Aleph Sub Cero. Categorías y transcripción inter-física, topología, lógica, informática

1 ALEPH SUB – CERO SERIE DE DIVULGACIÓN ?0 2014 – II ?0 pp. 5 – 103 CATEGORÍAS Y TRANSCRIPCIÓN INTER-FÍSICA-TOPOLOGÍA-LÓGICA-INFORMÁTICA (Categories and transcript inter-physics-topology-logic-computation) Adunador: Alberto Mejías1 Las ciencias tienen una tendencia natural hacia la diversificación y especia- lización… Sin embargo, afortunadamente, hay una cantidad considerable de terre- no común, ideas, conceptos y construcciones similares. Estos proporcionan una base para una Teoría General de Estructuras. JIRÍ ADÁMEK, HORST HERRLICH & GEORGE E. STRECKER ABSTRACT AND CONCRETE CATEGORIES, 2012 Recepción: Julio 2014. Revisión y aceptación: Septiembre 2014 Resumen. Existe una red de analogías entre Física, Topología, Lógica e Informá- tica. En esta exposición, se precisan algunas de estas analogías, utilizando el con- cepto de ‘categoría monoidal simétrica cerrada’. No se asume ningún conocimiento previo de Teoría de Categorías, Teoría de Demostración o Informática. Descriptores: Categorías, Teoría Quántica, Informática Quántica, Topología, Lógica. Abstract. There is a network of analogies between Physics, Topology, Logic and Computation. In this expository paper, we make some of these analogies precise using the concept of ‘closed symmetric monoidal category’. We assume no prior knowledge of Category Theory, Proof Theory or Computer Science. Key words: Categories, Quantum Theory, Quantum Computation, Topology, Log- ic. Alberto R. Mejías E. es Licenciado en Matemáticas, egresado de la Facultad de Ciencias de la Universidad de los Andes (ULA) Mérida-Venezuela. Es profesor de Topología jubilado de la Universidad de los Andes. [email protected]

Alberto Mejías ????????א Teoría de Categorías es un formalismo muy general, pero hay una cierta for- ma especial, en la que los físicos usan a las categorías, que resulta tener estrechos análogos en Topología, Lógica e Informática. Una categoría tiene objetos y morfismos, que representan cosas y las maneras de ir entre las cosas. En Física, los objetos son, a menudo, sistemas físicos y los morfismos son procesos que convierten a un estado de un sistema físico en un estado de otro sis- tema –tal vez el mismo. En Física Quántica, a menudo, esto se formaliza conside- rando espacios HILBERT como objetos y operadores lineales como morfismos.

Alrededor de 1949, FEYNMAN [57] notó de que, en Teoría Quántica de Campos, es útil dibujar operadores lineales como diagramas: . Esto permite razonar sobre ellos gráficamente. Podemos deformar un diagrama sin alterar al operador que representa: lo que importa es la topología, no la geometría.

En la década de 1970, PENROSE notó que las generalizaciones de los diagra- mas FEYNMAN, se presentan a lo largo de la Teoría Quántica y podrían llevar a re- visiones en nuestra comprensión de espaciotiempo [78]. En la década de 1980, que- dó claro que en estos diagramas subyace una poderosa analogía entre Física Quán- tica y Topología. Es decir, un operador lineal se comporta de manera muy semejan- te a un ‘cobordismo’ que es una variedad n-dimensional que va entre variedades de una dimensión menos: En Teoría de Cuerdas se explota esta analogía mediante la sustitución de los 6

Categorías y Transcripción Inter-Física-Topología-Lógica-Informática diagramas FEYNMAN de Teoría Quántica de Campos Ordinaria, por cobordismos 2- dimensionales, que representan a las láminas mundi trazadas por cuerdas, con el paso del tiempo. La analogía entre operadores y cobordismos también es importante en Gra- vedad Quántica por Bucles y –sobre todo– en la disciplina más puramente matemá- tica, ‘Teoría Quántica de Campos Topológica’. Mientras tanto, por separado, logicistas habían comenzado a usar categorías donde los objetos representan proposiciones y los morfismos, demostraciones. La idea es que una demostración es un proceso que va desde una proposición (la hipó- tesis) a otra (la conclusión). Posteriormente, informáticos comenzaron a utilizar categorías donde los ob- jetos representan tipos de datos y los morfismos, programas. También empezaron a utilizar ‘diagramas de flujo’ para describir programas. Abstractamente, estos son muy parecidos a los diagramas FEYNMAN. Logicistas e informáticos nunca estuvieron muy alejados unos de otros. De hecho, la ‘correspondencia CURRY-HOWARD’ que relaciona demostraciones con programas, ha sido muy conocida, al menos desde la década de 1970, con raíces que se remontan a mucho antes [35], [52]. Pero, es sólo en los años noventa que lo- gicistas e informáticos se encontraron con los físicos y los topologistas. Una razón es el aumento del interés en Criptografía Quántica e Informática Quántica [28]. Con esto, la gente comenzó a pensar en procesos quánticos como formas de proce- samientos de información y a aplicar ideas provenientes de la Informática. Enton- ces se comprendió que la tímida analogía entre organigramas y diagramas FEYN- MAN podría hacerse más precisa y potente con la ayuda de Teoría de Categorías [3].

Por ahora hay una extensa red de analogías de interconexión entre Física, To- pología, Lógica e Informática. Sugieren que la investigación en el área de superpo- sición común, en realidad conlleva a construir una nueva ciencia: una Ciencia Ge- neral de Sistemas y Procesos. La creación de esta ciencia será muy difícil. Hay buenas razones para ello, pero también malas. Una mala razón es que campos dife- rentes, usan diferentes terminologías y notaciones. La piedra de Rosetta (Rashid) original, creada en el año 196 A.C., contiene versiones de un mismo texto en tres idiomas: demótico egipcio, escritura jeroglífica 7

Alberto Mejías

y griego clásico. Su redescubrimiento por soldados de Napoleón, permitió a los e- giptólogos modernos, descifrar a los jeroglíficos. Esto permitió un aumento enorme en la comprensión de la cultura del antiguo Egipto.

