Capítulo I: PRELIMINARES.
Capítulo II: LA ESTRUCTURA GEOMÉTRICA DE M4.
Capítulo III: EL GRUPO DE LORENTZ
Conclusiones
Recomendaciones
Anexo 01
Bibliografía
CAPITULO I:
PRELIMINARES
En el presente capítulo se introducirá las nociones previas que son requeridas en el capítulo II, en la sección 1.1 daremos la estructura necesaria para definir un tensor métrico luego en la sección 1.2 enunciaremos algunas nociones sobre topología que nos permitan definir un homeomorfismo. En la sección 1.3 se dará la idea de sistema coordenado, lo cual será muy importante para llegar a definir en la última sección una variedad n-dimensional diferenciable.
TENSORES
En esta sección se dará la definición de tensor para lo cual necesitamos algunas consideraciones previas:
DEFINICIÓN 01.- (CONVENIO DE SUMACIÓN DE EINSTEIN): Cada monomio, cuyos factores están provistos de índices literales superiores e inferiores susceptibles de tomar determinados valores numéricos, debe considerarse como representación abreviada de la suma de monomios.
EJEMPLO 01:
Si i = 1,… ,n ; j = 1,.,m ; r = 1,.,p se tiene
a.- 
b.- 
Notar que 
donde k = 1,… ,n ; l = 1,.,m ;
c.- 
d.- 
NOTA 01: Se debe tener mucho cuidado en el uso de la notación, por ejemplo:
Esto es, nunca se debe usar índices que se repitan más de dos veces.
DEFINICIÓN 02.-(DELTA DE KRONECKER): Definimos la aplicación 
llamada el símbolo Delta de Kronecker) como: 
…………… (1.1)
EJEMPLO 02: Probar que: 
donde j = 1,…,4; 
En efecto:
y así sucesivamente para cualquier
EJEMPLO 03: Probar que: 
j = 1,…,4; 
En efecto
y así sucesivamente para valores cualesquiera de
EJEMPLO 04: Discutir la relación entre dos bases de un espacio vectorial n– dimensional V.
En efecto:
Sean 
y 
dos bases de V, entonces cada 
tiene una expresión en términos de 
y viceversa: 
Los 
números 
son arreglados en una matriz cuadrada de orden n. Llamada la matriz de cambio de la base a la base
Sustituyendo 
en obtenemos:
comparando con 
tenemos:
……………………. (1.2)
análogamente: 
……………………. (1.3)
obsérvese que 
y 
son inversas una de otra.
OBSERVACIÓN 01: Los espacios vectoriales que se consideran en éste trabajo son de dimensión finita.
DEFINICIÓN 03.- Se llama producto tensorial de dos espacios vectoriales U y V a un par 
formado por un espacio vectorial Z y una aplicación bilineal: 
que cumple las condiciones siguientes:
El espacio Z es generado por los vectores del conjunto 
es decir, Z es idéntico con el conjunto de todas las combinaciones lineales: 
en donde los 
son escalares cualesquiera, p es un entero positivo finito y 
son vectores cualesquiera. Esto también se puede expresar como 
Z es el espacio vectorial generado por los vectores del conjunto y en adelante lo denotaremos por 
Cada aplicación bilineal 
de 
en un espacio vectorial cualesquiera W puede expresarse en la forma:
…………………(1.4)
donde g es una transformación lineal de Z en W.
Se dice que (1.4) es la factorización de mediante la aplicación universal 
Gráficamente:
Los elementos del espacio Z se llaman tensores de orden dos. Los tensores de la forma 
se llaman tensores descomponibles.
NOTA 02: Todo tensor puede expresarse como la suma de un número finito de tensores descomponibles, pero dicha expresión no es única.
Por ejemplo: Sea 
Sin embargo 
Las condiciones 
y 
son equivalentes a una sola condición:
T .- (PROPIEDAD DE FACTORIZACION ÚNICA):
Para cada aplicación bilineal f de en un espacio vectorial cualesquiera 
existe una única transformación lineal 
de 
en tal que 
Demostración :
Probemos primero que T1 y T2 equivalen a T
Dada una aplicación bilinealde en W, supongamos que hubieran dos transformaciones lineales. 
y 
tales que 
y 
se sigue que 
.Dado un vector cualesquiera z, en virtud de T1 puede escribirse : 
por lo tanto
de donde 
Supongamos ahora inversamente que el par 
satisface la condición T; T2 es evidente, sólo queda probar T1.
Sea 
aplicación inclusión que a cada elemento de 
le hace corresponder el mismo elemento en Z. Para probar T1 bastará probar que 
es sobreyectiva.
