Cómo graficar el número Pi (Con una aproximación "racional")

RESUMEN.

En este trabajo el autor muestra un método para graficar el número trascendente Pi, aproximándolo a un número racional de seis decimales, que puede graficarse con regla y compás en una hoja de papel A-4

1.- PI, ES UN NÚMERO TRASCENDENTE

Para resolver el famoso problema de "La Cuadratura del Círculo" con regla y compás era necesario conseguir una suficiente aproximación gráfica del número Pi y más propiamente de la raíz de Pi. Pero, como no se intentó tal aproximación el problema quedó sin solución, por lo menos aproximada. En un trabajo próximo presentaré la aplicación de estos alcances a la "Cuadratura".

El número p es un número irracional, es decir, un número fraccionario cuyos decimales no tienen regularidad ni periodicidad conocida, sino que van cambiando hasta el infinito.

Este número tan especial es el resultado de dividir la longitud de una circunferencia entre su diámetro.

En el acápite referente al número p , el "Diccionario de la Ciencia y Tecnología" Ed. Planeta, España, 2001.dice: "Pi, (p ), Número irracional trascendente definido como la razón entre la longitud de la circunferencia y su diámetro (o entre el área del círculo y el cuadrado de su radio). El valor de p es 3,141592653589793238…"

En el libro "Matemáticas" de D. Bergamini (Libros Time. USA, 1969) se lee que "La cantidad que representa (p ) ha sido calculada con más de cien mil decimales, y sabemos que nunca resultará exacta".

En la "Geometría" de J. E. Thompson, Uteha, México 1961, también se lee que: "En un tiempo se creyó que se podría determinar exactamente el valor de p , mediante un número finito de operaciones con regla y compás, y los calculadores antiguos obtuvieron valores intentando la "cuadratura del círculo". Sin embargo, una vez que se comprendió bien la verdadera naturaleza de los límites y de los inconmensurables, se vio en seguida que p no tiene valor decimal exacto y que, por lo tanto, la cuadratura del círculo es imposible".

Igualmente, en el libro "Las grandes corrientes del pensamiento matemático" de Francois Le Lionnais (Eudeba, Argentina 1965) nos hablan de la insolubilidad del mencionado problema de la Cuadratura del Círculo. Según el matemático Émile Borel, miembro de la Academia de Ciencias de Francia – en un artículo de ese libro- Dados dos números irracionales a, b no podemos estar seguros que son iguales si no se puede demostrar por un método analítico, después de un número finito de operaciones

Ejemplo

Borel, concluye que es imposible la cuadratura del círculo "puesto que p no puede ser raíz de ninguna ecuación algebraica de coeficientes enteros".

El sabio peruano Dr. Federico Villareal, al comentar el trabajo del Dr. Eusebio Corazao en 1906, dice casi lo mismo respecto al número … "Está demostrado que es un número irracional de segundo orden; es decir, que no es la raíz de ninguna ecuación numérica de coeficientes enteros, como sucede para la razón de la diagonal de un cuadrado a su lado, o de los lados del cuadrado y triángulo inscriptos. Respecto del número , solamente se le ha expresado por series verdaderamente notables, pero nunca por una fórmula finita real, sino usando las imaginarias, como la debida a Euler, en que la unidad imaginaria elevada a la unidad imaginaria es igual al número e elevado a menos medio Pi". Es decir:

En su interesante página web, el Dr. Juan Saba nos ilustra que: Legendre (1794)… y I. Niven habían demostrado la irracionalidad de Pi. "Liouville en 1844, demostró la existencia de números trascendentes, o sea de números reales que no son raíces de ninguna ecuación algebraica de coeficientes racionales. Finalmente en 1862. F. Lindemann demostró que Pi es un número trascendente".

Con estas conclusiones, cualquier búsqueda para acercarse a la solución del problema de antigua data, de la Cuadratura, parecería absurda y condenada al fracaso. Pero, también, son irracionales y transcendentes, no importa de qué orden, los números ,, , e, (Nº de oro), y no por ello dejamos de calcular las diagonales de los cuadrados o de los rectángulos, y usamos, sin remilgos, los logaritmos naturales. Pues, lo que hacemos, en la práctica, es pactar una "aproximación racional" de esos números limitando sus decimales a un número finito de cifras. Con esta idea es que he desarrollado los métodos gráficos que siguen; el primero con una aproximación de un par de decimales, y el segundo con una aproximación de seis decimales.

2.- BUSCANDO UNA APROXIMACIÓN RACIONAL PARA PI

2.1.- OBTENCIÓN GRÁFICA DE p

(Primera aproximación con dos decimales)

Para este efecto se sigue los pasos siguientes:

Trazar el plano cartesiano con la recta horizontal (eje X) y otra perpendicular (eje Y) con origen en el punto (0,0). (Fig. 1.1).
Tomar un valor unitario arbitrario (un centímetro, por ejemplo) y con él, dividir la recta X, en once partes. Dividir con el compás y la regla los segmentos comprendidos entre (0,0) y (7,0); y (0,0) y (11,0), para hallar los puntos (3.5, 0) y (5.5, 0)
Trazar las rectas auxiliares perpendiculares a X en los puntos (2,0) y (4,0).
Con el compás en el origen, trazar arcos con radios (3.5, 0) y (7, 0), hasta cortar las rectas perpendiculares auxiliares en los punto b y b’.
Unir b, b’ con el origen O y prolongar esta recta oblicua.
Desde el origen con radios (1,0); (5.5, 0) y (11,0) trazar los arcos que corten a la recta oblicua en los puntos a, c y c’.
Desde estos puntos a, c y c’, trazar las perpendiculares al eje X. Los puntos hallados serán, od, ~p y ~2p . (Haciendo, paralelamente, el control por el método analítico se encontró que se trata de una aproximación de 1.2 milésimas de centímetro)
Dividir con el compás y regla el segmento ~2p para encontrar los valores gráficos aproximados de los números p y p /2 (Fig 1.2).