En la actualidad, los sistemas deductivos en Lógica Matemática, parecen je- roglíficos a muchos físicos. Asimismo, Teoría Quántica de Campos es un idioma extraño para muchos Informáticos y así sucesivamente. Entonces, hay necesidad de una nueva piedra de Rosetta para ayudar a los investigadores intentar traducir entre distintos campos. La Tabla 1 muestra nuestra conjetura en cuanto a lo que podría parecer esta piedra de Rosetta inter- Física-Topología-Lógica-Informática (IFTLI). Teoría de Categorías Física Topología Lógica Informática objeto sistema variedad proposición tipo de datos morfismo proceso cobordismo demostración programa Tabla 1: La Piedra de Rosetta IFTLI (versión reducida).

El resto de este trabajo se extiende sobre esta tabla, comparando cómo se uti- lizan categorías en Física, Topología, Lógica e Informática. Infortunadamente, en- tre estos distintos campos, se consideran ligeramente diferentes tipos de categorías.

Aunque muchos físicos no lo saben, en Física Quántica se ha hecho amplio uso de ‘categorías monoidales simétricas compactas’. En Teoría de Nudos se usa ‘categorías monoidales trenzadas compactas’ que son ligeramente más generales. Sin embargo, quedó claro en la década de 1990, que estos instrumentos más gene- rales también son útiles en Física.

En Lógica e Informática solían centrarse en ‘categorías cartesianas cerradas’ donde ‘cartesiana’ puede considerarse, aproximadamente, antónimo de ‘quántica’; sin embargo, gracias a trabajos sobre Lógica Lineal e Informática Quántica, algu- nos logicistas e informáticos han bajado su insistencia en cartesianidad: ahora con- sideran al tipo más general de ‘categorías monoidales simétricas cerradas’.

En Sección 2 se explican estos conceptos, cómo iluminan la analogía entre Física y Topología y cómo trabajar con ellos usando diagramas de cuerdas. No se asume ningún conocimiento previo de Teoría de Categorías, sólo la voluntad de a- prender.

En Sección 3 se explica cómo las categorías monoidales simétricas cerradas

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2 Categorías y Transcripción Inter-Física-Topología-Lógica-Informática

corresponden a un pequeño fragmento de Lógica Proposicional Ordinaria, que tam- bién pasa a ser un fragmento de la Lógica Lineal de GIRARD [43].

En Sección 4 explicamos cómo las categorías monoidales simétricas cerradas corresponden a un modelo simple de computación.

Cada una de estas secciones se inicia con algún material de contexto.

En sección 5, se concluye presentando una versión mayor (más elaborada) de la ansiada, piedra de Rosetta.

El tratamiento aquí expuesto, de los cuatro temas: Física, Topología, Lógica e Informática, está condenado a parecer esquemático, estrechamente enfocado e i- diosincrásico, a los practicantes de estos temas. La excusa es que ¡se desea enfati- zar ciertas analogías sin decir nada más que lo absolutamente necesario! Para com- pensar esto, se incluyen varias referencias para aquellos que deseen profundizar.

Analogía entre Física y Topología 2.1 ?????? Actualmente las mejores teorías físicas son Relatividad General y Modelo Estándar de Física de Partículas. La primera describe a la gravedad sin considerar a la Teoría Quántica; la segunda describe a las otras fuerzas, considerando a la Teoría Quántica, pero ignora a la gravedad. Así, nuestra visión del mundo es profunda- mente esquizofrénica. El campo donde los físicos luchan para resolver este proble- ma se llama gravedad quántica, puesto que se cree ampliamente que la solución requiere tratar a la gravedad en una forma que considere a la Teoría Quántica. Na- die está seguro de cómo hacerlo, pero hay una semejanza sorprendente entre dos de los principales abordajes: Teoría de Cuerdas y Gravedad Quántica por Bucles. Am- bos se basan en la analogía entre la física y la topología que se muestra en Tabla 2.

A la izquierda tenemos un ingrediente básico de Teoría Quántica: la catego- ría Hilb cuyos objetos son espacios HILBERT, que describen sistemas físicos y cu- yos morfismos son operadores lineales, que describen procesos físicos. A la dere- cha tenemos una estructura básica en Topología Diferencial: la categoría nCob. Aquí los objetos son variedades (n – 1)-dimensionales, que describen espacios y cuyos morfismos son cobordismos n-dimensionales, que describen a espaciotiem- pos.

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Alberto Mejías Física Espacio Hilbert

(sistema)

operador entre espacios Hilbert

(proceso)

composición de operadores

operador identidad Topología variedad (n–1)-dimensional

(espacio)

cobordismo entre variedades (n – 1)-dimensionales

(espaciotiempo)

composición de cobordismos

cobordismo identidad Tabla 2: Analogía entre Física y Topología

Como veremos, Hilb y nCob comparten muchas características estructurales. Por otra parte, ambas son muy diferentes de la categoría más familiar, Set, cuyos objetos son conjuntos y cuyos morfismos son funciones. En otras partes se ha ar- gumentado extensamente, que esto es importante para una mejor comprensión de gravedad quántica [10] e, incluso, de Fundamentos de Teoría Quántica [11].

La idea es que Hilb es más semejante a nCob que a Set; tal vez deberíamos dejar de pensar en un proceso quántico como función de un conjunto de estados a otro. En cambio, quizá, deberíamos considerar cómo se asemeja a un ‘espaciotiem- po’ que va entre espacios de dimensión menor en uno.

Esta idea puede parecer extraña, pero el ejemplo más simple es algo muy práctico, utilizado por los físicos usualmente: un diagrama FEYNMAN. Este es un grafo 1-dimensional que va entre colecciones 0-dimensionales, de puntos, con los bordes y vértices rotulados adecuadamente.

