Análisis de sensibilidad

Indudablemente nuestra economía se perfila hacia un contexto internacional y de transformación estructural, en la cual la productividad es la clave del éxito. En los ejecutivos recae el compromiso de lograr la adecuación técnico-administrativo-financiera necesaria en las empresas, para que el reto que se nos presenta se transforme en éxito.

Inevitablemente a la luz de los cambios, tendremos que modificar nuestra visión hacia el mercado, pues ya no será posible continuar con políticas de altos márgenes, si es que deseamos que las empresas arrendadoras logren permanecer en el futuro que ya comenzó.

Resulta vital implementar herramientas de análisis, que permitan a las empresas de arrendamiento financiero competir en este nuevo mercado en formación y que proporcione alternativas para llegar al mercado con políticas de bajo margen y mayor volumen de colocación. Una de estas herramientas es el análisis de sensibilidad, que se refiere al efecto que tendrán sobre la conclusión los cambios en uno o más parámetros. Un análisis de sensibilidad consistirá en cambiar intencionalmente las condiciones entre limites posibles; implica incertidumbre y esta elaborado para manejar la incertidumbre reconociendo que cualquier parámetro es sólo un pronóstico y que es probable que sea diferente cuando la fecha llegue.

El empleo de la técnica del punto de equilibrio brinda una herramienta auxiliar de análisis y de reflexión, que utilizada con ingenio, proporciona un soporte a la dirección de las arrendadoras financieras para lograr una mejor toma de decisiones.

Análisis de sensibilidad y decisiones de valor esperado

ENFOQUE DEL ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD

El análisis económico utiliza estimaciones de sucesos futuros para ayudar a quienes toman decisiones. Dado que las estimaciones futuras siempre tienen alguna medida de error, hay imprecisión en las proyecciones económicas. El efecto de la variación puede determinarse mediante el análisis de sensibilidad. Algunos de los parámetros o factores comunes para hallar la sensibilidad son la TMAR, las tasas de interés, las estimaciones de vida, los periodos de recuperación para fines tributarios, todo tipo de costos, ventas y muchos otros factores. Generalmente, se varía un factor a la vez y se supone que hay independencia con otros factores. Este supuesto no es correcto por completo en situaciones del mundo real, pero es práctico puesto que en general no es posible para considerar en forma precisa las dependencias reales.

El análisis de sensibilidad, en sí mismo es un estudio realizado en general en unión con el estudio de ingeniería económica; determina la forma como una medida de valor (VP, VA, TR o B/C) y la alternativa seleccionada se verán alteradas si un factor particular o parámetro varía dentro de un rango establecido de valores. Por ejemplo, la variación en un parámetro como la TMAR no alteraría la decisión de seleccionar una alternativa cuando todas las alternativas comparadas retornan más de la TMAR; así, la decisión es relativamente insensible a dicho parámetro. Sin embargo, la variación en el valor de n puede indicar que la selección de alternativas es muy sensible a la estimación de la vida del activo.

Generalmente, las variaciones en la vida, en los costos anuales y recaudos resultan de variaciones en el precio de venta, de operación a diferentes niveles de capacidad, de la inflación, etc. Por ejemplo, si un nivel de operación del 90% de la capacidad de sillas de una aerolínea se compara con el 50% en una ruta internacional nueva, el costo de operación y el recaudo por milla de pasajero aumentará, pero es probable que la vida anticipada disminuya solo ligeramente. De ordinario, para aprender cómo afecta el análisis económico la incertidumbre de las estimaciones, se estudian diversos parámetros importantes.

La graficación del VP, VA o TR versus el (los) parámetro(s) estudiado(s) es muy útil. Dos alternativas pueden compararse con respecto a un parámetro dado y calcularse el punto de equilibrio. Éste es un valor al cual las dos alternativas son equivalentes en términos económicos. Sin embargo, el diagrama del punto de equilibrio comúnmente representa sólo un parámetro por diagrama. Por tanto, se construyen diversos diagramas y se supone la independencia de cada parámetro. (En la sección siguiente se abordará cómo representar gráficamente diversos parámetros en una tabla de sensibilidad). En usos anteriores del análisis del punto de equilibrio, se calculó la medida de valor para dos valores de un parámetro solamente y se conectaron los puntos con una línea recta. No obstante, si los resultados son sensibles al valor de un parámetro, deben utilizarse diversos puntos intermedios para evaluar mejor la sensibilidad, en especial si las relaciones no son lineales.

