Introducción a la teoría de conjuntos

La Teoría de Conjuntos es una teoría matemática, que estudia básicamente a un cierto tipo de objetos llamados conjuntos y algunas veces, a otros objetos denominados no conjuntos, así como a los problemas relacionados con estos.

Intuitiva e informalmente los objetos de estudio de la Teoría de Conjuntos quedan descritos así:

• Si x no tiene elementos, entonces x es un objeto de la Teoría de Conjuntos.

• Si x es un conjunto, entonces x es un objeto de la Teoría de Conjuntos.

• Los únicos objetos de la Teoría de Conjuntos son los descritos en 1 y 2.

La importancia de la Teoría de Conjuntos radica en que a partir de ella se puede reconstruir toda la matemática, salvo la Teoría de Categorias.

Por ejemplo, con la Teoría de Conjuntos se pueden definir los siguientes conceptos y probar todas sus propiedades: par ordenado, relación, función, partición, orden, estructuras algebraicas, los naturales, los enteros, los racionales, los reales, los complejos, etc.

Teoria de conjuntos

Es la rama de las matemáticas a la que el matemático alemán Georg Cantor di su primer tratamiento formal en el siglo XIX , concepto de conjunto es uno de las mas fundamentales en matemáticas, incluso mas que la operación de contar, en todas las ramas de las matemáticas puras y aplicadas. En su forma explica, los principios y terminologías de los conjuntos se utilizan para construir proposiciones matemáticas mas claras y precisas y para explicar conceptos abstractos como el infinito.

Definiciones

Un conjunto es una agrupación, clase o colección de objetos denominados elementos del conjunto: utilizando símbolos de S presenta que el elemento a pertenece o esta contenido en el conjunto S. o lo que es el mismo, el conjunto S contiene al elemento a. Un conjunto S esta definido si dado un objeto a, se sabe con certeza que o a e S o a S. Esto es a no pertenece a S.

Un conjunto se representa frecuentemente con el símbolo S = | | , en donde las llaves engloban los elementos de S, ya sea de forma explicita, escribiendo todos y cada uno de los elementos, a dando una formula , regla o proposición que los describa.

Conceptos básicos de la Teoría de Conjuntos.

Son dos los conceptos básicos de la Teoría de Conjuntos:

• Conjunto: Colección de cualquier tipo de objetos considerada como un todo, una multiplicidad vista como unidad; entidad completa bien determinada. Los objetos que forman al conjunto son nombrados elementos del conjunto o miembros del conjunto. Por colección entenderemos a una agrupación que está determinada por una propiedad enunciada por medio de un lenguaje preciso. Todo conjunto es una colección de objetos, pero no toda colección de objetos es un conjunto. Esta afirmación será demostrada más adelante.

Relación de Pertenencia: El ser elemento de es una relación binaria o de dos argumentos entre dos objetos de la Teoría de Conjuntos.Esta relación va de un objeto a otro, donde el segundo objeto es necesariamente un conjunto y el primero puede ser o no un conjunto.

Colecciones: Clases y Conjuntos

Como se mencionó anteriormente, una colección está determinada por una propiedad P formulada en un lenguaje preciso. Una clase es una colección, cuyos objetos son los objetos de la Teoría de Conjuntos que cumplen la propiedad P que caracteriza a la colección. Las colecciones llamadas clases, son colecciones de objetos de la Teoría de Conjuntos, y pueden ser o no conjuntos en el siguiente sentido: Todo conjunto es una clase, pero no toda clase es un conjunto.

Proposición. La clase de todos los objetos x tales que cumplen la propiedad "x no pertenece a x", no es un conjunto.

Prueba. Supongamos que dicha clase sí fuera un conjunto y llamémosle R. Entonces:

• Si R no pertenece a R, R cumple la propiedad que caracteriza a la clase y tenemos que R pertenece a R.

• Si R pertenece a R, entonces R no cumple la propiedad que caracteriza a la clase y tenemos que R no pertenece a R.

Así pues, hemos mostrado que: si R no pertenece a R, entonces R pertenece a R; y si R pertenece a R, entonces R no pertenece a R. Pero como R pertenece a R o R no pertenece a R, entonces necesariamente se cumple que R pertenece a R y que R no pertenece a R, lo cual es absurdo.En conclusión, no es posible que dicha clase sea un conjunto.