Los diagramas FEYNMAN son entidades topológicas, pero describen a opera- dores lineales. En Teoría de Cuerdas se utilizan cobordismos 2-dimensionales, e- quipados con estructura extra –laminas mundi de cuerdas– para hacer un trabajo similar.

En Gravedad Quántica por Bucles se usan generalizaciones, 2d, de diagra- mas FEYNMAN llamados ‘espumas espinales’ (Inglés: ‘spin foams’) [9]. En Teoría Quántica de Campos Topológica se utilizan cobordismos de dimensiones superio- res [13].

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Categorías y Transcripción Inter-Física-Topología-Lógica-Informática

En cada caso, los procesos son descritos por morfismos en una clase especial de categorías: ‘categorías monoidales simétricas compactas’.

A continuación, no nos distraeremos en enigmas de la teoría quántica o la gravedad quántica. En vez de eso, asumimos otro abordaje, simplemente explican- do algunos conceptos básicos de Teoría de Categorías y mostrando cómo Set, Hilb, nCob y categorías de marañas (Inglés; categories of tangles) dan ejemplos. Un te- ma recurrente, sin embargo, es que Set es muy diferente de los otros ejemplos.

Para ayudar al lector a navegar con seguridad por el mar de la jerga, he aquí un diagrama de los conceptos que se explicarán en esta sección:

categorías

categorías monoidales categorías monoidales trenzadas categorías monoidales cerradas categorías monoidales simétricas

categorías cartesianas

categorías cartesianas cerradas categorías monoidales trenzadas cerradas

categorías monoidales simétricas cerradas categorías monoidales compactas

categorías monoidales trenzadas compactas

categorías monoidales simétricas compactas La categoría Set es cartesiana cerrada, mientras que Hilb y nCob son monoi- dales simétricas compactas.

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o o Alberto Mejías ??????À?? Teoría de Categorías surgió alrededor de 1945, con EILENBERG y MAC LANE [40], definiendo ‘categorías’, ‘funtores’ entre categorías, y ‘transformaciones natu- rales’ entre funtores. Actualmente hay muchas introducciones al tema [34], [72], [75], incluyendo algunas gratuitas disponibles en línea [20], [46]. No obstante, co- mencemos por el principio: Definición 1. Una categoría C es un par ordenado (ob(C), hom(C)) tal que: • ob(C) es una clase de elementos llamados los objetos de C. Si X es un objeto de C, por abuso de notación, escribimos X ? C. • hom(C) es una clase de elementos llamados los morfismos de C, tales que, para cada par ordenado (X, Y), de objetos de C, existe una clase hom(X, Y) de elementos de hom(C), llamados los morfismos de X a Y, tales que si f ? hom(X, Y), se denota por f: X ? Y; los morfismos son componibles: si f: X ? Y y g: Y ? Z, existe un morfismo compuesto de g con f: gf: V ? X, a veces también escrito g ? f; la composición es asociativa: (hg)f = h(gf) siempre que cada lado de la igualdad esté bien definido; para todos los objetos X, existe un morfismo identidad 1X: X ? X, que es unidad con respecto a la composición, tanto a la izquierda como a la derecha: si f: X ? Y, entonces f 1X = f = 1Y f ; para cada f ? hom(C), existe un par ordenado (X, Y), de objetos de C, tal que f ? hom(X, Y). Definición 2. Un morfismo f: X ? Y es un isomorfismo si tiene un inverso; es de- cir, existe otro morfismo g: Y ? X, tal que gf = 1X y fg = 1Y. Una categoría es el marco más simple donde podemos hablar de sistemas (objetos) y procesos (morfismos). Para visualizar a estos, podemos usar ‘diagramas FEYNMAN’ de una especie muy primitiva. En aplicaciones al álgebra lineal, estos diagramas se llaman a menudo ‘redes espinales’ (Ingles: spin networks), pero los teorizantes de categorías los llaman ‘diagramas de cuerdas’ (Ingles: string dia- grams), y ese es el término que utilizaremos. El término ‘cuerda’ aquí tiene poco que ver con Teoría de Cuerdas; en cambio, la idea es que los objetos de nuestra ca- tegoría marcan ‘cuerdas’ o ‘cables’: 12

Categorías y Transcripción Inter-Física-Topología-Lógica-Informática y los morfismos f: X ? Y, marcan ‘cajas negras’ con un cable de entrada de tipo X y un cable de salida del tipo Y: . Componemos dos morfismos conectando la salida de una caja negra a la en- trada de la siguiente. Así, el compuesto de f: X ? Y y g: Y ? Z se ve así: . La asociatividad de la composición, está implícita: es nuestra notación para tanto h(gf) como (hg)f. Del mismo modo, si dibujamos el morfismo identidad 1X: X ? X como un trozo de cable de tipo X: , 13

o o o nales. nales. o Alberto Mejías entonces las leyes de unidad a la izquierda y a la derecha también están implícitas. Hay innumerables ejemplos de categorías, pero nos centraremos en cuatro: Set: la categoría donde los objetos son conjuntos. Hilb: la categoría donde los objetos son espacios HILBERT finito-di- mensionales. nCob: la categoría donde los morfismos son cobordismos n-dimensio- Tang k: la categoría donde los morfismos son marañas k-codimensio- Como veremos, las cuatro son categorías monoidales simétricas cerradas, al menos cuando k es suficientemente grande. Sin embargo, la más familiar del lote, es decir Set, es la que queda por fuera: es ‘cartesiana’. Tradicionalmente, las matemáticas se han fundamentado en la categoría Set, donde los objetos son conjuntos y los morfismos son funciones. Así que, cuando se estudian los sistemas y procesos en Física, es tentador especificar a un sistema dan- do su conjunto de estados y a un proceso, dando una función de los estados de un sistema a los estados de otro. Sin embargo, en Física Quántica se hace algo sutil- mente diferente: se usan categorías donde los objetos son espacios HILBERT y los morfismos son operadores lineales acotados. Se especifica a un sistema dando un espacio HILBERT, pero este espacio HILBERT no es realmente, el conjunto de los es- tados del sistema: un estado es en realidad un rayo en el espacio Hilbert. Asimismo, un operador lineal acotado no es precisamente una función de los estados de un sis- tema a los estados de otro. En la práctica cotidiana de la física quántica, lo que realmente importa no son los conjuntos de estados y funciones entre ellos, sino el espacio HILBERT y los operadores. Una de las virtudes de Teoría de Categorías es que nos libera del enfo- que ‘conjunto-céntrico’ de las matemáticas tradicionales y permite ver a la Física Quántica en sus propios términos. Como veremos, esto arroja nueva luz sobre los dilemas que siempre han plagado a la comprensión del reino quántico [11].

