Mecánica de fluidos (página 2)

? ? Q2 ? D1 4 ? ? 2g? 2 *? ? 1 ? ? 42 *? ? ? 1 1 ? D1 4 ? ? ? D2 m2 2*9.8 2 *? 2 * ? 16*? 4 ? ?0.08 0.1 ? m se tiene ? ? ? 4 ?Q2 ? D2 1 42 2g ? 2 p1 ? p2 ? Despejando el caudal se tiene Q ? ? p ? p2 ? ? ? ? ? ? 4 La caída de presión entre los puntos 1 y 2 se puede igualar a la diferencia de niveles en el manómetro de mercurio, así ? Z2 ? Z1 ? 5cm Hg p1 ? p2 ? N m2 p1 ? p2 ?13.6*9800*0.05 ? 6664 Entonces m 6664

9800 3 4 4 N

s N m3 ? 0.02388m ? 23.88L ? 1 1 ? 1 s s Q ? 1.7 Balance de Energía Cuando un cuerpo sólido se mueve en un fluido, se originan fuerzas que no tendrían lugar si el sólido se moviera en su espacio vacío. Por la tercera Ley de Newton, el cuerpo ejerce sobre el fluido una fuerza igual pero de sentido contrario a la que el fluido ejerce sobre el sólido. Esta fuerza que el fluido ejerce sobre el sólido se traduce en pérdidas de energía debido al movimiento del sólido en el fluido. Esta fuerza también es análoga a la fuerza que experimenta un fluido cuando se mueve por una superficie sólida, como en el caso del agua que se transporta por una tubería o el movimiento del fluido entre dos placas.

En casi todos los problemas de flujo, es necesario considerar las pérdidas, las cuales se deben a dos efectos primarios: 1. La viscosidad produce fricción interna que eleva la energía interna o causa transferencia de calor. 2. Los cambios de geometría producen flujos separados que requieren energía útil para mantener los movimientos secundarios que se generan.

En una tubería, las pérdidas debidas a efectos viscosos se distribuyen por toda la longitud, mientras que la pérdida debida a un cambio de geometría (una válvula, un codo, un ensanchamiento) se concentra en las inmediaciones del cambio de geometría. El cálculo analítico de las pérdidas es un poco difícil, sobre todo si el flujo es turbulento. En general, la predicción de las pérdidas se basa en fórmulas empíricas, como se verá más adelante. El flujo de fluidos está siempre acompañado de rozamiento de las partículas de fluido entre sí y, consecuentemente, por la pérdida de energía disponible; en otras palabras, tiene que existir una pérdida de presión en el sentido del flujo.

? 2 ? Z2 ? 2 ? hL (kg/m ) Peso específico (N/m ) Viscosidad cinemática (m /s) (kg/m ) (m /s)*10 Para aplicar la ecuación de Bernoulli a flujos reales se introduce un valor de corrección llamado pérdida de carga, hL, que es igual a la suma de la pérdida de carga por la fricción del fluido hf y la pérdida de carga por los cambios en la geometría de la tubería hK La pérdida de carga representa la conversión de energía mecánica en calor, es decir, todas las formas de energía no utilizables; y que aparece mientras el fluido fluye desde el punto uno hasta el punto dos. El valor de la pérdida de carga hL siempre es positivo, así se respeta la pérdida de energía entre el punto uno y el punto dos: p V 2 V12 2g ? Z1 ? ? 2g p1 ? Ec. 1-20 El flujo de fluido real es mucho más complejo que el flujo de fluido ideal. Debido a la viscosidad de los fluidos reales, en su movimiento aparecen fuerzas cortantes entre las partículas fluidas y las paredes del contorno y entre las diferentes capas de fluido. Existen dos tipos de flujos permanentes en el caso de flujos reales, estos son el flujo laminar y el flujo turbulento. En el flujo laminar las partículas fluidas se mueven según trayectorias paralelas formando el conjunto de ellas capas o láminas. Los módulos de las velocidades de capas adyacentes no tienen el mismo valor. El flujo laminar está gobernado por la ley de los fluidos Newtonianos que relaciona la tensión cortante con la velocidad de deformación angular, es decir, la tensión cortante es igual al producto de la viscosidad del fluido por el gradiente de velocidades. dV dy ? ? ? Ec. 1-21 El número de Reynolds (Re), que es un grupo adimensional, viene dado por el cociente de las fuerzas inerciales sobre las fuerzas viscosas, que permite la distinción entre un flujo laminar y un flujo turbulento. Para el flujo laminar la viscosidad del fluido es la magnitud física predominante y su acción amortigua cualquier tendencia a la turbulencia. Para el flujo turbulento predominan las fuerzas inerciales sobre la viscosidad.