Si una clase no es un conjunto le llamaremos clase no conjunto o clase propia, y no es un objeto de estudio de la Teoría de Conjuntos. Por lo anterior, la clase de todos los objetos x tales que x no pertenece a x, es una clase propia. Y se le conoce a dicha proposición como la Paradoja de Russell.

El Conjunto Universo Local.

En la Teoría de Conjuntos, se tiene como referencia, explícita o implícitamente, un universo local; es decir, un marco de referencia dentro del cual se trabaja.

Este universo local o del discurso debe de ser un conjunto, quedando muy claro este concepto, ya que no se le debe confundir con la colección de todos los conjuntos, que es una colección que no es un conjunto, sino una clase propia; por lo tanto, aunque no existe el conjunto de todos los conjuntos, si existirá en casi cada caso particular, un conjunto que tenga a todos los conjuntos de interés del discurso.

• Axioma de Separación o de Comprehensión. Si A es un conjunto cualquiera y P es una propiedad acerca de conjuntos, la colección de elementos de A que tienen la propiedad P, es un conjunto. Más precisamente, para toda propiedad P formulada en el lenguaje de la Teoría de Conjuntos lo siguiente es cierto: Para todo conjunto A, existe un conjunto B cuyos elementos son exactamente los elementos z de A tales que z cumple la propiedad P.

Teorema. Para todo conjunto, hay un conjunto que no le pertenece. Prueba. Sea A un conjunto cualquiera. Sea D el conjunto de las y que pertenecen al conjunto A, tales que cumplen la propiedad "y no pertenece a y". De lo anterior, por el axioma de separación, se sigue que D es un conjunto y que es subconjunto de A. Se afirma que D no pertenece al conjunto A, pues suponiendo que D pertenece al conjunto A entonces se tiene que:

• Si D no pertenece a D, entonces D pertenece a D, por cumplir la propiedad que caracteriza a D y por la suposición de que D pertenece al conjunto A.

• Si D pertenece a D, entonces D cumple la propiedad, por lo tanto, D no pertenece a D.

Las dos conclusiones anteriores juntas, implican que D pertenece a D y que D no pertenece a D, y esto es absurdo. Por lo tanto, se tiene que D no pertenece al conjunto A. Así pues, dado cualquier conjunto A, hay un conjunto D tal que D no pertece al conjunto A. Corolario. Ningún conjunto puede tener como elementos suyos, a todos los conjuntos.

Subconjuntos y superconjuntos

Si todo elemento de un conjunto R pertenece también al conjunto S. R es un subconjunto de S y S es un superconjunto de R. Utilizando símbolos, R S o S R. Todo conjunto es un subconjunto y un superconjunto de si mismo. Si R S. Y al menos un elemento S no pertenece a R, se dice que R es un subconjunto propio de S y S es un superconjunto propio de R. lo ue se representa con lo siguientes símbolos: R S. S R. Si R S son dos conjuntos iguales, lo que se escribe R = S . En los ejemplos anterior . S1 es un subconjunto propio de S2 .

OPERACIÓN DE CONJUNTOS

Union: Dados don conjuntos cualesquiera A y B llamamos "union" de A y B al conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a A o a B.

Simbólicamente:

A U B = { x : x € A v x€ B}

Intersección:

Dados dos conjuntos cualesquiera A y B llamamos "interseccion" de A y B al conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a Y y pertenecen a B.

Simbólicamente:

A – B = {x: x€ A ^ x€ B}

Diferencia:

Dados dos conjuntos cualesquiera A y B llamamos "diferencia" de A "menos" B al conunto formado por los elementos que pertence a A y no pertenecen a B.

Simbólicamente:

A-B = {x: x€ A ^ x€ B}

Complemento:

Dados dos conjuntos cualesquiera A y B con BA ( B subconjunto de A) llamamos "complemento de B respecto de A" al conjunto de elemento que pertenece a A y no a B. esto es lo que le falta a B para ser igual a A.

Producto Cartesiano:

Para definir el producto cartesiano de dos conjuntos cualesquiera A y B primero definiremos a lo que es un par ordenado.

