Geometría divertida: Cuaderno de geometría con explicaciones etimológicas y apuntes históricos

Introducción

La razón principal que nos ha movido a escribir éste cuaderno de Geometría, es la simplicidad de ésta ciencia en sí, y lo difícil, engorroso y complejo que resulta su enseñanza y a aun más su aprendizaje en nuestras escuelas. Es por eso, que desde el primer momento que quise escribir estas notas, la imagen de mi hija Teresa Josefina, de once años, fue el espíritu tutelar que hizo posible que coordinara las ideas, y que creo que una niña de once años, puede entender los elementos fundamentales de la Geometría que se enseña en las escuelas del nivel medio.

Escribir una Geometría ceñida a sus orígenes, una exposición etimológica, que facilite con el sólo enunciado del concepto las ideas, debe abrir la razón, como el grano abre la dura cáscara de la granada, cuando éste está maduro. Tal como el Revelador del libro Apocalipsis, en éste cuaderno, el que lea, que entienda, lo que la Geometría nos quiere enseñar con cada uno de sus términos.

Los breves datos biográficos y los apuntes históricos de los escasos personajes que presentamos, son para despertar el interés, y dar a conocer a esos hombres, de los cuales usamos sus nombres, pero sin conocer sus vidas. Así como las puntualizaciones etimológicas, han de ser explicaciones sencillas unas veces, y panorámicas generales en otras, la utilizaremos para facilitar la tarea de hace de la Geometría una tarea divertida.

Siempre se ha querido presentar a la Geometría, partiendo de su definición etimológica, por lo cual se dice que proviene del griego geo, que es decir tierra, y metron, igual a medida; por lo cual la Geometría es la medida de la tierra. Y eso es verdad, ya que nos expresa que la Geometría es una ciencia que sirve para un fin práctico y natural. Y era que los egipcios, tenidos por sabios por los griegos, como nos dice Heródoto, quien en su libro segundo, apartado 121, nos dice que fueron las crecidas periódicas del río Nilo, que los hizo usar la Geometría, ya que esas inundaciones, que no suceden hoy, por la construcción de la represa de Asuan, tuvieron la necesidad de medir sus tierras, ya que con cada crecida del río, se borraban las marcas de los deslindes.

Los babilonios fueron otro pueblo, que aunque desarrollaron la Astronomía y vigilaban la bóveda celeste, tenían los pies sobre la tierra, tuvieron que medir el suelo, para también hacer Geometría. Pero fueron los griegos, los primeros que le dieron rigor científico a la necesidad de medir, haciendo grandes avances con su rústico compás y sus toscas reglas, ya que esos eran todos sus instrumentos.

El aporte de los griegos es tal, que solo bastan los nombres de Thales de Mileto, Pitágoras de Samos y de Euclides, para conocer su importancia. Este Euclides, nacido en el año 315 y que murió en el 225 antes de Cristo, fue a Alejandría por pedido del faraón Ptolomeo Primero, para que pusiera en forma ordenada lo que se entendía por Geometría. Tomó Euclides como punto de partida los escritos de Apolunio el Carpintero, escritos que son el punto de partida de sus Elementos Geométricos. También mejoró los trabajos de Eudoxio de Cnido y los de Teeteto.

Aunque Euclides escribió mucho, solo se conservan sus Elementos Geométricos, los cuales constan de X111 libros, aunque hay editores que lo llevan hasta XV1 libros. También conservamos sus Datas, que consisten en 95 proposiciones, y un tratado sobre la División, y algunos fragmentos de sus Lugares Superficiales, que pudieron ser usados por Arquímedes. Se le atribuye un libro sobre la Óptica.

Dice Aurelio Baldor, que la piedra angular de la Geometría de Euclides es el postulado que reza: "De un punto exterior a una recta sólo puede trazarse una perpendicular a la mitad y sólo una". Ésta Geometría fue libro de texto por más de dos mil años, y cuando dejó de ser libro se texto pasó a ser de consulta obligatoria.

