El enfoque de solución de problemas para la distribución exponencial (página 2)

• ¿Cómo se llama la variable de interés en la situación a)? ¿Cómo se clasifica? ¿Qué se pide?

• ¿Cuál es el parámetro de la distribución de Poisson? ¿Cuál es su función de probabilidad?¿Qué significa ? en la relación ? = ? . t? Este recordatorio puede llevarse a cabo a partir de mostrarle al estudiante la siguiente relación:

P(X = x) = (e-? (?)X)/x! = (e- ? t (? t)X)/ x!; ? = ? . t. El docente orienta la observación del estudiante para destacar: ¿Qué es ?? ¿Qué es t? ¿Qué es ??

• ¿Cuál es la variable de interés en la situación b)? ¿Será el número de llamadas como en el caso anterior o el tiempo que trascurre entre una llamada y la siguiente?

• ¿El tiempo es una variable aleatoria discreta o continua?

• ¿Cuál será la distribución de probabilidad que corresponde a esta variable?

Estas preguntas propician la creación de situaciones problémicas y sirven para potenciar el nuevo aprendizaje y para justificar el objetivo de conocer una nueva distribución de probabilidad, en este caso de una variable aleatoria continua.

Definir el nuevo concepto a través de la función de densidad probabilística

Una variante sencilla y breve en la introducción de la distribución exponencial es informarle a los estudiantes que para dar respuesta al problema en cuestión se estudiará una nueva distribución de probabilidad denominada distribución exponencial, la que tiene una gran aplicación en problemas de carreras de ingeniería (por ejemplo, un ingeniero industrial puede interesarse en modelar el tiempo T entre llegadas a una intersección congestionada durante una hora pico en una ciudad grande, una llegada representa el evento de Poisson).

Sobre la base de esta información y sin hacer otras consideraciones se presenta la definición del concepto:

"Sea X una variable aleatoria continua. Se dice que X tiene distribución exponencial si su función de densidad probabilística es:

Para que haya una mayor comprensión de la definición se debe destacar que, mientras en la distribución de Poisson la variable X significa la cantidad de sucesos que ocurren en un intervalo de tiempo determinado(variable discreta), ahora la variable X representa el tiempo que transcurre entre la ocurrencia de un evento y el siguiente(variable continua). Un gráfico como el siguiente puede contribuir a este propósito:

Se concluye que si un número de sucesos sigue una distribución de Poisson, entonces el tiempo entre la ocurrencia de dichos sucesos sigue una distribución exponencial y viceversa.

Con estas consideraciones se retoma el problema inicial y se plantean las siguientes interrogantes:

El objetivo de esta última pregunta es orientar al estudiante a la utilización del procedimiento de integración para dar respuesta al problema, aunque luego él aprenderá un procedimiento más sencillo para calcular probabilidades usando la tabla estadística de la distribución exponencial.

Finalmente se obtiene la expresión general de la función de distribución acumulativa

mediante el procedimiento de integración.

Después de dar respuesta al problema planteado, se pueden introducir las fórmulas de las características numéricas de la variable aleatoria en estudio, sin necesidad de deducirlas: E(x) = 1/?, V(x) = 1/ ?2, s(x) = 1/ ?. El motivo para tratar dichos conceptos puede resultar de modo natural del propio problema resuelto.

Deducir primero la distribución acumulativa y luego introducir la función de densidad probabilística

Otra variante metodológica para la introducción de la distribución exponencial (aunque más laboriosa y exigente) consiste en obtener primero la función de distribución acumulativa y luego como un segundo paso la función de densidad probabilística de la distribución exponencial, o sea, usando un procedimiento inverso al de la primera variante descrita anteriormente.

Utilizando una exposición problémica el proceso de enseñanza aprendizaje podría conducirse planteando interrogantes y haciendo algunas reflexiones como las siguientes:

"Ahora la variable de interés investigativo es el tiempo entre la ocurrencia de éxitos que acontecen de acuerdo a una distribución de Poisson, entonces, ¿cuál será la función de distribución acumulativa de esta variable aleatoria? ¿Cuál será su función de densidad probabilística? (Estas preguntas se plantean para orientar a los estudiantes al objetivo).

Sobre esta base se obtiene la función de densidad probabilística de la distribución exponencial mediante el procedimiento de derivación.