Tabla 1-3 Propiedades del agua. Temperatura (°C) Densidad 3 3 2 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 999.9 999.7 998.2 995.7 992.2 988.1 983.2 977.8 971.8 965.3 958.4 9809 9807 9792 9768 9733 9693 9645 9592 9533 9470 9402 1.792 1.308 1.007 0.804 0.661 0.556 0.477 0.415 0.367 0.328 0.296 * Viscosidad cinemática = valor de la tabla * 10 -6 Tabla 1-4 Propiedades del aire a presión atmosférica. Temperatura (°C) Densidad 3 cinemática* Viscosidad 2 6 -30 -20 -10 0 10 1.452 1.394 1.342 1.292 1.247 1.08* 10 1.16* 10 1.24* 10 1.33* 10 1.42* 10 -6 -6 -6 -6 -6

20 30 40 50 60 80 100 200 1.204 1.164 1.127 1.092 1.060 1.000 0.946 0.746 1.51* 10 1.60* 10 1.69* 10 1.79* 10 1.89* 10 2.09* 10 2.30* 10 3.45* 10 -6 -6 -6 -6 -6 -6 -6 -6 Para tuberías circulares en flujo a tubería llena, el número de Reynolds será Re ? ? Ec. 1-22

donde V es la velocidad (en m/s), D es el diámetro de la tubería (en m), ? es la densidad del fluido 3 2 2

Tabla 1-5 Viscosidades y densidades relativas de diversas sustancias. * Viscosidad cinemática = valor de la tabla * 10 -6 Para la viscosidad dinámica se utiliza comúnmente la unidad llamada Poisse (1P= 0.1 Pa?s). Para -4 2 Tabla 3.3 muestra las viscosidades cinemáticas para agua. La Tabla 3.4 muestra las viscosidades cinemáticas para el aire. La Tabla 3.5 presenta la viscosidad y la densidad relativa para diversas sustancias.

La velocidad crítica es aquella velocidad por debajo de la cual toda turbulencia es amortiguada por la viscosidad. La experiencia demuestra que un límite superior para el régimen laminar, en tuberías viene fijado por un valor del número de Reynolds alrededor de 2000.

La región que se conoce como la zona crítica aparece entre los números de Reynolds de 2000 y 4000. En esta región, el flujo puede ser tanto laminar como turbulento, dependiendo de varios factores; éstos incluyen cambios de sección, de dirección del flujo y obstrucciones tales como válvulas corriente arriba de la zona considerada. El factor de fricción en esta región es indeterminado y tiene límites más bajos si el flujo es laminar y más altos si el flujo es turbulento.

Cuando Re es alto, mayor que 4000, significa que dominan las fuerzas inerciales. En el flujo turbulento las partículas fluidas se mueven en forma desordenada en todas direcciones. Es imposible conocer la trayectoria de una partícula individualmente. Para flujo turbulento, las condiciones vuelven a ser más estables y puede establecerse factores de rozamiento definitivos. Esto es importante ya que permite al ingeniero determinar las características del flujo de cualquier fluido que se mueva por una tubería, suponiendo conocidas la viscosidad y la densidad en las condiciones del flujo.

Ejemplo 8: Se utiliza una tubería de 2 cm de diámetro para transportar agua a 20°C. Calcule la velocidad media máxima que puede desarrollar el agua para que el flujo sea laminar.

Solución: -6 2 ? 2000*1.007*10?6 0.02 Re*? D V ? ? 0.101 m/s 1.8Factor de fricción La pérdida de carga hf causada por el esfuerzo cortante en la pared para un flujo desarrollado se calcula mediante la ecuación de Darcy –Weisbach: L V 2 D 2g hf ? f Ec. 1-23 donde f es el coeficiente de fricción que depende tanto de las propiedades del fluido y del flujo como de la rugosidad de la tubería. En general ) e D f ? f (Re, Ec. 1-24 donde e/D es la aspereza relativa. La rugosidad de una tubería, depende del material de la pared, la cual vista al microscopio sería como se muestra en la Figura 3.12. El perfil de velocidad promediado temporalmente para una tubería es muy sensible a la magnitud de la altura media de los elementos de aspereza de la pared.

Todos los materiales son ásperos si se les examina con la suficiente amplificación, aunque podemos suponer que el vidrio y el plástico son lisos con e = 0.

e

Figura 1.12 Aspereza de un material en una tubería.

Se han obtenido datos experimentales que relacionan el factor de fricción con el número de Reynolds en flujos plenamente desarrollados en una amplia gama de asperezas de pared,

incluyendo paredes lisas. Estos datos están almacenados en el Diagrama de Moody, Figura 3.13.

El diagrama de Moody tiene varias características: Para flujo laminar en todas las tuberías y para 64 Re cualquier fluido el factor de fricción es sólo función del número de Reynolds, así f ?

