Mecánica de fluidos

MECÁNICA DE FLUIDOS POR WILLIAM ANDRÉS OCAMPO DUQUE

1 Mecánica De Fluidos

1.1 Introducción El comportamiento de los fluidos (líquidos, gases y vapores) es importante para los procesos de ingeniería en general y constituye uno de los fundamentos para el estudio de las operaciones unitarias. El conocimiento de los fluidos es esencial no sólo para tratar con exactitud los problemas de movimiento de fluidos a través de tuberías, bombas y accesorios, sino también para el estudio del flujo de calor y de muchas operaciones de separación que dependen de la difusión y la transferencia de materia.

La mecánica de fluidos tiene dos ramas importantes: la estática que trata de fluidos en equilibrio sin esfuerzo cortante, y la dinámica que trata los fluidos cuando una parte de los mismos se mueven con relación a otras partes.

Si se intenta variar la forma de una masa de fluido se produce un deslizamiento de unas capas de fluido sobre otras hasta que se alcanza una nueva forma. Durante la variación de la forma, se producen esfuerzos cortantes, cuya magnitud depende de la viscosidad del fluido y de la velocidad de deslizamiento, pero cuando se alcanza la forma final, desaparecen todos los esfuerzos cortantes. Un fluido en equilibrio carece pues de esfuerzos cortantes.

A una determinada temperatura y presión, un fluido puro posee una densidad definida, que 3 temperatura y presión, el fluido se denomina incompresible; pero si la densidad varía considerablemente con cambios moderados en presión y temperatura se trata de un fluido compresible; en general, los líquidos son incompresibles y los gases son compresibles. Sin embargo, estos términos son relativos pues la densidad de un líquido puede variar considerablemente para grandes variaciones de la temperatura y presión.

1.2Concepto de presión El término presión se refiere a los efectos de una fuerza que actúa distribuida sobre una superficie. La fuerza puede ejercerla un sólido, un líquido o un gas. Frecuentemente la fuerza causante de una presión es simplemente el peso de un cuerpo o material. La presión ejercida por un fluido varía directamente con la profundidad. De allí que la presión en el fondo de una presa sea considerablemente mayor que en las zonas cercanas a la coronación de la misma; la presión que actúa sobre los submarinos es enorme en las grandes profundidades de los océanos. La presión que ejerce la atmósfera sobre cada uno de nosotros es significativa, y basta pensar que si una persona se sumerge 10 metros en el fondo del mar la estaría duplicando. La mayor profundidad en el océano llamada la fosa de las Filipinas mide 11000 metros, es decir que en ese punto la presión 5

La presión en un fluido se transmite con igual intensidad en todas las direcciones y actúa en forma normal a cualquier superficie plana. En el mismo plano horizontal, el valor de la presión en un líquido es igual en cualquier punto. La medida de la presión relativa se realiza con el manómetro, que puede operar de diversas formas, por altura de columna de fluido como los manómetros de mercurio, por desplazamiento de un resorte, como los manómetros de Bourdon, etc. Se llama presión relativa o manométrica porque al sumar la presión ejercida por la atmósfera tendremos la presión absoluta.