Consideremos la aplicación bilineal: 
que se define por
de modo que 
así se tiene
Gráficamente
En virtud de la condición T existe una transformación lineal 
tal que 
se tiene entonces que 
lo cual constituye una factorización de la aplicación bilineal 
mediante la aplicación universal 
Según T, 
será la única transformación lineal que da lugar a esa factorización.
Ahora sea 
la aplicación identidad en Z se tiene evidentemente que 
y esta también es una factorización de mediante la aplicación universal Se deduce que 
puesto que 
es una sobreyección, también lo será 
. Y por lo tanto 
. Lo cual prueba que T1 y T2 equivalen a T.¦
TEOREMA 1.1.-(UNICIDAD DEL PRODUCTO TENSORIAL):
Si y 
son dos productos tensoriales de U y V entonces existe un isomorfismo único 
tal que 
Demostración:
Dado que es un producto tensorial de U y V y además 
es una aplicación bilineal de 
en 
existirá, en virtud de T2 una transformación lineal tal que de forma análoga se concluye que existe una transformación lineal 
tal que 
por consiguiente 
y 
, pero 
genera a y 
genera a Z
Así 
de donde 
(aplicación identidad en similarmente se obtiene 
aplicación identidad en Z).
Inyectiviadad: de se deduce que 
es inyectiva.
Sobreyectividad: de se tiene que es sobreyectiva.
Luego es un isomorfismo y de la demostración de la biyectividad se sigue que 
es su inversa.
Ahora, supongamos que exista otro isomorfismo 
tal que 
según T y considerando 
se tiene que es única, por lo tanto 
Para la demostración de la existencia del producto tensorial de dos espacios vectoriales, consultar [TP] tomo II, página 150.
OBSERVACIÓN 02: en vista de la existencia y unicidad, en el sentido del teorema 1.1, del producto tensorial de dos espacios vectoriales U y V , en adelante hablaremos del producto tensorial de U y V.
NOTA 03: A partir de la observación anterior, a veces la aplicación es reemplazada por el símbolo 
de modo que un tensor descomponible es definido como 
y por conveniencia se escribirá 
Para el producto tensorial de U y V se cumple el siguiente
TEOREMA 1.2.- Dados dos conjuntos cualesquiera 
y 
de vectores linealmente independientes de U y V respectivamente, entonces los vectores 
son linealmente independientes. 
es la aplicación universal del producto tensorial de U y V.
Demostración :
Sea el producto tensorial de U y V y sean 
y 
conjuntos l.i. de U y V respectivamente.
Designemos por U1 y V1 los sub espacios de U y V generados por estos conjuntos de vectores.
Escojamos luego un conjunto arbitrario de escalares 
y definamos la función bilineal : 
R??tal que 
En virtud de T2 existe una función lineal 
R
Tal que : 
Podemos probar que 
son l.i. para 
.
Supongamos que sea : 
se tendrá entonces:
puesto que los escalares 
son arbitrarios, se sigue que 
Por lo tanto los 
son l.i.¦
COROLARIO 1.1.- Si 
y 
son bases de U y V respectivamente, entonces los vectores 
constituyen una base para Z.
Demostración :
Sean 
y 
bases de U y V respectivamente, según el teorema 1.2. son l.i. luego, y según la condición T1, Z es generado por
es decir, si 
se tiene que 
, así 
será una base para Z. ?
DEFINICIÓN 04.- Dado un espacio vectorial V de dimensión finita n denominaremos:
i ) Espacio Tensorial Afín contravariante (covariante) al producto tensorial de V con sí mismo (V*: dual de V ,con sí mismo) y lo denotamos 
ii ) Espacio Tensorial Afín mixto al producto tensorial de V y V*
Los elementos de tal espacio se llaman tensores afines de orden 2, r-veces contravariantes y s-veces covariantes, donde r + s = 2.
NOTA 04:
a.- Todo vector es denominado un tensor de orden uno.
b.- Todo escalar es denominado un tensor de orden cero.
COMPONENTES DE LOS TENSORES AFINES
Dada una base de V y la correspondiente base de un espacio tensorial afín cualquiera, los componentes de un tensor de ese espacio pueden expresarse de manera sencilla mediante las componentes de los vectores factores. Veamos esto mediante un ejemplo: Sea 
un tensor afín de 
Dada la base 
de V y la correspondiente base dual 
de V*, de modo que la base de será 
donde cada índice puede tomar los valores del 1 al n, así existen n2 elementos allí.
Ahora, puesto que : 
; 
Entonces 
= 
………………… (1.5)
El tensor 
viene dado por 
…………………. (1.6)
Donde 
son las componentes del tensor, notemos que la disposición de los índices nos permite saber al espacio que corresponde al tensor.
