Aleph Sub Cero. Categorías y transcripción inter-física, topología, lógica, informática (página 2)

k = 3 monoides

monoides conmutativos categorías 2-categories monoidales monoidal categorías 2-categorías monoidales monoidales trenzadas trenzadas categorías 2-categorías monoidales monoidales simétricas silépticas 2-categorías k = 4 ” ” monoidales simétricas k = 5 k = 6 ” ” ” ” ” ” Tabla 3: Tabla Periódica: descripciones conjeturadas de (n + k)-categorías con so- lamente un j-morfismo j < k.

Una n-categoría tiene, no sólo morfismos entre objetos, sino, también, 2- morfismos entre morfismos, 3-morfismos entre 2-morfismos y así sucesivamente hasta n-morfismos. En topología podemos utilizar n-categorías para describir su- perficies enmarañadas de dimensiones superiores [14] y en física, las podemos uti- lizar para describir no sólo partículas, sino también, cuerdas y membranas de di- mensiones superiores [13], [15]. La piedra de Rosetta que estamos describiendo se refiere sólo a la columna n = 1, de la tabla periódica. Así que, probablemente, es sólo un fragmento de una piedra de Rosetta n-categorial, más grande, aun no descu- bierta.

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En mecánica quántica, se puede codificar a un operador lineal f : X ? Y, en un estado quántico, usando una técnica llamada ‘teleportación por compuerta’ [47]. En topología, hay una manera de tomar cualquier maraña f : X ? Y y darle vuelta a la entrada para hacerla parte de la salida. En lógica, podemos tomar una demostra- ción que va de alguna hipótesis X a alguna conclusión Y y convertirla en una de- mostración que va desde ninguna hipótesis a la conclusión ‘X implica Y’. En infor-

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mática, podemos tomar cualquier programa que toma entradas de tipo X y produce salidas de tipo Y y pensar en él como en un nuevo tipo de datos: un ‘tipo de fun- ción’. El concepto subyacente que unifica todos estos ejemplos es el concepto de ‘categoría cerrada’.

Para cualesquiera objetos X y Y en una categoría C, hay un conjunto de mor- fismos de X a Y, denotado hom(X, Y). En una categoría cerrada también hay un ob- jeto de morfismos de X a Y, denotado por X Y. (también se utilizan otras nota- ciones). En este caso hablamos de un ‘hom interno’, ya que el objeto X Y habita dentro de C, en vez de ‘afuera’, en la categoría de conjuntos.

Las categorías cerradas fueron introducidas en 1966, por EILENBERG y KEL- LY [39]. Aunque estos autores fueron capaces de definir una estructura cerrada para cualquier categoría, resulta que el hom interno se entiende más fácilmente para las categorías monoidales. La razón es que cuando nuestra categoría tiene un producto tensorial, es cerrada precisamente cuando los morfismos de X ? Y a Z, están en co- rrespondencia natural uno-a-uno con los morfismos desde Y hasta X palabras, es cerrada cuando se tiene un isomorfismo natural Z. En otras hom(X ? Y, Z) ? hom(Y, X Z) f f ~. Por ejemplo, en la categoría Set, si tomamos X ? Y como el producto carte- siano X × Y entonces X Z es sólo el conjunto de funciones de X a Z y tenemos una correspondencia uno a uno entre • las funciones f que comen elementos de X × Y y escupen elementos de Z y • las funciones f que comen elementos de Y y escupen funciones de X a Z. Esta correspondencia va como sigue: f (x)(y) = f (x, y). Antes de considerar a otros ejemplos, debemos hacer totalmente precisa la defini- ción de ‘categoría monoidal cerrada’. Para esto debemos señalar que para cualquier categoría C, hay un funtor op hom: C × C ? Set . op Definición 13. La categoría opuesta C de una categoría C tiene los mismos ob- 35

~ Z). ~ Z). terno X Alberto Mejías op jetos que C, pero un morfismo f: x ? y, en C op compuesto gf en C es el compuesto fg en C. es un morfismo f: y ? x en C y el Definición 14. Para cada categoría C, el funtor hom op hom: C × C ? Set op envía cualquier objeto (X, Y) ? C × C al conjunto hom(X, Y) y envía cualquier op morfismo (f, g) ? C × C a la función hom(f, g): hom(X , Y) ? hom(X', Y'), h ghf, cuando f: X' ? X y g: Y ? Y' son morfismos en C.

Definición 15. Una categoría monoidal C es levo-cerrada si hay un funtor hom interno op : C × C ? C, junto con un isomorfismo natural c, llamado encurrymiento que asigna a los obje- tos X, Y, Z ? C, una biyección cX, Y, Z: hom(X ? Y, Z) ? hom(X, Y Es dextro-cerrada si hay un si hay un funtor hom interno, como antes, y un iso– morfismo natural: cX, Y, Z: hom(X ? Y, Z) ? hom(Y, X

El término ‘encurrymiento’ (Inglés: ‘currying’) se utiliza, principalmente en informática, en atención al trabajo de CURRY [35].