La presión se expresa mediante: dF dA p ? Ec. 1-1

como una fuerza equivalente a 1 N actuando sobre 1 m . 1 N es aproximadamente el peso que La unidad aceptada por el sistema internacional para la presión es el Pascal (Pa), que se define 2 genera una vaso desechable pequeño lleno con agua, lo que indica que un Pascal es una unidad muy pequeña; debido a esto comúnmente se emplea el kPa y el MPa. El término vacío se utiliza para indicar que en un espacio la presión es menor que la presión de la atmósfera. Se entiende por presión atmosférica, por supuesto, la presión reinante alrededor nuestro. Varía ligeramente con las condiciones meteorológicas y decrece con la altitud. Al nivel del mar la presión atmosférica es 101.325 kPa, que se conoce como presión normal. En Santiago de Cali la presión es 680 mmHg y en la cima del Everest la presión es 200 mmHg. Esta presión varía ligeramente con las condiciones climáticas. El vacío se mide como el valor de la presión por debajo de la atmósfera. Por ejemplo, si se bombea hacia el exterior el aire contenido en un depósito se obtiene vacío. El vacío máximo que se puede obtener es 101.325 kPa a nivel del mar. El vacío generalmente se expresa en unidades de altura de columna de fluido, como el milímetro de mercurio, mmHg; comúnmente se ha empleado la pulgada de mercurio. Una presión absoluta de 600 mmHg equivale a un vacío de 160 mmHg o una presión de –160 mmHg. La presión generalmente se expresa como absoluta o manométrica. Por ejemplo, una presión manométrica de 5 kPa, equivale a una presión absoluta de 106.3 kPa si la presión atmosférica en el lugar es 101.3 kPa. Considere una olla a presión dispuesta con un manómetro en la tapa. Usted carga la olla con agua y la cierra herméticamente. En este momento la presión que marca el manómetro es cero. Si usted calienta la olla, lo suficiente para que varias moléculas de líquido pasen a la fase de vapor, observará que el manómetro marcará cada vez una presión mayor. Un manómetro dispuesto en cualquier lugar de un recipiente que contiene gas marcará siempre la misma presión. Un manómetro dispuesto en un recipiente lleno de líquido marcará la mayor presión en el fondo. El barómetro, construido por Evangelista Torricelli es el instrumento empleado para medir la presión atmosférica. Este consiste de un tubo transparente colocado verticalmente sobre una cubeta que contiene mercurio. La presión que ejerce el aire del ambiente impide que el mercurio salga del tubo. La altura hasta la que el mercurio baja, a nivel del mar, es 760 mm Hg. Aunque el barómetro puede utilizarse para medir la presión atmosférica, es necesario muy frecuentemente medir la presión de otros fluidos, por ejemplo cuando se desplazan por una tubería cerrada. Se utilizan tubos en U conectados a la línea de flujo o a la pared llenos de un líquido que es insoluble en el fluido de interés; así se puede emplear mercurio o aceite para medir la presión de agua. Estos se conocen como manómetros en U. También se puede conectar un tubo vertical largo a la línea de flujo, así la altura que logra subir el fluido determina la presión a la cual fluye. Estos dispositivos se llaman piezómetros. Existen varias disposiciones para los tubos en U, de tal manera que se podrían medir presiones muy bajas. Cuando interesa medir la diferencia de presión entre dos puntos de un tramo, se conectan mediante una manguera, cuando la presión en unos de los extremos varía, se observa una diferencia en el nivel del manómetro. La aplicación principal de estos manómetros diferenciales es en la medición de velocidades de flujo, como en el tubo vénturi y el tubo de Pitot. El desarrollo de la electrónica ha permitido el uso de sensores de presión que actúan según diversos mecanismos con altas precisiones. 1.3Equilibrio hidrostático Considere el elemento diferencial mostrado en la Figura 3.1. La fuerza que actúa sobre el punto A será

FA ? FB ?mg donde m es la masa del elemento diferencial y g es la gravedad. Reemplazando las fuerzas utilizando la definición de presión y la masa utilizando la definición de densidad, pA*A ? pB *A? ?*Vd *g donde Vd es el volumen y ? es la densidad. Como Vd A ZB ? ZA ? se tiene finalmente que pA ? pB ? ?*g*(ZB ?ZA) como se trata de un elemento diferencial, se concluye que la variación de presión se expresa mediante dp ? ??dZ Ec. 1-2 donde ? ? ?g , se conoce como peso específico. El signo negativo indica que la presión disminuye al aumentar la altura. p ? h ? Ec. 1-5 Las variaciones de presión en un fluido compresible son pequeñas, por lo general, ya que los pesos específicos son pequeños, como lo son también las diferencias de elevación consideradas generalmente en casos prácticos. Solamente para el mercurio, que tiene un peso específico 13.6 veces mayor que el del agua, se tienen presiones significativas con pequeñas alturas de columna de fluido.