Para evitar problemas técnicos que nos llevarían muy lejos, asumiremos a Hilb como la categoría donde los objetos son espacios HILBERT finito-dimensiona- les y los morfismos son operadores lineales (automáticamente acotados en este ca- so). Los espacios HILBERT finito-dimensionales bastan para algunos propósitos; los infinito-dimensionales son a menudo importantes, pero tratarlos correctamente, re- 14

2 Categorías y Transcripción Inter-Física-Topología-Lógica-Informática queriría algunas importantes extensiones de las ideas que queremos explicar aquí.

En Física también se utilizan categorías donde los objetos representan opcio- nes de espacios y los morfismos representan opciones de espaciotiempos. La más simple es nCob, donde los objetos son variedades (n – 1)-dimensionales y los mor- fismos son cobordismos n-dimensionales. Glosando sobre algunas sutilezas, que un tratamiento cuidadoso discutiría [81], un cobordismo f: X? Y es una variedad n- dimensional cuyo borde es la unión disjunta de las variedades (n – 1)-dimensiona- les X y Y. Aquí hay un par de cobordismos en el caso n = 2: . Los componemos pegando la ‘salida’ de uno a la ‘entrada’ del otro. Así, en el ante- rior ejemplo gf: X ? Z, luce como: . Otro tipo de categoría importante en física, tiene objetos que representan co- lecciones de partículas y morfismos que representa a sus líneas mundi e interac- ciones. Los diagramas FEYNMAN son el ejemplo clásico, pero en estos diagramas los ‘bordes’ no se toman literalmente como trayectorias de partículas. Un ejemplo con vínculos más estrechos con Topología es Tang k . Muy a grosso modo, un objeto de Tang k es una colección de puntos en un cubo k-dimen- sional, mientras que un morfismo es una ‘maraña’: una colección de bucles2 y arcos tersamente incrustados en un cubo (k + 1)-dimensional, tales que los bucles se en- cuentran en el interior del cubo, mientras que los arcos tocan el borde del cubo so- lamente en sus partes superior e inferior y sólo con sus extremos. Un poquito más Un bucle es una imagen homeomorfa (una copia elástica) de la circunferencia. 15

Alberto Mejías precisamente, las marañas son ‘clases de isotopía’ de tales arcos y bucles empotra- dos: esta relación de equivalencia significa que sólo importa la topología de la ma- raña, no su geometría. Componemos marañas, adjuntando un cubo a otro, de tope a fondo. Se pueden hallar definiciones más precisas en muchas fuentes, al menos pa- ra k = 2, que dan marañas en cubos 3d [42], [58], [81], [89], [97], [101]. Y, ya que una imagen vale por mil palabras, aquí hay una imagen de un morfismo en Tang2: Nótese que podemos pensar en un morfismo en Tang k como un cobordismo 1-dimensional empotrado en un cubo k-dimensional. Por esta razón Tang k y nCob se comportan de manera similar en algunos aspectos. Aquí hay dos morfismos componibles, en Tang1: y aquí está su compuesto: Puesto que sólo importa la topología de las marañas, somos libres de aplastar 16

o 1F(X); o Categorías y Transcripción Inter-Física-Topología-Lógica-Informática a este rectángulo en un cuadrado, si queremos, pero no necesitamos hacerlo. A menudo es útil considerar marañas decoradas de diversas maneras. Por ejemplo, en una maraña ‘orientada’, cada arco y bucle está dotado con una orientación. Podemos indicar esto dibujando una flechita en cada curva en la maraña. En aplicaciones a la física, estas curvas representan líneas mundi de partí- culas y las flechas indican si la partícula va hacia adelante o hacia atrás en el tiem- po, siguiendo la idea de FEYNMAN de que las antipartículas son partículas yendo hacia atrás en el tiempo. También podemos considerar marañas ‘enmarcadas’. Aquí cada curva es sustituida por una 'cinta'. En aplicaciones a la física, esto hace un seguimiento de cómo se retuerce cada partícula. Esto es especialmente importante para los fermio- nes, donde un giro de 2p actúa no trivialmente. Matemáticamente, las marañas que mejor se comportan son tanto orientadas como enmarcadas [13], [89], y estas son las que deberíamos de usar para definir Tang k . La categoría nCob también tiene una versión orientada enmarcada. Sin em- bargo, estos detalles apenas tendrán importancia en lo que está por venir.

Es difícil hacer mucho con categorías, sin discutir las asignaciones entre ellas. Una asignación entre categorías, particularmente interesante, es un ‘funtor’:

Definición 3. Un funtor F: C ? D, de una categoría C a una categoría D es una asignación que manda: • cada objeto X ? C a un objeto F(X) ? D, • cada morfismo f: X ? Y, en C a un morfismo F(f): f (X) ? F(Y), en D, de tal manera que: F preserva las identidades: para cualquier objeto X ? C, F(1X) = F preserva la composición: para cualquier par de morfismos f: X ? Y, g: Y ? Z, en C, F(f g) = F(g)F(f). En las secciones siguientes, veremos que funtores y transformaciones natura- les son útiles para determinar estructuras adicionales en categorías. He aquí un uso distinto para funtores: podemos pensar en un funtor F: C ? D, como una imagen o ‘representación’ de C en D. La idea es que F puede asignar objetos y morfismos en alguna categoría ‘abstracta’ C, a objetos y morfismos en una categoría más ‘con- 17

= Alberto Mejías

creta’ D.