Figura 1.13 Diagrama de Moody.

? e ?3.7D ? ? Para una aspereza de pared dada, medida por la aspereza relativa e/D, hay una valor de Re por encima del cual el factor de fricción es constante, y esto define el régimen completamente turbulento. La resistencia al flujo se debe primordialmente al arrastre de los elementos de aspereza que penetran el flujo.

Con valores de aspereza relativa e/D más pequeños se observa que, al disminuir Re, el factor de fricción aumenta en la zona de transición y finalmente adquiere el mismo valor que para una tubería lisa. Los elementos de aspereza quedan sumergidos en la capa viscosa de pared y casi no afectan el flujo principal.

Con Re< 2000, se muestra el factor de fricción del flujo laminar. La zona crítica acopla el flujo turbulento con el laminar y podría representar un flujo oscilante que existe de forma alternada como turbulento y como laminar.

Los valores de e en el diagrama corresponden a tuberías nuevas. Con el tiempo las tuberías se corroen y ensucian, lo que altera tanto el diámetro como la aspereza y hace que aumente el factor de fricción.

Las ecuaciones empíricas siguientes representan el Diagrama de Moody para Re>4000 Flujo en tubería lisa: ? 0.86lnRe f ?0.8 1 f Ec. 1-25 Zona completamente turbulenta:

Zona de transición: ? ? ? 2.51 Re f e ? ?0.86ln 3.7D

? ?0.86ln? ? 1 f

1 f Ec. 1-26

Ec. 1-27 La ecuación de zona de transición se llama ecuación de Colebrook. Si e=0 en la ecuación de Colebrook se obtiene la ecuación de flujo en tubería lisa. Si Re=? se obtiene la ecuación de zona completamente turbulenta.

Se puede obtener una buena aproximación a la pérdida de carga en ductos con sección transversal no circular utilizando el radio hidráulico R, que se define como A P R ? Ec. 1-28 donde A es el área de la sección transversal y P es el perímetro mojado; así el número de Reynolds, la aspereza relativa y la pérdida de carga serán V( 4R) ? Re ? , aspereza relativa = e 4R L V 2 4R 2g , hf ? f Ec. 1-29 flujo turbulento desarrollado en una tubería Podemos identificar tres categorías de problemas para de longitud L: Categoría 1 2 3 Datos Q, D, e, ? D, e, ?, hf Q, e, ?, hf Incógnita hf Q D

Q2L ? ? ? e ??D? ?? ? Q ? ? ?? ? 4.62? ? ?? ?? para 10 < e/D< 10 ? gD5hf ? Q ? ?0.965? ? ? ? ? e ? ?3.17? 2L? ? ? gD3h ? ? ? 1.25? LQ ? ? gh ? ??Q9.4? ? gh ? ? ? para 10 < e/D< 10 D Un problema de categoría 1 es directo y no requiere un procedimiento de iteración cuando se utiliza el Diagrama de Moody. Los problemas de categoría 2 y 3 requieren un procedimiento de iteración, ensayo y error, al utilizar el Diagrama de Moody. Los problemas tipo uno no son importantes, porque generalmente se quiere conocer el diámetro o el caudal en una tubería. Una alternativa al uso del Diagrama de Moody, que evita los procedimientos de ensayo y error, es utilizar fórmulas deducidas empíricamente. Swamee y Jain en 1976 presentaron unas fórmulas para flujos en tuberías, las cuales evitan el método iterativo, estas son: 0.9 ?2 ? ? ? ?ln? gD5 ? ?3.7D hf ?1.07 -6 -2 y 3000< Re< 3*10 8 0.5 0.5 ln? ?3.7D ? L ? ?? ? ? para Re> 2000 ? f ? ? 0.04 5.2 4.75 ? ? ? ? ? f ? 2 ? ? f ? ? L ? ? D ? 0.66?e ? -6 -2 y 5000< Re< 3*10 8 Se pueden utilizar tanto unidades SI como inglesas en estas ecuaciones. Las diferencias entre los resultados reportados por las ecuaciones de Swamee-Jain y el Diagrama de Moody son de menos del 2%.

Ejemplo 9: Determine la caída de presión en un tramo de 800 m de una tubería de hierro forjado de 1 ½ 3

Solución: Velocidad media: m s 0.003 (4.089/100) 4 2 ? 2.2845 ? ? ? ? Q 2

4 Q A V ? Número de Reynolds: ? 92765 ? Re ? 2.2845 * 0.04089 1.007*10?6 VD ? Aspereza relativa: 0.046 40.89 ? 0.001125 ? e D donde el valor de e corresponde a una tubería de hierro forjado.

Hay dos opciones para determinar el factor de fricción, ellos son el diagrama de Moody y la ecuación de Colebrook. La ecuación permite el cálculo de más cifras significativas, pero generalmente el diagrama permite una determinación más rápida.

