Indice1. Introducción 2. Tensiones Combinadas En Estado Mas General 3. Transformaciones de esfuerzos 4. Determinación de las tensiones en un plano de orientación arbitraria. 5. Ejes principales y esfuerzos principales 6. Diagrama circular del estado tensional 7. Bibliografía
El estado más general de esfuerzo en un punto puede representarse por seis componente; el mismo estado de esfuerzo se representará mediante un conjunto diferente de componentes si se rotan los ejes. Se estudiará un estado de esfuerzo tridimensional en un punto dado y se desarrollará ecuaciones para el cálculo del esfuerzo en un plano de orientación arbitraria en ese punto, se analizarán las rotaciones de un elemento cúbico con respecto a cada uno de los ejes principales de esfuerzo y se observará que las transformaciones de esfuerzos pueden describirse mediante tres círculos de Mohr diferentes. Se observará que en el caso de un estado de esfuerzo plano en un punto dado, el máximo valor del esfuerzo cortante, obtenido antes considerando rotaciones en el plano de esfuerzo, no representan necesariamente el máximo esfuerzo cortante en ese punto. También se verá varios criterios de fluencia para materiales dúctiles bajo esfuerzo, como una aplicación de los esfuerzos tensionales tridimensionales, para predecir si un material fluirá en algún punto crítico. Dos criterios comunes son: el criterio de la máxima resistencia a cortante y el criterio de la máxima energía de distorsión. Los dos criterios que se analizarán son: el esfuerzo normal máximo y el criterio de Mohr.
2. Tensiones Combinadas En Estado Mas General
Resultantes De Las Fuerzas Internas En cualquier situación en que un cuerpo real se utiliza como un estructuras, se transmitirán fuerzas a través del cuerpo de acuerdo con los principios de la transmisión de fuerzas analizados en estática. En la mecánica de los cuerpos deformables estamos interesados en la distribuciones de las fuerzas internas asociada con la transmisión de una fuerza, con el fin de determinar si la resistencia del cuerpo es suficiente para soportar esas distribuciones de fuerza interna. FUERZAS INTERNAS: fuerzas invisibles que actúan en el interior del cuerpo, aparecen en conexión con la capacidad del cuerpo para resistir cambios de tamaño o forma; si el cuerpo entero se halla en equilibrio bajo la acción de las fuerzas externas, incluyendo las reacciones, cualquier parte del cuerpo obtenida pr seccionado del cuerpo debe estar también en equilibrio. Este requisito de equilibrio para la parte considerada nos permite determinar la fuerza y el momento resultantes que actúan sobre la superficie interna expuesta por la sección, estas, se pueden determinar sólo dibujando un diagrama de cuerpo libre de la parte considerada y exigiendo que se satisfaga el equilibrio. La distribución precisa de las fuerzas internas no se pueden conocer sin información adicional.
Esfuerzo; Distribución De La Fuerzas Internas El esfuerzo es una cantidad que se define y que es indispensable para formular y resolver problemas de la mecánica de los cuerpos deformables. Para evaluar la resistencia de una estructura, es necesario considerar al esfuerzo de una manera más general que simplemente como una presión normal. El esfuerzo se define en un punto sobre una superficie; puede estar localizado sobre la superficie exterior o frontera (contorno) de un cuerpo deformable. El esfuerzo normal sobre el plano tiene por dimensiones F/L2; pudiendo ser positiva, indicando una tensión o negativa, indicando una compresión. Es común representar los esfuerzos por medio de flechas sobre un croquis; sin embargo, debe recordarse que lo que se está representando es, en realidad, una fuerza D F asociada con el esfuerzo que actúa sobre el área D A en consideración, y que las componentes de esfuerzo se deben multiplicar por un área apropiada antes de incluirse en las ecuaciones de equilibrio como fuerzas del diagrama de cuerpo libre. Los primeros pasos al formular un problema de mecánica de sólidos es definir un sistema de ejes coordenados para describir posiciones, desplazamientos y fuerzas. Los esfuerzos también se deben referir a un sistema de coordenadas, a menudo un sistema cartesiano rectangular dextrógiro. La tercera Ley de Newton aplicada a esfuerzos señala que cuando la normal a la cara tiene la dirección x negativa, los esfuerzos cortante positivos t xy y t xz tienen las direcciones y y z negativas