- Algoritmo
- Diagramas de Nassi – Schneiderman
- Estructuras secuencias
- Estructuras de decisión
- Estructuras de repetición
- Bibliografía Consultada
- PRESENTACION
Los algoritmos, como procedimiento para solucionar problemas, han existido desde muchos siglos atrás, sin embargo, se han convertido en tema de interés de estudiante y profesionales por cuanto son el fundamento de la programación de computadores.
Desarrollar un programa de computador significa: indicarle al computador, en un lenguaje que él pueda entender, todos y cada uno de los pasos que debe ejecutar para lograr el objetivo propuesto, pero antes de pensar en decirle al computador cómo hacer algo, es necesario que el programador sepa cómo hacerlo. Es allí donde entra a jugar un papel preponderante el desarrollo de algoritmos, pues antes de escribir un programa es necesario diseñar el algoritmo para solucionar el problema en cuestión.
Existen varias técnicas para representar algoritmos, las más conocidas son: pseudocódigo, diagrama de flujo y diagrama N-S. En este documento se desarrolla la metodología de diagramas N-S o también conocida como diagramas de Chapin.
- ALGORITMO
Se sabe que la palabra algoritmo se dio en honor del matemático persa del siglo IX, Khowârizmî. Con éste término se hace referencia a un conjunto de reglas, ordenadas de forma lógica, para desarrollar un cálculo o para solucionar un problema, ya sea de forma manual o utilizando una máquina. Actualmente es frecuente hablar de algoritmo como paso previo al desarrollo de un programa de computador.
Los algoritmos están, con mayor o menor complejidad, en todas las actividades desarrolladas por el hombre y han sido utilizados por todos, infinidad de veces, sin embargo, cuando se aborda el tema como parte de la educación formal se mitifica y se difunde el prejuicio sobre que es un tema complicado.
Desde los primeros años de escolaridad se trabaja con algoritmos, en especial en el campo de las matemáticas. Los métodos utilizados para sumar, restar, multiplicar y dividir son algoritmos que cumplen perfectamente las características de precisión, finitud, definición y eficiencia.
Para que la solución de un problema sea llevada hasta un lenguaje de programación, los pasos expresados en el algoritmo deben ser lo más detallados posible, de manera que cada uno de ellos implique una operación trivial; es decir, que los pasos no impliquen procesos que requieran de una solución algorítmica. En caso de presentarse esta situación, el algoritmo debe ser refinado, lo que equivale a desarrollar nuevamente el algoritmo para la tarea concreta a la que se hace mención.
Si el problema que se desea solucionar es muy grande o complejo, es recomendable dividirlo en tareas que se puedan abordar independientemente y que resulten más sencillas de solucionar. A esto se le llama diseño modular.
Características de un algoritmo
Un algoritmo debe tener al menos las siguientes características:
- Ser preciso: esto significa que las operaciones o pasos del algoritmo deben desarrollarse en un orden estricto, ya que el desarrollo de cada paso debe obedecer a un orden lógico.
- Ser definido. Ya que en el área de programación, el algoritmo se desarrolla como paso fundamental para desarrollar un programa, es necesario tener en cuenta que el computador solo desarrollará las tareas programadas y con los datos suministrados; es decir, no puede improvisar y tampoco se inventará o adivinará el dato que necesite para realizar un proceso. Por eso, el algoritmo debe estar plenamente definido; esto es, que cuantas veces se ejecute, el resultado depende estrictamente de los datos suministrados. Si se ejecuta con un mismo conjunto de datos de entrada, el resultado será siempre el mismo.
- Ser finito: esta característica implica que el número de pasos de un algoritmo, por grande y complicado que sea el problema que soluciona, debe ser limitado. Todo algoritmo, sin importar el número de pasos que incluya, debe llegar a un final. Para hacer evidente esta característica, en la representación de un algoritmo siempre se incluyen los pasos inicio y fin.
- Presentación formal: para que el algoritmo sea entendido por cualquier persona interesada es necesario que se exprese en alguna de las formas comúnmente aceptadas; pues, si se describe de cualquier forma puede no ser muy útil ya que solo lo entenderá quien lo diseñó. Las formas de presentación de algoritmos son: el pseudocódigo, diagrama de flujo y diagramas de Nassi/Schneiderman, entre otras.
- Corrección: el algoritmo debe ser correcto, es decir debe satisfacer la necesidad o solucionar el problema para el cual fue diseñado. Para garantizar que el algoritmo logre el objetivo, es necesario ponerlo a prueba; a esto se le llama verificación o prueba de escritorio.
- Eficiencia: hablar de eficiencia o complejidad de un algoritmo es evaluar los recursos de cómputo que requiere para almacenar datos y para ejecutar operaciones frente al beneficio que ofrece. En cuanto menos recursos requiere será más eficiente el algoritmo.
