ACFparcial 5 Tasa Pasiva – Autocorrelaciones Parciales 1ra derivada no estacional Coeficiente 1.0 0.5 0.0 -0.5 -1.0 Límites confidenciales 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 No de retardos En especial con la aplicación de una derivada no estacional si observamos el gráfico de autocorrelaciones simples, su estructura ya deja de mostrar todos sus coeficientes altos con lento decrecimiento, es decir ya no presenta tendencia. En consecuencia una única derivada no estacional bastará para eliminar la tendencia y estabilizar la varianza de la serie (d = 1). Ahora, observemos la estructura en los nuevos gráficos de las funciones de autocorrelaciones y autocorrelaciones parciales: el primer coeficiente (q= 1) de la función de autocorrelaciones simples no es nulo, luego para el resto de coeficientes existe tendencia a acercarse a cero. Por otro lado para la función de autocorrelaciones parciales se encuentran varios coeficientes no nulos que decrecen con el retardo de manera exponencial. Comportamientos de este estilo sugiere en principio aplicar un proceso integrado de media móvil de orden q, MA(q) a la serie transformada para posteriormente afinar le modelo. La figura siguiente muestra los estadísticos de prueba al aplicar un proceso media móvil de orden 1 (q = 1). Figura Model Description Variable: pasiva Non-seasonal differencing: 1 No seasonal component in model. Parameters: Initial values: MA1 = 0,46330
ACF B 6 Analysis of Variance: DF Adj. Sum of Squares Residual Variance Residuals 271 27,239508 ,10028227 Variables in the Model: SEB T-RATIO APPROX. PROB. MA1 ,68365601 ,04472185 15,286844 , 0000000 Observemos que el p-valor (APPROX. PROB) para el modelo MA(1) es cero y el estadístico T-radio de prueba es alto, estos indican un buen ajuste del modelo; además el análisis de la varianza residual es pequeña. Ahora analicemos los gráficos de las funciones de autocorrelaciones simples y parciales correspondientes a este modelo, estas indican una buena aplicación y buen ajuste ya que todos los coeficientes se encuentran dentro de los intervalos de confianza de cero, a excepción del coeficiente correspondiente al período 13 para ambos casos; recordemos las gráficas anteriores en ellas se encontraba coeficientes fuera de las bandas por lo general por este mismo retardo. Tasa Pasiva Autocorrelaciones Modelo ARIMA (0, 1, 1) 1.0 0.5 0.0 -0.5 -1.0 Coeficiente Límites confidenciales 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 No de retardos Esto indica la existencia de correlación residual, es decir una componente estacional para los retardos, por ende nos encontramos en la búsqueda de un modelo tipo ARIMA(p,d,q)(P,D,Q)s.
ACFparcial ACF 7 Tasa Pasiva – Autocorrelaciones Parciales Modelo ARIMA(0, 1, 1) 1.0 0.5 0.0 -0.5 -1.0 Coeficiente Límites confidenciales 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 No de retardos Determinación de los órdenes p, d, q, P, D, Q del modelo mixto. Luego del análisis de tendencia y estacionalidad se conoció que la serie tiene tendencia decreciente y además no es estacional, entonces fue necesario transformar la serie a través de únicamente una derivada no estacional (d = 1) y ninguna derivada estacional (D = 0) para estabilizar la varianza y eliminar la tendencia. A partir de lo cual se aplicó un proceso media móvil (q = 1) y no fue necesario un proceso autorregresivo (p =0). Los residuales de la serie muestran la parte estacional de período s = 13, entonces realizamos los ensayos para obtener los parámetros faltantes que tal manera que obtengamos el mejor modelo. A continuación se muestra los gráficos de las funciones de autocorrelaciones para los residuales para el modelo loable encontrado, ARIMA(0, 1, 1)x(1, 0, 0)13 Autocorrelaciones Simples Residuos del Modelo ARIMA(0,1,1)x(1,0,0)13 1.0 0.5 0.0 -0.5 -1.0 Coeficiente Límites confidenciales 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 No de retardos