Cuando se estudian diversos parámetros, un estudio de sensibilidad puede resultar bastante complejo. Éste puede realizarse utilizando un parámetro a la vez mediante un sistema de hoja de cálculo, un programa de computador preparado especialmente, o cálculos manuales. El computador facilita la comparación de múltiples parámetros y múltiples medidas de valor y el software puede representar gráficamente de manera rápida los resultados.

DETERMINACIÓN DE SENSIBILIDAD DE ESTIMACIONES DE PARÁMETROS

Al realizar un estudio de análisis de sensibilidad se puede seguir este procedimiento general, cuyos pasos son:

• Determine cuál parámetro o parámetros de interés podrían variar con respecto al valor estimado más probable.

• Seleccione el rango probable de variación y su incremento para cada parámetro.

• Seleccione la medida de valor que será calculada.

• Calcule los resultados para cada parámetro utilizando la medida de valor como base.

• Para interpretar mejor los resultados, ilustre gráficamente el parámetro versus la medida de valor.

Este procedimiento del análisis de sensibilidad debe indicar cuáles parámetros justifican un estudio más detenido o requieren la consecución de información adicional. Cuando hay dos alternativas o más, es mejor utilizar una medida de valor de tipo monetario (VP o VA) en el paso 3. Si se utiliza la TR, se requieren esfuerzos adicionales de análisis incremental entre alternativas. El ejemplo 1 ilustra el análisis de sensibilidad para un proyecto.

Ejemplo 1

La firma Flavored Rice, Inc., está considerando la compra de un nuevo activo para el manejo automatizado del arroz. Las estimaciones más probables son un costo inicial de $80,000, valor de salvamento de cero y una relación de flujo de efectivo antes de impuestos de la forma

FEN = $27,000 – 2000t anual (t = 1,2,. . . ,n).

La TMAR de la compañía varía entre el 10% y el 25% anual para los tipos. diferentes de inversiones en activos. La vida económica de maquinaria similar varía entre 8 y 12 años. Evalúe la sensibilidad de VP y VA variando (a) el parámetro TMAR, a la vez que supone un valor n constante de 10 años y (b) el parámetro n, mientras la TMAR es constante al 15% anual.

Solución:

(a) Siga el procedimiento anterior.

Paso 1. La TMAR, i, es el parámetro de interés.

Paso 2. Seleccione incrementos del 5% para evaluar la sensibilidad a la TMAR; el rango para i es del 10% al 25%.

Paso 3. Las medidas de valor son VP y VA.

Paso 4. Establezca las relaciones VP y VA. Por ejemplo, para i = 10%, utilice valores k de 1 a 10 para el flujo de efectivo.

VP = -80,000 + 25,000(P/A,10%,10) – 2000(P/G,10%,10) = $27,830

VA = P(A/P, 10%,10) = $4529

Las medidas de valor para los cuatro valores de i en intervalos del 5% son:

Paso 5. En la figura 1 se muestra una gráfica de la TMAR Vs. el VA. La pendiente negativa pronunciada indica que la decisión de aceptar la propuesta con base en VA es bastante sensible a variaciones en la TMAR. Si se establece la TMAR en el extremo superior del rango, la inversión no es atractiva.

(b) aplicando nuevamente los datos anteriores:

Paso 1. El parámetro es la vida n del activo.

Paso 2. Seleccione incrementos de 2 años para evaluar la sensibilidad a n durante el rango de 8 a 12 años.

Paso 3. Las medidas de valor son VP y VA.

Paso 4. Establezca las mismas relaciones VP y VA que en la parte (a) para

i = 15%. Los resultados de las medidas de valor son:

Paso 5. La figura 1 presenta una gráfica no lineal de VA vs. n. Ésta es una forma característica para el análisis de sensibilidad de un valor n. Comoquiera que las medidas VP y VA son positivas para todos los valores de n, la decisión de invertir no se ve afectada en forma sustancial por la vida estimada.