respectivamente Esfuerzos en condiciones generales de carga. componentes del esfuerzo La mayor parte de los elementos estructurales y elementos de máquinas están en condiciones de carga más complejas que elementos bajo carga axial o conexiones con carga transversal. Consideremos un cuerpo sometido a varias cargas P1, P2, etc; en cual se hará un seccionamiento que ponga de manifiesto las distribuciones de las fuerzas internas que son estáticamente equivalentes a la fuerza y el momento resultantes F y M; la porción a la izquierda del corte está sometida a algunas de las cargas originales y a fuerzas normales y cortantes distribuidas en la sección. Consideremos un punto sobre la superficie; D Fx y D Vx son las fuerzas normales y cortantes que actúan en una pequeña área D A; D Fx tiene una dirección definida, D Vx tiene cualquier dirección en el plano de la sección. Se descompondrá en dos componentes D Vxy, D Vxz en direcciones paralelas a los ejes y y z. Dividiendo por el área D A y haciendo que tienda a cero, se definen tres componentes de esfuerzo:s x=limD A® 0(D Fx/D A)t xy=limD A® 0(D Vxy/D A)t xz =limD A® 0(D Vxz /D A)
donde, el primer subíndice indica que los esfuerzos se ejercen sobre una superficie perpendicular al eje; el segundo subíndice identifica la dirección de la componente. el esfuerzo normal es positivo si la flecha correspondiente apunta en la dirección positiva del eje; análogamente t xy y t xz son positivas si las flechas correspondiente aparecen en las direcciones positivas, y y z. El análisis anterior, se puede hacer en la porción del cuerpo a la derecha del plano vertical; donde se tendrá las mismas magnitudes pero con direcciones opuestas; haciendo un corte paralelo al plano xz, se define las componentes del esfuerzo s y, t yx y t yx, finalmente, un corte paralelo al plano xy, da lugar a las componentes s z, t zx y t zx. Para facilitar la visualización del estado de esfuerzo, se considerará un pequeño cubo de arista a, centrado y un punto, y los esfuerzos ejercidos sobre cada una de sus seis caras; nótese que sólo tres caras son visibles y que iguales componentes de esfuerzo de signo contrario actúan sobre las caras ocultas.Los esfuerzos en las caras son ligeramente diferentes de los ejercidos sobre el punto señalado, el error involucrado es pequeño y desaparece cuando el lado a del cubo tiende a cero; a su vez para el plano de seccionamiento considerado inicialmente, el esfuerzo normal y el esfuerzo cortante serán en general diferentes en cada punto. Deduciendo ahora relaciones importantes entre las componentes de esfuerzo cortante. Con ejes coordenados centrados en el punto, se escriben las seis ecuaciones de equilibrio.S Fx=0 S Fy=0 S Fz=0S Mx=0 S My=0 S Mz=0
De donde se deduce que fuerzas iguales y opuestas a las mostradas actúan en las caras ocultas del cubo, para que se satisfaga las 3 primeras ecuaciones. Ahora considerando la última de las ecuaciones S Mz=0 y usando la proyección en el plano xy, se notará que las únicas fuerzas con momentos respecto al eje z, diferentes de cero, son las fuerzas cortantes, entonces: (t xy D A)a – (t yx D A)a = 0 obteniéndose: t xy = t yxDe las restantes ecuaciones obtendremos de la misma forma:t yz = t zy t zx = t xzconcluyéndose, que sólo seis componentes de esfuerzo se requieres para definir el estado de esfuerzo en un punto, en lugar de nueve como se supuso inicialmente. Estas son: s x, s y, s z, t xy, t yz, t zx. Cada esfuerzo en el conjunto de esfuerzos anotados anteriormente, suelen llamarse componente de esfuerzo; donde el conjunto de 9 esfuerzos se llama tensor de esfuerzo; el llamado carácter tensorial del esfuerzo se refleja en la manera en que éste se comporta bajo una transformación de coordenadas; después de analizar el estado general de esfuerzos, se llega a que existe una simetría del tensor de esfuerzo, cuyo sentido práctico es que, en cualquier punto, los esfuerzos cortantes sobre dos planos perpendiculares cualesquiera deben ser numéricamente iguales. Notándose que en un punto dado, el cortante no puede tener lugar solamente en un plano; un esfuerzo cortante igual debe ocurrir en otro plano perpendicular al primero. Después de este análisis de correspondencia de esfuerzos, se observará que las mismas condiciones de carga pueden ocurrir a interpretaciones diferentes de la condición de esfuerzo en un punto dado, dependiendo de la orientación del elemento considerado.
