnos la operación de la suma, para darnos mayor libertad a la hora de sumar” (Cuaderno nº 3).
Dada la suma de fracciones 2+ 4 + 1+ 1 + 10+ 12,¿cuáles sumandos deben supri- mirse para que la suma de los restantes sea igual a 1?
Vamos a apoyarnos en las facilidades que nos dan las propiedades conmutativa y asociativa –en cuanto que podemos sumar en el orden que mejor nos convenga– y en la familiaridad con las fracciones. Así, 8 8 sumando 1/2 + 1/4 llegamos a 3/4. Nos falta 1/4 para completar la unidad.Pero 1+ 1 10 a 12+ 12 = 12 = 4 . Por consiguiente, deben suprimirse 1 y 10.
Demásestádecirquetodoesteprocesoes fruto de la observación y del ensayo… Evi- dentemente, siempre queda el recurso de efectuarlasumabuscandoundenominador común y decidiendo después los sumandos que deben eliminarse.Pero también vemos cómo la intuición,el ensayo y la familiaridad con las fracciones y el cálculo mental,resul- tan exitosos…y económicos. 3 4 5 8 2 1 6 2 3 m n 6 8 = 4 , ¿cuánto vale m? ¿Y 13.Utilicesucapacidaddeobservacióny las propiedades de la suma de fracciones para calcular mentalmente el valor de: 1 + 10+ 1+ 2+ 5 + 4+ 2 + 1 + 1.
4. La sustracción de fracciones Al igual que la suma, la sustracción también puede ser vista “como un mo- delo de situaciones de la vida diaria, o de situaciones lúdicas, o de otras áreas del saber:
1. Situacionesdequitardeunacan- tidad dada y ver cuánto queda. 2. Situaciones de averiguar cuánto falta para llegar a determinada cantidad. 3.Situacionesdecomparardoscan- tidades, en el sentido de calcular cuánto tiene una de más o de menos con respecto a la otra.
Estas situaciones suelen venir ca- racterizadas–enlainterpretaciónverbal que de ellas hace el sujeto– por verbos tales como quitar, sacar, reducir, elimi- nar, quedar, sustraer, perder, pagar, re- galar, faltar, exceder… y otros similares. En estas circunstancias, la operación aritmética de la sustracción nos ayuda a llegar al resultado de calcular lo que queda después de quitar, lo que falta para llegar al total, en cuánto una can- tidad excede a otra, etc.”.
HastaaquílacitadelCuadernonº4, citacuyocontenidosiguesiendoválido, con la salvedad de que lo que ahora se quita o compara son partes de un todo. Así, 3 – 1 es la operación que sirve de modelo para una situación en la que, por ejemplo, tenemos 2/3 de una pieza de tela y estamos cortando de ese retal el equivalente a 1/5 de la pieza total, y deseamosteneruna“medida”delapar- terestanteenformadefracción.Opara la situación en la que disponemos de dos retales, cuyas magnitudes son 2/3 y 1/5 de una pieza de tela, y queremos saber cuánta tela de más –medida en 2 5
= 17 6 ) y restar 17 5 – 17 6 .Otra vía puede ser d) 2,3 – 1,45 e) 4 – 13 f)10–15 sarseinmediatamentea 12 –12 5,esdecir, – 12 1; 2 1– 8 3 ; 6 5– 2 3 ; 3 1– 1 5 ; 8 9– 4 3 ; 12– 3 2 ; 5 5 – 310 15 5 primerosjuntosmiden 5 1mdealtura. 3 3 1 7 2 9 5 7 7 4 7 8 8 8 7 términos de “parte del todo”– tiene el primerretalrespectoalsegundo.Loque sí debe tomarse en cuenta es que, de manera análoga al caso de los números naturales, la fracción que actúe como minuendo no puede ser menor que la que se considere como sustraendo.
La resta de fracciones puede ope- rarse también en cualquiera de los sistemas de representación, con las mismasconsideracionesquehacíamos al referirnos a la suma de fracciones. Para consolidar nuestros conoci- mientos, tratemos de resolver estos ejercicios:
14.Efectúe las siguientes restas de frac- ciones (hágalo como lo desee): a) 2– 5 b) 6 – 3 c) 16– 3 27
Como en el caso de la suma, la resta de un entero menos una fracción (y viceversa) puede facilitarse si nos familiarizamos con las diversas formas que pueden adoptar los enteros como fracciones cuyo numerador es múltiplo del denominador. Así, 1 – 12 puede pa- 12 7/12.Análogamente,5– 4 = 35– 7= 31.O bien, 23 – 2= 23 – 16= 8. A este respecto, conviene también habituarse a ver las fracciones como próximas a números enteros.Así,porejemplo,3/4 = 1 – 1/4; 7 9 = 1 – 9 ; 15 = 2 – 1 , etc. 2 8 8 5 5 5 2 5 6 2 5 5 5 5 5 5 5 7 7 6 5 5 30 30 30 Efectúe la resta 3 2– 2 6
Comoyasabemos,lasfraccionesmixtasim- plicanunasumadeunenteroyunafracción propia: 3 2 = 3 + 5 , y 2 6 = 2 + 5.Alguien pudiera pensar que la operación solicitada se resuelve restando las partes enteras entre sí,e igualmente las fracciones propias. Esta vía es válida cuando esta última resta (ladelasfraccionespropias)quedade?nida, cosa que no ocurre ahora: no podemos restar 5– 6 ,ya que 2< 6. Una de las salidas sería pasar ambas frac- ciones a su forma impropia ( 3 2= 17 y 2 5 6 llevar ambas fracciones a decimales (17/5 = 3,4 y 17/6 = 2,83) y restar 3,4 – 2,83. Finalmente, otro camino puede consistir en que, en la fracción 3 2, el entero ceda una unidad (en forma de 5/5) a 2/5 y la fracción 3 2 se convierta en 2 5 ; ahora sería posible restar 2 5– 2 5: la diferencia de los enteros es 0,y toda la resta queda reducida a 7 – 6 = 42 – 2 5 = 17 . ¿Cuál de las tres vías le parece más sencilla para su uso?
