Transformada Z

Abstract

La transformada de Laplace puede utilizarse para el análisis de señales y sistemas en tiempo continuo. Un método operacional equivalente para el estudio de sistemas de ecuaciones deferenciales de tipo lineal discreto, es el método de la transformada Z (TZ). Es decir que la TZ está basada en la serie de Laurent y tiene como objetivo, resolver problemas de señales y sistemas discretos lineales invariantes en el tiempo (LIT). A modo de explicación se citaran aplicaciones de la transformada Z en el ámbito de las telecomunicaciones, se describirá brevemente la transformada en tiempo discreto equivalente a la TZ y se explicara la región de convergencia (Region Of Convergence, ROC) correspondiente a la TZ.

Aplicaciones de la transformada z en el ámbito de las telecomunicaciones

La TZ convierte una señal real o compleja definida en el dominio del tiempo discreto en una representación en el dominio de la frecuencia compleja [1], en este sentido la TZ es una herramienta muy importante para el procesamiento de señales digitales y de allí parte su aplicación en la ingeniería dedicada al estudio de las telecomunicaciones. Este modelo matemático aplica en el procesamiento de señales digitales, específicamente para el análisis y proyectos de circuitos digitales, de los sistemas radar o en sistemas de comunicaciones como la telefonía móvil, la televisión digital entre otros.

De esta manera, se pueden ejemplificar el radar, la telefonía o la TV digital donde:

Tabla. 1 Ejemplo de Aplicaciones

A modo de explicación, se tomara como ejemplo la codificación diferencial que es empleada en la Tv digital o en un sistema radar. En este caso se considera la codificación de señales de audio y video de Tv digital, cuyo método de compresión reside en el formato MPEG para codificar algunos de los coeficientes transformados. De esta forma se utilizara esta idea para ilustrar la transformación de la señal en tiempo discreto mediante la TZ.

En el esquema básico de un codificador diferencial se representa la figura 1.1. Se podría considerar la señal de entrada como la iluminancia de una línea de imagen. La transformación a utilizar consiste simplemente en calcular la diferencia entre dos muestras consecutivas. En principio, desde un punto de vista intuitivo, esta transformación parece natural debido a la redundancia que existe entre dos elementos consecutivos. Es de esperar que, una vez realizada la transformación, la mayoría de muestras estarán situadas en un entorno próximo al cero, por lo que, seguramente pueden encontrarse compresores que aprovechando esta característica de la señal reduzcan la tasa de bits necesaria para su codificación.

Nótese que la transformación utilizada es invertible y que puede recuperar de forma exacta la información original a partir de los resultados transformados. Analíticamente, la transformación diferencial viene dada por:

Puede verificarse que una transformación es inversa de la otra sin más que aplicar las ecuaciones anteriores a las tablas de valores que se muestran en la figura 1.1.

Fig. 1.1 Transformación Diferencial [2]

Fig. 1.2 Proceso General

Transformadas equivalentes a la transformada z que puedan utilizarse en tiempo discreto

La transformada Z se considera una generalización de la transformada de tiempo discreto (DTFT) [3], dado a que la TZ de la secuencia x(n) se ha definido como:

Fig. 2.1 Relación entre la Transformada de Fourier y la TZ [4]

Región de convergencia (ROC)

La región de convergencia (ROC), define la zona donde la TZ existe. En tal sentido es una región en el plano complejo donde la TZ de una señal tiene una suma finita. Lo que quiere decir que es la suma de una serie geométrica (suma de series de potencias negativas de z) y esta transformada solo existe para aquellos valores del plano complejo para los que dicha suma de serie de potencias converge. Por lo tanto, la ROC viene dada por:

Aparte de lo que supone en si la ROC de una TZ, se da el caso de que dicha transformada no determina de forma única una señal en el dominio del tiempo. Esta ambigüedad solo se resuelve si, además de las TZ, se especifica la ROC.

Finalmente luego de realizar diversas evaluaciones y aplicar ciertas propiedades como la de linealidad de las TZ, se puede decir que la ROC de este tipo de transformadas será una combinación de ella misma y según esto se pueden presentar las siguientes situaciones:

• Señal estrictamente no causal (vale 0 para tiempos positivos): En este caso la región de convergencia va a ser un círculo.

• Señal estrictamente causal (vale 0 para tiempos negativos): En este caso la región de convergencia va a ser el exterior de una determinada circunferencia.

• Señal no causal (mezcla de las anteriores): En este caso se pueden dar dos situaciones:

• La ROC es un anillo. Para que se origine esta situación el mayor modulo de los polos de la TZ, correspondiente a la parte no causal, debe ser mayor que los correspondientes causales.

• No existe ROC. Este caso es opuesto al contrario.

Conclusiones

Hoy día, las telecomunicaciones parecen consolidarse como un fenómeno que se incrementa en el tiempo; con los días son más y más las aplicaciones que se generan de los conocimientos teóricos en una práctica moderna, científica-experimental que resulta sorprendente. Constituye así un conjunto ordenado de todos los conocimientos usados en la producción, distribución y uso de bienes y servicios. De tal manera que, representa un conocimiento que permite satisfacer las necesidades del ser humano, a través de técnicas que si se quieren pueden ser consideradas como nuevas. Nuevas, porque en lo sustancial han aparecido y sobre todo se han perfeccionado, difundido y asimilado. 

     De esta forma las transformadas Z, se convierten en una excelente técnica la cual, a pesar de tener su sustento teórico práctico definido, como consecuencia de la tecnología se reinventa para aplicarse, en este caso particular a una de las necesidades humanas fundamentales, que es la comunicación, y dentro del contexto tecnológico a las telecomunicaciones. Cabe destacar, que las telecomunicaciones obedecen a un sistema de comunicación que incluye equipos electrónicos e inclusive la manipulación de señales digitales, las cuales vienen compuestas por unos parámetros discretos

Finalmente, se pueden relacionar este proceso, con la telefonía móvil, con un RADAR, o con la operación de diversos equipos, entre otros, cuando estos poseen o manipulan señales, como un factor de entrada y salida.

Referencias bibliográficas

[1] E. Soria y M. Martínez, Tratamiento Digital de Señales. Pearson Educación 2003.

[2] Televisión Digital, [En Línea], Disponible en: http://melca.com.ar/archivos/apuntes/Sistemas%20audiovisuales.%20Television%20analogica%20y%20digital/TL02206C.pdf.

[3] J. Alvarado, Procesamiento Digital de Señales, Creative Commons 2011.

[4] R. Jiménez, Análisis de Sistemas y Señales de Control Digital, 1997.

Autor:

Oskar Sánchez

Dirección de Investigación y Postgrado, Universidad Nacional Politécnica "Antonio José de Sucre"

Barquisimeto, Venezuela