La estructura geométrica del Grupo de Lorentz

2. Introducción
3. Preliminares
4. Tensores
5. Propiedad de factorizacion única
6. Unicidad del producto tensorial
7. Componentes de los tensores afines
8. Ley de inercia de silver
9. Conclusiones
10. Bibliografía

PRÓLOGO

La intención del presente trabajo es proveer una introducción rigurosa a la matemática que subyace a la Teoría Restringida de la Relatividad, sin llegar a profundizar en tópicos físicos como mecánica y electromagnetismo. Y al mismo tiempo describir el significado físico de algunas expresiones matemáticas aquí involucradas.

Dado que el desarrollo de la física relativista, se basa en la variación de las mediciones realizadas por distintos observadores inerciales, las cuales se determinan mediante la transformación especial de Lorentz, nuestro objetivo general será definir y clasificar el grupo de las transformaciones de Lorentz, para lo cual nuestra exposición seguirá el siguiente orden:

En el capítulo I, se estudian la estructura matemática sobre la que se define un tensor métrico, y se define el espacio adecuado, una variedad diferenciable, que se unen en el capítulo II, donde se establece la estructura matemática sobre la cual se determinan las relaciones entre los eventos, que son puntos del espaciotiempo de Minkowki. También son dadas las ideas de curvas que representan el movimiento de una partícula en el espaciotiempo, la de cono de luz que representa el pasado y futuro de un suceso. En el capítulo III son estudiadas las relaciones entre los puntos del espaciotiempo, por medio de transformaciones ortogonales, que poseen la estructura de grupo, y son analizados los efectos producidos por el movimiento, a partir de la transformación Especial de Lorentz.

Al final se han agregado anexos, que complementan las ideas sobre la trayectoria de una partícula y la idea de observador inercial, así como se dan algunos programas en el Software científico Mathematica, que permiten visualizar el efecto de contracción de Lorentz – Fietzgerald.

Los autores.

INTRODUCCIÓN

¿Es el análisis matemático…tan solo un vano juego de la mente? Le da al físico un lenguaje conveniente; ¿no es éste un servicio mediocre del cual, estrictamente hablando, se podría prescindir?; más aún, ¿no es de temerse que este lenguaje artificial pueda ser un velo interpuesto entre la realidad y el ojo físico? [Pensamos que] lejos de ello; sin este lenguaje, la mayor parte de las analogías íntimas entre las cosas nos seguirían siendo desconocidas; y para siempre, habríamos permanecido ignorantes de la armonía interna del mundo, la cual es…la única realidad verdaderamente objetiva

Henri Poincaré

¿Cómo se vería el mundo, si se mirase montado sobre un rayo de luz? se preguntaba A. Einstein, tratando de responderse llegó a elaborar su revolucionaria Teoría de la Relatividad Restringida.

Uno de los más caros anhelos del científico es determinar el modelo que rige las leyes de nuestro universo, es decir, describir los "eventos" que ocurren en el universo físico. Y analizar las relaciones entre éstos. El espacio adecuado para hacer esta descripción es el espaciotiempo de Minkowski; que es una variedad diferenciable cuatridimensional, provista de un tensor métrico, definido a partir de una forma cuadrática con índice uno, cuyos puntos son denominados eventos, entendiéndose como tal a un acontecimiento físico el cual no posee extensión espacial ni duración en el tiempo, estos sucesos pueden ser observados y localizados en el espacio y el tiempo, no todos los observadores son idóneos, nos interesaremos por los inerciales, no obstante, a partir de los siguientes postulados:

1° Las leyes físicas son las mismas para todos los observadores inerciales.

2° La velocidad de propagación de la luz en el vacío es constante e independiente de la fuente.

Y, considerando que las relaciones entre observadores sean dadas por transformaciones lineales, se ve que las mediciones realizadas por los observadores no coinciden. Se establece una estructura, grupo de transformaciones ortogonales, a partir del cual se establece ciertos hechos que no están de acuerdo con nuestra actividad cotidiana.

Te invitamos a determinar estos sorprendentes resultados.

Ellis R. Hidalgo M.

Javier F. Pazo E.