RESUMEN:
En el trabajo se desarrolla un teorema y sus aplicaciones en la teoría de series y sucesiones. Con el mismo se puede calcular suma de series conociendo el término n-ésimo de la sucesión que es base de la serie.
INTRODUCCION
La teoría de series y sucesiones tiene sus antecedentes en la antigüedad clásica. Ya desde la época de Zenón de Elea se conocen intentos por comprender los fenómenos matemáticos de series y sucesiones. Zenón fue un hombre que se caracterizó por construir muchas aporías, de las cuales sólo cuatro llegaron hasta nosotros. En una de ellas él se preguntaba ¿cómo es que Aquiles, el de los pies ligeros, puede recorrer, es decir correr, el estadio (125 pasos geométricos u octava parte de una milla)? El decía: antes de llegar a la meta, Aquiles tiene que recorrer la mitad del camino. En este momento le resta la otra mitad. Ahora bien, antes de recorrer la mitad restante, tiene que recorrer la mitad de esta mitad, de modo que aún le resta la mitad de esta mitad, es decir la cuarta parte. Pero antes de recorrer esta cuarta parte restante, tiene que recorrer su mitad, y así sucesivamente. Evidentemente, siempre –supone Zenón- le quedará una parte por recorrer.
Claro que Zenón no intentaba negar que Aquiles llegase a la meta. Él sólo trataba de mostrar la aparente imposibilidad racional del movimiento. Cuentan que Diógenes de Sinope, el cínico, intentaba refutar estos argumentos caminando en círculos alrededor de su oponente. Pero una verdad racional no se refuta demostrando lo contrario, se refuta delatando la falla lógica. El hecho de que Diógenes sólo atinase a caminar sin poder decir nada, muestra cuán fuerte son los argumentos de Zenón.
Ya en el siglo XVII y XVIII, algunos matemáticos empezaron a pensar que era posible extender la idea de suma ordinaria de conjuntos finitos a conjuntos infinitos, de manera que en algunos casos la suma de conjuntos de infinitos números fuese finita. La idea que propone Zenón en esta aporía es que la suma de un número ilimitado de cantidades positivas no puede tener una suma finita.
La sucesión que propone Zenón es la siguiente: primero el corredor tiene que recorrer la mitad del estadio, luego la mitad de la mitad restante (es decir, la cuarta parte), luego la mitad de la mitad de la mitad (es decir, la octava parte), y así sucesivamente. Es decir, la sucesión tiene la forma:
½, ¼, 1/8, 1/16, …
Evidentemente, esta sucesión tiene infinitos términos, cada uno de los cuales es una magnitud positiva. Fácil es comprender que la magnitud que tiene que recorrer el corredor viene dada por la serie
½ + ¼ + 1/8 + 1/16 + …
¿Qué es lo que propusieron los matemáticos?, que la serie anterior tiene suma positiva finita, aunque se sumen infinitos términos. Sabemos que en este caso la suma es 1, es decir la unidad (la unidad que el estadio representa).
Los primeros investigadores en este dominio ponían poca o ninguna atención en las cuestiones de convergencia o divergencia de las series. Trataban las series infinitas como si fuesen sumas ordinarias, como si estuviesen supeditadas a las leyes usuales del álgebra, sin tener en cuenta que estas leyes no pueden extenderse universalmente a las series infinitas. Por eso, no es sorprendente que se haya visto más tarde que algunos de los resultados obtenidos fuesen incorrectos. Afortunadamente, muchos de aquellos pioneros tenían una intuición y destreza poco frecuente, que les evitaba llegar a conclusiones falsas, aunque no pudieran justificar los métodos empleados.
Entre los primeros matemáticos que se ocuparon de las series ocupa un lugar importante Leonar Euler. Euler descubría una fórmula interesante después de otra y a la vez utilizaba las series infinitas como concepto unificador de diversas ramas de las matemáticas, que hasta entonces estaban sin relación. La extensión del uso de las series infinitas empezó más tarde, cerca de 50 años después del nacimiento de Euler, coincidiendo con el desarrollo del cálculo infinitesimal. Nicolás Mercator y Guillermo Brunckor descubrieron en 1668 una serie infinita para el logaritmo al intentar calcular el área de un segmento hiperbólico. Poco después Newton descubrió la serie binómico. Estos descubrimientos constituyeron un punto fundamental en la historia de las matemáticas. Poco después de la muerte de Euler, el caudal de nuevos descubrimientos empezó a disminuir y el período formal en la historia de las series llegó a su término.
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