Platón, el padre de la Dialéctica, se dice que hizo escribir en el frontal de su escuela, la Academia, esta frase: "Que nadie entre aquí si no sabe Geometría". Pero para los fines de este cuaderno, la Geometría será la rama de las Matemáticas que trata de las propiedades, medidas y relaciones entre los elementos, líneas, planos y espaciales. Y esto ha de ser así, porque en ella se estudian las propiedades de las figuras, sin importar el lugar que ocupan en el plano o en el espacio; también se estudian las magnitudes y las formas que esas figuras tienen.

Conceptos Geométricos fundamentales

El punto, la recta y el plano, son los conceptos primarios de la disciplina que vamos a estudiar.

El punto: La palabra que designamos como punto, proviene del latín punctum, que es la marca que se hace con una aguja. En Geometría, el punto es la marca mínima que se puede hacer sobre una superficie plana. Cuando apoyamos el lápiz sobre una hoja de papel, hacemos un punto. Este punto no tiene tamaño específico. Basta con apoyar el lápiz y tenemos un punto, pero ese punto debe estar en un plano.

La recta: La palabra recta, proviene del latín, y significa directa. La recta es la sucesión de puntos, y que se extiende en sentido contrario. Esta sucesión de puntos que hemos llamado recta no tiene un grosor o anchura determinada, pero si una extensión o longitud ilimitada. Al final de la recta hay una cabeza de flecha, y se ha de designar con letra mayúscula.

La recta la segmentamos, cuando designamos puntos distintos de esa recta, las letras son minúsculas, como por ejemplo

Plano: El nombre de plano proviene del latín planus, y que significa que está a nivel; por lo cual, el plano es una superficie lisa que se extiende en toda dirección en forma ilimitada, aunque lo representamos con cuatro lados. El ancho y el largo son ilimitados, aunque lo representamos con cuatro lados.

Las dimensiones del plano son ancho y largo. Como ejemplo de un plano es una hoja de papel. Cuando representamos un plano ponemos una letra mayúscula dentro de él.

La longitud de una recta: Longitud es una palabra latina que significa largo, y con ella nos referimos a la distancia que existe entre dos puntos o extremos. Por ejemplo, esta recta la hemos segmentado

y podemos decir que el segmento ab es igual al segmento cd.

Cuando se dice que dos segmentos de recta son congruentes, estoy diciendo que son iguales, y lo represento así ab cd, la rayita encima significa congruente; si quiero decir que un segmento es mayor que otro escribo este signo: >, y para menor uso este otro signo < .

Aplicando la Lógica a la Geometría, encontramos estas propiedades:

1. Propiedad reflexiva o de igualdad: Todo segmento de recta es igual a el mismo; la que significa que ab es igual a ab.

2. Propiedad simétrica: lo que significa que si ab es igual a cd, entonces cd es igual a ab.

3. Propiedad transitiva: esto significa que si ab es igual a bc y bc es igual a cd, entonces ab es igualo a cd.

La suma de los segmentos: esto se explica de esta manera

Si el segmento ab es consecutivo del segmento cd, el segmento ad es la suma de todos los segmentos.

No dejaremos la recta sin confirmar el enunciado del teorema que dice: "dos rectas de un plano que ni son paralelas, ni son superpuestas, tienen un punto y sólo uno, que es el punto donde se intersectan". El punto donde estas dos rectas se encuentran, es el punto C, por lo cual C es la unión de A y B.

También debemos decir que cuando dos rectas no se intersectan en un punto, esas rectas se llaman paralelas. La palabra paralela es griega y significa una al lado de la otra. Las líneas paralelas, por más que se prolonguen no se intarsectan o se juntan.

Como ejemplo de paralelas tenemos las rectas A y B:

______________________ A

______________________ B

Los ángulos: La palabra Angulo, es una palabra griega, y significa encorvado. La definición que dan los textos para ángulo, es que la figura geométrica formada por dos líneas que tienen un mismo punto de partida. El símbolo para el Angulo es >, y para nombrarlo usamos letras minúsculas en su interior.