De (1.5) y (1.6) obtenemos que: 
NOTA 05: Los vectores del espacio vectorial V son denominados vectores contravariantes y a los vectores que pertenecen a su dual V* , en particular 
(V) 1 es dual de V, se les llama vectores covariantes.
Entre los espacios (V) y V existe un isomorfismo definido a partir del producto escalar: 
tal que 
Si 
es una base de V y
es la base dual de ( (V) , entonces 
es una base de V, tal que 
si V es un espacio euclidiano2 
es la base reciproca de
DEFINICIÓN 05.- Dado un Espacio Euclidiano V, sea 
una base de V, las componentes de un vector cualquiera 
V respecto a esa base las designaremos por 
y las denominaremos componentes contravariantes de 
Llamaremos componentes covariantes de y las designaremos por 
a las componentes de 
, que esta asociado a v mediante el isomorfismo 
respecto a la base dual 
Ahora, sea: 
aplicando se obtiene : 
, por lo tanto las componentes covariantes de un vector son sus componentes respecto a la base recíproca de 
DEFINICIÓN 06.- Se llama vector euclidiano del espacio euclidiano V al conjunto 
formado por un vector cualquiera 
y por otro vector 
con el cual se identifica mediante el isomorfismo El vector euclidiano se representa por Sus componentes contravariantes y covariantes son las componentes de 
introducidas en la definición anterior.
Una vez introducidas componentes contravariantes y covariantes hallaremos la relación entre ellas, respecto a un a base 
de V.
Entre los elementos de la base 
y 
existen relaciones de la forma:
y 
……………….. (1.7)
donde 
son las matrices de transformación de una base en su recíproca, son regulares, e inversa una de la otra de modo que se cumple :
Ahora, desde que 
se obtiene :
Similarmente 
, de la conmutatividad del producto escalar resulta: 
y 
además, puesto que 
y 
se tiene:
así obtenemos las relaciones buscadas,
esto es, 
y 
…………….. (1.8)
Consideremos un tensor afín 
contravariante que sea descomponible, es decir, que sea el producto de dos vectores contravariantes :
………………… (1.9)
a cada vector 
le corresponde un vector covariante 
Identificaremos entre si a todos los tensores afines que se obtienen cuando se sustituye en (1.9) uno o los dos vectores por sus respectivos vectores covariantes. Los tensores afines que así se obtienen junto con 
constituyen un conjunto que se denomina tensor euclidiano que es representado por cualquiera de los elementos que la forman.
Las componentes de diversos tensores identificados entre si son las componentes de diversas clases (contravariantes, covariantes y mixtos) del respectivo tensor euclidiano.
EJEMPLO 05: Designaremos por 
las componentes contravariantes del vector 
las componentes contravariantes del tensor de (1.9) son:
……………… (1.10)
las componentes mixtas
y 
(1.11)
las formulas (1.8) permiten expresar las componentes de cualquier clase en términos de otra clase cualquiera.
EJEMPLO 06: Si queremos expresar las componentes (1.10) en función de las componentes covariantes de (1.9)
NOTA 06: El tensor t y los tensores afines asociados a él como lo hemos descrito anteriormente definen un tensor euclidiano cuyas componentes de cada tipo son las componentes del tensor afín de este tipo asociado a t .
TEOREMA 1.3.- La función bilineal 
R que a cada par de vectores 
le hace corresponder el numero real 
(la función producto interior) es un tensor dos veces covariante que pertenece a un tensor euclidiano de segundo orden cuyas componentes respecto a la base 
de B(V)1 asociada a la base de V son los números 
Sus componentes contravariantes son los números 
y sus componentes mixtas 
.
Aquí denota la aplicación universal del producto tensorial de V* y V*.
DEFINICIÓN 07.- El tensor euclidiano de segundo orden que respecto a una base de V que tiene componentes 
se llama tensor fundamental del espacio vectorial euclidiano V o tensor métrico de V.
Dicho tensor se identifica con la función bilineal
R
que se define mediante la forma cuadrática:
cuyas componentes son exactamente las componentes covariantes de 
Así también podemos obtener: 
y 
DEFINICIÓN 08.- Una forma cuadrática 
R definida mediante una función bilineal como 
se dice:
no negativa si 
negativa si 
no positiva si 
positiva si 
DEFINICIÓN 9.- El índice de una forma cuadrática R es la mayor dimensión de un sub espacio vectorial de V restringido al cual la forma cuadrática es negativa y lo denotamos por 
NOTA 07: Cuando 
convenimos en 0
TEOREMA 1.4.-(LEY DE INERCIA DE SILVER):
Si existe una base 
de V tal que 
se tiene 
entonces la forma cuadrática tiene índice i .