Por ejemplo, considere un grupo abstracto G. Esto es lo mismo que una cate- goría con un objeto y con todos los morfismos invertibles. El objeto es poco intere- sante, así que podemos llamarlo sólo •, pero los morfismos son los elementos de G y los componemos multiplicándolos. Desde esta perspectiva, una representación de G en un espacio HILBERT finito-dimensional, es lo mismo que un funtor F: G ? Hilb. Igualmente, una acción de G sobre un conjunto es igual a un funtor F: G ? Set. Ambas nociones son maneras de hacer más concreto a un grupo abstracto.

Desde la tesis de 1963 de LAWVERE, sobre Semántica Funtorial [69], la idea de funtores como representaciones se ha vuelto omnipresente. Sin embargo, la ter- minología varía de campo a campo. Siguiendo a LAWVERE, logicistas, a menudo, llaman a la categoría C una ‘teoría’ y llaman al funtor F: C ? D un ‘modelo’ de esta teoría. Otros matemáticos llamarían a F un ‘álgebra’ de la teoría. En este traba- jo, la opción predeterminada de D es generalmente, la categoría Set.

En física, es al funtor F: C ? D, lo que se llama la ‘teoría’. Aquí la opción predeterminada de D es la categoría que llamamos Hilb o una categoría similar, de espacios HILBERT infinito-dimensionales. Por ejemplo, tanto las ‘teorías conforma- les de campos’ [85] como las teorías quánticas de campos topológicas [8] pueden ser vistas como funtores de este tipo.

Si pensamos en funtores como modelos, las transformaciones naturales son asigna- ciones entre modelos:

Definición 4. Dados dos funtores F, F': C ? D, una transformación natural a : F = ? F', asigna a cada objeto X en C, un morfismo aX: F(X) ? F'(X) tal que pa- ra cualquier morfismo f: X ? Y, en C, la ecuación F(f) = F'(f) aX , se cumple en D. En otras palabras, el siguiente diagrama es conmutativo: F(f ) F(X)

aX F(Y)

aY F’(X) F’(f ) F’(Y) (Ir de lado y luego hacia abajo es igual que ir hacia abajo y luego de lado).

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= Categorías y Transcripción Inter-Física-Topología-Lógica-Informática Definición 5. Un isomorfismo natural entre funtores F, F': C ? D, es una trans- formación natural a : F = ? F', tal que aX es un isomorfismo para cada X ? C. Por ejemplo, supongamos que F, F': G ? Hilb, son funtores, donde G es un grupo considerado como una categoría con un objeto, digamos: •. Entonces, como ya se mencionó, F y F' son sólo representaciones secretas de G, en los espacios HILBERT F(•) y F'(•). Una transformación natural aF ==? F', entonces, es lo mismo que un operador de entrecruzamiento de una representación a otra: es decir, un opera- dor lineal A: F(•) ? F(•) que satisface AF(g) = F(g)A para todos los elementos g del grupo G. ??????À?? ???????? En física, a menudo, es útil pensar en dos sistemas asentados lado a lado co- mo formando un único sistema. En topología, la unión disjunta de dos variedades es otra variedad por derecho propio. En lógica, la conjunción de dos declaraciones es otra declaración. En informática podemos combinar dos tipos de datos en un úni- co ‘tipo producto’. El concepto de ‘categoría monoidal’ unifica todos estos ejem- plos en un marco único. Una categoría monoidal C tiene un funtor ?: C × C ? C, que asocia a dos objetos X, Y para dar un nuevo objeto X ? Y. Para precisar esto, definimos el pro- ducto cartesiano de categorías: Definición 6. El producto cartesiano C × C' de las categorías C y C', es una ca- tegoría tal que: • un objeto es un par (X, X') que consta de un objeto X ? C y un objeto X’ ? C’; • un morfismo de (X, X') a (Y, Y'), es un par (f, f ') que consiste en un morfis- mo f: X ? Y y un morfismo f ': X' ? Y'; • la composición se hace componente a componente: (g, g')(f, f ') = (g f, g’f ’); 19

o o Alberto Mejías

• los morfismos identidad se definen componente a componente: 1(X, X') = (1X, 1X'). Las categorías monoidales fueron definidas por MAC LANE [71] en 1963. La sutileza de la definición radica en el hecho que (X ? Y) ? Z y X ? (Y ? Z) no son generalmente iguales. En cambio, debemos especificar un isomorfismo entre ellos, llamado el ‘asociador’. Del mismo modo, mientras que una categoría monoidal tie- ne un objeto ‘unidad’ I, no es generalmente válido que I ? X y X ? I sean iguales a X. Por esto, conviene especificar isomorfismos I ? X ? X y X ? I ? X. Para ser manejables, todos estos isomorfismos deberán cumplir ciertas condiciones:

Definición 7. Una categoría monoidal consiste de: • una categoría C, • un funtor producto tensorial ?: C × C ? C, • un objeto unidad I ? C, • un isomorfismo natural llamado el asociador, que asigna a cada trío de ob- jetos X, Y, Z ? C, un isomorfismo aX, Y, Z: (X ? Y) ? Z ? X ? (Y ? Z), • isomorfismos naturales llamados el levo-unitor y dextro-unitor, que asig- nan a cada objeto X ? C, isomorfismos lX : I ? X ? X, rX : X ? I ? X, tales que: para todo X, Y ? C se cumple la ecuación triangular: (X ? I) ? Y

rX ? 1Y aX, I, Y X ? (I ? Y)

1X ? lY X ? Y

para todo W, X, Y, Z ? C, se cumple la ecuación pentagonal

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Categorías y Transcripción Inter-Física-Topología-Lógica-Informática

