Ajuste de un péndulo real al modelo péndulo simple

RESUMEN.

El presente trabajo pretende, a partir de un análisis teórico acerca del método de los modelos, mostrar la importancia de este método para el establecimiento de teorías físicas y brindar de forma sencilla el modo de ajustar un péndulo real (físico) a las características del modelo Péndulo simple.

DESARROLLO.

1.- LOS MODELOS EN FÍSICA.

Desde las épocas más remotas, la Física ha desarrollado un amplio conjunto de teorías que han servido de fundamento, entre otras cosas, al desarrollo técnico alcanzado por la humanidad.

Cuando una teoría física está en proceso de desarrollo, se hace necesario el establecimiento de hipótesis que constituyen una respuesta anticipada al problema objeto de estudio y que debe ser aceptada o rechazada en dependencia de su ulterior comprobación mediante la experimentación.

A partir de esta hipótesis se elabora un modelo de la situación que se estudia. Este proceso de modelación constituye uno de los métodos de trabajo fundamentales de la Física.

Todo modelo físico es una abstracción que hace el científico de la realidad y en él se centra la atención únicamente en los aspectos realmente importantes del fenómeno y se minimizan aquellos que solo implicarían hacer más dificultoso su estudio.

Baste como ejemplo ilustrativo de lo planteado anteriormente el modelo Gas Ideal, en el que se considera que los choques entre partículas y entre estas y el recipiente que contiene el gas como choques perfectamente elásticos.

Dicho de otro modo " El modelo es una representación adecuada del objeto" (Metodología de la enseñanza de la Física: conferencias, V. Usanov. 1982. p.33). Entendiendo nosotros por "representación adecuada" lo señalado en el párrafo anterior.

Los modelos físicos, según el V. Usanov. pueden ser clasificados en tres tipos: visuales, abstractos y simbólicos.

En la Física Clásica son de gran uso los modelos visuales. Por ejemplo, al observar el desplazamiento de un ómnibus, consideramos que de manera semejante se mueven los demás objetos (el hombre, los planetas, etc.).

Pero sucede que en ocasiones, como es el caso del análisis del movimiento de las micropartículas, no es posible el establecimiento de un modelo visual de la situación. Es aquí donde se hace necesaria la implementación de un modelo abstracto.

Como ejemplos de modelos abstractos podemos mencionar: el punto material, el gas ideal, el oscilador armónico simple y, relacionado con este último, el modelo Péndulo Simple. Aclaremos que este tipo de modelo es el más utilizado en Física.

En cuanto a los modelos simbólicos debemos destacar que existe una gran cantidad de ellos, por cuanto las ecuaciones matemáticas que constituyen el fundamento de toda teoría física son modelos de este tipo. Veamos algunos ejemplos:

La expresión

( segunda ley de Newton) representa, implícitamente, la dependencia de los cambios de la velocidad de un cuerpo (su aceleración) de la fuerza aplicada sobre él y de su masa.

La ecuación

es representativa de un movimiento rectilíneo uniforme, modelo en el que desprecian agentes que provoquen efectos disipativos.

Las ecuaciones de Maxwell tienen como significado la unificación entre los campos eléctricos y magnéticos en un campo único: el campo electromagnético.

2.- OSCILADOR ARMÓNICO SIMPLE.

Dentro de los modelos abstractos utilizados en Física y al que hicimos referencia con anterioridad se encuentra el oscilador armónico simple (O.A.S) que presenta, como características, las siguientes:

1.- El movimiento es oscilatorio por cuanto el sistema realiza un movimiento de vaivén alrededor de una posición de equilibrio estable.

2.- El movimiento es armónico pues el agente restaurador es proporcional a la separación del sistema de la posición de la posición de equilibrio estable y, además, porque puede describirse a partir de funciones seno y coseno.

3.- las oscilaciones se consideran libres pues se desprecian agentes que provoquen efectos disipativos.

El modelo simbólico de este modelo abstracto es una ecuación diferencial lineal, homogénea y de segundo orden como la siguiente:

(1)

3.- PÉNDULO SIMPLE.

Pasemos ahora al análisis del péndulo simple, un modelo abstracto estrechamente relacionado con el anterior.

Un péndulo es un sistema formado por un cuerpo suspendido de un hilo y que puede realizar oscilaciones alrededor de una posición de equilibrio estable.

El péndulo simple es un modelo que debe cumplir con las siguientes características:

1.- El hilo del que pende el cuerpo es inextensible y sin peso .

2.- La masa del sistema se considera concentrada en el cuerpo (puntual) que oscila.

3.- No existen agentes que provoquen efectos disipativos.

Teniendo en cuenta estas características veamos ahora cómo obtener el modelo simbólico (ecuación matemática) que se utiliza para describir el movimiento del sistema.

En la siguiente figura se han trazado los ejes coordenados: el eje x en la dirección tangente a la trayectoria descrita por el cuerpo y el eje y según el radio de esta trayectoria. Es obvio que esta trayectoria es un arco de circunferencia.

Se representan, además, las componentes de la fuerza de gravedad en estos ejes quedando claro que su componente en la dirección x tomada es el agente restaurador para el caso que nos ocupa.

Apliquemos ahora la segunda ley de Newton al eje x. Así:

Se toma el ángulo como variable para describir la separación del sistema de la posición de equilibrio estable. Entonces:

donde S es la longitud del arco de circunferencia que describe la partícula y si expresamos el ángulo en radianes podemos escribir:

Entonces:

Acomodando la expresión anterior y dividiendo por nos queda:

Comparando la ecuación anterior con la ecuación (1) nos damos cuenta que esta, realmente, no se corresponde con el modelo del oscilador armónico simple pues el agente restaurador no es proporcional a la separación del sistema de la posición de equilibrio estable sino a lo cual no coincide con las características del modelo.