4 f ? 0.023 El factor de fricción calculado mediante la ecuación de Colebrook, por un procedimiento iterativo con cuatro cifras significativas será:

? ? 0.046 ?1.007*10?6 *0.04089? ?? ? ? ? ??? ? ? 0.046 ?3.17*(10?5)2 *300? ? ?9.8*0.15 *79.4? Q ? ?0.965? ? ln? ?? ? ? ? 0.03762 ? ?3.7*100 ? 9.8*0.1 *79.4 ? ? ? ? ? 300 Tabla 1-6 Resultados del factor de fricción (ejemplo 9) usando la ecuación de Colebrook. f supuesto 1 f supuesto 1 f calculado Error 0.02100 0.02200 0.02300 0.02310 0.02317 0.02318 0.02319 0.02320 6.90065559 6.74199862 6.59380473 6.57951695 6.56957058 6.56815335 6.56673704 6.56532164 6.55281616 6.560372 6.56749003 6.56817942 6.56865966 6.56872811 6.56879653 6.5688649 0.34783944 0.18162662 0.02631471 0.01133753 0.00091092 -0.00057476 -0.00205948 -0.00354325 Así, * 500 0.04089 2.28452 2*9.8 ? 75.4752m ? 0.02318* L V 2 D 2g hf ? f La pérdida de carga también se puede calcular utilizando la ecuación de Swamee-Jain, con la cual se obtiene: 0.003 0.9 0.0032 *500 9.8*0.040895 ? 74.3310m ?ln? ?? ?3.7*40.89 ? ? 4.62? ? ?? ?2 hf ?1.07* Se observa una diferencia entre el valor calculado por la ecuación de Swamee-Jain y el valor obtenido con la ecuación de Colebrook del 1.52 %

Finalmente, la caída de presión será ?P ??hf ? 9792*75.4752/1000 ? 739kPa

Ejemplo 10: Se mide una caída de presión de 700 kPa en un tramo de 300 m de una tubería horizontal de -5 2 flujo volumétrico.

Solución: La pérdida de carga será ? ? 79.4m ? 0.9*9800

Utilizando la ecuación de Swamee-Jain, la solución directa será 3 0.5 0.5 m3 s Utilizando el diagrama de Moody, la solución requiere un procedimiento iterativo, como en el siguiente algoritmo: Paso 1 Suponer flujo completamente turbulento (Re=?) para leer f.

5.61*10 4.75*10 D ? ? 2gDhf fL V ? Paso 2

Paso 3

Paso 4 Paso 5 Calcular velocidad con la ecuación de Darcy-Weisbach,

VD Calcular el número de Reynolds, Re ? ? Volver a leer f con Re, y e/D. Comparar f del paso 4 con f del paso 1. (Si son iguales finalizar la iteración. Si son diferentes volver al paso 2, utilizando el f obtenido en el paso 4.)

Los resultados del procedimiento iterativo se presentan a continuación: Tabla 1-7 Resultados de la iteración (ejemplo 10) usando el diagrama de Moody Re f viejo 0.0165 0.023 V (m/s) 5.61 4.75 4 4 f nuevo 0.023 0.023 En los pasos 1 y 4 se puede reemplazar la lectura del factor de fricción, por el cálculo de éste, usando la ecuación de Colebrook. Los resultados se presentan a continuación.

Tabla 1-8 Resultados de la iteración para el ejemplo 10 usando la ecuación de Colebrook. f viejo 0.01672 0.0224 0.023 0.0231 V (m/s) 5.569 4.811 4.748 4.738 Re 55689 48112 47481 47378 f nuevo 0.0224 0.023 0.0231 0.0231 El caudal será m s 0.12 4 ? 0.0372 ? 4.74*? D2 4 Q ?V *? El valor obtenido con la ecuación de Swamee-Jain difiere de este en un 1.1 %.

Ejemplo 11: 3 20°C una distancia de 400 m sin que la pérdida de carga exceda 30 m.

Solución: La velocidad será: 0.002546 D2 Q A ? ? V ? 0.002 2 ? 4 Ec. 1-30 La ecuación de Darcy-Weisbach será: 2 ?0.002546? 400 ? D2 ? D 2*9.8 30 ? f que conduce a f ? 226692.4761*D5 Ec. 1-31

1.007*10 El número de Reynolds será: 2529 D 0.002546 D2 ? ? Re ? *D ?6 VD ? Ec. 1-32 Como todas las variables dependen del diámetro, se puede pensar en resolver el problema iterando en D. Sin embargo, es más funcional iterar en el factor de fricción. El algoritmo será: Paso 1 Paso 2 Paso 3 Paso 4 Paso 5 Suponer f = 0.02 porque “es el mejor valor inicial” en todos los casos. Calcular D con la ecuación 3.31. Calcular Re con la ecuación 3.32 Calcular e/D. Leer f con Re calculado en el paso 3 y e/D calculado en el paso 4. (o calcular f usando la ecuación de Colebrook. Paso 6 Comparar f leído en el paso 5 con f supuesto en el paso 1. (Si son iguales finalizar la iteración. Si son diferentes volver al paso 2 utilizando el f obtenido en el paso 5.)