La vida cotidiana está llena de soluciones algorítmicas, algunas de ellas son tan comunes que no se requiere pensar en los pasos que incluye la solución. La mayoría de las actividades que se realizan diariamente están compuestas por tareas más simples que se ejecutan en un orden determinado, lo cual genera un algoritmo. Por ejemplo, son tareas comunes, realizar una llamada telefónica, buscar un número en el directorio telefónico, buscar un anuncio en las páginas amarillas del directorio, preparar café, regar las plantas, poner en funcionamiento un automóvil, cambiar una llanta, entre muchas otras.
Muchos de los procedimientos utilizados para desarrollar tareas cotidianas son algorítmicos, sin embargo, esto no significa que todo lo que se hace está determinado por un algoritmo. El cumplimiento de las características mencionadas anteriormente permitirá determinar si un procedimiento es o no es algorítmico.
Una receta de cocina para preparar un plato cualquiera puede ser un algoritmo, pero también puede no serlo, dependiendo de las especificaciones. Si una de las instrucciones a desarrollar dice "aplicar sal al gusto" ya puede afirmarse que no es un algoritmo, porque contiene un elemento subjetivo, no definido. Esta misma acción podría aparecer de la forma "aplicar 20 gramos de sal", en cuyo caso no se requiere del gusto (subjetivo) de quien lo aplica y por tanto no contradice el principio de la algoritmia.
El primer paso en el diseño de un algoritmo es conocer la temática a tratar, el segundo será pensar en las actividades a realizar y el orden en que deben ejecutarse para lograr el objetivo, el tercero y no menos importante es la presentación formal.
El diagrama N-S o también conocido como diagrama de Chapin es una técnica de especificación de algoritmos que combina la descripción textual, propia del pseudocódigo, con la representación gráfica del diagrama de flujo.
El diagrama N-S cuenta con un conjunto limitado de símbolos para representar los pasos del algoritmo, por ello se apoya en expresiones del lenguaje natural; sin embargo, dado que el lenguaje natural es muy extenso y se presta para la ambigüedad, solo se utiliza un conjunto de palabras, a las que se denomina palabras reservadas. Las palabras reservadas más utilizadas son:
Inicio Fin Leer Escribir
Mientras Repita Hasta Para
Incrementar Decrementar Hacer Función
Entero Real Caracter Cadena
Lógico Retornar
Los símbolos utilizados en el diagrama de Chapin son corresponden a cada tipo de estructura. Dado que se tienen tres tipos de estructuras, se utilizan tres símbolos. Esto hace que los procesos del algoritmo sean más fáciles de representar y de interpretar.
- Definición.
Son aquellas que se ejecutan una después de otra. Se tienen tres tipos de instrucciones secuenciales: la declaración de variables, asignación, instrucción Leer e instrucción Escribir.
La mayoría de algoritmos actúan sobre un conjunto de datos suministrados por el usuario y se espera que a partir de dichos valores y desarrollando los procesos programados se genere información de salida o resultados.
Declaración de variables
Teniendo en cuenta la compatibilidad con la mayoría de los lenguajes, se recomienda que desde el diseño del programa se utilice una forma determinada para la declaración de las variables. Esta consiste en escribir el tipo de datos y la lista de identificadores que se tendrán de dicho tipo, separando cada identificador por medio de comas (,). Para mejorar la claridad de la declaración se puede colocar dos puntos (:) para separar el tipo de datos de la lista de identificadores.
Ejemplo:
Entero: edad
Real: estatura, peso, sueldo
Cadena: nombre, dirección
Aunque algunos lenguajes de programación permiten declarar las variables en el momento en que se las necesita, es aconsejable, en favor de los buenos hábitos de programación, siempre declarar las variables antes de utilizarlas y el sitio más adecuado es el inicio del programa o de la función.
Asignar un valor a una variable equivale a decir que se guarda dicho valor en la posición de memoria reservado para la variable en mención. Por lo tanto, para poder realizar una asignación es necesario primero haber declarado una variable, con lo cual se reserva un espacio de memoria suficiente para guardar un dato del tipo especificado.
Una expresión de asignación tiene la forma:
Variable = expresión
Ejemplos:
Edad = 10
Estatura = 1.80
Resultado = 2*3
Ejemplos:
Entero: X, Y
X = 10
Y = X * 2 + 8
En este ejemplo, la variable Y contendrá el valor 28.
La instrucción LEER se utiliza para enviar información desde un dispositivo de entrada de datos hacia la memoria. En la memoria los datos son ubicados mediante el identificador (nombre de variable) utilizado como complemento de la instrucción LEER.
En diagrama N-S la instrucción de entrada se representa así:
Leer <lista de identificadores de variables>
Ejemplo:
Leer a, b
Donde "a" y "b" son las variables que recibirán los valores y que deben haberse declarado previamente.
Esta instrucción permite enviar datos desde la memoria hacia un dispositivo de salida como la pantalla o la impresora. La información que se envía puede ser constante o también el contenido de variables.
Escribir <lista de constantes y variables>
Ejemplo:
Escribir a, b
Cuando se escriben más de una variable es necesario separarlas con comas (,) y los mensajes se escriben entre comillas dobles " ". Si una variable es escrita entre comillas se mostrará el identificador y no el contenido.