NOTA 08: Si la forma cuadrática que identifica al tensor métrico tiene índice cero se denomina tensor métrico de Riemman, Si tiene índice uno se denomina tensor métrico de Minkowsky.
CONCLUSIONES
1. Las transformaciones ortogonales sobre V4, en particular la transformación especial de Lorentz permite determinar la relación entre los sucesos del espaciotiempo de Minkowski M4.
2. El conjunto de transformaciones de Lorentz tienen una estructura determinada, la de grupo.
3. Las mediciones que realizan los observadores inerciales dependen de la naturaleza de su movimiento (estado de reposo o movimiento rectilíneo uniforme) así, dos observadores inerciales en movimiento relativo, a grandes velocidades, no obtendrán los mismos valores en sus mediciones del tiempo y el espacio.
4. A partir de la transformación especial de Lorentz es posible calcular los efectos que sufre una partícula en movimiento, como pueden ser la contracción de longitud, dilatación del tiempo.
RECOMENDACIÓN
Una vez establecida la estructura matemática, el espaciotiempo de Minkowski, sobre la cual se desarrolla la Teoría de la Relatividad Restringida, será posible continuar con la investigación de los hechos que a partir de aquí se derivan y de allí dar paso al estudio de la Teoría de la Relatividad General, donde encontramos temas interesantes como singularidades del espaciotiempo (bing bang, agujeros negros), así como también se puede abordar el estudio de otros modelos de espaciotiempo, la mayoría de estos coincide en afirmar que el universo es una variedad diferenciable cuatridimencional. Y así contribuir a descifrar las leyes que rigen en el fascinante universo de la cosmología.
BIBLIOGRAFÍA
[AR] Alonso, Marcelo "Campos y Ondas"
Rojo, Onofre Editorial Addison-Wesley, Florida, 1981
[BR] Bishop, Richard L. "Tensor analysis and manifold"
Golberg, Samuel I. Editorial The Macmillan, New york, 1968
[DA] Das, Anajibas "The Especial Theory of Relativity"
Editorial Board, New York, 1993
[EA] Einstein, Albert. "El significado de la Relatividad"
Editorial Espasa – Calpe, Madrid, 1992
[EN] Efimov, N. V. "Algebra superior"
Editorial MIR, Moscú, 1984
[LL1] Landau, L. D. "Mecánica"
Lifshitz Editorial Reverte, Barcelona, 1994
[LL2] Landau "Teoría clásica de los campos"
Lifshitz Editorial Reverte, Barcelona, 1992
[MD] Mook, Delo E. "La Relatividad: espacio, tiempo y
Vargish, Thomas. movimiento"
Editorial Mc Graw-Hill, Madrid, 1993
[NG] Naber, gregory. "The geometry of Minkowsky spacetime"
Editorial Springer-Verlag, New York, 1992
[OB] O"neill, Barrett. "Semi-riemannian Geometry"
Editorial Academic Press,New York,1983
[RM] Roman, A. Maeder. "Programming in Mathematica"
Editorial Addison-Wesley
[TP] Tola Pasquel, José. "Algebra lineal y multilineal" tomo I y II
Fondo Editorial PUCP, Lima, 1989
A Paula M. y Manuel H.,mis padres, por su apoyo abnegado, constante e incondicional.
A todas las personas; alumnos, profesores y amigos, que nos incentivaron a seguir y esperaron pacientemente la conclusión de éste trabajo.
A mis Padres, Rubén y Flora que supieron comprenderme y brindarme todo su apoyo, y a mi hija por ser la fuerza que me impulsa a seguir superándome.
Agradecemos al Lic. Luis Aguilar Ibáñez, por sus oportunos comentarios y su ayuda para esclarecer algunos conceptos matemáticos, al Lic. Ricardo Velesmoro León por su invaluable y desinteresado apoyo, al señor Orlando Navarro Y. por facilitar el acceso a la bibliografía, a J. Valentín Mendoza M. por su fervoroso ánimo, y a todas aquellas personas que nos brindaron su apoyo, gracias al cual fue posible que este trabajo diera luz.
Autor:
Ellis R. Hidalgo M.
Javier F. Pazo E.
Universidad Nacional De Piura
Facultad De Ciencias
Escuela Profesional De Matemática
Tesis Para Optar El Título De Licenciado En Matemática
Piura-Peru
Enero -2005
Ejecutor: Br. Pazo Eche F. Javier
Ejecutor: Br. Hidalgo Mendoza R. Ellis
Patrocinador: Lic. Aguilar Ibañez Luis
Copatrocinador: Lic. Velesmoro León Ricardo
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