ANALISIS DE LA OBTENCIÓN GRÁFICA APROXIMADA DE p

De acuerdo con el procedimiento gráfico planteado:

; es igual a

Analíticamente, el segmento od, representa la fracción:

; od= 0.571428571;

Valor que multiplicado por once será igual a: 6.285714286, o sea ~ 2 p .

Igualmente, de donde .

, donde

El valor gráfico de p resulta siendo aproximadamente igual a 3.142857143.

Cifra a la que podemos sustraer el valor de p = 3.141592654, tomado de una calculadora personal de once dígitos, del modo siguiente:

~3.142857143 – 3.141592654 = 0.001264489

Esto nos muestra un error gráfico, por exceso, de 1.2 milésimas de centímetro.

Obviamente, para los alcances de la vista humana y trabajando sobre una hoja de papel A4, con un juego de reglas de escolar y un compás sencillo, esta primera aproximación hallada es bastante cercana. La segunda aproximación lo es aún más.

Otras proporciones encontradas por el autor para obtener ~ p son las siguientes:

2.2.- OBTENCIÓN GRÁFICA DE p

(segunda aproximación con seis decimales)

Para este efecto se sigue los pasos siguientes:

1. Trazar el plano cartesiano con la recta horizontal (eje X) y otra perpendicular (eje Y) con origen en el punto (0,0). (Fig. 1.2).

2. Tomar un valor unitario arbitrario (un centímetro, por ejemplo) y con él, dividir la recta X, en doce partes.

3. Ubicar por paralelismo los puntos (3.55, 0) y (11.3, 0)

4.-Trazar la recta auxiliar perpendicular a X en el punto (10, 0)

Con el compás en el origen, trazar un arco con radio 11.3, hasta cortar la recta perpendicular (10, 0)
Unir el punto encontrado con el origen (O) y prolongar esta recta oblicua.

7. Desde el origen, con radio 3.55, trazar un arco que corte a la recta oblicua

8. Desde este punto, trazar la perpendicular al eje X. El punto hallado será, aproximadamente el valor de Pi, ~p = 3.141592920 (Haciendo, paralelamente, el control por el método analítico se encontró que se trata de una aproximación de 2.68 * 10-7 de centímetro).

; Graficando esta proporción tenemos:

En la Fig. 1.2. La aproximación alcanzada para p es hasta la sexta cifra decimal y su exactitud en el papel dependerá de la precisión gráfica de las cifras de la proporción, usando sólo compás y la regla, como se ve en el procedimiento gráfico para dividir la unidad en fracciones (el error por exceso o resto será 3.141592920 – 3.141592652 de 0.000000268, es decir 2.6 diezmillonésimas de centímetro ó 2.68 * 10-7).

Este procedimiento deriva del método del holandés Metius que, con la fracción:

355/113 = 3.1415929, alcanzó una aproximación de 6 cifras decimales para p , aproximación que según la monografía del profesor venezolano Juan Saba Salas

(http://www.monografias.com/trabajos14/letrapi/letrapi), lo había logrado calculando la media aritmética de los numeradores y denominadores de las fracciones 377/120 y 333/106, valores aproximados encontrados con el método de Arquímedes. Mi alcance es haber planteado esa fracción (355/113 ) como proporción, para hacer asequible su graficación en una hoja de papel A4.

3.- REFERENCIAS.

BIBLIOGRAFIA Y DOCUMENTACION

1.-"La Cuadratura del Círculo. ¡Sí, es posible!", Ing. Julio Antonio Gutiérrez Samanez, Cusco –Perú, 2005, (ISBN: 9972-33.239.X)

2.- http://www.monografias.com/trabajos14/letrapi/letrapi)

del Dr. Juan Saba Salas.

4.- "Matemáticas" de D. Bergamini (Libros Time. USA, 1969)

5.- "Geometría" de J. E. Thompson, Uteha, México 1961,

6.- "Las grandes corrientes del pensamiento matemático" de Francois Le Lionnais (Eudeba, Argentina 1965).7.- "Diccionario de la Ciencia y Tecnología" Ed. Planeta, España, 2001.

Nota.- El Dr. Eusebio Corazao Quintanilla, publicó en 1905 el teorema siguiente:

"Todo polígono regular en medio proporcional entre el círculo inscrito en él y su círculo isoperímetro", con lo que facilitó la solución del problema de la Rectificación de la Circunferencia.

AGRADECIMIENTOS

-Al Diseñador Gráfico Rigoberto Condori.

Autor:

Julio Antonio Gutiérrez Samanez

(Ingeniero Químico, nacido en Cusco, 1955, escritor, investigador, ceramista y consultor en diseño de productos aetesanales. Es, también, dibujante técnico y artista plástico profesional)

Cusco, Perú

Abril 2006