La ecuación diferencial de presión hidrostática permite el cálculo de la presión barométrica en la troposfera, aplicada a un fluido compresible: el aire. Utilizando la densidad del aire calculada con la ecuación de los gases ideales y suponiendo una disminución lineal de la temperatura con la altura, se puede determinar la presión barométrica como función de la altura y de la temperatura, como se muestra a continuación: B

A Z=0 Figura 1.1 Elemento diferencial de un fluido.

La diferencia de presión entre dos puntos a distintos niveles en un líquido (fluido incompresible) es: p2 ? p1 ??(Z2 ?Z1) Ec. 1-3

donde ? es el peso específico del fluido y ?h es la diferencia de niveles. Si el punto 1 está en la superficie del líquido y h incrementa hacia abajo, la ecuación se transforma en p ??h Ec. 1-4

Las ecuaciones anteriores se aplican si el peso específico permanece constante con la altura. La altura de líquido que produce una presión relativa p se obtiene mediante Z = ZB

dZ

Z = ZA

p ?101.325*? ? 0 ? ? kmol?K Para un gas ideal, PM RT ? ? donde P es la presión (en kPa), M es el peso molecular del aire, 29 kg/kmol, R es la constante de 3 -1 -1 temperatura varía con la altura mediante T ?T0 ??Z donde ?=0.0065 K/m, T0 = 288 K (15 °C).

La ecuación de presión hidrostática quedará gdZ PM R(T0 ??Z) dp ? ??gdZ ? ? Separando variables dp p ? ? Mg dZ R T0 ??Z Integrando teniendo en cuenta que para Z = 0, p = 101.325 kPa se obtiene Ec. 1-6 Mg ?T ??Z ?R? ? T0 ? Observe que Mg/(R?) es adimensional 1kN * 1000 N K *0.0065 m ? 5.258647 kg m 29 *9.8 kmol s kN?m 8.31451 ? Mg R? Esta ecuación predice una presión a la altura del Everest de tan solo 31.40 kPa (236 mmHg) con una temperatura de –42.51 °C, tal como se muestra en la Tabla siguiente.

Tabla 1-1 Resultados de la modelación del aire como un fluido estático. Z(m) 0 100 500 1000 2000 8848 p (kPa) 101.33 100.13 95.45 89.86 79.47 31.40 T (°C) 15.00 14.35 11.75 8.50 2.00 -42.51 10000 26.40 -50.00 1.4Manómetros Un manómetro es un dispositivo que sirve para medir presiones manométricas o diferencias de presiones en ductos.

Ejemplo 1:

A 3.200 m 2.743 m C D S=1.6 F G

E 3.429 m

3.048 m Para una presión manométrica en A de –10.89 kPa, encontrar la densidad relativa del líquido manométrico B de la Figura 3.2.

Solución:

pC ? pD pA ?1.6*? agua*(3.200?2.743) ? ?10.89?1.6*9.8*0.457 ? ?3.724 kPa Ahora bien pG = pD = -3.724 kPa, ya que el peso de los 0.686 m de aire puede despreciarse sin cometer un error apreciable. Además pF= pE= 0. Por tanto, pG ? pE ?S*9.800*(3.429?3.048) ?3.724 ? 0?S*9.800*(0.381) S ? 0.997 Lo que implica que el fluido B es agua!

Aire 1 0.7 m Líquido B S=?

Figura 1.2 Manómetro con un líquido de densidad desconocida.

Ejemplo 2: Determinar la presión diferencial entre las tuberías A y B para la lectura del manómetro diferencial que se muestra en la Figura 3.3.

Solución: pA ? p1 ?? agua*(Z1 ?Z A) ? 9800*x p1 ? p2 ? 0.8*? agua*(Z2 ?Z1) ? 0.8*9800*0.7 p2 ? pB ?? agua*(ZB ?Z2) ? ?9800*(x?0.7?1.5) Sumando las tres ecuaciones, se obtiene pA ? pB ?9800(x?0.8*0.7? x?0.7?1.5) ?13328Pa ?13.328kPa

Los principios físicos más útiles en las aplicaciones de la mecánica de fluidos, en la parte concerniente a la dinámica, son el balance de materia o ecuación de continuidad, la ecuación del balance de cantidad de movimiento (o ecuación de Bernoulli) y el balance de energía mecánica. Aceite S=0.8 2

Agua B

mA ? mB Figura 1.3 Manómetro con una longitud desconocida. 1.5Ecuación de continuidad En el flujo estacionario, el balance de materia, es sencillo. La velocidad de entrada de masa en el sistema de flujo es igual a la de salida, ya que la masa no puede acumularse ni vaciarse dentro del sistema de flujo en condiciones estacionarias.

