r1 A1 v1 = r2 A2 v2
Esta es la ecuación de continuidad para un flujo permanente
Ecuación de Bernoulli para fluido ideal
La ecuación de Bernoulli es una ecuación fundamental de la dinámica de los fluidos ideales y es una forma de la conservación de la energía mecánica aplicada a la circulación de un líquido ideal en estado estacionario o permanente; fue deducida por Daniel Bernoulli en 1738. Su uso en el estudio de la circulación sanguínea es de bastante importancia.
Para determinar la expresión que entrega la ecuación de Bernoulli, consideremos un flujo no viscoso, permanente e incompresible de un fluido que circula por una tubería o un tubo de corriente como se muestra en la figura a).
Fijaremos la atención no sólo en la masa de fluido que está dentro del tubo limitada por las secciones transversales A1 y A2 , sino que también en la masa de fluido 
que está a punto de entrar al tubo a través de A1 ; al conjunto se le llamará ''sistema'' .
En un intervalo
ha salido del tubo una masa (m pues el flujo másico es constante y el sistema toma la forma que muestra la figura b) .
De acuerdo al teorema del trabajo y la energía, se sabe que el trabajo neto realizado sobre el sistema es equivalente a la variación de la energía cinética. Para el análisis que se hace tenemos que, como el flujo no es viscoso, las únicas fuerzas que realizan trabajo sobre el sistema son el peso y las fuerzas debida a la presión que ejerce el fluido que rodea al sistema. Llamemos WP el trabajo neto realizado por las fuerzas de presión, entonces se tiene que:
Como el peso es una fuerza conservativa
, luego
(I)
(I) Donde (K corresponde a la variación de la energía cinética y (U corresponde a la variación de la energía potencial.
El término de la izquierda en la ecuación (I) corresponde al trabajo total de la presión, es decir :
P1A1 (L1 – p2 A2(L2 = (p1 – p2 )
(A)
Esto es así ya que:
; el fluido es incompresible para un intervalo de tiempo, el volumen que pasa la sección 1 es la misma que en la sección 2.
El término de la derecha en la ecuación (I) se puede expresar como
(B)
De las expresiones de A y B se tiene que:
Y finalmente, ordenando se obtiene la siguiente ecuación:
ECUACION DE BERNOULLI
Esta es la Ecuación de Bernoulli para un flujo permanente, no viscoso, incompresible entre dos puntos cualesquiera ubicados sobre una misma línea de corriente.
Como los subíndices 1 y 2 se refieren a dos puntos cualesquiera en el tubo, puede escribirse que :
En la ecuación de Bernoulli, cada término tiene dimensión de presión
El término p corresponde a lo que se llama presión estática.
El término 1/2(v2 es lo se llama presión dinámica. El termino pgh corresponde a la presión debida a la columna de líquido Esta ecuación se aplica a muchas situaciones en medicina, como son la medida de la presión arterial, la aplicación de presión de aire en los pulmones para respiración artificial, el drenado de líquidos humanos a través de sondas, etcétera.
Bernoulli con perdidas Cuando se considera las pérdidas que sufre la energía debido al roce dentro de la tubería como también a obstáculos que pudiera haber al interior de ella como por ejemplo bifurcaciones, codos, válvulas etc. ,la ecuación anterior sufre modificaciones, es decir la energía no se conserva, entonces:
o bien
Para una tubería horizontal de diámetro constante que conduce líquido, la ecuación de continuidad ( A1v1 = A2 v2 ) nos dice que la rapidez en los puntos 1 y 2 es la misma ya que el área ( ( R2 ) es la misma y la altura también es la misma, luego la ecuación de Bernoulli toma la forma:
p1 = p2 + PERDIDAS ; p1 – p2 = PERDIDAS
Las pérdidas corresponden a la fuerza de roce viscoso que se opone al movimiento del fluido en la tubería que viene dado por: F= 4(( L vm
Donde vm es el valor medio de la rapidez.