Figura 1. Gráfica de sensibilidad de VA a la TMAR y variación de la vida.

Comentario

Observe que en la parte (b), la curva VA parece nivelarse por encima de n = 10. Esta insensibilidad a cambios en el flujo de efectivo en el futuro distante es un rasgo esperado, porque al descontar al tiempo O, los valores VP o VA se hacen menores a medida que n aumenta.

Cuando se considera la sensibilidad de diversos parámetros para una alternativa utilizando una sola medida de valor; es útil elaborar gráficas del cambio porcentual para cada parámetro versus la medida de valor. La figura 2 ilustra la TR versus seis parámetros diferentes para una alternativa. La variación en cada parámetro se indica como una desviación porcentual de la estimación más probable en el eje horizontal. Para utilizar la gráfica se puede seleccionar un parámetro. Si la curva de respuesta TR es plana y se acerca a horizontal en el rango de la variación total graficada, hay poca sensibilidad de TR al parámetro. Ésta es la conclusión para el costo indirecto en la figura 2. Por otra parte, TR es muy sensible al precio de venta. Una reducción del 30% del precio esperado de ventas disminuye la TR del 20% al -10% aproximadamente, mientras que un incremento del 1 0% en el precio la aumenta a cerca del 30%.

Si se comparan dos alternativas y se busca la sensibilidad a un parámetro, la gráfica puede mostrar resultados marcadamente no lineales. Observe la forma general de las gráficas de sensibilidad en la figura 3. Las curvas se muestran como segmentos lineales entre puntos de cálculo específicos. No se realizarán los cálculos reales en este caso. La gráfica indica que el VP de cada plan es una función no lineal de las horas de operación. El plan A es muy sensible en el rango de O a 200 horas, pero es comparativamente insensible por encima de 200 horas.

El plan B es más atractivo debido a su insensibilidad relativa, siempre que ambos planes A y B se justifiquen, es decir, la medida (le valor seleccionada indica la justificación económica. Este hecho indica la necesidad de representar gráficamente los parámetros versus la medida de valor en puntos intermedios más frecuentes para entender mejor la naturaleza de la sensibilidad.

Figura 2. Gráfica del análisis de sensibilidad de variación porcentual de la estimación más probable.

Figura 3. Sensibilidad de la muestra VP a horas de operación para dos alternativas.

ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD UTILIZANDO TRES ESTIMACIONES

Es posible examinar a cabalidad las ventajas y desventajas económicas entre dos alternativas o más tomando en préstamo, del campo de la programación de proyectos, el concepto de elaborar tres estimaciones para cada parámetro: una estimación pesimista, una muy probable y una optimista, dependiendo de la naturaleza de un parámetro, la estimación pesimista puede ser el valor más bajo (la vida de la alternativa es un ejemplo) o el valor más grande (como el costo inicial de un activo).

Este enfoque nos permite estudiar la sensibilidad de la selección de las medidas de valor y de las alternativas dentro de un rango preestablecido de variación para cada parámetro. En general, cuando se calcula la medida de valor para un parámetro o alternativa particular se utiliza la estimación más probable para todos los demás parámetros. Este enfoque, se ilustra mediante el ejemplo siguiente.

Ejemplo 2

Usted es un ingeniero que está evaluando tres alternativas para las cuales un equipo de gerencia ha hecho tres estimaciones de estrategia, una pesimista (P), una muy probable (MP) y una optimista (O), para la vida, el valor de salvamento y los costos anuales de operación. Las estimaciones se presentan en la tabla 1 a un nivel de alternativa por alternativa. Por ejemplo, la alternativa B tiene estimaciones pesimistas de VS = $500, CAO = $4000 y n = 2 años. Los costos iniciales se conocen, de manera que ellos tienen el mismo valor para todas las estrategias. Realice un análisis de sensibilidad para tratar de determinar la alternativa más económica utilizando el análisis VA y una TMAR del 12%.

Tabla 1. Alternativa que compiten con base en tres estimaciones hechas para los parámetros de valor de salvamento, CAO y vida

Solución:

Para la descripción de cada alternativa en la tabla 1, se calcula el VA de los costos. Por ejemplo, la relación VA para la estimación pesimista de la alternativa A es:

VA = -20,000(Np,12%,3) -11,000 = $-19,327

Como en la mayoría de los estudios de sensibilidad, una hoja de cálculo que utiliza los valores de los parámetros P, MP Y O reducirá significativamente el tiempo de cálculo.