Los resultados de la iteración usando la ecuación de Colebrook se muestran a continuación.

Tabla 1-9 Resultados de la iteración para el ejemplo 11. f viejo D (m) Re e/D f nuevo 0.02 0.03883 65132 0.0000386 3 0.0236 0.0236 0.04013 63011 0.0000373 8 0.0235 0.04010 63064 0.0000374 1 0.0235

0.0235 Ejemplo 12: Se quiere transportar aire a 30°C y presión atmosférica por un ducto rectangular liso y horizontal de 3 presión.

Solución: Como se trata de un ducto que no es cilíndrico, se debe utilizar el radio hidráulico en los cálculos. ? 0.06m 0.3*0.2 0.3*2?0.2*2 ? A P R ? m s 0.24 0.3*0.2 ? 4 ? Q A V ? ? 60000 ? Re ? 4 * 0.06 * 4 1.6*10?5 4RV ? Utilizando un ducto liso tenemos un factor de fricción calculado usando la ecuación de Colebrook de f ? 0.0205 Así, 100 42 * 4*0.06 2*9.8 ? 6.9728m ? 0.0205* L V 2 4R 2g hf ? f La caída de presión será

?p ? ?*g*hf ?1.164*9.8*6.9728 ? 79.54Pa

1.9 Presencia de accesorios en las tuberías Las pérdidas, no consideradas hasta ahora, se agrupan con el nombre de pérdidas menores. Se producen, en general como resultado de una variación significativa de la configuración del flujo. Por tanto, tienen lugar en las contracciones o ensanchamientos (sean bruscos o graduales) de los conductos, en válvulas, accesorios, codos, tes, etc., y en las entradas o en las salidas. En algunos casos, estas pérdidas menores pueden ser muy importantes. Las pérdidas en las entradas se producen cuando los líquidos entran a un conducto desde un depósito o recipiente de grandes dimensiones. La magnitud de las pérdidas depende de la forma de la entrada. Si la forma es redondeada la pérdida puede ser muy pequeña.

Las pérdidas en las salidas tienen lugar en las secciones por donde desaguan los fluidos en grandes depósitos o recipientes. Las pérdidas en contracciones bruscas ocurren cuando los ductos sufren un estrechamiento abrupto de su sección recta, y las pérdidas en ensanchamientos bruscos suceden cuando esta discontinuidad se da al pasar de una sección a otra sección mayor. Análogamente las pérdidas en ensanchamientos graduales y las pérdidas en contracciones graduales tienen lugar cuando la transición de una sección a otras se hace de forma suave. En muchos casos las pérdidas por accesorios pueden despreciarse, sin embargo, hay casos en los que no deben despreciarse. Las pérdidas menores se expresan en términos de un coeficiente de pérdida K. Como es de esperarse, las pérdidas dependen de la velocidad del flujo y de la geometría del accesorio. Estas se obtienen mediante V 2 2g hK ? K Ec. 1-33 Los valores de K dependen del tipo de accesorio, sus valores se han determinado experimentalmente. Los valores de K para diversos accesorios se muestran a continuación. Es común expresar un coeficiente de pérdida como una longitud equivalente Le de tubería, lo que se hace igualando la ecuación de Darcy-Weisbach con la ecuación anterior K Le V 2 D 2g V 2 2g ? f Ec. 1-34 para obtener la relación D f Le ? K Ec. 1-35 Tabla 1-10 Valores de K para diversos accesorios. Accesorio Roscado Bridado Válvula de globo (Abierta 100 %) Válvula de globo (Abierta 50 %) Válvula de globo (Abierta 25 %) Válvula de ángulo (Abierta) Válvula de retención disco oscilante (Abierta) Válvula de compuerta (Abierta) Curva de retorno Te (ramificación) Te (línea) Codo estándar Codo de extensión larga 1 in 8.2 20 57 4.7 2.9 0.24 1.5 1.8 0.9 1.5 0.72 2 in 6.9 17 48 2 2.1 0.16 0.95 1.4 0.9 0.95 0.41 4 in 5.7 14 40 1 2 0.11 0.64 1.1 0.9 0.64 0.23 2 in 8.5 21 60 2.4 2 0.35 0.35 0.80 0.19 0.39 0.30 4 in 6 15 42 2 2 0.16 0.30 0.64 0.14 0.30 0.19 8 in 5.8 14 41 2 2 0.07 0.25 0.58 0.10 0.26 0.15 Codo de 45° 0.32 0.30 0.29