Consideremos el tubo representado en la Figura 3.4. El fluido entra a la tubería en el punto A, donde el área de sección transversal es AA, la velocidad es VA y la densidad es ?A, y sale por el punto B, donde el área de la sección transversal es AB, la velocidad es VB y la densidad es ?B. Así el flujo másico en el punto A será, ? mA ? ? AVAAA y el flujo másico en el punto B será: .? mB ? ?BVBAB Ec. 1-7

Ec. 1-8 Figura 1.4 Volumen de control para demostrar la ecuación de continuidad. El principio de conservación de masa establece que: . .

Con lo que se obtiene ?AVAAA ? ?BVBAB Ec. 1-9

Ec. 1-10 que se conoce como ecuación de continuidad y se aplica tanto a fluidos compresibles como incompresibles. El término VA*AA se conoce como flujo volumétrico o caudal. La velocidad VA en realidad es una velocidad promedio ya que el perfil de velocidades en cualquier punto de una tubería es variable, haciéndose mínimo en cercanías a la pared de tubería, como se muestra en la Figura 3.5, donde además se presentan líneas de corriente (punteadas). VA, ?A, AA VB, ?B, AB

? ? ? B ? ? Una línea de corriente es una línea imaginaria en la masa de fluido en movimiento, representada de forma tal que en cada punto de la curva, el vector de velocidad es tangente a la línea. Entre dos líneas de corriente existe una lámina de corriente que se desliza con velocidad propia sobre la lámina inferior. El efecto del deslizamiento produce un esfuerzo cortante conocido como viscosidad. Figura 1.5 Perfiles de velocidad en una tubería y líneas de corriente.

Si la densidad del fluido no cambia en el tramo estudiado y si la tubería es de sección transversal circular se tiene: 2 2 DB 4 DA 4 ?VBAB ?VB? VAAA ?VA? donde DA es el diámetro de la tubería en el punto A y DB es el diámetro de la tubería en el punto B.Así, 2 ? D ? ? DA ? VA VB Ec. 1-11 Ejemplo 3: Fluye agua a una velocidad uniforme de 3 m/s hacia una tobera que reduce el diámetro desde 10 cm hasta 2 cm. Calcule la velocidad del agua que sale de la tobera y el flujo másico y el caudal respectivo.

Solución: m s *75 (0.02m)2 4 kg m3 ? 7.5kg/s *? ? mB ?1000 m3 h m3 s 7.5 1000 ? 27 ? QB ? ? 7.5*10?3 . mB ? Punto A, 3m/s

Figura 1.6 Tobera del ejemplo 3.

Se escoge como volumen de control el interior de la tobera. Al utilizar la ecuación de continuidad se obtiene: 2

? DB ? ? 2 ? Punto B

m Las tuberías comerciales tienen diámetros nominales que no necesariamente coinciden con su diámetro interno real; también debido a sus diseños para soportar diversas presiones, las tuberías tienen diversos espesores que se denominan catálogos o cédulas. La Tabla siguiente muestra las dimensiones de tuberías comerciales de acero. Los cálculos de tuberías están restringidos a las dimensiones comerciales por razones de obtención de ellas. de Acero basadas en ANSI B36.10- Tabla 1-2 Dimensiones y pesos de tuberías normalizadas 1959 Tamaño (in) nominal Catálogo DE (cm) DI (cm) Espesor (cm) Peso (kg/m) ¼