Si consideramos ahora el movimiento de un fluido que circula por una tubería de radio R y consideramos un largo L, se encuentra que la velocidad del fluido real en contacto con la pared de la tubería es cero, y que la parte del fluido que se mueve a lo largo del eje central alcanza una velocidad máxima V.
La figura representa el perfil parabólico de velocidades de un fluido que circula por una tubería de radio R y largo L.
Como el líquido se desplaza con velocidad constante la fuerza de presión( p = Fuerza/Area) debe ser igual a la fuerza de roce viscoso luego:
( p1 – p2 ) (R2 = 4 –L vm ; ( p1 – p2 ) = 
ya que la única fuerza externa que actúa sobre el fluido es la fuerza neta debida a la diferencia o caída de presión en los extremos de la tubería, con p2 menor que p1.
Esta ecuación establece que la cantidad de fluido que circula por una tubería es proporcional a la disminución de la presión a lo largo de la misma y a la cuarta potencia del radio de la tubería, ecuación que es importante para entender correctamente como circula la sangre por el cuerpo.
La ecuación de Poiseuille puede ser escrita como
donde R = 
se le conoce como la resistencia en un solo vaso( la unidad de medida es (Pa.s/m3). La ecuación para el caudal Q también es válida para una red de vasos interconectados como la de los vasos sanguíneos del sistema circulatorio, s i se considera a R como la resistencia total de la red.
Ley de Poiseuille: esta ley establece la dependencia entre el caudal volumétrico Q y la diferencia de presión en una tubería y se puede demostrar que viene dada por:
Esta ecuación es importante para entender correctamente como circula la sangre por el cuerpo.
La Ley de Poiseuille y el perfil parabólico de velocidades sólo es válido para velocidades pequeñas. En esta situación el fluido circula en forma de láminas concéntricas y el flujo recibe el nombre de
Flujo Laminar.
Flujo sanguíneo La aorta tiene un radio de 9mm por lo que sólo se requiere una diferencia de presión de 3mmHg para mantener en ella un flujo normal de sangre.
Si la presión de la sangre es de 100mm Hg cuando entra a la aorta, se reduce a 97 mm Hg cuando entra en las arterias principales y como el radio de estas es más pequeño se necesita una caída de 17 mm Hg para que se mantenga el flujo.
Cuando la sangre entra en las pequeñas arterias la presión sólo es de 80 mm Hg y como el radio es más pequeño se necesita otra caída de presión ahora a 55 mm Hg y cuando pasa a los capilares que tiene un radio mucho más pequeño la presión desciende a 10mm Hg cuando alcanza las venas La tabla siguiente muestra los Valores aproximados de caudales y resistencias para un adulto en reposo y tendido. El caudal total de la aorta es 9,7 x 10-5 m3/s y la caída de presión media a través de los hechos es 11,7 kPa ( FISICA DE KANE)
Problema La aorta de un hombre adulto medio es de 24mm de diámetro. Si el caudal en la arteria es de 10 –4 m3/s, calcule la caída de presión y la resistencia al flujo en una distancia de 10cm.
Desarrollo: Para trabajar en un solo sistema de unidades se debe expresar el diámetro y la distancia dada en metros.
Efectos de la gravedad en la circulación
Resulta interesante hacer un análisis del sistema que emplea el cuerpo humano para devolver la sangre desde las extremidades inferiores al corazón.