((W ? X) ? Y) ? Z aW , X , Y ? 1Z aW ? X, Y, Z (W ? (X ? Y)) ? Z (W ? X) ? (Y ? Z) aW , X ? Y, Z aW, X, Y ? Z W ? ((X ? Y) ? Z) 1W ? aX, Y, Z W ? (X ? (Y ? Z)

Cuando tenemos un producto tensorial de cuatro objetos, hay cinco maneras de asociarlos usando paréntesis y, a primera vista, el asociador nos permite cons- truir dos isomorfismos desde ((W ? X) ? Y) ? Z hasta W ? (X ? (Y ? Z). Sin em- bargo, la ecuación pentagonal dice que estos isomorfismos son iguales. Cuando te- nemos productos tensoriales de aún más objetos, hay aún más formas de asociarlos usando paréntesis y aún más isomorfismos entre ellos, construidos a partir del aso- ciador. Sin embargo, MAC LANE demostró que la identidad pentagonal implica que estos isomorfismos son todos iguales. Del mismo modo, si asumimos también la ecuación triangular, todos los isomorfismos con el mismo origen y destino, cons- truidos a partir del asociador, las leyes de la levo- y la dextro unidad, son iguales.

En una categoría monoidal podemos tener procesos en ‘paralelo’ así como en ‘serie’.

El procesamiento en serie es sólo composición de morfismos, que funciona en cualquier categoría. Pero en una categoría monoidal podemos también tensoriar morfismos f : X ? Y y f ': X' ? Y' ' y obtener un ‘proceso en paralelo’ f ? f ': X ? X' ? Y ? Y'. Podemos representar esto de varias maneras:

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Alberto Mejías . Más generalmente, podemos representar a cualquier morfismo f: X1 ? … ? Xn ? Y1 ? … ? Ym, como una caja negra con n cables de entrada y m cables de salida: . Dibujamos al objeto unidad I como un espacio en blanco. Así, por ejemplo, dibujamos un morfismo f: I ? X, como sigue: . Componiendo y tensoriando morfismos, podemos construir cuadros elabora- dos que se asemejan a los diagramas FEYNMAN: . Las leyes que rigen a una categoría monoidal permiten relegar asociadores y unitores al dibujar tales cuadros, sin que haya problemas. La razón es que el Teo- 22

Categorías y Transcripción Inter-Física-Topología-Lógica-Informática rema de Coherencia, de MAC LANE, establece que cualquier categoría monoidal es ‘equivalente’, en un sentido adecuado, a una donde todos los asociadores y unitores son morfismos identidad [71]. También se puede deformar la imagen en una amplia variedad de formas, sin alterar al morfismo que describe. Por ejemplo, el morfismo de arriba es igual a éste: Todo el que utiliza diagramas de cuerdas para cálculos en categorías monoi- dales comienza por preocuparse por las reglas del juego: ¿precisamente cómo pode- mos deformar a las representaciones, sin cambiar los morfismos que describen? En lugar de indicar precisamente las reglas –lo cual es un poco técnico– le exhortamos a explorar por sí mismo, lo que está permitido y lo qué no. Por ejemplo, mostrar que se pueden deslizar las cajas negras hacia arriba y hacia abajo así: Para un tratamiento formal de las normas que rigen a los diagramas de cuer- das, ver los escritos originales de JOYAL y STREET [55] y el libro de YETTER [101].

Ahora pasemos a los ejemplos. Aquí es crucial advertir que la misma categoría, a menudo, puede ser dotada con diferentes productos tensoriales, resultando dife- rentes categorías monoidales: • Hay una manera de hacer de Set una categoría monoidal donde X ? Y es el producto cartesiano X × Y y el objeto unidad es cualquier conjunto de un solo elemento. Nótese que este producto tensorial no es estrictamente asociativo, ya 23

? x Alberto Mejías

que (x, (y, z)) ? ((x, y), z); pero, existe un isomorfismo natural (X × Y) × Z ? X × (Y × Z) y este es nuestro asociador. Consideraciones similares dan los levo- y dextro unitores. En esta categoría monoidal, el producto tensorial de f : X ? Y y f ': X' ? Y', es la función f × f ': X × X' ? Y × Y' (x, x') (f (x) , f '(x')). También hay manera de hacer de Set una categoría monoidal, donde X ? Y es la unión disjunta de X y Y, que denotaremos por X + Y. Aquí el objeto unidad es el conjunto vacío. Otra vez, como con todos estos ejemplos, se satisfacen las leyes asociativa y de la levo/dextro-unidad, salvo isomorfismo natural. En esta categoría monoidal, el producto tensorial de f : X ? Y y f ': X' ? Y ', es la función f + f ': X + X' ? Y + Y' ? f ( x ) , s i x? X , ? f ' ( x ) , s i x? X' . Sin embargo, en lo que sigue, cuando hablamos de Set como una categoría mo- noidal, utilizamos siempre el producto cartesiano. • Hay una manera de configurar Hilb como una categoría monoidal con el n m nm producto tensorial habitual de espacios HILBERT: C ? C ? C . En este caso, el objeto unidad I se puede tomar como un espacio HILBERT 1-dimensional, por ejemplo C.

También hay una manera de hacer de Hilb una categoría monoidal donde el pro- n m n+m ducto tensorial es la suma directa: C ? C ? C . En este caso, el objeto u- nidad es el espacio HILBERT cero dimensional {0}.