Figura 4. Gráfica de los valores VA para diferentes estimaciones de vida.

La tabla 2 presenta todos los valores VA. La figura 4 es una gráfica de VA Vs. las tres estimaciones de vida para cada alternativa. Puesto que el costo VA calculado utilizando las estimaciones MP para la alternativa B ($8229) es económicamente mejor aún que el valor VA optimista para la: alternativas A y C, es claro que la alternativa B se ve favorecida.

Comentario:

Aunque la alternativa que debe ser seleccionada en este ejemplo es bastante obvia, normalmente éste no es el caso. Por ejemplo, en la tabla 2 (omitiendo los signos menos), si la alternativa B pesimista del costo anual equivalente fuera mucho más alta, por ejemplo, $21,000 anual (en lugar de $12,640) los costos VA optimistas para las alternativas A y C fueran menores que para B ($5089), la selección df B no es clara o correcta. En este caso, sería necesario seleccionar un conjunto de las estimaciones (P MP u O) sobre el cual se basa la decisión. En forma alternativa, las diferentes estimaciones pueden utilizarse en un análisis de valor esperado.

Los ingenieros y analistas económicos deben tratar con estimaciones sobre un futuro incierto dependiendo en una forma apropiada de información pasada, de existir ésta. El uso de la probabilidad y de sus cálculos básicos por el economista ingeniero no son tan comunes como deberían ser. La razón para ello no radica en que los cálculos sean difíciles de realizar o de entender sino que las probabilidades realistas asociadas con las estimaciones del flujo de efectivo son difíciles de hacer. Para evaluar la deseabilidad de una alternativa, con frecuencia la experiencia y el juicio pueden ser utilizados conjuntamente con las probabilidades y los valores esperados.

El valor esperado puede interpretarse como un promedio de largo plazo observable si el proyecto se repite muchas veces. Dado que una alternativa particular es evaluada o implementada sólo una vez, resulta una estimación puntual del valor esperado. Sin embargo, aun para una sola ocurrencia, el valor esperado es un número significativo que se debe conocer y utilizar.

El valor esperado E(X) se calcula mediante la relación:

(1)

donde Xi= valor de la variable X para i desde 1 hasta m valores diferentes.

P(Xi) = probabilidad de que ocurra un valor específico de X.

Las probabilidades siempre están expresadas correctamente en forma decimal, pero de ordinario se habla de ellas en porcentajes y con frecuencia se hace referencia a ellas como chances,' por ejemplo, las posibilidades son alrededor del 10%. Al ubicar el valor de la probabilidad en la ecuación (1) o cualquier otra relación es necesario asegurarse de utilizar el equivalente decimal del 10%, es decir, 0.1. En todas las ecuaciones de probabilidad los valores P(Xi) para una variable X deben totalizar 1.0.

Comúnmente se omitirá el subíndice i que acompaña la X para fines de simplicidad.

Si X representa los flujos de efectivo estimados, algunos serán positivos y algunos negativos. Si una secuencia del flujo de efectivo incluye ingresos y costos y se calcula el valor presente a la TMAR, el resultado es el valor esperado de los flujos de efectivo descontados, E(VP). Si el valor esperado es negativo, se espera que el resultado global sea una salida de efectivo. Por ejemplo, si E(VP) = $ -1500, esto indica una propuesta que no se espera que retorne la TMAR.

Ejemplo 3

Usted espera ser mencionado en el testamento de su tío favorito y cree que haya una posibilidad del 50% de recibir $5000 y una posibilidad del 45% de $50.000. Además considera que hay una pequeña posibilidad (5%) de no recibir herencia alguna. Calcule la herencia esperada.

Solución:

Sea X los valores de la herencia en dólares y sea P(X) las probabilidades asociadas. La herencia es utilizando la ecuación (1) es $25,000 con base en sus estimaciones actuales.

E(X) = 5000(0.5) + 50,000(0,45) + 0(0.05) = $25,000

Se incluye la posibilidad de que 'no haya herencia'; ya que esto hace que los valores de proba sumen 1.0, con lo cual se completan los cálculos.