3. Transformaciones de esfuerzos
En un cuerpo sometido a fuerzas, se considerará dos secciones planas diferentes que contengan a un mismo punto y para las cuales las normales sean n y n`; se verá que los dos conjuntos de esfuerzos serán en general diferentes, esta diferencia constituye la ida subyacente de lo que se llama transformación de esfuerzos. para entender esto debemos preguntarnos cómo dependen los esfuerzos de la orientación del plano que pasa por un mismo punto en común; se usará el concepto de equilibrio para desarrollar las relaciones entre los esfuerzos que actúan en plano diferentes que pasan por el punto sitado. El análisis del estado tensional en un punto se comienza con la determinación de las tensiones en las caras del elemento escogido alrededor del punto. la orientación de los planos ortogonales deben ser elegidas de tal modo que las tensiones aparecidas en estas sean lo más fácil posible de calcularlos. El estado de esfuerzo en un punto consiste generalmente en las seis componentes de esfuerzo, el tensor de esfuerzos. Sin embargo, hay muchas aplicaciones en las cuales la geometría del cuerpo y la manera como éste está cargado son tales que el estado de esfuerzo es esencialmente bidimensional. Tal estado se asocia a menudo con una placa plana delgada cargada en su plano, con dirección z normal al plano de la placa. En el esfuerzo "plano", se ha supuesto que: s z=t zx=t zy, y se ha considerado solo transformaciones de esfuerzo asociadas con una rotación alrededor del eje z; ahora se considerará el estado de esfuerzo general y la transformación de esfuerzos asociada con la rotación de los 3 ejes.
4. Determinación de las tensiones en un plano de orientación arbitraria.
Separemos del cuerpo tensionado, un volumen elemental, un tetraedro de manera que tres de sus caras coincidan con los planos del sistema de coordenadas, y la cuarta está formada por un plano de orientación arbitraria. Sean l, m y n los cosenos directores de la normal del plano inclinado. Las componentes del vector de la tensión en el plano normal son x, y y z; A es el área del triángulo ABC, proyectando todas las fuerzas que actúan sobre el elemento, sobre los ejes coordenados resulta: xA = s xlA + t yxmA + t zxnA yA = t xylA + s ymA + t zynA zA = t xzlA + t yzmA + s znA
donde: x = s xl + t yxm + t zxn y = t xyl + s ym + t zyn z = t xzl + t yzm + s zn
en su forma matricial, x s x t yx t zx l y = t xy s y t zym z t xz t yz s zn
5. Ejes principales y esfuerzos principales
ESFUERZOS PRINCIPALES: Las estructuras reales están compuestas de materiales reales. Cualquier material real falla al someterse a un esfuerzo suficientemente grande. Muchas teorías de falla se basan en evidencia experimental que indica que los materiales fallan cuando el esfuerzo normal o cortante en un unto alcanza un valor crítico. Resulta entonces necesario determinar los esfuerzos normal y cortante máximos dentro de un cuerpo para compararlos con los valores críticos asociados con las teorías de falla. Los esfuerzos normales máximo y mínimo en un punto se llama esfuerzos principales.