Sin embargo, en lo que sigue, cuando hablamos de Hilb como categoría monoi- dal, utilizamos siempre el producto tensorial habitual! • El producto tensorial de objetos y morfismos en nCob está dado por la unión disjunta. Por ejemplo, el producto tensorial de estos dos morfismos:

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Categorías y Transcripción Inter-Física-Topología-Lógica-Informática es este: . • La categoría Tang k es monoidal cuando k = 1, donde el producto tensorial está dado por la unión disjunta. Por ejemplo, dadas estas dos marañas: , su producto tensorial luce como esto: El ejemplo de Set, con su producto cartesiano, es diferente de los otros tres ejemplos principales, porque el producto cartesiano de conjuntos X × X' viene equi- pado con funciones llamadas ‘proyecciones’ a los conjuntos X y X': p p' X ??? X × X' ??? X'. Nuestros otros principales ejemplos carecen de estas funciones –aunque Hilb convertido en una categoría monoidal, usando ?, tiene proyecciones. Además, cada conjunto tiene una única función al conjunto de un solo elemento: !X: X ? I. Una vez más, nuestros otros ejemplos principales carecen de esta caracterís- tica, aunque Hilb, convertida en una categoría monoidal usando ?, la tiene. Una característica interesante de la mecánica quántica es que hacemos de Hilb una ca- tegoría monoidal usando ? en vez de ?, aunque este último enfoque podría condu- cir a una categoría más semejante a Set. 25

? Alberto Mejías

Podemos aislar las características especiales del producto cartesiano de con- juntos y sus proyecciones, obteniendo una definición que se aplica a cualquier cate- goría:

Definición 8. Dados los objetos X y X ' en alguna categoría, decimos que un objeto X × X', equipado con morfismos p p' X ??? X × X' ??? X' es un producto cartesiano (o simplemente, un producto) de X por X', si para cada objeto Q y morfismos f y f' Q X f f'

X', existe un único morfismo g: Q ? X × X', que hace conmutativo al siguiente dia- grama: Q f g f' X ??? p X × X' ?? X'. p' (Es decir, f = pg y f ' = p'g). Decimos que una categoría tiene productos binarios si cada par de objetos tiene un producto.

El producto puede que no exista y puede no ser único, pero cuando existe es único, salvo un isomorfismo canónico. Esto justifica nuestro hablar de ‘el’ producto de objetos X y Y cuando existe y que lo denotamos como X × Y.

La definición de producto cartesiano, mientras que es absolutamente funda- mental, da un poco de miedo a primera vista. Para ilustrar su poder, hagamos algo al respecto: combinar dos morfismos f: X ? Y y f ': X ? Y' en un solo morfismo

f × f ': X × X' ? Y × Y'.

La definición de producto cartesiano dice cómo construir un morfismo de es- te tipo a partir de un par de morfismos: a saber, morfismos de X × X' a Y y Y'. Si tomamos a estos como fp y f 'p', obtenemos f × f ':

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. ? Categorías y Transcripción Inter-Física-Topología-Lógica-Informática

X × X' fp f × f' f 'p' Y ??? p Y × Y' ?? Y'. p' Ahora, aislemos las características especiales del conjunto de un elemento: Definición 9. Un objeto 1 en la categoría C es terminal, si para cualquier objeto Q ? C, existe un morfismo único de Q a 1, que se denota como !Q: Q ? 1. Una vez más, un objeto terminal puede no existir y puede no ser único, pero es único, salvo un isomorfismo canónico. Por esta razón podemos hablar de ‘el’ ob- jeto terminal de una categoría y denotarlo con un símbolo específico, 1.

Hemos introducido el concepto de productos binarios. También se puede ha- blar de productos n-arios para otros valores de n; pero, una categoría con productos binarios tiene productos n-arios para todo n = 1, ya que podemos construir a estos como productos binarios iterados. El caso n = 1 es trivial, puesto que el producto de un objeto es sólo ese objeto mismo (salvo isomorfismo canónico). El caso restante es n = 0. El producto cero-ario de objetos, si existe, es sólo el objeto terminal. Así, tenemos la siguiente definición: Definición 10. Una categoría tiene productos finitos si tiene productos binarios y un objeto terminal.

Una categoría con productos finitos siempre se puede configurar como una categoría monoidal eligiendo un producto específico X × Y como producto tensorial X ? Y y elegir un objeto terminal específico como objeto unidad. ¡Toma un poco de trabajo demostrar esto! Una categoría monoidal de este tipo se llama cartesiana.

En una categoría cartesiana, podemos 'duplicar y eliminar información'. En general, la definición de productos cartesianos da una manera de combinar dos morfismos f1: Q ? X y f2: Q ? Y, en un solo morfismo de Q a X × Y. Si tomamos Q = X = Y y a f1 y f2 como la identidad, obtenemos el morfismo diagonal o dupli- cación: ?X: X ? X × X. En la categoría Set, se puede comprobar que éste aplica cada elemento x ? X, al par

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Alberto Mejías (x, x). En general, podemos sacar la diagonal de la siguiente manera: Del mismo modo, llamamos a la única asignación al objeto terminal, !X : X ? 1, el morfismo supresión y lo dibujamos como sigue: . Nótese que dibujamos al objeto unidad como un espacio vacío. ¡Es un hecho fundamental sobre categorías cartesianas, que duplicar algo y luego suprimir cualquier copia, es lo mismo que no hacer nada en absoluto! En los diagramas de cuerdas, esto se expresa como: La demostración se deja como un ejercicio para el lector. Muchas de las características desconcertantes de la teoría quántica, provie- nen de la no cartesianidad del producto tensorial habitual en Hilb. Por ejemplo, en una categoría cartesiana, todo morfismo en realidad es de la forma 28

Categorías y Transcripción Inter-Física-Topología-Lógica-Informática En el caso de Set, esto dice que cada punto del conjunto X × X' viene de un punto de X y un punto de X'. En física, esto diría que cada estado g del sistema combinado X ? X' se construye mediante la combinación de estados de los siste- mas X y X' X. El teorema BELL [19] establece que eso no es válido en Teoría Quán- tica. La razón es que en Teoría Quántica se utiliza la categoría monoidal ¡no carte- siana! Hilb. Además, en Teoría Quántica no podemos, libremente, duplicar o eliminar in- formación. WOOTTERS y ZUREK [100] demostraron un teorema preciso a este efec- to, centrado en la duplicación: el ‘Teorema de No Clonación’. También se puede probar un ‘Teorema de No Supresión’. Una vez más, estos resultados dependen del producto tensorial, no cartesiano, en Hilb. ??????À?? ???????? ??????? En Física, a menudo hay un proceso que nos permite ‘conmutar’ dos siste- mas moviéndolos uno alrededor del otro. En topología, hay una maraña que descri- be al proceso de conmutar dos puntos: . En Lógica, podemos cambiar el orden de dos proposiciones en una conjun- ción: la proposición ‘X y Y’ es isomorfa a ‘Y y X’. En Informática, hay un sencillo programa que cambia el orden de dos porciones de datos. Una categoría monoidal en la cual podemos hacer a este tipo de cosas se llama 'trenzada' (Inglés: ‘braided’)