Efectúe mentalmente las siguientes res- tas de fracciones: 1 11 4 3 1
15. En una casa de tres pisos,los dos 8 Si la altura total de la casa es de 7 4m,¿cuál es la altura del tercer piso?
16. ¿Cuál es la diferencia, expresada en kg, entre 3/4 y 4/5 de una tonelada métrica?
17. Diana tiene 17 1/4 años de edad.¿Cuántos años tiene su hermana,sies2 3/4 años más joven que Diana?
18. ¿Qué fracción debe añadirse a 5/6 para llegar a 15/16? ¿Será 10/10?
5. La multiplicación de fracciones ¿Qué puede significar ahora una expresión como 2 x 1 ? Evidentemente, no podemos hablar del “cardinal del conjunto producto cartesiano de dos conjuntos…” tal como lo hacíamos para la multiplicación de números naturales en el Cuaderno nº 5. En realidad, son pocas las cosas del ámbito de la multi- plicacióndeesosnúmerosquepodemos mantenerahora.Quizá,lareferenciaala idea de que multiplicar es “reiterar una cantidad un determinado número de 5 3
x 12 puede entenderse como “el x 12 puede entenderse como “el 16 3 8 2 2 4 4 2 a a x 5 3 veces”, pero con ciertas limitaciones, como veremos.
Otra de las restricciones que impo- ne este tema es la de los sistemas de representaciónenlosquecabeefectuar la multiplicación de fracciones. Una re- visiónreducetalessistemasaldecimal, alnuméricoyalgrá?cocontinuo.Nohay di?cultadesparalamultiplicacióndeex- presionesdecimalesexactas(síparalas periódicas…), así que nos centraremos en el sistema numérico, sistema en el que habitualmente –por no decir casi exclusivamente–suelepresentarseesta operación. También nos referiremos al grá?co continuo, como oportunidad de visualizar lo que ocurre en el sistema numérico.
5.1. La multiplicación de enteros por fracciones y viceversa ¿Qué signi?cado puede tener una operación como 2 x 1 ? Para tratar de llegar al mismo, veamos primero esta breve secuencia:
Lamultiplicación5x3puedeenten- derse como “5 veces 3”
Lamultiplicación5x 4 puedeenten- derse como “5 veces 3/4”
Esta última pudiera representar la situación de calcular cuántas horas se- 3 4 4 manalesdeunadeterminadamateriase handadoenclase(cincodías),arazónde 3/4 de hora diarios (Llinares y Sánchez, 1988). Su resolución lleva –según estos autores– a la suma 3/4 + 3/4 + 3/4 + 3/4 + 3/4 = 3 + 3 + 4 + 3 + 3= 5 x 3= 15, que equivale a haber multiplicado 5 x 3 para llegar al numerador de la nueva fracción, en la que el denominador se mantiene. Esto significa que puede entenderse directamente la multipli- cación como “5 veces 3 cuartos”, al modo de “5 veces 3 sillas”, lo que nos lleva a “15 cuartos”: simplemente “debe” multiplicarse el factor 5 por el numerador 3 y dejar intacto el sustan- tivo-denominador.
En esta interpretación de la multi- plicación el 5 actúa como un operador, es decir, como la cantidad que “opera” (trabaja,procede,funciona)multiplicati- vamenteconelnumeradordelafracción. Estaformadeverlascosasrati?canues- trapercepciónanteriordelasfracciones quenosonunitariascomo“múltiplos”de lasfraccionesunitarias:7/8como“7ve- ces 1 octavo” (7 x 1/8). Percepción que puede extenderse a otros casos como, por ejemplo, ver en 15“4 veces15” (4 x15) ó “2 veces15” (2 x15)… Veamos ahora la siguiente secuencia de signi?cados de multiplicaciones:
3 x 6 puede entenderse como “el triple de 6”, que es 18 2 x 7 puede entenderse como “el doble de 7”, que es 14 1/2 x 5 puede entenderse como “la mitad de 5”, que es 5/2 1 3 tercio (la tercera parte) de 12”, que es 4 2 3 doblede 1 de12”,esdecir,“eldoble de 4”, que es 8
Lo que nos interesa recalcar por ahora es que –como en el caso de los enteros–tambiénlasfraccionespueden actuar como operadores (operadores que fraccionan, que “introducen” la fracciónalotrofactor…),yqueésteesel sentidodeunafraccióna/bcomofactor en una multiplicación por un entero. Es decir, que el factor entero considerado como un todo se divide en b partes, de las que se van a considerar a de ellas. Así, por ejemplo, en el caso 3 x 12, el conjuntode12objetossedivideentres partes, cada una de las cuales contiene 4 objetos, y se consideran dos de esas partes, con 8 objetos en total.
Porotrolado,tantoenlasituaciónde enteroporfracción(nx b )comoenlade fracción por entero ( b x n), el resultado es el mismo, es decir, una fracción que tiene como numerador el producto del entero por el numerador de la fracción factor,ycomodenominador,el denomi- nador de la fracción factor: nb a. 3
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