CÁLCULOS DE VALOR ESPERADO PARA ALTERNATIVAS

El cálculo de valor esperado E(X) se utiliza en una diversidad de formas.

• Preparar información que será incorporada en un análisis más completo de ingeniería económica.

• Evaluar la viabilidad esperada de una alternativa formulada completa.

El ejemplo 4 ilustra la primera situación y el ejemplo 5 determina el VP cuando se estima la secuencia del flujo de efectivo y las probabilidades para un activo.

Ejemplo 4

Una empresa de energía eléctrica está experimentando dificultades en la obtención de gas natural, la generación de electricidad. Los combustibles diferentes del gas natural se compran con un extra, el cual se transfiere a la base de usuarios. Los gastos de combustibles totales mensual e! promediando ahora $7,750,000. Un ingeniero de esta empresa de servicio para la ciudad ha ca1 el ingreso promedio de los últimos 24 meses utilizando tres situaciones de mezcla de combustible a saber, totalmente cargado de gas, menos del 30% de otros combustibles comprados y el 30% de otros combustibles, La tabla 3 indica el número de meses que se presentó cada situación de r de combustible. ¿Puede esperar la empresa de energía cubrir los gastos

mensuales futuros con b información de 24 meses, si continúa un patrón similar de mezcla de combustible?

Solución

Utilizando los 24 meses de información, se estima una probabilidad para cada mezcla de combustible.

La variable X representa el ingreso mensual promedio. Utilice la ecuación (1) para determinar el ingreso esperado mensual.

E (ingreso) = 5,270,000(0.50) + 7,850,000(0.25) + 12,130,000(0.25) = 7,630,000

Con gastos que promedian $7,750,000, el faltante de ingresos mensual promedio es de $7,750,000 – 7,630,000 = $120,000. Para lograr equilibrio deben generarse otras fuentes de ingresos, o, solamente de ser necesario, pueden transferirse los costos adicionales a la base de usuarios en forma de un incremento en las tarifas.

Ejemplo 5

La firma Tule Company tiene una inversión sustancial en equipo de paginación automática. Una nueva pieza del equipo cuesta $5000 y tiene una vida de 3 años. Los flujos de efectivo anuales estimados aparecen en la tabla 4 dependiendo de las condiciones económicas clasificadas como de recesión, estables o en expansión. Se estima la probabilidad de que cada una de las condiciones económicas prevalecerá durante el periodo de 3 años. Aplique el análisis de valor esperado y de VP para determinar si el equipo debe comprarse. Utilice una TMAR = 15%.

Solución

Determine primero el VP de los flujos de efectivo en la tabla 4 para cada condición económica y luego calcule E(VP) mediante la ecuación (1). Defina los subíndices R para la economía en recesión para, S para la estable y E para la economía en expansión. Los valores VP para los tres escenarios son:

VPR = -5000 + 2500(P/F,15%,1)+ 2000(P/F,15%,2) +1000(P/F,15%,3)

= -5000 + 4344 = $-656

VPS= -5000 + 4566 = $-434

VPE = -5000 + 6309= $+1309

Solamente en una economía en expansión los flujos de efectivo retornarán el 15% y justificarán la inversión. El valor presente esperado es:

= -656(0.2) – 434(0.6)+1309(0.2)= $ – 130

Al 15% E(VP) < O, de modo que el equipo de paginación no se justifica utilizando el análisis de esperado.

Comentario

Es correcto calcular el E (flujo de efectivo, FE) para cada año y luego determinar el VP de la serie E (flujo de efectivo), porque el cálculo del VP es una función lineal de los flujos de efectivo. El calculo de E (flujo de efectivo) primero puede ser más fácil en el sentido de que reduce el número de cálculos de VP. En este ejemplo, calcule E (FE) para cada año t = O, 1, 2, 3 según la tabla 4. Luego, determine el valor presente, el cual es E(VP).