Así se representa un ángulo:

Los ángulos por sus medidas:

Angulo agudo: Ante todo debemos decir que la palabra agudo, se dice en latín acutu, que es lo mismo que puntado. Se debe deber que su medida va de un grado, no de cero, como dicen los textos, hasta menos de 90 grados. El ángulo no puede medir cero grado, porque entonces sería una recta, y una recta no es un ángulo.

Este es un ángulo agudo:

El ángulo recto: es el ángulo que mide exactamente 90 grados.

Este es un ángulo recto:

El ángulo obtuso: Este ángulo fue descubierto por Thales de Mileto, y lo designo con el nombre de obtuso, porque está derivado al horizonte.

Este ángulo obtuso es que tiene sus medidas mayor de 90 grados y menor de 180 grados.

Como acabamos de decir que el ángulo obtuso tiene más de 90 grados y menos de 180 grados, con este enunciado hemos hecho un postulado; entendiendo por postulado, la proposición cuya verdad se admite sin prueba, y que es necesaria para servir de base a ulteriores razonamientos.

Para medir los ángulos usamos un instrumento llamado transportador. Las medidas de los ángulos es en grado, lo cual es un legado de los babilonios. Un grado, es cada una de las 360 partes en que se divide la circunferencia. Cada grado, en la superficie de la tierra, en el circulo imaginario que se denomina Ecuador, mide ciento once kilómetros, o lo que igual a 69.17 millas aproximadamente. Cada grado se divide en 60 partes iguales, llamadas minutos, y cada minuto a su vez se divide en 60 partes llamadas segundos.

Al hablar de los tres ángulos anteriores no hemos incluido los llamados ángulos nulo y llano, extendidos o lineales, por no considéralos ángulos, ya que no responden a la definición de ángulo, al no ser encorvados. La palabra latina para ángulo es angulus, que significa esquinas, y estos dos ángulos, ni son encorvados, ni tienen esquinas.

He aquí un ejemplo de esos ángulos.

De estos ángulos no sabemos ni donde se encuentra la bisectriz de ellos, ni podemos encontrar donde se encuentran sus rectas.

Ángulos complementarios y suplementarios:

Dos ángulos son complementarios si sus medidas suman 90 grados. Como el ángulo recto mide 90 grados, y el ángulo agudo mide menos de 90 grado, la suma de dos ángulos agudos, que sumen 90 grados, son complementarios.

Por ejemplo

Si tenemos un ángulo agudo, que sea este denominado A, B, C, que mide 63 grados, y otro ángulo agudo, el M, N Ñ, que mide 27 grados, ambos ángulos son complementarios. A estos ángulos se le denomina complementarios, porque proviene de la palabra latina que significa completo; y al ángulo recto, que mide 90 grado se le llama también ángulo completo. No es necesario que ambos ángulos tengan que tener puntos en común.

Los Angulo suplementarios: se denominan ángulos suplementarios, a aquellos ángulos que junto miden 180 grados. Para alcanzar esta suma, pueden reunirse dos ángulos rectos, un ángulo agudo y un obtuso, o varios ángulos agudos.

No olvides, que dijimos que los ángulos llanos o rectos no existen; por lo cual no hay ángulo de 180 grados.

Enunciado: Dos rectas que se cortan, formando ángulos opuestos por el vértice, son ángulos opuestos y congruentes.

Fíjate como los ángulos a y b son congruentes y opuesto por el vértice.

Los ángulos alternos internos son congruentes también. Estos ángulos se presentan cuando una recta transversal cruza dos paralelas, como en éste ejemplo, donde los ángulos 2 y 3 son congruentes

También se puede decir que los ángulos alternos externos también son congruentes. Estos ángulos están en la parte exterior de las paralelas, con son los ángulos 1 y 4.

Los ángulos correspondientes son aquellos que se forman cuando dos líneas se cruzan con otra (que se llama transversal, los ángulos en las esquinas correspondientes se llaman ángulos correspondientes.

En esta grafica, los ángulos ae, bf, cg, y dh son ángulos correspondientes.

Cuando las dos líneas a las que cruza la transversal son líneas paralelas, entonces los ángulos correspondientes son iguales, o congruentes, como en este ejemplo,

En esta figura, los ángulos 1 y 5, 2 y 6, 4 y 8, 3 y 7, son correspondientes.