Para eliminar esta dificultad hagamos que la amplitud de oscilación del sistema sea lo suficientemente pequeña como para considerar que y entonces la ecuación anterior podrá ser escrita como:

(2)

que sí es similar a la ecuación (1) y, bajo estas condiciones se puede afirmar que el péndulo simple realiza oscilaciones armónicas simples.

Por los procedimientos conocidos para resolver ecuaciones diferenciales de este tipo podemos obtener como solución para (2) la siguiente:

donde:

es la elongación.

es la amplitud de las oscilaciones.

es la frecuencia propia de las oscilaciones libres del sistema.

Y es la Fase inicial (estado en que se encuentra el sistema cuando se comienza a medir el tiempo).

4.- AJUSTE DE UN PÉNDULO REAL A LAS CARACTERÍSTICAS DEL MODELO PÉNDULO SIMPLE.

Pasemos ahora a proponer un método práctico para demostrar cómo podemos hacer que un péndulo real pueda ajustarse a las características del modelo péndulo simple.

Antes de hacerlo veamos algunas implicaciones a que conllevan las características del modelo.

HILO INEXTENSIBLE Y SIN PESO.

Garantiza que la trayectoria del cuerpo sea un arco de circunferencia y que toda la masa del sistema esté concentrada en el cuerpo que oscila.

CUERPO PUNTUAL.

Esto se garantiza logrando que la longitud del hilo sea mucho mayor que cualquiera de las dimensiones lineales del cuerpo.

NO EXISTEN AGENTES QUE PROVOQUEN EFECTOS DISIPATIVOS.

Se logra haciendo que la amplitud de las oscilaciones sea lo suficientemente pequeña como para que se pueda garantizar la condición:

El ajuste se realizó por el autor utilizando los materiales que se listan a continuación y realizando un montaje como el de la figura.

1.- Hilo (120 cm).

2.- Dos cuerpos esféricos de masa 100 g cada uno.

3.- Balanza digital.

4.- Regla graduada.

5.- Semicírculo graduado.

6.- Pié de rey.

Además se utilizaron los siguientes valores:

L0 = 120 cm ( longitud del hilo).

mc =100 g (masa de cada esfera)

dc =1,5 cm (diámetro de las esferas).

amplitud de las oscilaciones.

mH = 0,2 g (masa del hilo determinada en la balanza).

PRIMER PASO: Hilo no tiene peso.

Se determinan las masas del hilo y la esfera mediante la balanza y, luego, se realiza con ellas la siguiente operación:

Como se puede ver la masa del hilo sólo representa un 0,2 % de la masa de la esfera suspendida de él lo que implica que el peso del hilo es despreciable respecto al del cuerpo. La masa del sistema está concentrada en el cuerpo.

SEGUNDO PASO: Hilo inextensible.

Se midió la longitud del hilo ( L0=120 cm) con el con el cuerpo de 100 g colgado de él. Luego se adiciona el otro cuerpo y se mide la nueva longitud del hilo (L= 120,5 cm) y se realizan los cálculos siguientes:

Del resultado anterior se puede concluir que el alargamiento del hilo es despreciable (sólo un 0,4 %) respecto a su longitud inicial.

TERCER PASO: Cuerpo puntual.

Para esto se debe comprobar que la longitud del hilo es mucho mayor que cualquiera de las dimensiones lineales del cuerpo. Para esto se mide, con el Pie de rey el diámetro de la esfera (se obtiene dc =1,5 cm) y se realiza la siguiente comparación con la longitud del hilo:

Esto demuestra que cualquiera de las dimensiones lineales del cuerpo (el diámetro en este caso) son despreciables respecto a la longitud del hilo. El cuerpo puede considerarse puntual.

CUARTO PASO: Despreciar agentes que provoquen efectos disipativos.

Para esto se hace oscilar el sistema con una pequeña amplitud de modo que se cumpla la condición . Lo anterior se cumple para ángulos de hasta 200 aproximadamente. Aquí lo hicimos para una amplitud angular de 120 .

Se hace oscilar el sistema con una amplitud de 120 y se deja que realice 10 oscilaciones al cabo de las cuales se mide el decremento de dicha amplitud mediante el semicírculo graduado (se obtuvo una disminución de 0,50 y se determina la relación:

De este resultado se concluye que la disminución de la amplitud (al cabo de 10 oscilaciones) es de sólo un 4,1 % respecto a la amplitud inicial. De aquí puede concluirse que las pérdidas por fricción son mínimas y pueden obviarse los agentes disipativos.

CONCLUSIONES.

Aquí queda demostrado cómo el establecimiento de un modelo (abstracto como es el caso que analizamos) permite realizar un estudio simplificado de un fenómeno físico por cuanto nos permite abstraernos de elementos que puedan hacerlo más difícil y centrar nuestra atención en aquellos aspectos que realmente presentan interés en nuestro análisis.

Además hemos ejemplificado cómo hacer que a un sistema real (un péndulo físico en nuestro caso) pueden asignársele las características del modelo correspondiente.

BIBLIOGRAFÍA.

1.- Usanov. Veniamin. "Metodología de la enseñanza de la Física: conferencias". Editorial Pueblo y Educación. La Habana, 1982.

2.- Reyes, S. Luis. "Oscilaciones y Ondas Mecánicas". Editorial Pueblo y Educación. La Habana. 1976.

3.- Marín Alonso. Fernando "problemas de Física. Estudio teórico práctico. Editorial Alambra. SA.

4.- Goldstein, Herbert. "Mecánica Clásica". Edicion Revolucionaria.La Habana.1968.

Manuel Ballester Boza

Lic. En Educación en Física.