E(FE0) = $-5000

E(FE1) = 2500(0.2) + 2000(0.6) + 2000(0.2) = $2100

E(FE2) = $2200

E(FE3) = $2100

E(VP)=-5000 + 2100(P/F,15%,I) +2200(P/F,15%,2)+2100(P/F,15%,3)

= $-130

SELECCIÓN DE ALTERNATIVAS UTILIZANDO ÁRBOLES DE DECISIÓN

La evaluación de alternativas puede requerir una serie de decisiones en las cuales el resultado de una etapa es importante para la siguiente

etapa en la toma de decisiones cuando es posible definir claramente cada alternativa económica y se desea considerar explícitamente el riesgo, es útil realizar la evaluación utilizando un árbol de decisiones, el cual incluye:

• Más de una etapa de selección de alternativas.

• La selección de una alternativa en una etapa conduce a otra etapa.

• Resultados esperados de una decisión en cada etapa.

• Estimaciones de probabilidad para cada resultado.

• Estimaciones del valor económico (costo o ingreso) para cada resultado.

• Medida del valor como criterio de selección, tal como E(VP).

El árbol de decisiones se construye de izquierda a derecha e incluye cada decisión y resultado posible. Un cuadrado representa un nodo de decisiones y las alternativas posibles se indican en las ramas que salen del nodo de decisión (figura 5a). Un círculo representa un nodo de probabilidad con resultados posibles y probabilidades estimadas en las ramas (figura 5b). Dado que los resultados siempre siguen a las decisiones, se obtiene la estructura en forma de árbol de la figura 5c a medida que se define la situación completa.

Generalmente, cada rama de un árbol de decisión tiene algún valor económico asociado en términos de costos o de ingresos o beneficios (al cual se hace referencia frecuentemente como reintegro). Estos flujos de efectivo están expresados en términos de valores VP, VA o VF y se muestran a la derecha de cada rama de resultados finales. Los valores del flujo de efectivo y de probabilidad en cada rama de resultados se utilizan para calcular el valor económico esperado de cada rama de decisión. Este proceso, llamado solución del árbol o desdoblamiento, se explica después del ejemplo 6, el cual ilustra la construcción de un árbol de decisiones.

FIGURA 5. Nodos de decisiones y de probabilidad utilizados para construir un árbol de decisiones

Ejemplo 6

Jerry Hill es presidente y ejecutivo principal de una firma estadounidense de procesamiento de alimentos, Hill Products and Services. Recientemente, fue contactado por una gran cadena de supermercados con sede en Indonesia, que desea el mercadeo dentro del país de su propia marca de cenas congeladas, bajas en grasa, con calorías que varían dentro de un rango medio, de mucho sabor, para ser calentadas en microondas. La oferta hecha a Jerry por la corporación del supermercado exige que se tome una serie de decisiones, ahora y dentro de 2 años. La decisión actual comprende dos alternativas: (1) Arrendar las instalaciones de la cadena de supermercados, que se había acordado convertir en una instalación de procesamiento actual para uso inmediato por parte de la compañía de Jerry, o (2) construir y adquirir una instalación de procesamiento y empaque en Indonesia. Los resultados posibles de esta primera etapa de decisión son un buen o mal mercado dependiendo de la respuesta del público.

Las alternativas de decisión, 2 años a partir de ahora, dependen de la decisión de arrendar o adquirir que se tome ahora. Si Hill decide arrendar; una buena respuesta del mercado significa que las alternativas de decisión futuras son producir al doble del volumen, a igual volumen o a la mitad del volumen original. Ésta será una decisión mutua entre la cadena de supermercados y la compañía de Jerry. Una respuesta mala del mercado indicará la mitad del nivel de producción, o el retiro completo del mercado de Indonesia. Los resultados para decisiones futuras son, nuevamente, buenas y malas respuestas del mercado.

Como acordó la compañía del supermercado, la decisión actual para Jerry de adquirir la instalación le permitirá fijar el nivel de producción dentro de 2 años. Si la respuesta del mercado es buena, las alternativas de decisión son cuatro veces o el doble de los niveles originales. La reacción a una mala respuesta del mercado será la producción al mismo nivelo ninguna producción.

Construya el árbol de decisiones y resultados para Hill Products and Services.

Solución

Identifique los nodos y las ramas de decisión iniciales y luego desarrolle el árbol utilizando las ramas y los resultados de mercado bueno y malo para cada decisión. La figura 6 detalla la primera etapa de decisión (DI) y las ramas de resultados.