Par ordenado:

Un par ordenado es un conjunto de dos elementos donde nos interesa el orden en que estos aparezcan, esto es posee un primer elemento y un segundo elemento. Se representan con parentesisi y a los elementos se les denominara componentes (a,b) representa el par ordeando cuya primer componente es a y su segunso componente es b.

Debemos observar que para que dos pares ordenados sean iguales sus componentes deben serlo:

(a,b) = (c,d) si y solo si a=c y b=d.

Habiendo definido lo que es un par ordenado podemos decir que: El producto carteciano de dos conjuntos A y B es el conjunto de todos los pares ordeandos cuya primera componentes pertenece a A y cuyo segundo componente pertenece a B.

AXB {(a,b)/ a€ A y b€ B}

MULTIPLICACION DE CONJUNTOS

Si A y B son dos conjuntos, el conjunto de todos los posibles pares ordenados de elementos de la forma (a,b), donde a pertenece a A y b pertenece a B, se denomina producto cartesiano de A y B, que se escribe normalmente A*B.

CORRESPONEDENCIA ENTRE CONJUNTOS

Los elementos del conjunto A = {1,2,3} se puede relacionar, emparejar o hacer corresponder con los elementos del conjunto B = {x,y,z} de distintas maneras, de forma que a todos los elementos de B le corresponden uno de A, a todos los elementos de A le corresponde un elemento de B, elementos distintos de un conjunto están emparejados con elementos distintos del otro.

DIAGRAMA DE VENN

A cada conjunto se le considera encerrado dentro de una curva (plana) cerrada. Los elementos del conjunto considerado pueden ser específicamente dibujados o pueden quedar (implícitamente) sobreentendidos. Los diagramas son empleados para representar tanto a los conjuntos como a sus operaciones y constituyen una poderosa herramienta geométrica, desprovista de valide lógica.

PROPIEDADES DEL ALGEBRA DE CONJUNTOS

Conmutativas

A U B = B U A A B = B A

Asociativas

(A U B) U C = (A B) C =

A U (B U C) A (B C)

A U (B C) = A (B U C)=

Distributivas

(A U B) (A U ( A B) U ( A C )

Neutros

A E = A A U O = A

Propiedades Negativas

A U Ae = E A A = O

Idemponentes

A U A = A A A = A

Absorbentes

A U E = E A O = O

Doble negacion (DN)

(Ae)e = A

Leyes de morgan (LM) (A U B)e = A (A B)e = Ae U

Be Be

Simplificativas

A U (A B) = A (A U B ) =

A A

Logica proposicional

La lógica proposicional es la más antigua y simple de las formas de lógica. Utilizando una representación primitiva del lenguaje, permite representar y manipular aserciones sobre el mundo que nos rodea. La lógica proposicional permite el razonamiento, a través de un mecanismo que primero evalúa sentencias simples y luego sentencias complejas, formadas mediante el uso de conectivos proposicionales, por ejemplo Y (AND), O (OR). Este mecanismo determina la veracidad de una sentencia compleja, analizando los valores de veracidad asignados a las sentencias simples que la conforman.

Una proposición es una sentencia simple que tiene un valor asociado ya sea de verdadero (V), o falso (F). Por ejemplo:

Hoy es Viernes

Ayer llovió

Hace frío

La lógica proposicional, permite la asignación de un valor verdadero o falso para la sentencia completa, no tiene facilidad par analizar las palabras individuales que componen la sentencia. Por este motivo, la representación de las sentencias del ejemplo, como proposiciones, sería:

hoy_es_Viernes

ayer_llovió

hace_frío

La proposiciones pueden combinarse para expresar conceptos más complejos. Por ejemplo:

hoy_es_Viernes y hace_frío.

A la proposición anterior dada como ejemplo, se la denomina fórmula bien formada (well-formed formula, wff). Una fórmula bien formada puede ser una proposición simple o compuesta que tiene sentido completo y cuyo valor de veracidad, puede ser determinado. La lógica proposicional proporciona un mecanismo para asignar valores de veracidad a la proposición compuesta, basado en los valores de veracidad de las proposiciones simples y en la naturaleza de los conectores lógicos involucrados.