Expresamos la tensión normal s , en un plano inclinado por x, y, y z, tendremos:s = xl + ym + zn Sustituyendo x, y y z, luego de las simplificaciones respectivas escribimos:s = s xl2 + s ym2 + s zn2 + 2t yzmn + 2t zxnl + 2t xylm las coordenadas del punto de intersección de la normal con el plano inclinado son: x = rl y = rm z = rn donde r es el radio vector que une el origen de coordenadas con el punto de intersección arriba indicado. Eliminando los cosenos directores tenemos:s r2 = s xx2 + s yy2 + s zz2 + 2t yzyz + 2t zxzx + 2t xyxy = k donde: r2 = k / ½ s ½ de la geometría analítica se sabe que girando el sistema de coordenadas ésta ecuación puede transformarse de tal manera que desaparecen los tres últimos términos. Estos ejes así definidos se denominan ejes principales (donde t xy, t yz, t zx son iguales a cero) y las tensiones normales que aparecen en estos planos, tensiones principales, son denominadas por s 3, s 2 y s 1, siendo s 3 s 2 s 1. El sistema de fuerzas aplicado en el punto se simplifica, las ecuaciones antes deducidas quedan reducidas en: x = s 1l y = s 2m z = s 3n como: l2 + m2 + n2 =1 resulta: x2/s 12 + y2/s 22 + z2/s 32 = 1 El lugar geométrico de los extremos del vector de la tensión completa forma un elipsoide, llamado elipsoide de tensiones, cuyos semiejes son las tensiones principales s 1, s 2, s 3. Las tensiones principales se pueden determinar a partir de las seis componentes del estado tensional; para ello, supongamos que el plano indicado, es un plano principal; entonces si (S) es la tensión total en éste plano, tenemos x = sl y = sm z = sn o x2 + y2 + z2 = s2y sl = s xl + t yxm + t zxn sm = t xyl + s ym + t zyn sn = t xzl + t yzm + s zn ó (s x-s)l + t yxm + t zxn = 0t xyl + (s y-s)m + t zyn = 0t xzl + t yzm + (s z-s)n = 0 se puede considerar como un sistema de ecuaciones respecto a las incógnitas l, m, n; que determinan la dirección del plano principal respecto a los ejes de referencia x, y y z. Debe verificarse la condición: l2 + m2 + n2 = 1 Para que el sistema de ecuaciones homogénea tenga solución y sea diferente de cero, es necesario que la determinante del sistema sea igual a cero. s x-s t yx t zx t xy (s y-s) t zy = 0t xz t yz (s z-s) resolviendo y ordenando, obtenemos: s3 – s2I1 + sI2 – I3 = 0 siendo: I1 = s x + s y + s z I2 = s ys z + s zs x +s xs y – t 2yz – t 2zx – t 2xyI3 = s x t yx t zx t xy s y t zy t xz t yz s zLas raíces de la ecuación nos dan las tensiones principales s 1, s 2 y s 3.
6. Diagrama circular del estado tensional
Consideremos el estado tensional de un prisma triangular formado por un seccionamiento por un plano inclinado paralelo a uno de los ejes principales. Igualando a cero todas las fuerzas que actúan en las direcciones de los vectores s y t , resultando:s dz (dy/cosa ) = s 1dydz cos a + s 2dzdy tag a sen a t dz (dy/cosa ) = s 1dydz sen a – s 2dzdy tag a cos a simplificando términos:s = s 1 cos2a + s 2 sen2a t = s 1 sen a cos a – s 2 sen a cos a pueden escribirses = (s 1 + s 2)/ 2 + ((s 1 – s 2)/ 2) cos 2a t = ((s 1 – s 2)/ 2) sen 2a representan las tensiones en un plano paralelo al eje. y son las ecuaciones paramétricas de una circunferencia. La ecuación de la circunferencia sumando ambas ecuaciones, elevadas al cuadrado: (s – (s 1 + s 2)/2)2 + t 2 = ((s 1 – s 2)/2)2llamada círculo de Mohr o diagrama circular del estado tensional. Análogamente se puede construir los círculos de Mohr para el conjunto de planos paralelos a los vectores s 1 y s 2. Así se pueden construir tres círculos de Mohr para el estado tensional de un punto. Los planos no paralelos a ninguno de los ejes principales no pueden ser incluídas en el esquema analizado. los planos de inclinación arbitraria les corresponden, en el sistema de coordenadas (s ,t ) los puntos que se encuentran en el triángulo curvilíneo BCD formado por os tres círculos de Mohr correspondientes a las tensiones principales.
Mecanica de materiales Timoshenko – gere Segunda edición – edit. Iberoamerica Mecánica de materiales Beer jhonson – edit. Mc graw hill Mecánica de los sólidos Brinker Resistencia de materiales I y II Teodoro Tiburcio
Autor:
Jose Luis Vargas