En el resto de esta sección sólo se consideran categorías monoidales dextro- cerradas. Por suerte, no hay diferencia real entre levo- y dextro-cerrada para una ca- tegoría monoidal trenzada, ya que el trenzado da un isomorfismo X ? Y ? Y ? X.

En todos nuestros ejemplos, las categorías monoidales serán cerradas; pero, como veremos, una vez más, Set es diferente del resto: • La categoría cartesiana Set es cerrada, donde X Y es sólo el conjunto de funciones de X a Y. En Set o cualquier otra categoría cartesiana cerrada, el hom in- X Y, generalmente se denota por Y . Para minimizar el número de diferen- tes notaciones y destacar las analogías entre contextos diferentes, no haremos esto: utilizaremos siempre X Y. Para tratar a Set como levo-cerrada, definimos la ver-

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sión CURRY (encurryda) de f : X × Y ? Z como antes: f ~(x)(y) = f (x, y). Para tratarla como dextro-cerrada, en su lugar, la definimos por f ~(y)(x) = f (x, y). Esto parece un poco incómodo, pero estará bien para los diagramas de cuerdas. • La categoría monoidal simétrica Hilb con su producto tensorial, generalmente es cerrada, con X Y el conjunto de los operadores lineales de X a Y, convertido en un espacio HILBERT, de forma estándar. En este caso tenemos un isomorfismo X Y ? X* ? Y, donde X* es el espacio dual del espacio HILBERT X, es decir, el conjunto de los ope- radores lineales f: X ? C, convertido en un espacio HILBERT, de la manera habi- tual. • La categoría monoidal Tang k (k = 1) es cerrada. Como con Hilb, tenemos X Y ? X* ? Y donde X* es la versión de orientación invertida de X. • La categoría monoidal simétrica nCob también es cerrada; otra vez X Y ? X* ? Y, donde X* es la (n – 1)-variedad X con su orientación invertida. A excepción de Set, todos estos ejemplos son, en realidad, ‘compactas’. Esto básicamente significa que X Y es isomorfo a X* ? Y, donde X* es un objeto lla- mado el ‘dual’ de X. Pero para hacer esto preciso, tenemos que definir al ‘dual’ de un objeto en una categoría monoidal arbitraria. Para hacer esto, generalicemos a partir del caso de Hilb. Como ya se mencionó, cada objeto X ? Hilb tiene un dual X* formado por todos los operadores lineales f: X ? I, donde el objeto unidad I es sólo, C. Por tan- to, hay un operador lineal eX: X ? X ? I x ? f f(x), llamado la counidad de X. Además, el espacio de todos los operadores lineales de X a Y ? Hilb puede ser identificado con X* ? Y. Así, También hay un operador li- neal llamado la unidad de X:

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Alberto Mejías iX: I ? X* ? X, ¢ ¢1X , que envía cualquier número complejo ¢ al correspondiente múltiplo del operador i- dentidad.

La importancia de la unidad y la counidad se aclara si consideramos algunas ideas de FEYNMAN.

En física, si X es el espacio HILBERT de estados internos de alguna partícula, X* es el espacio HILBERT para la antipartícula correspondiente.

FEYNMAN se dio cuenta de que es esclarecedor considerar a las antipartículas como partículas yendo hacia atrás en el tiempo. Por tanto, dibujamos un cable mar- cado X*, como un cable marcado X, pero con una flecha señalando ‘hacia atrás’ en el tiempo: es decir, hacia arriba en vez de hacia abajo:

(Aquí debemos admitir que la mayoría de los físicos utilizan la convención opuesta, donde el tiempo marcha hacia arriba de la página. Puesto que leemos de arriba ha- cia abajo, preferimos que el tiempo corra hacia abajo de la página.)

Si dibujamos X* como a X yendo hacia atrás en el tiempo, podemos dibujar a la unidad, como un capelo:

y a la counidad, como una copa:

. En los diagramas FEYNMAN, éstos describen la creación y aniquilación de pares virtuales partícula-antipartícula.

Luego resulta que la unidad y la counidad satisfacen dos ecuaciones, las e- cuaciones zigzag: y . La verificación de éstas es un recreativo ejercicio en álgebra lineal, que dejamos al lector. Si escribimos estas ecuaciones como diagramas conmutativos, necesitamos

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– Categorías y Transcripción Inter-Física-Topología-Lógica-Informática

incluir algunos asociadores y unitores y llegan a ser un poco intimidantes:

X ? (X* ? X) X ? I 1X ? iX

rX X a X,1X*, X

(X ? X*) ? X)

eX ? 1X

I ? X

lX , (X* ? X) ? X*

aX*, X, X* iX ? 1X X* ? (X ? X*) I ? X* lX X* rX* 1X * ? eX

X* ? I ; pero, en realidad dicen que los zigzags en los diagramas de cuerdas, pueden ser en- derezados.

