Un nuevo período, y más crítico, empezó en 1812 cuando Gauss publicó la célebre memoria que contenía por primera vez un estudio riguroso de la convergencia de las series infinitas. Pocos años más tarde, Cauchy (en 1821) introdujo una definición analítica del concepto de límite y expuso los fundamentos de la teoría moderna de convergencia y divergencia de las series infinitas. Con ello quedó claro que una serie infinita de números tiene suma finita si la serie es convergente, o lo que es lo mismo: si la serie converge, entonces tiene suma finita.
Cuando nos encontramos con una serie infinita de números hay dos cosas que debemos determinar: a) si la serie converge o no, b) si converge, ¿cuál es su suma? La mayor dificultad para tratar de dilucidar ambas cuestiones es poder determinar el término n-ésimo de la sucesión de las sumas parciales. En realidad, puede decirse que son raras las series en las que es posible hallar una fórmula que nos de la suma de los n primeros términos de la serie. Por tanto, si para determinar la convergencia de la serie es preciso hallar el límite cuando n tiende a infinito del término n-ésimo de la sucesión de las sumas parciales, cave la pregunta: ¿de qué manera podemos saber en el caso general el carácter de la serie?
De suerte que se han desarrollado criterios que permiten determinar el carácter de la serie sin tener que hallar el término n-ésimo de la sucesión de las sumas parciales. Existe un número bastante amplio de criterios, unos más apropiados que otros para este o aquel tipo de serie, que nos permite realizar semejante cálculo. Ahora bien, no existe un criterio único, una metodología universal que resuelva el problema en cuestión. La determinación del término n-ésimo de la sucesión de las sumas parciales de una serie es un problema que su solución abriría las puertas al problema de determinar de manera muy sencilla si una serie converge o no y, si converge, ¿cuál es su suma? Veamos.
DESARROLLO:
Supongamos que conocemos el término n-ésimo de la sucesión que las sumas parciales nos da la serie. La tarea que nos ocupa es, conocimiento el término n-ésimo de la sucesión en cuestión, encontrar el término n-ésimo de la sucesión de las sumas parciales. Para simplificar la cuestión, traslademos el análisis al terreno de las funciones. Evidentemente, el término n-ésimo de una sucesión es una función, pero que sólo toma valores enteros. Es decir, el conjunto de partida son los números naturales. Por ejemplo, la sucesión de Zenón tiene la forma
m = f(n) = (1/2)n, con n por 1, 2, 3, 4, … (I)
Aquí utilizamos, en lugar de las variables x, y, z, etc.; las variables n, m, ñ, etc., para denotar que se tratan de variables discretas. La tarea consistirá en, conociendo f(n), encontrar la función, digamos g(n), que es el término n-ésimo de la sucesión de las sumas parciales. ¿Se puede establecer una especie de cálculo, al estilo del infinitesimal, que resuelva el problema planteado? Pensamos que sí, que sí se puede. Llamemos este nuevo cálculo, cálculo finitesimal (por analogía al infinitesimal).
Supongamos que tenemos la función m = g(n). Si a esta función le aplicamos el operador "m*", que consiste en calcular
m* = g(n+1) – g(n), (II)
se obtiene una nueva función, digamos m = f(n), que le llamaremos derivada finitesimal de la función m = g(n). Aquí el término "finitesimal" se toma por analogía al cálculo infinitesimal.
Este operador es análogo al de derivada infinitesimal, lo único que cambia es que se aplica para variables discretas y para cuando el incremento tiende a 1 (se puede calcular el límite cuando el incremento tiende a 1 de la razón de la diferencia de la función incrementada menos la función sin incrementar dividido el incremento).
Apliquemos, ahora, el operador "/m", que es el inverso a la operación de derivación finitesimal. Podemos llamarle integral finitesimal, por analogía al cálculo infinitesimal.
Del concepto de que este operador es inverso en relación al de derivación finitesimal se deduce que
/m = /f(n) = g(n) (III)
De modo que se tiene
/m* = m
De aquí que
g(n+1) – g(n) = f(n) (IV)
Es evidente que la integración finitesimal de la función m=f(n) nos retrotrae a la función m=g(n), que no es más que la función que al derivarla de forma finitesimal nos da la función m=f(n).
Supongamos entonces que la función m=f(n) es el término n-ésimo de la sucesión que sus sumas parciales nos da la serie. ¿Qué es lo que queremos encontrar? La función que es suma de la sucesión de sumas parciales. Se puede demostrar que este término n-ésimo, la función digamos m=g(n), es el resultado de operar sobre la función que surge de la integración finitesimal de la función m=f(n), que es término n-simo de la sucesión cuyas sumas parciales da la serie. Veamos.