? A ? K ? ? ?1? 1 ? ? Expansión angular Admisión de tubería entrante

K = 0.8 Admisión de tubería con borde cuadrado

K = 0.5 Admisión de tubería bien redondeada

K = 0.03

Contracción repentina

2:1 K = 0.25 5:1 K = 0.41 10:1 K = 0.46 Con base en velocidad de salida

Placa de orificio Relación de áreas A/A0 1.5:1 K = 0.85 2:1 K =3.4 4:1 K = 29 30° 70° K = 0.02 K = 0.07 Salida de tubería

K =1.0

Ensanchamiento repentino

2

? A2 ? Con base en la velocidad de entrada

Contracción angular

Z1 ? Z2 ? ? f ?V 0.1 1.007*10 Figura 1.14 Solución: La ecuación de energía entre los puntos 1 y 2 será Z1 ? Z2 ?hL Tomando las pérdidas por fricción y por cada accesorio se tiene L D ? ? 2 ? Kentrada? Kválvula ? 2Kcodo ? Ksalida? ?2g La velocidad, el número de Reynolds y la aspereza relativa serán m s ? 5.09 0.04 2 ? 4 V ? ? 5.09*105 Re ? 5.09*0.1 ?6 0.046 100 ? 0.00046 ? e D 20 m 10 m Ejemplo 13: 3 que el diámetro de la tubería de hierro forjado es 10 cm. ¿Cuál es la diferencia de alturas entre ambos tanques?

1 Codos estándar, válvula de globo roscada totalmente abierta

20 m 2

Z1 ? Z2 ? ?0.5?5.7? 2*0.64?1?0.0173 ? WB ? WT ? mgHT?T ? Q?HT?T Q (m /s) Con la lectura a partir del diagrama de Moody, f ? 0.0173 Utilizando los coeficientes de pérdida tabulados anteriormente para elementos roscados de 4 in (? 10 cm) se obtiene ? 22.6m 50 ? 5.092 0.1?2*9.8 ? ? 1.10 Bombas y Turbinas Un volumen de control puede recibir o producir energía. Cuando un volumen de control recibe potencia a partir de una bomba, dicha potencia debe aparecer en el término de la entrada al volumen de control, es decir, en el lado izquierdo de la ecuación de energía. De igual manera, si un volumen de control realiza trabajo representado mediante una turbina, la energía en la entrada al volumen de control es igual a la energía de salida, en la cual se deberá considerar el efecto de la turbina, Teniendo en cuenta el trabajo recibido y producido por una tubería, la ecuación de energía será: ? hL ? HT ? HB ? V22 2g ? Z2 ? V12 2g ? Z1 ? p2 ? p1 ? Ec. 1-36 donde HB y HT representan la carga o cabeza de la bomba y la carga de la turbina respectivamente.

La potencia requerida por una bomba será: Q?H B ?B ? . m gH B ?B . Ec. 1-37 donde ?B representa la eficiencia de la bomba. Observe que el trabajo ideal, sin irreversibilidades y sin fricción, es igual al valor del numerador. De forma similar, la potencia generada por una turbina con eficiencia ?T será . . Ec. 1-38 En los problemas que hemos considerado hasta ahora no han intervenido bombas ni turbinas. Si se incluye una bomba centrífuga en el sistema de tubería y se especifica el caudal, la solución es directa. Por otro lado, si no se especifica el caudal, como suele suceder en la práctica, se requiere una solución de ensayo y error considerando la bomba, ya que la cabeza producida por la bomba y su eficiencia dependen del caudal que fluya por ella. Todas las bombas tienen curvas características que representan su cabeza y su eficiencia como función del caudal. Las compañías proporcionan tales curvas características para cada bomba que fabrican. El procedimiento de solución consiste en resolver simultáneamente la curva característica de la bomba y la curva de demanda del sistema (ecuación de energía). Para sistemas con turbinas, la situación se trata de forma similar.

Ejemplo 14: Para una bomba de 20 cm de diámetro en las tuberías de succión y descarga, se tiene la curva característica mostrada en la Tabla 3.11. Dicha bomba opera en el sistema mostrado en la Figura 3.15. Calcular el caudal y la potencia requerida por la bomba.