ACFparcial t Geo 8 Autocorrelaciones Parciales Residuos Modelo ARIMA(0,1,1)x(1,0,0)13 Coeficiente 1.0 0.5 0.0 -0.5 -1.0 Límites confidenciales 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 No de retardos Se observa que ahora todos los coeficientes tanto de las partes superiores o inferiores están dentro de las bandas o muy próximas a cero, es decir son prácticamente nulos, por lo que ya no hay ninguna evidencia de estacionalidad ni ningún tipo de estructura, afianzando la validez del modelo encontrado. A continuación se presenta las pruebas concernientes a la estimación de los parámetros y estadísticos asociados, y la validación del modelo este último consiste en comprobar que el proceso bajo el modelo es un ruido blancoGeo. Forecast Summary —————- Nonseasonal differencing of order: 1 Forecast model selected: ARIMA(0,1,1)x(1,0,0)13 Number of forecasts generated: 12 ARIMA Model Summary Parameter Estimate Stnd. Error P-value —————————————————————————- MA(1) SAR(1) 0,686587 0,205569 0,0440076 0,0579458 15,6016 3,5476 0,000000 0,000458 —————————————————————————- Estimated white noise variance = 0,0970451 with 270 degrees of freedom Estimated white noise standard deviation = 0,311521 Observemos que los p-valores asociados al valor estadístico de contraste t son menores a 0.05 por lo que nuestro modelo encontrado es aceptado a un nivel significativamente alto del 95% de confiabilidad. Definición de Ruido Blanco, en Anexo 2
9 El siguiente paso luego de encontrar un buen modelo que se ajuste a la información, es comprobar su capacidad de predicción, en este sentido una Prueba de Normalidad es requerida, en donde los residuos de las observaciones y los residuos esperados bajo la hipótesis de normalidad, se reduce a comprobar la distribución de ambas variables residuales. Una alternativa para el estudio de la normalidad es la prueba de bondad de ajuste de Kolmogorov – Smirnov. Si el p-valor asociado al valor del estadístico de contraste es menor que a, se rechazará la hipótesis nula. La figura siguiente proporciona la prueba de Kolmogorov – Smirnov para contrastar la hipótesis de normalidad de los residuos del modelo. Prueba de Kolmogorov-Smirnov para una muestra Residuos arima N 272 Parámetros normales a,b Diferencias más extremas Media Desviación típica Absoluta Positiva -,0219 ,30906 ,055 ,030 Z de Kolmogorov-Smirnov Sig. asintót. (bilateral) Negativa -,055 ,906 ,385 a. La distribución de contraste es la Normal. b. Se han calculado a partir de los datos. El p-valor asociado es suficientemente grande y se concluye que la diferencia observada entre la distribución de la serie de los residuos del modelo y la esperada no es significativamente significativa, en consecuencia se acepta la hipótesis de normalidad.
El grafico siguiente muestra la serie original y la serie esperada con el modelo y además el pronóstico para 12 períodos. Predicción. Con la aplicación del modelo encontrado, a continuación se presenta las estimaciones para 12 periodos de la serie Tasa Pasiva Referencial. Pronóstico de la Tasa Pasiva con el Modelo Nro. Período Pronóstico L. sup. 95% L inf. 95% 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 28/08/2006 29/08/2006 30/08/2006 31/08/2006 01/09/2006 02/09/2006 03/09/2006 04/09/2006 05/09/2006 06/09/2006 07/09/2006 08/09/2006 Prediccion 4,25% 4,25% 4,34% 4,20% 4,22% 4,20% 4,16% 4,29% 4,20% 4,24% 4,13% 4,17% L sup 4,87 4,89 5,01 4,89 4,94 4,94 4,92 5,08 5,01 5,08 4,98 5,04 3,64 3,61 3,67 3,5 3,51 3,46 3,39 3,5 3,39 3,41 3,28 3,3 L inf 5.00 4.50 4.00 3.50 28- 29- 30- 31- 01- 02- 03- 04- 05- 06- 07- 08- AUG- AUG- AUG- AUG- SEP- SEP- SEP- SEP- SEP- SEP- SEP- SEP- 06 06 06 06 06 06 06 06 06 06 06 06 fecha
• • • ANEXO 1 Procesos Estacionarios Definimos primero un proceso estocástico como una familia de variables aleatorias que corresponden a momentos sucesivos del tiempo, una serie temporal puede ser considerada como una realización o trayectoria de un proceso estocástico. Un proceso estocástico {Xt} es estacionario (en covarianzas) si: La media de Xt es constante: E(Xt) = µt = µ para todo t ( a lo largo del tiempo) La varianza de Xt es constante: V(Xt) = st2 = s2 para todo t ( a lo largo del tiempo) La correlación entre dos períodos distintos de tiempo Xt y Xt+ k depende únicamente del número de retardos que las separa. ANEXO 2 Ruido Blanco Un proceso puramente aleatorio o estacionario se caracteriza por su media igual a cero y su varianza constantes a lo largo del tiempo y porque no existe relación entre valores referidos a momentos distintos del tiempo (correlación = 0). En un tratamiento de series temporales se suele designar a un proceso puramente aleatorio con la denominación de ruido blanco.
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