Los triángulos: La palabra triangulo, es una palabra latina, y significa tres ángulos. Es así que un triangulo es una figura geométrica formada por tres segmentos de rectas, no alineados, que se intersectan en tres puntos, formando en cada punto un ángulo.

Los triángulos, atendiendo a sus lados se clasifican en cuatro tipos:

1. Triangulo equilátero; Su nombre de equilátero, proviene del latín, y significa que tiene sus tres lados iguales o congruentes. En estos triángulos, el ángulo A es congruente con B, B es congruente con C, y C y A son congruentes o iguales.

2. El triangulo isósceles: la palabra isósceles, proviene de las raíces griegas isos, que significa igual, y skelos, que significa piernas. El triangulo isósceles es el que tiene dos lados o piernas iguales. El segmento de recta de la base no es igual con los otros dos segmentos.

3. El triangulo escaleno: Este triangulo fue descubierto por Thales de Mileto, y le llamó escaleno, porque significa oblicuo u inclinado, por no tener ninguno de sus lados iguales o congruentes entre sí.

4. El triangulo recto: Es aquel triangulo que tiene uno de sus lados recto, el cual cae perpendicularmente sobre su base. Este triangulo puede tener dos lados iguales o congruentes, pero también puede no tenerlo.

Los triángulos clasificados según sus ángulos:

• 1. Equiángulo: es el triangulo que tiene sus tres ángulos iguales, y que ya conocemos como triangulo equilátero. Sus tres ángulos miden 60 grados cada uno.

• 2. Acutángulo: es el triangulo que tiene sus tres lados agudos, pero ninguno congruente. Es el triangulo escaleno.

3. Triangulo rectángulo: es el triangulo en que uno de sus ángulos es recto y los dos restantes pueden ser o no congruentes. Lo conocemos como triangulo recto.

• 3. El triangulo obtusángulo: es el triangulo en que uno de sus ángulos es obtuso.

Nota: Sea un triangulo equiángulo, rectángulo, acutángulo o obtusángulo, la suma de todos sus ángulos es igual a 180 grados.

El perímetro de un triangulo: la palabra perímetro, es griega, y proviene de peri, que significa alrededor, en torno, y de metron, que significa medida; por lo cual, el perímetro de un triangulo no es mas que la relimitación de su contorno, la medida de la parte de afuera del mismo.

Para hallar el perímetro se suman las tres partes, y ya se tiene su medida perimetral. Su formula es P= L+L+L

El área de un triangulo: La palabra área, es que usaban los latinos para designar el espacio de tierra que está comprendida entre ciertos límites. Entonces el área de un triangulo es la cantidad que se necesita para rellenar un triangulo. Para hallar el área del triangulo se multiplica la base por la altura, y el producto se divide por dos.

La formula del área es: a=1/2 (b/h).

Aunque en latín, la palabra alto, altura, proviene de altus, en geometría se designa la altura con una (h), y creemos que porque en francés, alto se escribe (haut)

Como las medidas que usamos son del sistema métrico decimal, y estas notas son también históricas, para conocer sobre este sistema de medir, recomendamos la lectura de la novela de Julio Verne: Aventura de tres Rusos y tres Ingleses en el África Austral.

Aunque se haya dicho muchas veces, una vez más no sobre: por orden de la Convención Francesa, los astrónomos Pierre Median y Jean Bastite Pelambre, midieron el meridiano que va de Dunkerque a Barcelona, y ésta medida es la base de nuestro sistema de medición; pero cuando hablamos de millas, jardas, y pies y pulgadas, nos estamos refiriendo al sistema métrico ingles.

Como ya tenemos el conocimiento de la recta, las paralelas, los ángulos y los triángulos; es decir, tenemos las herramientas necesarias para enfrentarnos con nuestros primeros teoremas, y estos son: el de Thales, y el de Pitágoras

Es necesario saber que Thales de Mileto, es el más antiguo de los filósofos griegos presocráticos, y que vivió entre los años 640 y el 544 antes de Cristo. De él se dice que escribió dos tratados de astronomía: "Del regreso del sol de un trópico a otro", y "Del equinoccio". Para Pánfilo, Thales aprendió la Geometría de los egipcios, descubrió que el triangulo inscrito en un semicírculo es un triangulo rectángulo. También se le atribuye haber descubierto el triangulo escaleno, y que llegó a medir la altura de las pirámides de Egipto, por la sobra que proyectaban.