Tabla 1-11 Curva característica de una bomba. 3 0.05 0.10 0.15 0.20 HB (m) 80.0 78.0 76.0 75.0 Rendimiento (%) 4 40 60 78

? Z1 ? 2 ? 2 ? Z2 ? hL H B ? 90?60??Kentrada? Ksalida ? f ? H B ? 30??0.5?1.0? f ? ? Q (m /s) supuesto 70.0 60.0 83 75 ? H B ? p V 2 V12 2g ? 2g p1 ? Como las presiones y las velocidades son cero, la ecuación de energía se reduce a: L ?V 2 D? 2g ? ? Insertando los valores conocidos y dejando la expresión en términos del caudal se obtiene: ? 400? Q2 0.2 ? 2*9.8* ? *.0.12 ? ? El valor de la aspereza relativa es 0.046 200 ? 0.00023 ? e D La ecuación anterior debe resolverse simultáneamente con la curva característica y con el factor de fricción, utilizando un procedimiento iterativo. Los resultados se muestran a continuación. Tabla 1-12 Resultados de la iteración para e l ejemplo 14. Iteración 3 V (m/s) 1 0.10 3.18 2 0.20 6.37 3 0.15 4.77 4 0.16 5.09 5 0.17 5.41 6 0.18 5.73 Re 636620 1273240 954930 1018592 1082254 1145916 F 0.0157 0.0151 0.0153 0.0153 0.0152 0.0152 HB (m) Ec. De Energía 47.01 95.55 67.34 72.48 77.66 83.43 HB (m) Curva Característica 78.00 75.00 76.00 75.80 75.60 75.40 Los resultados de la ecuación de energía se comparan con los valores de la curva característica. Los valores de caudal que no se encuentran en la curva característica se calculan mediante B 0.25 0.30

Altura 90 m Altura 60 m Tubería hierro forjado de 20 cm de diámetro 400 m

Figura 1.15

Solución: La ecuación de energía aplicada entre las dos superficies será:

interpolación lineal. Los valores de factor de fricción se obtuvieron mediante la ecuación de Colebrook. Observe que el factor de fricción permanece constante y que el valor f*L/D = 30.4, es dominante sobre la función de la curva de demanda, lo cual implica que se podrían obviar las constantes de pérdidas por accesorios, ya que L es bastante grande comparada con D, en general si L/D es mayor que 1000 se pueden obviar las pérdidas en accesorios.

La potencia requerida por la bomba será . 0.17 * 9.800 * 77.6 0.67 ?192kW ? WB ? Q?HB ?B 1.11 Ejercicios

1. ¿Qué profundidad se requiere en un líquido para producir una presión total de 350 kPa, si el peso específico relativo es: a. 0.8, b. 13.6, c. 0.68 ? Agua Aceite S= 0.86 30 cm 40 cm 35 cm 2. Determine la presión en el fondo de un tanque abierto que contiene capas de 20 cm de mercurio (S = 13.6), 3 m de agua y 4 m de aceite (S = 0.8).

3. Para el tanque que se muestra en la Figura, si H = 16 cm, ¿Qué lectura marcará el manómetro?

Aire

H

4m Agua

Mercurio

4. Determine la diferencia de presión entre la tubería de agua y la tubería de aceite que se muestran en la Figura.

S = 0.68 Mercurio S = 13.6 5 cm

5. En la Figura se muestra un tubo de vidrio en U abierto a la atmósfera por los dos extremos. Si el tubo contiene aceite y agua, tal como se muestra, determine la densidad relativa del aceite. 35 cm Aceite B A Agua 30 cm

Agua

6. Los compartimentos de la Figura están cerrados y llenos de aire. ¿Cuál es el valor de x? El fluido manométrico es mercurio, S = 13.6.

Tanque 2, aire Tanque 1, aire

206.8 kPa 254 mm x

7. La temperatura en la atmósfera se puede determinar mediante T(z)= 288 – 0.0065Z, donde T se expresa en K y Z en m. Calcule la presión a altitudes de 300 m, 3000 m, 11325 m.

8. Un grupo de exploradores desea conocer su altitud. Uno de los exploradores que es ingeniero, hirvió agua y midió una temperatura de ebullición de 82 °C. ¿Qué altitud habrá dicho el ingeniero?

9. Se emplea un tubo de Pitot para medir la velocidad de un avión pequeño que viaja a una altura de 1000 m. Calcule su velocidad si el tubo de Pitot marca: a. 2 kPa. b. 6 kPa. ¿Qué presión aproximadamente deberá marcar un Tubo de Pitot en un Fórmula uno que corre en Río de Janeiro?

10.La bomba que se muestra en la Figura crea un flujo tal que V = 14 m/s. Prediga la presión en el manómetro suponiendo un flujo no viscoso en la entrada y un flujo uniforme en el manómetro. Utilice una línea de corriente que parte del punto A y del punto B. B

4 m

p1 11.El agua a 32°C que sale de un grifo de 1.5 cm de diámetro tiene una velocidad media de 2 m/s. ¿Esperaría usted que este flujo fuera laminar?