Todo lo anterior puede explicarse de forma equivalente en los siguientes términos: X es una variable aleatoria que describe el tiempo que se requiere para que ocurra el primer evento de Poisson. Usando esta distribución encontramos que la probabilidad de que no ocurra algún evento, en el período hasta el tiempo t está dada por P(X = 0) = (e-?(?)x)/x! = (e? (?)0)/0! = e-?, con ? = ?. t. Ahora podemos utilizar lo anterior y hacer que X sea el tiempo para el primer evento de Poisson. La probabilidad de que la duración del tiempo hasta el primer evento exceda x es la misma que la probabilidad de que no ocurra algún evento de Poisson en x. Esto último está dado por: e-? = e -? t. Como resultado: P(X = x) = e -?t

Resolver problemas de aplicación de la distribución exponencial

No basta que los estudiantes comprendan los nuevos conceptos y sus definiciones, sino es necesario también que los sepan aplicar a la solución de problemas. Esto es un proceso complejo que hay que planificarlo por etapas. Con este propósito pueden plantearse a los estudiantes en un primer momento problemas donde sólo se use la distribución exponencial como medio de solución y luego problemas que relacionen esta distribución con la distribución de Poisson.

Ejemplo 1.

Se conoce que por un punto de control pasan 12 carros cada media hora como promedio. Si las llegadas siguen una distribución de Poisson, halle:

• a) La probabilidad de que el próximo carro llegue antes de que transcurran 5 minutos, si acaba de pasar uno en este momento.

• b) La probabilidad de que el próximo carro llegue después de transcurridos 5 minutos, si acaba de pasar uno en este momento.

• c) El tiempo promedio entre la llegada de dos carros consecutivos.

Los incisos a) y b) se resuelven de forma sencilla utilizando las fórmulas respectivamente.

Ejemplo 2.

Por experiencia se sabe que un equipo tiene como promedio 3 roturas mensuales. Si las roturas siguen una distribución de Poisson:

• a) Halle la probabilidad de que en un día no haya más de una rotura.

• b) Si en este momento acaban de reparar el equipo, halle la probabilidad de que transcurra una semana como máximo antes de la próxima rotura.

• c) Halle el promedio de roturas del equipo por semana.

• d) Halle el promedio de tiempo entre roturas que sufre el equipo en una semana.

En la solución de estos problemas es necesario que el profesor haga reflexionar a los estudiantes sobre la necesidad de saber identificar la variable aleatoria de interés dentro de la estrategia de la solución del problema, o sea, si se trata de un evento de Poisson como en el inciso a) del ejemplo 2, o si se trata del tiempo que media entre dos eventos consecutivos como en el inciso b).

Si se considera necesario, en dependencia de las características de los estudiantes y de los problemas que se seleccionen, un esquema gráfico como el indicado al principio, puede ayudar a una mejor comprensión de los conceptos y del proceso de solución, sobre todo en las primeras etapas de aprendizaje.

Conclusiones

En el presente trabajo se han mostrado algunas alternativas incentivadoras del aprendizaje que pueden aprovecharse en la enseñanza de la distribución exponencial usando un enfoque de solución de problemas, que por supuesto no son privativas de dicho contenido. La experiencia de los autores sugiere que resultan provechosas y de interés para los estudiantes cuando son utilizadas en la docencia en las carreras de Ingeniería.

Las variantes metodológicas que se muestran en el tratamiento del contenido seleccionado no se limitan al marco del salón de clases, sino que se orientan a la enseñanza de estos contenidos en general. El docente, según las condiciones de la enseñanza, seleccionará la variante más apropiada, organizará y dosificará el contenido a tratar.

Hay que destacar que el objetivo fundamental en la enseñanza de la Matemática y en particular de la Estadística no es que el estudiante comprenda cómo solucionar problemas, sino sobre todo que aprenda a resolverlos de manera independiente, aunque la comprensión sea un aspecto básico en ese proceso.

La exposición problémica interrelacionada con la conversación heurística se muestra como método de enseñanza productivo apropiado para tratar estos contenidos, teniendo en cuenta que mediante él se puede trasmitir a los estudiantes un modelo o estrategia de actuación para abordar un problema y solucionarlo.

Las ideas desarrolladas en el presente trabajo están dirigidas sobre todo a una enseñanza presencial.

Bibliografía

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• 8. Bouza, H. C.; Sistachs, V. V.: Estadística. Teoría básica y ejercicios. Editorial Félix Varela. La Habana, 2002.

Autor:

Dr. Profesor Auxiliar: Salvador Álvarez Reyes

Lic. Profesor Asistente: Francisco Pérez Santos