Según el historiador griego Heródoto, Thales predijo el eclipse de sol ocurrido el 28 de mayo del año 585 A.C. También se le tiene como el creador de la filosofía natural, al afirmar que el agua es el principio de todas las cosas. Es tenido como uno de los 7 sabios de Grecia, y es que nos va a decir como se demuestra nuestro primer teorema.

Es bueno saber que la palabra teorema, es una palabra griega, y que significa examinar con la vista, contemplar. Un teorema consta de dos partes. Primero es la hipótesis, que es lo que suponemos como verdad; y la segunda parte, la tesis, o la conclusión, que es la demostración que se hace.

El teorema de Thales, nos habla de la proporcionalidad, y se enuncia de esta manera: "Si por un triángulo se traza una línea paralela a cualquiera de sus lados, se obtienen dos triángulos semejantes".

Con el trazado de la línea A, la cual es paralela con D, se ha obtenido un triangulo semejante al existente, que era un triangulo recto.

El teorema de Thales, nos habla de la proporcionalidad, y se enuncia de esta manera diciendo: "Una recta paralela a un lado cualquiera de un triangulo, determina en los otros dos lados segmentos proporcionales"

Cuando observamos el triangulo original, formado por los segmentos de rectas A, B, C, y luego trazamos la recta paralela a B C, que es B" C", como se muestra en la grafica, se ha de notar que se ha creado un segundo triangulo. En el enunciado de la proporcionalidad, no se dice que los triángulos sean iguales, semejantes o congruentes, se ha dicho que son proporcionales.

El teorema de Pitágoras: Es necesario saber que quien le dio el nombre a éste teorema fue el filósofo y matemático griego Pitágoras, que vivió entre los años 580 y 500 A.C., y que nació en la isla de Samos. Pitágoras fundó una especie de sociedad secreta y religiosa, en cuya secta sus seguidores debían observar una moral elevada. Sus seguidores creían en la trasmigración del alma, idea que seguramente aprendieron de los egipcios. En las enseñanzas pitagóricas, los números, los astros y las esferas tenían almas.

Pitágoras fue el primer filósofo en darle valor especulativo al pensamiento filosófico. Aporte que hizo fue grande en el campo de las Matemáticas, la Astronomía y la Geometría. La tabla de multiplicar es uno de sus aportes.

Pitágoras murió en Trotona, donde fundó una escuela después de regresar de un viaje que hizo a Egipto. En éste momento vamos a estudiar su teorema, el cual se enuncia diciendo: "En un triangulo rectángulo, el cuadrado de hipotenusa es igual a la suma del cuadrado de los otros dos catetos"

Antes de entrar al teorema, debemos saber que hipotenusa, es el lado opuesto al ángulo recto en el triangulo rectángulo, y que es una palabra griega que significa tender por debajo. Cateto, que el nombre que tienen los lados opuesto a la hipotenusa, también es una palabra griega, y significa de arriba abajo, y es la palabra con que los griegos designaban a la plomada de albañil.

He aquí un la grafica del teorema:

En ésta grafica, la suma del cuadrado a y de b, da como resultado el cuadrado de c; por lo cual el cuadrado de c es igual a la suma del cuadrado de a y de b.

Por medio del teorema de Pitágoras podemos determinar cual es la medida de la hipotenusa si sabemos cual es la medida de los dos catetos, como también se puede determinar cual es la medida de un cateto se tenemos la medida de la hipotenusa y de uno de los catetos.

El perímetro y el área de un cuadrado:

1. El cuadrado, nos dice el diccionarios, es una figura cuadrangular, y el latín, cuadrangular es que tiene cuatro ángulos. Recordemos que el rectángulo, el trapecio, el rombo y el paralelogramo; a todos estos cuadriláteros se les encuentra el perímetro, sumando la media de cada uno de sus lados.