• Decisión ahora:

Llámela DI

Alternativas: arrendar (L) y adquirir (O)

Resultados: buenos y malos mercados

• Selección de decisiones dentro de 2 años:

Llámelas D2 hasta D5

Resultados: buen mercado, mal mercado y fuera del negocio.

• Selección de niveles de producción para D2 hasta D5:

Cuadruplique la producción (4X); duplique la producción (2X); nivel de producción (1 X); la mitad de la producción (O.5X); suspenda la producción (OX).

Las alternativas para futuros niveles de producción (D2 hasta D5) se agregan al árbol seguidas de las buenas y malas respuestas del mercado (figura 6). Si se toma la decisión de suspender la producción (OX) en D3 o D5, el único resultado es salir del negocio. Con esto se termina el árbol de decisiones en la forma presentada en la figura 6, denominado árbol en dos etapas, puesto que hay dos puntos de decisión.

El tamaño del árbol crece rápidamente. Un árbol apenas con 10 nodos de decisión puede tener cientos de resultados finales. El análisis computarizado para resolver el árbol y seleccionar el mejor camino de decisión resulta muy pronto esencial.

Figura 6. Árbol de decisión de dos etapas que identifica alternativas de decisión y resultados posible.

Para utilizar el árbol de decisiones a fin de evaluar y seleccionar alternativas.. es preciso estimar la siguiente información adicional para cada rama:

• Probabilidad estimada de que cada resultado pueda ocurrir. Estas probabilidades deben sumar 1.0 para cada conjunto de resultados (ramas) que resultan de una decisión.

• Información económica para cada alternativa de decisión y resultado posible, tal como, inversión inicial y flujos de efectivo anuales.

Las decisiones se toman a partir de la estimación de probabilidad y la estimación del valor económico para cada rama de resultados. De ordinario se utiliza el valor presente en los cálculos de valor esperado del tipo de la ecuación (1). El procedimiento general para resolver el árbol mediante análisis VP es:

1. Empiece en la parte superior derecha del árbol. Determinar el valor VP para cada rama de resultado considerando el valor del dinero en el tiempo.

2. Calcule el valor esperado para cada alternativa de decisión.

E(decisión) = L (estimación de resultado) P (resultado) (2)

donde la sumatoria incluye todos los resultados posibles para cada alternativa de decisión.

3. En cada nodo de decisión, seleccione el mejor valor E (de decisión), el costo mínimo para una situación de costos solamente, o el reintegro máximo si se estiman los ingresos y los costos.

4. Continúe moviéndose a la izquierda del árbol hacia la decisión de las raíces con el fin de seleccionar la mejor alternativa.

5. Trace el mejor camino de decisiones de regreso a través del árbol.

El siguiente ejemplo ilustra este procedimiento.

Ejemplo 7

Se requiere una decisión bien sea para mercadear o para vender un nuevo invento. Si el producto es mercadeado, la siguiente decisión es hacerlo a nivel internacional o nacional. Suponga que los detalles de las ramas de resultados producen el árbol de decisiones de la figura 7. Para cada resultado se indican las probabilidades y el VP de los costos y beneficios (reintegro en $ millones). Determine la mejor decisión en el nodo de decisiones DI.

Figura 7. Solución de un árbol de decisiones con valores presentes establecidos.

Solución

Utilice el procedimiento anterior para determinar que la alternativa de decisión DI, de vender el invento, debe maximizar el reintegro.

1. Este ejemplo se ofrece el valor presente del reintegro.

2. Calcule el reintegro VP esperado para alternativas de los nodos D2 y D3 utilizando la ecuación (2). En la figura 8, a la derecha del nodo de decisión D2, los valores esperados de 14 y 0.2 en ovalos se determinan como:

E (decisión internacional) = 12(0.5) + 16(0.5) = 14

E (decisión nacional) = 4(0.4) – 3(0.4) – 1(0.2) = 0.2

Los reintegros VP esperados de 4.2 y 2 para D3 se calculan en forma similar.

3. Seleccione el reintegro esperado más grande en cada nodo de decisión. Éstos son 14 (internacional) D2, y 4.2 (internacional) en D3.