Si se toma la presión en algunas arterias principales a una persona colocada en posición horizontal, se encontrará que esta es prácticamente la misma en los pies , en el corazón y en el cerebro, comparada con una persona que se encuentra erguida o de pie, en posición vertical. Esta diferencia se debe a la gran diferencia de altura que hay entre los pies respecto del corazón y del cerebro. Realizando el análisis, podemos decir que, de acuerdo a la ecuación de Bernouilli
(despreciando los efectos de la viscosidad por ser pequeños), se tiene que el término correspondiente a la presión dinámica, 1/2 ( v2 , en un primer análisis se puede despreciar por ser pequeñas las velocidades en las tres arterias, en consecuencia las presiones manométricas en las tres arterias quedan relacionadas por las siguientes expresiones:
donde (, corresponde a la densidad de la sangre(1,0595 gr/cm3 = 1059,5 kg/m3)
Asumiendo que la presión en el corazón es de 100mm de Hg, lo que equivale aproximadamente a 13,3 kPa, entonces la presión en los pies para un hombre que tiene su corazón a una altura de 1,3m es de :
pp = 13300 + 1059,5 * 9.8* 1,3 = 26798 Pa = 26,8 kPa
Asumiendo que el cerebro para un hombre de estatura promedio se encuentra a una altura de 1,7m , entonces la presión en el cerebro será de:
pp = 26798 Pa = pce + 1059,5 * 9.8* 1,7
pce = 26798 – 17651.2
pce = 9146,7 Pa = 9,15 kPa.
Problemas 1.- Explique como determinaría la densidad de un cubo metálico de 6 cm de arista y el un cuerpo en forma irregular que tiene una masa de 200 gr.
2.- Se le entrega una esfera que tiene un radio de 2cm y su densidad es de 8,5 gr/cm3 . Calcule la masa del cuerpo. R: 285 gr.
3.- Si la densidad de la sangre es 1,05 gr/cm3 , calcule cuantos litros corresponden a 0,5 kg de sangre. R: 0,476 litros.
4.- Una partícula típica de "smog" santiaguino tiene una densidad relativa de 1,7 y diámetro medio alrededor de 10 micrones, calcule la masa de la partícula, para eso considérela de forma esférica. R: 8,9x 10 –10 gr. 5.- La presión sistólica de un paciente es de 230 mm de Hg, convertir esta presión en Pascal, en Torr, en Baria. R: 31280 Pa; 230Torr ; 312800 Baria 6.- La presión manométrica que se le suministra a un paciente por medio de un respirador mecánico es de 24 cm c. H2O. Exprese esta presión en a) Torr b) Pascal.
R: a) 17,65 Torr b) 2352 Pa
7.- A una jeringa hipodérrmica de sección o área de 1,2 cm2 , se le aplica una fuerza de 3 N .
a) Calcule la presión manométrica en el fluido que está dentro de la jeringa
b) Si la sección de la aguja es de 0,009 cm2 , calcule la fuerza que se le debe aplicar en el extremo de ella para que el líquido no saliera.
c) Calcule la fuerza mínima que debe aplicarse al émbolo para inyectar fluido en una vena en que la presión sanguínea es de 10 mm de Hg.
R: 2,5×104 Pa b) 0,0225N c) 0,16N
8.- Una persona adulta que se encuentra parada en forma erguida tiene su corazón ubicado a 1,4m sobre sus pies. Calcule la diferencia de presión entre la presión de la sangre en una arteria del pie y la presión de la sangre en la aorta.
R: 14406 Pa o 108,08 Torr.
9- La figura representa un cilindro de base A y altura de 30 cm, donde hay aceite y mercurio. Respecto de él se hacen afirmaciones. Responda si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones:
a) La presión que ejerce el aceite sobre el mercurio es de 8000 barias.
b) La presión en el fondo del estanque no se puede determinar numéricamente ya que no se conoce el área A.
c) La presión absoluta en el nivel de separación del aceite y el mercurio es de 102100 pascal.
d) La presión que ejerce el aire sobre el aceite es de 76cm c. de Hg. e) La presión que ejerce el mercurio en el fondo no se puede calcular , debido a que no se conoce el área de la base del cilindro R:. a) Verdadero b) Falsa c) Verdadero d) Verdadero e) Falso
10.- Se tiene un recipiente con plasma ( ( = 1,03 gr/cm3), desde el cual se hace llegar hasta el antebrazo de un paciente a través de un tubo circular. Calcule la presión del plasma al entrar en la vena si el recipiente se encuentra a 1,6m por encima del brazo del paciente.