Definición 11. una categoría monoidal trenzada consiste en: • una categoría monoidal C, • un isomorfismo natural llamado el trenzado (Inglés: braiding), que asigna a cada par de objetos X, Y ? C un isomorfismo bX, Y : X ? Y ? Y ? X, tal que, para todo X, Y, Z ? C, se cumplen las ecuaciones hexagonales: 29

Alberto Mejías

(X ? Y) ? Z X ? (Y ? Z) a – 1 X, Y , Z bX, Y ? 1Z

(Y ? X) ? Z b X, Y ? Z a Y, X, Z (Y ? Z) ? X a – 1 Y , Z , X Y ? (Z ? X)

X ? (Y ? Z) Y ? (X ? Z)

1Y ? bX, Z (X ? Y) ? Z a X, Y, Z 1X ? bY, Z

X ? (Z ? Y) b X ? Y , Z

Z ? (X ? Y) a – 1 X, Z, Y

(X ? Z) ? Y a Z, X , Y bX, Z ? 1Y (Z ? X) ? Y

La primera ecuación hexagonal establece que conmutar al objeto X con Y ? Z, todos a la vez, es igual que conmutarlo con Y y luego con Z (con algunos asocia-

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así: -1 Categorías y Transcripción Inter-Física-Topología-Lógica-Informática dores usados para mover los paréntesis). La segunda es similar: establece que con- mutar X ? Y con Z, todos a la vez, es lo mismo que hacerlo en dos pasos. En diagramas de cuerdas, representamos al trenzado bX, Y: X ? Y ? X ? Y, y a su inversa bX, Y así: Esta es una buena notación, porque muestra que las ecuaciones establecen que bX, Y y b -1 son inversas ‘topológicamente válidas’: X, Y He aquí las ecuaciones hexagonales como diagramas de cuerdas: Para practicar, te instamos a probar las siguientes ecuaciones: . Si te quedas atascado, aquí hay algunas ideas. La primera ecuación se deduce 31

• Alberto Mejías

de la naturalidad del trenzado. La segunda se llama ecuación YANG-BAXTER y se desprende de una combinación de la naturalidad y las ecuaciones hexagonales [56].

A continuación, se dan algunos ejemplos. Puede haber muchas maneras dife- rentes para dar una categoría monoidal, un trenzado o ninguno. Sin embargo, la mayoría de nuestros ejemplos favoritos vienen con conocidos trenzados ‘estándar’: • Automáticamente, cualquier categoría cartesiana se convierte en trenzada y en Set, con su producto cartesiano, este trenzado estándar está dado por: bX, Y : X × Y ? Y × X (x, y) (y, x). En Hilb con su producto tensorial habitual, el trenzado estándar está dado por: bX, Y : X ? Y ? Y ? X x ? y y ? x. • La categoría monoidal nCob tiene un trenzado estándar donde bX, Y es difeo- morfo a la unión disjunta de cilindros X × [0, 1] y Y × [0, 1]. Para 2Cob este tren- zado se ve de la siguiente manera cuando X y Y son circunferencias:

• La categoría monoidal Tang k tiene un trenzado estándar cuando k = 2. Para k = 2, esto se ve como sigue cuando X y Y son, cada uno, un solo punto:

El ejemplo de Tang k ilustra un patrón importante. Tang 0 es sólo una cate- goría, porque en el espacio 0-dimensional sólo podemos hacer procesos en ‘serie’: es decir, componer morfismos. Tang 1 es una categoría monoidal, porque en el es- pacio 1-dimensional también podemos hacer procesos en ‘paralelo’: es decir, tenso-

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-1 Categorías y Transcripción Inter-Física-Topología-Lógica-Informática riar morfismos. Tang 2 es una categoría monoidal trenzada, porque en el espacio bidimensional hay espacio para mover un objeto alrededor de otro. A continuación veremos lo que sucede cuando el espacio tiene 3 o más dimensiones. ??????À?? ???????? ?±?????? A veces conmutar dos objetos y conmutarlos otra vez, es lo mismo que no hacer nada en absoluto. De hecho, esta situación es muy familiar. Así, las primeras categorías monoidales trenzadas a descubrir, fueron las ‘simétricas’ [71]:

Definición 12. Una categoría monoidal simétrica es una categoría monoidal trenzada donde el trenzado satisface bX, Y = bX, Y . Así, en una categoría monoidal simétrica, o, equivalentemente: Cada categoría cartesiana se convierte automáticamente, en una categoría monoidal simétrica, así que Set es simétrica. También es fácil comprobar que Hilb, nCob son categorías monoidales simétricas. Así es Tang k para k = 3. Curiosamente, Tang k ‘se estabiliza’ en k = 3: incrementar el valor de k más allá de este valor, sólo da una categoría equivalente a Tang 3. La razón es que pode- mos desatar todos los nudos en el espacio 4-dimensional; adición de dimensiones extra no tiene ningún efecto real. De hecho, Tang k para k = 3 es equivalente a 1Cob. Esto es parte de un conjeturado patrón más grande llamado la ‘tabla periódi- ca’ de las n-categorías [13]. Algo de esto se muestra en Tabla 3. 33

” Alberto Mejías n = 0 n = 1 n = 2 k = 0 conjuntos categorías 2-categorías k = 1