12.Fluye agua por una tubería de 6 cm de diámetro a 20 m/s. Si la tubería se ensancha hasta un diámetro de 12 cm, calcule la reducción en la velocidad. Calcule el flujo másico y el caudal.

13.Una tubería transporta 200 kg/s de agua. La tubería se divide en un ramal de 5 cm de diámetro y uno de 7 cm de diámetro. Si la velocidad media en la tubería de diámetro más pequeño es de 25 m/s, calcule el caudal en la tubería más grande.

14.Aire a 20 °C y 200 kPa absoluta fluye en una tubería de 10 cm de diámetro con un flujo másico de 2 kg/s. La tubería sufre una conversión a un ducto rectangular de 5 cm por 7 cm en el que T = 80°C y p = 50 kPa absoluta. Calcule la velocidad en cada sección.

15.El río Cedar fluye plácidamente a través del campus de la Universidad Estatal de Michigan. En cierta sección la profundidad es de 0.8 m y la velocidad media es de 0.2 m/s. ¿Qué tipo de flujo se presenta?

16.Un medidor vénturi (el cual consta de una porción convergente seguida por una garganta de diámetro constante y luego por una porción gradualmente divergente) se utiliza para medir el caudal en una tubería. El diámetro en la sección ancha es 12 cm, y en la sección angosta es 6 cm. Determine el caudal cuando fluye aceite de densidad relativa 0.9 y la caída de presión es 20 kPa.

17.Una tubería mueve aceite con una densidad relativa de 0.86, a una velocidad de 2 m/s a través de una tubería de diámetro interno de 200 mm. Esta tubería empalma con otra tubería mediante un reductor, así el diámetro se reduce a 70 mm. ¿Cuál es la velocidad del flujo en la tubería más delgada? ¿Cuál es la tasa de flujo en kg/s?

18.Hay una caída de presión de 400 Pa en un tramo de tubería de 2 cm de diámetro que transporta agua a 20 °C. Determine la longitud del tramo horizontal y el factor de fricción si Re = 1600.

19.Agua a 20°C fluye por una tubería de hierro colado de 4 cm de diámetro. Determine el factor de fricción si la velocidad media es: a. 0.025 m/s, b. 0.25 m/s, c. 2.5 m/s, d. 25 m/s. Determine el factor de fricción si el fluido es tetracloruro de carbono a 40 °C.

3 Calcule la caída de presión en un tramo horizontal de 100 m si la tubería transporta: a. Agua a 60°C. b. Fuel-oil pesado a 40°C. c. Glicerina a 20°C. d. Agua a 10°C

21.No debe excederse una caída de presión de 200 kPa en un tramo de 200 m de tubería de concreto horizontal de 1.2 m de diámetro que transporta agua a 20°C. ¿Qué caudal puede haber? Utilice el diagrama de Moody y las ecuaciones de Swamee y Jain.

22.Se mide una caída de presión de 200 kPa en un tramo de 1000 m de una tubería horizontal de hierro forjado de 8 cm de diámetro que transporta fuel oil pesado. Determine el caudal.

23.Determine el diámetro de tubería de hierro galvanizado que debe escogerse para transportar 3

3 D = 6 cm D = 6 cm D = 2 cm D = 2 cm ? = 40° p1

B D = 2 cm Hierro forjado D = 4 cm 25.Se desea bombear agua a 20°C a través de 300 m de tubería de hierro colado desde un depósito hasta un dispositivo que está situado 10 m arriba de la superficie del depósito. El agua debe entrar en el dispositivo a 200 kPa. Los componentes atornillados incluyen 2 codos, una 3 potencia debe tener la bomba (suponga una eficiencia del 80%) si el diámetro de tubería es de: a. 4 cm b. 14 cm

3 40) de la Figura. Calcule el coeficiente de pérdida de la válvula, desprecie las pérdidas por fricción.

2m Agua a 20°C

2m

27.¿Qué potencia de bomba (eficiencia 70 %) se necesita en el sistema de tubería que se muestra en la Figura? Calcule la distancia máxima que puede haber entre el depósito y la bomba.

20 m B 700 kPa 500 m

28.Calcule el caudal para la tubería mostrada en la Figura (Diámetro de tubería: 6 cm, material: hierro forjado e = 0.046 mm), calcule la presión en la entrada a la bomba y determine la potencia de la bomba suponiendo una eficiencia del 100% y despreciando las pérdidas en los accesorios. El manómetro en la salida de la bomba marca 2308,7 kPa 10 m

200 m 2m 8m 5m Tanque 2 Tanque 1

T 60 m 1000 m de tubería de concreto D = 1.2 m 29.Calcule la potencia generada con la turbina que se muestra en la Figura. Suponga que la eficiencia de a turbina es del 90%. La curva característica de la turbina es .

Agua a 20 °C Agua a 20 °C