R: 121Torr
11.- Un bloque de cobre de 200 gr se cuelga de un dinamómetro. ¿Cuánto es lo que indicará el dinamómetro cuando se introduzca en el agua como muestra la figura?
R: 1,73 N
12.- En el proceso de micción, la orina fluye desde la vejiga donde su presión manomértrica es de 40 mm Hg a través de la uretra hasta el exterior. Calcular el radio de una uretra femenina conociendo los siguiente datos:
Longitud de la uretra: 4cm
Caudal durante la micción: 24cm 3/s viscosidad de la orina 6,9X10-4 N.s/m2
R: 0,75 mm
13.- En un adulto normal en estado de reposo , la velocidad de la sangre a través de la aorta es de 0,33 m/s Calcule el caudal a través de una aorta de radio r= 8 mm R: 66,35 cm3/s 14.- Un tubo horizontal tiene una sección transversal de 30 cm2 en su parte ancha y 7,5 cm2 en su parte angosta. Si se sabe que cada 5s salen del tubo 30 litros por segundo, calcule:
a) las rapideces en las partes ancha y angosta b) La diferencia de presión entre estas partes R: a) 2 m/s y 8 m/s b) 30.000Pa
Guía de ejercicios de fluidos complementaria
1.- ¿Depende del tamaño del lago situado detrás de una presa la presión del agua en la base de la presa?
2.- Explique el significado físico de la ecuación de Bernoulli cuando el líquido no está en movimiento. y cuando está en movimiento.
3.- Una esfera sólida hecha de cierto material tiene un radio de 2cm y una masa de 81gr. ¿Cuál es su densidad? Resp: 2,42gr/cm3
4.- Suponga que existe un vacío perfecto dentro de una lata de café herméticamente cerrada. ¿Qué fuerza deberá soportar la tapa de 6cm de diámetro, al ser expuesta a la atmósfera? Use Pa=100kPa. Resp: 283N
7.- ¿Cuál es la presión debida al agua en una profundidad de 10,4m en un lago? Compare con la presión atmosférica de 100kPa.
Resp: 102 kPa hacia la fuente de agua
8.- Un tubo de vidrio se dobla y adquiere una forma U. Se vierte agua en el tubo hasta que alcanza una altura de 10cm en cada lado. Se agrega benceno lentamente en un lado hasta que el agua llega allí a 4cm de altura. ¿Qué longitud tiene la columna de benceno? densidad del benceno= 0,8gr/cm2
9.- Un objeto de 2,5gr tiene una masa aparente de 1,63gr cuando está completamente sumergido en agua a 20ºC. ¿Cuál es a) el volumen del objeto b) su densidad? Resp: 0,87cm3; 2,87gr/cm3
10.- Un objeto de 6,25gr tiene una masa aparente de 5,41gr cuando se encuentra totalmente sumergido en un aceite de 870Kg/m3 de densidad. Calcule la densidad del objeto. Resp: 6,47gr/cm3
11.- Una mujer pesa 475N, y hay que aplicarle una fuerza de 17N para mantenerla totalmente sumergida en agua. ¿Cuál es la densidad de su cuerpo? Resp: 965 Kg/m3
12.- La densidad del hielo es 917Kg/m3, y la densidad aproximada del agua de mar donde flota es 1025kg/m3. ¿Qué parte de un témpano se encuentra debajo de la superficie del agua? Resp: 0,895
13.- ¿En que factor cambia la cantidad de fluido que fluye por un tubo capilar cuando se aumenta la longitud de éste 4 veces más que su longitud original y se incrementa su diámetro el doble de dicho valor? Suponga que la diferencia de presión en el tubo permanece inalterada. Resp: 4
15.- Una aguja hipodérmica de 4cm de largo tiene un diámetro interno de 0,25mm. Su émbolo posee un área de 0,90cm2. Cuando se aplica al émbolo una fuerza de 6N, ¿con que rapidez fluye por la aguja el agua a 30ºC? Resp: 0,2 cm3/s
16.- Fluye suavemente agua por un sistema cerrado de tuberías. En un punto, la rapidez del agua es de 2,5m/s y es de 4m/s en otro punto 3m más alto que el primero.
a) Si la presión es 80KPa en el punto más bajo, ¿cuál es en el punto de la parte superior? b) ¿Cuál sería la presión en este último si el agua debiera dejar de fluir y la presión en el punto inferior fuera de 60KPa?