½

¾

1

1½

2

3

5 40 80 40 80 40 80 40 80 40 80 40 80 40 80 40 80 1.372 1.372 2.134 2.134 2.667 2.667 3.340 3.340 4.826 4.826 6.033 6.033 8.890 8.890 14.130 14.130 0.925 0.767 1.580 1.387 2.093 1.885 2.664 2.431 4.089 3.810 5.250 4.925 7.793 7.366 12.819 12.225 0.224 0.302 0.277 0.373 0.287 0.391 0.338 0.455 0.368 0.508 0.391 0.554 0.549 0.762 0.655 0.953 0.63 0.80 1.27 1.62 1.68 2.19 2.50 3.23 4.05 5.40 5.43 7.47 11.28 15.25 21.76 30.92 * DE: Diámetro exterior, DI: Diámetro interior.

Ejemplo 4: Por la conducción que se presenta en la Figura 3.7 fluye crudo de petróleo cuya densidad relativa es 0.887. La tubería A es de 2 pulgadas catálogo 40, la tubería B es de 3 pulgadas catálogo 40 y cada una de las tuberías C es de 1 ½ pulgadas catálogo 40. A través de cada una de las tuberías 3 Calcular el flujo másico, el caudal y la velocidad media en cada tubería. Solución: 1h 3600s * m3 h ?1.8611*10?3m3/s QA ? 6.7 kg s m3 s kg 3 ?1.6508 *1.8611*10?3 ? mA ? 887 Tubería C

Tubería C Tubería B Tubería A

Figura 1.7 Divisor de flujo del ejemplo 4.

Tubería A:

1.8611*10?3 ?5.250? 0.07793 m m 0.05252m2 4 ? 2.16475*10?3m2 AA ?? * m3 ?3 s ? 0.85973m 2.1647*10 m2 s VA ? m s 2 Tubería B:

VB ? 0.85973*? ? ? 0.39019 ?7.793? kg s *887 4 m s kg 3 2 2 ?1.6508 *? ? mB ? 0.39019 2 0.040892 4 ? 0.70862m/s ? Tuberías C: Por cada tubería C fluye la mitad de la masa, así: ? mC ? 0.8254kg/s 1.8611*10?3 ? * QC AC VC ? A continuación estudiaremos los efectos de la viscosidad sobre un flujo interno incompresible. Estos flujos son especialmente importantes para los ingenieros. El flujo en un tubo circular es sin duda el flujo interno más común de fluidos; existe en las venas y arterias de un cuerpo, en el sistema de agua de una ciudad, en el sistema de riego de un agricultor, en los sistemas de tuberías que transportan fluidos en una fábrica, en las líneas hidráulicas de un avión y en el chorro de tinta de la impresora de una computadora. También existen los flujos en ductos no circulares, en canales abiertos y en redes de tuberías como los acueductos y alcantarillados.

1.6 Ecuación de Bernoulli Una importante relación, denominada ecuación de Bernoulli sin fricción, puede deducirse aplicando el balance de cantidad de movimiento para el flujo estacionario de un fluido con flujo potencial a un elemento diferencial de volumen. La ecuación de Bernoulli es una forma especial del Balance de Energía en el que sólo aparecen términos de energía mecánica.

Consideremos un elemento de volumen de fluido que circula a lo largo de un tubo de sección transversal constante con flujo potencial estacionario como se muestra en la Figura 3.8. La segunda Ley de Newton, aplicada en la dirección del flujo será: pA?(p?dp)A?mgcos? ? ma Ec. 1-12 Ec. 1-13 (p+dp)A

Z+dZ pA?(p ? dp)A? ?gAdLcos? ? ?Adl

dL

pA Z dV dt

?

mg

? 2 ? Z2 ? 2 Figura 1.8 Elemento diferencial con flujo potencial. dZ dL como cos? ? , se obtiene dV dL dL dt dZ dL ? ?AdL pA? pA?dpA??dLA Ec. 1-14 Así, ?dp??dZ ? ?VdV Ec. 1-15 Integrando entre dos puntos de un tramo de tubería se obtiene ? Ec. 1-16 2g

Dividiendo por ? y agrupando términos se tiene finalmente p V 2 V12 2g ? Z1 ? ? 2g p1 ? Ec. 1-17 que es la ecuación de Bernoulli, o ecuación de energía en términos de carga (en unidades de longitud). Cada término de la ecuación de Bernoulli tiene un nombre: p ? es la carga de presión estática, p ? ? Z es la carga piezométrica y V 2 2g es la carga de velocidad. La suma de carga piezométrica y carga de velocidad se denomina carga total. Observe que para un fluido quieto, la ecuación de Bernoulli se convierte en la ecuación del equilibrio hidrostático.