En  la Lógica Formal se estudian los principios y métodos a través de los cuales podemos determinar la validez de argumentos, desde el punto de vista solamente de su estructura, sin tomar en cuenta el contenido semántico de las expresiones de los argumentos. De esta manera si se argumenta que:

    Todos los majadistanenses son de Majadistán     Rudistein es Majadistanense     En consecuencia,Rudistein es de Majadistan.

En este argumento, no tomamos en cuenta si los majadistanenses son humanos, perros, pericos o un concepto abstracto de cualquier área.

Tampoco nos importa si Rudinstein es un ciudadado de alguna ciudad del mundo o si es el nombre de un perro.

De esta manera desde el punto de vista de su estructura este argumento es válido.

Se hace incapié que la Lógica no se hace responsable de su aplicación a nivel semántico.

Se puede decir que la Lógica es una herramienta para el análisis de la veracidad de argumentos en base sólo a la estructura de éstos, donde el significado de los elementos que intervienen no es tomado en cuenta.

El argumento anterior tiene dos partes principales:

A) Las premisas:      Todos los majadistanenses son de Majadistán         Rudistein es Majadistanense B) La conclusión:         Rudistein es de Majadistán

De esta manera el argumento es válido, ya que de las premisas sigue la conclusión, lo cual hasta cierto punto nos parece totalmente natural. Consideremos el siguiente argumento:

    Argentina está en Africa o Argentina está en Asia.     Argentina no está en Asia     En consecuencia, Argentina está en Africa.

Nuevamente este argumento es válido desde el punto de vista lógico, aún cuando sabemos que la conclusión es falsa. ¿Cómo puede ser ésto? ¿A partir de la Lógica se pueden obtener conclusiones equivocadas?

La respuesta es afirmativa, ya que la lógica  no verifica el significado de las premisas.

Debido a lo anterior es necesario distinguir entre proposiciones verdaderas y proposiciones lógicamente verdaderas.

Las primeras son verdaderas independientemente de su estructura, mientras que las segundos no lo son. De esta manera, las proposiciones:

Argentina está en Africa o Argentina está en Asia Argentina está en Africa

Son verdaderas lógicamente debido a que la primera es una premisa y a que la segunda ha sido derivada lógicamente de sus premisas.

Las proposiciones son  expresiones que pueden ser evaluadas como verdaderas o falsas.

En los lenguajes naturales (Español, Inglés, etc), las proposiciones sólo pueden ser expresiones declarativas y nunca interrogativas o imperativas.

De esta manera las siguientes son proposiciones:

        Los cantantes no duermen.         Comer mucho, engorda         Las montañas cantan bonito         Los mosquitos viven menos de un año         El hombre desciende del elefante

Sin embargo, las siguientes no son proposiciones por no poder ser evaluadas como verdaderas ni falsas:

¡Levántate temprano!         ¿Has entendido lo que es una proposición?         ¡Estudia esta lección!         ¿Cuál es la dirección de la página de Lógica Computacional?

En este módulo estudiamos la lógica proposicional, es decir, se estudian los principios para determinar la validez de argumentos conformados con proposiciones. Esto involucra los siguientes tipos de proposiciones:

* Proposiciones simples o átomos     * Proposiciones compuestas

Los átomos o proposiciones simples son tales que no es posible encontrar en ellas otras proposiciones, mientras que las proposiciones compuestas están conformadas de varias proposicones simples a través de lo que se denomina conectores lógicos, entre los cuales se encuentran:  y, o, implica.

Ejemplo de proposiciones compuestas son:

Las montañas cantan bonito o Los mosquitos viven menos de un año.

   El hombre desciende del elefante y Comer mucho, engorda.

Los conectadores básicos de la lógica proposicional, se dan en la Tabla 4.1. Las tablas de verdad para las operaciones básicas, se muestran en la Tabla 4.2.

Tabla 4.1 Conectores básicos de la lógica proposicional

Tabla 4.2 Tablas de verdad para operadores lógicos

El conectador de implicación, puede ser considerado como un condicional expresado de la siguiente forma:

Si A => B va a ser verdadero,

Entonces toda vez que A sea verdadero, B debe ser siempre verdadero.

Para los casos en los cuales A es falso, la expresión A => B, es siempre verdadera, independientemente de los valores lógicos que tome B, ya que el operador de implicación no puede hacer inferencias acerca de los valores de B.