La formula para halla su perímetro es: P=L+L+L+L.

Para hallar el área de este cuadrado, se usa la formula: a=b x h , si uno de sus lados mide 6 cm, se multiplica el 6×6=36. Por lo cual es necesario 36 centímetros para cubrir un cuadrado que mida 6 centímetros por cada uno de sus lados.

2. El trapecio: la palabra trapecio es griega, y significa pequeña mesa. El trapecio es una figura geométrica cuadrilátera convexa, o sea, salida hacia los exteriores, donde dos de sus lados son congruentes y sus otros dos lados pueden ser desiguales entre sí.

Trapecio escaleno

Esta es la formula para hallar el área del trapecio: a= (b+d) x h.

Un trapecio que su base b mida 7 centímetros, y su base d mida 12 centímetros y su lado a es de 10 centímetros, con una altura de 9 centímetros, esto es un trapecio escaleno como en la figura de arriba. Procedemos a sumar 12+7, multiplicado por 9=84 dividido por 2=42 centímetros de área.

3. El paralelogramo, es que tiene sus lados convexos paralelos. Su área se encuentra, como en el cuadrado, multiplicando su base por la altura: a=b x h.

4. El rombo: La palabra rombo significa losa, mosaico, y su área se encuentra por el producto de su base multiplicado por la altura. También se encuentra multiplicando sus dos diagonales y dividiendo por dos. La palabra que hemos usado como diagonal es griega, y es la línea recta que va de un ángulo a otro en un polígono; el polígono es la porción del plano que está limitada por líneas rectas.

Para el área de éste rombo procedemos de esta manera: a= 30 x 16 Dividido 2= 240 centímetros.

El circulo: El nombre de el circulo proviene del latín circus, que significa aro, anillo; para nosotros, el circulo es una superficie plana, limitada por una curva, donde todos sus puntos están a igual distancia de un punto fijo en interior llamado centro. En el círculo no hablamos de perímetro, sino de circunferencia, lo que significa dar la vuelta, tornar. La circunferencia se obtiene al multiplicar el diámetro por el phi, que es 3.1416. El diámetro es el mayor segmento que une dos puntos de la circunferencia, y que necesariamente pasa por el centro. El diámetro tiene dos veces la medida del radio.

Antes de entrar a trabajar con la circunferencia, es necesario que dominemos este vocabulario mínimo:

• Centro, el punto interior equidistante de todos los puntos de la circunferencia;

• Radio, el segmento que une el centro con un punto cualquiera de la circunferencia;

• Diámetro, el mayor segmento que une dos puntos de la circunferencia (necesariamente pasa por el centro); diámetro significa: medir con el metro.

• Cuerda, el segmento que une dos puntos de la circunferencia; (las cuerdas de longitud máxima son los diámetros)

• Recta Secante, la que corta a la circunferencia en dos puntos;

• Recta Tangente o simplemente Tangente, la que toca a la circunferencia en un sólo punto;

• Punto de tangencia, el de contacto de la recta tangente con la circunferencia;

• Arco, el segmento curvilíneo de puntos pertenecientes a la circunferencia;

• Semicircunferencia, cada uno de los dos arcos delimitados por los extremos de un diámetro.

Esta es la formula para hallar la circunferencia: C=ph x d.

Si el diámetro de la circunferencia es 14, al multiplicarlo por 3.1417=43.9

Esta es la formula del área del circulo, que es ph por radio al cuadrado: A=Ph x r2. El radio es el segmento que une el centro de la circunferencia con un punto cualquiera de la misma.

Si el radio de este círculo es 7, elevo el 7 al cuadrado, que es 49 y lo multiplico por 3.1416, es igual a: 153.9.

Si te pregunta por qué es necesario multiplicarlo por 3.1416, te puedo decir que es una muy buena pregunta. Te puedo decir que el 3.1416 es un número irracional, y fue usado por Pitágoras al notar la relación que hay entre este número y la diagonal de un cuadrado o el diámetro de un círculo. Recuerdas que un número irracional, es el número que no puede ser expresado como una fracción.