Esto es particularmente patente en ejemplos como Tang k y nCob. Por ejem-

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y Alberto Mejías plo, en 2Cob, tomando a X como la circunferencia, la unidad se ve así: ; mientras que la counidad luce como: . En este caso, las identidades zigzag dicen que podemos enderezar a un trozo de tu- bo cimbrado. Ahora estamos listos para algunas definiciones: Definición 16. Dados objetos X* y X en una categoría monoidal, llamamos a X* un dextro-dual de X y a X un levo-dual de X*, si hay morfismos iX : I ? X* ? X eX : X ? X* ? I, llamados la unidad y la counidad, respectivamente, que satisfacen a las ecuacio- nes zigzag. Se puede demostrar que ‘el’ levo- o dextro-dual de un objeto, es único, salvo isomorfismo canónico. Así, usualmente hablaremos de ‘el’ dextro- o levo-dual de un objeto, cuando existe. Definición 17. Una categoría monoidal C es compacta, si todos los objetos X ? C, tienen tanto levo- como dextro-dual. A menudo, se utiliza el término ‘autónoma’ en lugar de ‘compacta’. Muchos autores reservan el término ‘compacta’ para el caso donde C es simétrica o por lo menos trenzada; así, los levo-duales son iguales a los dextro-duales y las cosas se simplifican [42]. Para aumentar la confusión, las categorías monoidales simétricas compactas, a menudo se llaman simplemente, ‘categorías cerradas compactas’.

Una explicación parcial para esta última parte de la terminología, es que cualquier categoría monoidal compacta, automáticamente, es cerrada. Por ello, de- finimos al hom interno en objetos, por 40

Categorías y Transcripción Inter-Física-Topología-Lógica-Informática X Y = X* ? Y. Entonces debemos mostrar que la operación * se extiende naturalmente, a un funtor *: C? C, por lo que es, en realidad, un funtor. Por último, debemos comprobar que existe un isomorfismo natural hom(X ? Y, Z) ? hom(Y, X* ? Z). En términos de diagramas de cuerdas, este isomorfismo toma a cualquier morfismo

y tuerce al cable de entrada con la etiqueta X para convertirlo en salida:

Ahora, en una categoría monoidal compacta, tenemos:

. Pero, en general, las categorías monoidales cerradas no permiten flechas apuntando hacia arriba. Así que, para éstas, dibujar el hom interno es más que un desafío. Po- demos utilizar el mismo estilo de notación mientras añadimos un aderezo –una ga- za– que une a dos cables:

Sólo si la categoría monoidal cerrada es compacta, podemos eliminar la gaza. Supongamos que estamos trabajando con una categoría monoidal cerrada. Puesto que dibujamos un morfismo f: X ? Y ? Z así:

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Alberto Mejías

, podemos representar su versión encurryda f ~: Y ? X Z, doblando hacia abajo al cable de entrada X, para hacerlo parte de la salida:

Adviértase que, donde doblamos al cable X, apareció un capelo como este:

. Las categorías monoidales cerradas, realmente, no tienen un capelo si no son compactas. Entonces, dibujamos una burbuja que envuelve a f y la gaza, que evita que hagamos cualquier manipulación ilegal. En el caso compacta, tanto la burbuja y como la gaza son innecesarios, así podemos dibujar f ~ así:

Un caso especial importante de encurrymiento da el nombre de un morfismo f: X ? Y, f : I ? X Éste se obtiene encurryendo al morfismo f rx : I ? X Y.

Y. En los diagramas de cuerdas, dibujamos a f como sigue:

.

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Y. – 1 Categorías y Transcripción Inter-Física-Topología-Lógica-Informática

En la categoría Set, el objeto unidad es el conjunto de un solo elemento, 1. Así que, un morfismo de este objeto a un conjunto Q, escoge un punto de Q. En particular, el nombre f : 1 ? X Y, elige al elemento de X Y, correspondiente a la función f: X ? Y. Más generalmente, en cualquier categoría cartesiana cerrada el objeto unidad es el objeto terminal 1 y un morfismo de 1 a un objeto Q, se llama un punto de Q. Así que, incluso en este caso, podemos decir que el nombre de un morfismo f: X ? Y es un punto de X

Para Hilb es similar; aunque en este ejemplo es compacta, no cartesiana. En Hilb, el objeto unidad es justo C. Así, un morfismo no nulo de I a cualquier espacio HILBERT Q, escoge a un vector no nulo en Q, que podemos normalizar para obtener a un estado en Q: es decir, un vector unitario. En particular, el nombre de un mor- fismo no nulo, f: X ? Y, da un estado en X* ? Y. Este método de codificación de operadores como estados, es la base de la ‘teleportación por compuertas’ [47].

El encurrymiento es una biyección, así que también podemos descurryr: c X,Y,Z : hom(Y, X Z) ? hom(X ? Y, Z), g g . ~ Puesto que representamos a un morfismo g: Y ? X Z, como: , dibujamos su versión ‘descurryda’ g : X ? Y ? Z doblando la salida X hasta con- ~ vertirla en una entrada:

.

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