4. Calcule el reintegro esperado para las dos ramas DI.

E (decisión de mercado) = 14(0.2) + 4.2(0.8) = 6.16

E (decisión de vender) = 9(1.0) = 9

El valor esperado para la decisión de vender es simple puesto que el único resultado tiene un reintegro de 9. La alternativa nodal DI de vender genera el reintegro esperado más grande de 9.

5. El camino de reintegro VP esperado más grande es seleccionar la rama de venta en DI para obtener $9,000,000 garantizados.

EJEMPLO 8

Sensibilidad de dos alternativas. La ciudad de Blarney tiene un corredor de 0.3 millas de autopistas de tráfico pesado para repavimentar. La firma Ajax Construction Company ofrece dos métodos para hacerlo. El primero es una superficie de concreto por un costo de $150,000 y un cargo de mantenimiento anual de $1000.

El segundo método es una cobertura de asfalto con un costo inicial de $100,000 y un cargo de servicio anual de $2000. Sin embargo, Ajax también exigiría que cada tercer año la autopista fuera retocada con un costo de $7500.

La ciudad utiliza una TMAR igual a la tasa de interés sobre bonos de ingresos, 6% en este caso. (a) Determine el número de años de equilibrio para los dos métodos. Si la ciudad espera que la interestatal remplace este tramo de autopista en 20 años, ¿cuál método debe seleccionarse? (b) Si el costo de retoque aumenta en $500 cada 0.1 milla cada 3 años, ¿es la decisión sensible a este costo?

Solución

(a) Prepare las ecuaciones VA Y determine el valor n de equilibrio.

VA del concreto = VA de asfalto

El punto de equilibrio es aproximadamente 21 años, lo cual favorece aún la superficie del asfalto pero sólo en un margen de 1 año. La decisión es técnicamente insensible al incremento establecido en el costo estimado del retoque de $500 por 0.1 de milla.

Ejemplo 9

Valores esperados para una propuesta. La firma Holdar-XS Construction Company piensa construir un complejo de apartamentos cerca al borde de una colina parcialmente nivelada. El soporte para la tierra a un lado del complejo debe asegurar que no ocurrirá daño o perjuicio a los edificios u ocupantes durante la estación lluviosa. La cantidad de lluvia experimentada en un momento de tiempo puede causar potencialmente cuantías variables de daño. En la tabla 5 se detalla la probabilidad de ciertas lluvias (en pulgadas) dentro de un periodo de unas pocas horas y el costo inicial para construir una pared de apoyo que asegure protección cuando se presente la cantidad correspondiente de lluvia. La construcción de la pared de apoyo será financiada por un préstamo a 30 años con rembolso al 9% de interés compuesto anual.

Los registros indican que ha ocurrido un promedio de $20,000 en daños durante las fuertes lluvias complejos similares. Sin tener en cuenta intangibles importantes de seguridad humana, requisitos de seguro e impuestos sobre la renta, determine cuánto se debe gastar en la pared de soporte. Suponga para construir la pared se establece la TMAR al costo del capital de deuda, es decir, 9%.

Solución

Utilice un análisis VA para encontrar el plan más económico. Inicialmente, determine la relación VA el pago del préstamo y el costo esperado del daño para cada nivel de lluvia. Se utiliza la cifra de $20000, ya que esta presenta la mejor experiencia disponible del costo de los daños.

V A=rembolso del préstamo anual+costo esperado de los daños anuales

=costo de la pared(A/P,9%;30)+(-20,000)(probabilidad de mayores lluvias)

Para ilustración, el VA a 3.0 pulgadas es:

VA = -22,000 (A/P,9%,30) – 20,000(0.05) = $-3141

Los valores VA resultantes en la tabla 6 indican que la selección más económica es la pared de $30,000 para protección contra un aguacero de 3.5 pulgadas. La pared de $22,000 para una lluvia de 3.0 pulgadas está en un segundo lugar cercano.

Comentario

Cuando la gente se encuentra potencialmente en peligro se incluye a menudo un gran factor de seguridad. Entonces, en la toma de decisiones no se utilizan sólo los resultados del análisis económico. Al construir para proteger en un grado mayor que el realmente requerido en promedio, las probabilidades de daño se reducen y los costos reales se aumentan.