Y ya que estamos en el círculo, veamos los ángulos central e inscrito en una circunferencia.

Ángulo central es aquel que tiene su vértice en el centro de la circunferencia.

Ángulo inscrito es aquel que tiene su vértice sobre la circunferencia.

Según Euclides, e n una circunferencia, el ángulo cuyo vértice está en el centro es el doble del ángulo cuyo vértice está en la circunferencia cuando los rayos que forman el ángulo cortan a la circunferencia en los mismos dos puntos.

En la figura de abajo se ha trazado un arco, si del centro de la circunferencia trazamos un ángulo que toque los dos extremos de ese arco, ese ángulo ha de tener la misma medida que tenga el arco.

El área y el volumen del cono:

El cono debe su nombre al cuerno, tanto en griego como en latín, y es la figura geométrica cuya superficie está engendrada por una generatriz, pasando de un punto fijo llamado cumbre o cima y apoyada en una curva fija o directriz.

La generatriz de un cono es cada uno de los segmentos cuyos extremos son el vértice y un punto de la circunferencia de la base.

Esta es la formula para hallar el área del cono: A= phr2+g+h. Esto se debe leer: Área es igual a pi multiplicado por el radio al cuadrado, más la suma de la generatriz, más la suma de la altura.

Si el cono tiene un radio de 8 cm, una generatriz de 12 cm y una altura de 10 cm, procedo a: 3.1416 x 8 al cuadrado que es 64, más 12, más 10= A=223.06 cm.

Para hallar el volumen del cono: hasta ahora no habíamos usado la palabra volumen, que significa envoltura, enrollar. El volumen es el espacio que ocupa un cuerpo. Para hallar el volumen del cono se multiplica el ph por el radio al cuadrado, lo que luego se multiplica por la altura y se divide entre tres.

Esta es la formula del volumen del cono: V= 3.1416 x r2 x h/3. Como en el ejemplo anterior hacemos esta operación:

V= 3.1416 x 64 x 10 /3= 67o.20 centímetros cuadrados.

Área y volumen de la esfera: La palabra esfera significa bola en griego, y es el cuerpo limitado por una superficie cuerva, donde todos los puntos están a igual distancia de un punto interior llamado centro.

La formula para hallar el área de la esfera es: A= 4 x ph x r2, esto es que el área es igual a 4 multiplicado por el pi, es 3.1416, multiplicado por el cuadrado del radio.

Pongamos como ejemplo que esta esfera tiene un radio de 8 centímetros, entonces procedemos a multiplicar 4 x 3.1416 x el cuadrado de 8 que es 64 y nos dará: 804.20.

Para hallar el volumen de la esfera se multiplica por 4 el ph, luego se multiplica por el cuadrado del radio y se divide por 3.

Esta es la formula del volumen de la esfera: V= 4 x ph x r2 /3.

Si tomamos la esfera anterior que tiene un radio de 8 centímetros esto es lo que obtenemos: V= 4 x 3.1416 x 64/3= 268 centímetro cuadrados.

El área y el volumen del cilindro: Cilindro significa rollo, y es el cuerpo limitado por una superficie enrollada, con dos planos paralelos que se encuentran en la generatriz.

Para hallar el área de un cilindro, se suman sus dos caras, mas la suma del cuerpo o área lateral del mismo. Esta es su formula: A= 2 x ph x r + (b x h).

Si nuestro cilindro tuviera un radio de 15 centímetros por una altura de 40 centímetros, con 47 de base, esto es lo que tendríamos: A= 2 x 3.1416 x 15 + (47 x 40)=1974.24.

La formula para el volumen es: V= ph x r2 x h/3.

El cilindro anterior nos daría: V= 3.1416 x 225 x 40= 28,244.4/3= 9424.8 centímetros cuadrados.

Área y volumen de la pirámide: El nombre pirámide, le viene del latín piramidis, lo que significa monumento. La pirámide es el solidó que por base tiene un polígono,( palabra que significa muchos ángulos) y varias caras laterales triangulares, las cuales se unen un punto llamado cúspide o cima.