De (IV) se tiene que
g(n+1) – g(n) = f(n)
Si sustituimos en la función anterior la variable n por los Naturales y sumamos término a término, obtenemos la serie
a2 – a1 = f(1)
+ a3 – a2 = + f(2)
+ a4 – a3 = + f(3)
+ a5 – a4 = + f(4)
+ … = + …
+ ak – ak-1 = + f(k-1)
+ ak+1 – ak = + f(k)
= ak+1 – a1
F(1) + f(2) + f(3) + f(4) + … + f(k) = ak+1 – a1 (V-a)
Señalemos que, como puede verse, los términos intermedios en la suma anterior se anulan, de modo que la suma da el término:
ak+1 – a1
Pero "ak+1 – a1" es la evaluación de la función g(n) para k+1 menos la evaluación de la función g(n) para n=1 y es, a su vez, la diferencia que surge entre el incremento de la función m=g(n) en 1 y la sustitución de la función en cuestión en 1, también. De aquí que este término es la expresión g(n+1) – g(1). De igual modo, f(k) no es más que f(n) para cuando k=n. Así resulta que:
f(1) + f(2) + f(3) + … + f(n) = Límite (g(n+1) – g(1)), (V-b)
con g(n) = /f(n) y n que tiende a infinito.
Por tanto, se tiene el teorema que dice que el término general que nos da la suma de una serie, al hacer tender n a infinito, es la diferencia que se obtiene al restar la función incrementada en 1, que es integral finitesimal de la función que es término general de la sucesión que sus sumas parciales forma la serie, menos la evaluación de la función en 1, que es integral finitesimal de la función que es término general de la sucesión que sus sumas parciales da la serie.
Por tanto, conociendo la función m=f(n), que es término general de la función cuyas sumas parciales de la serie, podemos encontrar la función que, al operar sobre ella, nos da la suma de la serie. Toda el problema estriba en poder integrar de forma finitesimal la primera función.
Tomemos, por ejemplo, la función
m = (1/2)n/(-1/2) (VI)
Calculemos su derivada finitesimal
m* = (1/2)n+1/(-1/2) – (1/2)n/(-1/2) = (1/2)n
Esta sucesión es la de Zenón, es decir ½, ¼, 1/8, …
Supongamos, entonces, que queremos encontrar la suma de la serie de Zenón, es decir
½ + ¼ + 1/8 + …
Para ello, calculemos la integral finitesimal de la función m = (1/2)n
Tomemos el caso general donde la base es un número a cualquiera. Sea m=an .Su derivada será m* = an+1-an = an.(a-1). Pero la derivada finitesimal de una constante por una función es el producto de la constante por la derivada de la función. Esto se puede demostrar fácilmente. De aquí que la integral finitesimal de la función m=an sea la misma función m=an, pero dividida por la constante (a-1). Para el caso de la de Zenón será, entonces
m = (1/2)n/(-1/2) , que es la propia función (VI).
Claro que podíamos habernos ahorrado estos cálculos, pero queríamos mostrar cómo se obtuvo (VI).
Si ahora queremos encontrar la suma de la serie de Zenón a partir de la integral finitesimal, tenemos que calcular la diferencia
ak+1 – a1
Sabemos que
ak = (1/2)n/(-1/2) ,para n=k
De donde, la integral finitesimal será
m = (1/2)n+1/(-1/2) – (1/2)1/(-1/2) = 1 – (1/2)n (VII)
En este caso, se tiene la serie
½ + ¼ + 1/8 + … = Límite (1- (1/2)n) ,con n que tiende a infinito.
Para encontrar la suma basta con calcular el límite cuando n tiende a infinito de la función que es "término" de la serie, es decir (VII). En este caso, como puede verse, el resultado es 1, que es la suma de la serie de Zenón.
Notemos que el operador que desarrollamos anteriormente, la derivada finitesimal, puede tener una interpretación geométrica muy simple.
Sean p1(x1, y1) y p0(x0, y0) dos puntos cualquiera del plano Oxy. La recta que pasa por estos dos puntos tendrá la ecuación
y = ((y1-y0)/(x1-x0)).x – ((y1-y0)/(x1-x0).x0 – y0 (VIII)
Es decir, tendrá la forma y = a.x + b ,con a por pendiente. De aquí que la expresión que aparece en (VIII) delante de x represente la pendiente en cuestión. Ahora bien, los puntos p1 y p0 pueden ser interpretados como dos puntos consecutivos (para valores naturales de n) de la función m=f(n). De aquí que se pueda escribir p1(n1, m1) y p0(n0, m0), de donde la pendiente toma la forma
(m1-m0)/(n1-n0) (IX)
Pero como p1 y p0 son dos puntos consecutivos de la función m=f(n), entonces
n1= n0 + 1 y m1= m0+ 1 (X)
Al mismo tiempo, de (X) y de lo que sabemos
m0 = f(n0) y m1 = f(n1) = f(n0 + 1)
Si ahora sustituimos en (IX) los valores anteriores, tenemos
(f(n0+1) – f(n0))/(n0 +1 – n0) = f(n0+1) – f(n0)
El miembro de la derecha de la anterior es la derivada finitesimal de la función m=f(n) evaluada para n=n0, y como partimos de la pendiente de la recta que pasa por (n0, m0); entonces el operador en cuestión (la derivada finitesimal) es la pendiente de la recta que pasa por el punto p0 y el consecutivo a él en la función m=f(n). Esta es la interpretación de este operador.