Resp: 45.7kPa; 30,6kPa R : 0,756 Kgf/cm2 ; 74,09 x 103 Pa
17.- El depósito de la figura contiene un aceite de densidad 800kg/m3. Determinar la lectura del manómetro a . explique el signo del resultado.
R: – 7,13 x 103 pa
1.- ¿Cómo determinaría la densidad de : a) un bloque cúbico de metal b) un líquido c) una roca de forma extraña.
2.- ¿Depende del tamaño del lago situado detrás de una presa la presión del agua en la base de la presa? 3.- Se sabe que la densidad de la sangre es de 1,0595gr/cm3 y su viscosidad es de 2,084x 10-2 Dina.s/cm 2.
a) Exprese estos valores en el sistema internacional de medidas.
b) Explique la diferencia de los términos de densidad y viscosidad.
4.- Un litro de leche tiene una masa de 1032 gr. la cual tiene nata que ocupa un 4% del volumen. Si la densidad de la nata es de 0,86 gr/cm3, calcule la densidad de la leche descremada( sin nata).
R: 1,04 gr/cm3 5.- Una persona que está buceando se encuentra sumergida en el mar a 5m de profundidad((MAR = 1,025gr/cm3). Calcule:
La presión absoluta y la presión manométrica que soporta a esa profundidad.
R: p= 15,255x 104 Pa ; pm= 51250 Pa
6.- Una esfera sólida hecha de cierto material tiene un radio de 2cm y una masa de 81gr. ¿Cuál es su densidad? Resp: 2,42gr/cm3
7.- Suponga que existe un vacío perfecto dentro de una lata de café herméticamente cerrada. ¿Qué fuerza deberá soportar la tapa de 6cm de diámetro, al ser expuesta a la atmósfera? Use Pa=100.000Pa. Resp: 283N
8.- Un objeto de 2,5gr tiene una masa aparente de 1,63gr cuando está completamente sumergido en agua a 20ºC. ¿Cuál es a) el volumen del objeto b) su densidad? Resp: 0,87cm3; 2,87gr/cm3
9.- ¿Cuál es la presión debida al agua en una profundidad de 10,4m en un lago? Compare con la presión atmosférica de 100kPa.
Resp: 102 kPa hacia la fuente de agua
10.- El depósito de la figura abierto a la atmósfera contiene aceite ((R = 0,8) y agua.
Calcular:
a) La presión que ejerce el aceite en el nivel de separación con el agua.
b) La presión que ejerce el agua en el fondo.
c) La presión absoluta en el fondo del depósito.
d) La fuerza que ejercen los líquidos sobre el fondo.
R: a) 24000 Pa b) 16000 Pa c) 141300 Pa d) 320000 N
11.- Un tubo de vidrio se dobla y adquiere una forma U. Se vierte agua en el tubo hasta que alcanza una altura de 10cm en cada lado. Se agrega benceno lentamente en un lado hasta que el agua llega allí a 4cm de altura. ¿Qué longitud tiene la columna de benceno? densidad del benceno= 0,8gr/cm2
12.- Un objeto de 6,25gr tiene una masa aparente de 5,41gr cuando se encuentra totalmente sumergido en un aceite de 870Kg/m3 de densidad. Calcule la densidad del objeto. Resp: 6,47gr/cm3
13.- Una mujer pesa 475N, y hay que aplicarle una fuerza de 17N para mantenerla totalmente sumergida en agua. ¿Cuál es la densidad de su cuerpo? R: 965 Kg/m3
Autor:
Pablo Turmero
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