El área de la pirámide se obtiene al medir el área de su base, a la cual se le suma el área de cada uno de los triángulos que forma sus caras. Por ejemplo, si nuestra pirámide tiene en su base un cuadrado de 4 centímetros de largo por 4 centímetros de ancho, y sus caras tiene 5 centímetros de alto, entonces tendremos 16 centímetros en la base, y cada una de sus cuatro caras mediría 10 centímetros, que al ser 4, serian 40 centímetros, mas los 16 de la base nos daría un área de 56 centímetros cuadrados.

Para hallar el volumen de la pirámide, se plantea esta formula V= b x h/3, esto es que se multiplica el área de la base por el área de la altura, y se divide entre 3.

En el ejemplo anterior, de una pirámide de cuatro lado, con una base de 16 centímetros, en el que sus caras miden 40 centímetros, al multiplicarlos tenemos 440 centímetros, que al ser divididos por 3, es igual a un volumen de 213.33 centímetros.

El prisma: su área y volumen: La palabra prisma, es proviene de la palabra griega prisein, que significa prisión. El prisma regular es el solidó que tiene dos pares de bases paralelas, formadas por un polígono, donde las caras laterales son un paralelogramo. El prisma tiene 6 caras.

Para tener una idea del prisma, una caja, una casa, una nevera, es un prisma. Para hallar el área del prisma, se busca el área de cada una de sus 6 caras y se suman.

Por ejemplo, si la figura de arriba tiene una altura de 4 centímetro de prefundida o anchura, por 4 centímetros de altura, y una longitud de 6 centímetros, dos de sus lados miden 16 centímetros cada uno, y los otros cuatro 24 centímetros cada uno, lo cual al ser sumados dan un área de 124 centímetros cuadrados.

Para hallar su volumen, se multiplica el área del largo, por el área ancho, por área de la altura.

En el prisma anterior al multiplicar 16 x 16 x 36 nos dice que V= 9,216 centímetros.

Para finalizar, queremos hacerlo con la demostración del Teorema de Thales de Mileto que se enuncia diciendo: "Todo ángulo inscrito en una semicircunferencia es una ángulo recto".

Conclusiones

Hemos llegado al final de éste cuaderno de Geometría divertida, pero quiero como una nota histórica dejar anotado, que ésta ciencia de niños y para niños, tuvo un gran cultivador en Eratóstenes este filósofo, matemático, astrónomo, arqueólogo, poeta y geógrafo, que vivió entre los años 275 y 194 a.C. Este sabio fue llamado a la ciudad de Alejandría por el rey Ptolomeo, y observó que en el solsticio de verano, el 21 de junio, el sol no se alejaba mucho del cenit, y vio como los rayos caer perpendicularmente sobre la tierra. Basado en esa observación, calculó la circunferencia de la tierra, de una forma asombrosa.

Al igual que Eratóstenes, tú puedes hacer tus observaciones, y proponer tus propios teoremas, y verá lo divertido que es. Por razón te proponemos que realice estos ejercicios, y lo observe. Toma tu cuaderno, transportador, regla, lápiz y compás, y que demuestre:

1. Que los ángulos de los cuatro tipos de triángulos suman siempre miden 180 grados.

2. Dibuja los cuatro tipos de triángulos y trázale una paralela a su base para observar como se obtienen triángulos semejantes y a la vez proporcionales.

3. Traza tantos semicírculos como desees, y el interior traza ángulos en los puntos que quieras, y al medirlo siempre obtendrás Angulo rectos.

4. En una circunferencia traza arcos y mides sus ángulos centrales e inscritos, y mídelos.

5. traza un cuadrado, un rombo o un rectángulo, y con un transportador verifica que sus cuatro ángulos sumados dan 360 grados

5. Demuestra con regla y compás el postulado de Euclides, piedra angular de sus Elementos, que dice: "Por un punto exterior a una recta sólo se puede trazar una perpendicular a la mitad y sólo una".

6. Enuncia y demuestra tu propio teorema.

Autor:

Humberto R. Méndez B.