En fin, si conocemos el término general de la sucesión que es base de la serie, podemos (en principio) encontrar el "término" que nos permite sumar la serie. Todo estriba en poder encontrar la integral finitesimal de aquel término n-ésimo (el de la sucesión).
Notemos que por esta vía se puede encontrar fácilmente el "término" suma de las series que tienen por base sucesiones con términos n-ésimo del tipo de funciones polinómicas. Así, las integrales finitesimales son:
- si m = n, la integral será m = n2/2 – n/2 + c
- si m = n2, la integral será m = n3/3 – n2/2 + n/6 + c
- si m = n3, la integral será m = n4/4 – n3/2 + n2/4 + c
- si m = n4, la integral será m = n5/5 – n4/2 + n3/3 – n/30 + c
- etc.
Para que se entienda esto, hagamos los pasos de un caso. Sea la función m = n2. Supongamos que queremos encontrar su integral. La buscamos por m = n3. Derivemos esta última. Obtenemos m = 3n2 + 3n + 1. Debemos, ahora, anular el primer coeficiente, es decir 3. Como la derivada finitesimal de una constante por una función es la constante por la derivada de la función, entonces la integral finitesimal de una constante por una función es la constante por la integral finitesimal de la función, de modo que hay que buscar por m = n3/3. Al derivarla nos da la función m = n2 + n + 1/3. Debemos, ahora, anular el resto del polinomio de orden menor, conservando la parte principal. Para ello le restamos lo que será la integral de m = n, es decir buscamos por la fórmula m = n3/3 – (n2/2 – n/2). Derivemos esta expresión. Nos da la expresión m = n2 + 1/3. Debemos, ahora, anular el término 1/3. Restémosle n/3, que es la integral finitesimal de 1/3. Tenemos entonces la expresión m = n3/3 – n2/2 + n/2 – n/3, es decir m = n3/3 – n2/2 + n/6, que al derivarla nos da m = n2. Y como queremos el caso general, debemos sumar a este polinomio el sumando o la constante c. En general, por esta vía se pueden encontrar la integral finitesimal de toda función polinómica.
Supongamos ahora que tenemos la sucesión
1, 8, 27, 256, …,n3
Y queremos encontrar la suma de sus primeros 99 términos. No podemos sumar la serie hasta infinito porque es divergente, pero podemos pretender sumar una cifra limitada de términos. Se comprenderá que calcular cada término (elevando al cubo) y después sumarlos es una ardua tarea. Pero podemos abreviar la tarea usando el teorema anterior de forma modificada. Veamos.
La integral finitesimal de m=n3 es (como vimos) m = n4/4 – n3/2 + n2/4. Aquí, podemos ignorar el término c. Usando la integral finitesimal de m=n3, podemos calcular dicha suma.
Del teorema anterior sabemos que la suma desde 1 hasta k de los k primeros términos de la sucesión f(n) es la diferencia que surge al evaluar la función g(n) en k+1 y restarle g(1), donde g(n) es /f(n). Así:
1 + 8 + 27 + …+ f(99) = g (99+1) – g(1), con g(n) por /f(n).
Sustituyendo:
= (100)4/4 – (100)3/2 + (100)2/4 – 14/4 + 13/2 – 12/4
= ¼ x 108 – ½ x 106 + ¼ x 104
Esta es la suma en cuestión.
CONCLUSIONES
El desarrollo en extensión de un cálculo de este tipo, al que llamamos finitesimal, podría abrir las puertas a muchos problemas matemáticos.
Autor:
Evelio Pérez Fardalez
BREVE BIOGRAFÍA DEL AUTOR: Mi nombre es Evelio A. Pérez Fardalez. Nací en Sancti Spíritus, Cuba. Mis estudios iniciales fueron de economía industrial en la Universidad Central de Las Villas. Más tarde de ocupé de la filosofía, de la que me gradué en 1984 en la Universidad Estatal de Moscú. Soy, actualmente, profesor de filosofía del Instituto de Medicina de Sancti Spíritus, Cuba.
Sancti Spíritus, Cuba. Mayo, 21 de 2008
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