La ecuación de Bernoulli es de gran utilidad en el tratamiento de fluidos incompresibles. Dicha ecuación establece que en flujo potencial (en ausencia de fricción o efectos viscosos), cuando la velocidad disminuye, la presión o la altura o ambas tienden a aumentar. La razón de la compensación entre la presión, altura y velocidad se entiende si se tiene en cuenta que estos son términos que representan el trabajo mecánico, energía potencial y energía cinética respectivamente, lo cual está de acuerdo con el principio de la conservación de energía.

Es común referirse a la presión p como presión estática y la suma de los dos términos ? pE V 2 2 p ? ? Ec. 1-18 se denomina presión de estancamiento.

? ? P 101.325?0.016*9.8 Figura 1.9 Piezómetro y tubo de Pitot. La presión estática en una tubería puede medirse con sólo instalar un piezómetro, que se muestra en la Figura 3.9. Un dispositivo llamado tubo de Pitot, que se muestra esquemáticamente sirve para medir la presión de estancamiento en un fluido. El punto 2 justo adentro del tubo de Pitot es un punto de estancamiento, donde la velocidad es cero. Podemos utilizar la diferencia entre las lecturas para determinar la velocidad en el punto 1, mediante la ecuación de Bernoulli, así (p2 ? p1) V1 ? 2 ? Ec. 1-19 Ejemplo 5: La carga de presión estática en una tubería de aire se mide con un piezómetro que marca 16 mm de agua. Un tubo de Pitot en el mismo punto indica 24 mm de agua. Calcule la velocidad del aire a 20°C.

Solución: kg m3 ?1.2 La densidad del aire será ? RT 8.314/28.84*293.15 La velocidad, aplicando la ecuación en el punto de estancamiento del tubo de Pitot será: m s 2 1.2 (0.024?0.016)*9800 ?11.43 V1 ? Ejemplo 6: Por el fondo de un gran tanque abierto, Figura 3.10 se está derramando aceite con una densidad relativa de 0.8 por una tubería de ½ pulgada, catálogo 40. El punto de vaciado está 5 m debajo del nivel del tanque de aceite. Calcule el caudal y la velocidad de salida del aceite despreciando los efectos viscosos.

Solución: La aplicación de la ecuación de Bernoulli entre los puntos 1 y 2 se hace teniendo en cuenta varias consideraciones. La presión estática en ambos puntos es cero, pues generalmente se supone que la presión manométrica en el nivel superior de tanques abiertos vale cero. La velocidad en el punto 1 es tan baja que se puede igualar a cero, así, la ecuación de Bernoulli quedará resumida a

V22 2g Z1 ? Z2 ? Obteniéndose V2 ? 2g(Z1 ?Z2) ? 2*9.8*(5) ? 9.899 m/s Figura 1.10 La aplicación de la ecuación de Bernoulli permite el cálculo del caudal de diversos flujos mediante el empleo de un tubo vénturi. Un tubo vénturi es una contracción en la tubería. Se determina el caudal en la tubería midiendo la caída de presión por efecto de la contracción.

Ejemplo 7: La caída de presión en un tubo vénturi se muestra en la Figura 3.11. En el punto 1 la tubería tiene un diámetro de 10 cm. En el punto 2 el diámetro es 8 cm. El manómetro utiliza mercurio. Determine el caudal.

Solución: La ecuación de Bernoulli aplicada entre los puntos 1 y 2 será V12 2g V22 2g ? ? p1 ? p2 ? Figura 1.11 Tubo vénturi. como D2 4 D1 2 4 ?V2 *? Q ?V1 *? 5m 1 2 5 cm 1 2