Ejemplos:
1. Diseñar un algoritmo para calcular el área y el perímetro de un rectángulo
Definición del problema
Calcular área y perímetro de un rectángulo
Análisis del problema
Para desarrollar este problema es necesario conocer las fórmulas para obtener tanto el área como el perímetro de un rectángulo.
Sea b = base y h = altura, las fórmulas a utilizar son:
Area = b * h
Perímetro = 2 * (b + h)
Datos de entrada: b y h (base y altura)
Datos de salida: área y perímetro
Procesos: área = b * h
Perímetro = 2 * (b + h)
Diseño de la solución
Inicio
Entero: b, h, a, p
Leer b, h
a = b * h
p = 2 (b + h)
Escribir "área:", a
Escribir "perímetro:", p
Fin algoritmo
2. Un maestro desea saber que porcentaje de hombres y que porcentaje de mujeres hay en un grupo de estudiantes.
Definición del problema
Calcular porcentaje de hombres y mujeres en un grupo
Análisis del problema
Datos a tener en cuenta:
Número hombres
Número mujeres
Total estudiantes
Porcentaje hombres
Porcentaje mujeres
Datos de entrada: número hombres, número mujeres
Datos salida: porcentaje hombres, porcentaje mujeres
Procesos: tot estudiantes = núm. hombres + núm. Mujeres
Porc.hombres = núm. Hombres / tot estudiantes*100
Porc.hombres = núm. mujeres / tot estudiantes*100
Diseño de la solución
Inicio
Entero: numm, numh, totest
Real: porch, porcm
Leer numm, numh
totest = numm + numh
porcm = numm / totest * 100
porch = numh / totest * 100
Escribir "porcentaje mujeres:", porcm
Escribir "porcentaje hombres:", porch
Fin algoritmo
3. Un profesor prepara tres cuestionarios para una evaluación final: A, B y C. Se sabe que se tarda 5 minutos en revisar el cuestionario A, 8 en revisar el cuestionario B y 6 en el C. La cantidad de exámenes de cada tipo se entran por teclado. ¿Cuántas horas y cuántos minutos se tardará en revisar todas las evaluaciones?
Definición del problema
Calcular el tiempo, en horas y minutos, requerido para calificar exámenes.
Análisis del problema
Se tienen tres tipos de examen A, B, C y el tiempo en minutos requerido para cada tipo son:
A = 5
B = 8
C = 6
El tiempo en minutos debe ser convertido a horas,
1 hora = 60 minutos
Para pasar de minutos a horas se realiza operación división entera, para conocer los minutos excedentes se utiliza la operación módulo.
Datos de entrada: número exámenes tipo A, B y C
Datos de salida: horas y minutos requeridos
Procesos:
Total A = número tipo A * 5
Total B = número tipo B * 8
Total C = número tipo C * 6
Tiempo total = total A + total B + total C
Horas = tiempo total / 60
Minutos = tiempo total Mod 60
Diseño de la solución
Inicio
Entero: numa, numb, num, tota,totb, totc, totmin, horas, minutos
Leer numa, numb, numc
tota = numa * 5
totb = numb * 8
totc = numc * 6
totmin = tota + totb + totc
horas = totmin / 60
minutos = totmin Mod 60
Escribir "tardará:",horas, "horas y", minutos, "minutos"
Fin algoritmo
- Estructuras secuenciales
Las estructuras de decisión o también llamadas de selección permiten que el algoritmo tome decisiones y ejecute u omita algunos procesos dependiendo del cumplimiento de una condición.
Se pueden manejar tres tipos de decisiones: simple, doble y múltiple.
Decisión simple y doble
Una decisión es simple, cuando solo se tiene determinado los pasos a seguir si el resultado de la condición es verdadero, mientras que si es falso, la ejecución del algoritmo continúa después de la estructura condicional.
Una decisión cuando se tiene un curso de acción para el caso que el resultado de la comparación sea verdadero y otro para cuando sea falso.
En diagrama de Chapin el símbolo para representar una decisión es el siguiente:
Para ver el gráfico seleccione la opción "Descargar" del menú superior
Obsérvese que en la parte inferior se tienen los cuadros que indican dos posibilidades de acción, el conjunto de instrucciones 1 o el conjunto de instrucciones 2, solo uno de los dos. Si se tratase de una decisión simple, solo se tendrá instrucciones en las cajas que se ubican debajo de la cláusula Si, mientras que las que están bajo No estarán vacías.
Ejemplos:
1. Se desea un algoritmo para obtener el valor absoluto de un número
Definición del problema
Encontrar el valor absoluto de un número
Análisis del problema
Para encontrar el valor absoluto del número es necesario recordar que para los enteros positivos el valor es el mismo, mientras que para los enteros negativos es necesario cambiarlos de signo.
Datos de entrada: número
Datos de salida: valor absoluto
Proceso: número = número * (-1)
Diseño de la solución
2. Dados dos números ¿cuál es mayor? y ¿cuál es menor?
Definición del problema
Identificar el mayor y menor de dos números
Análisis del problema
Datos de entrada: num1, num2
Datos salida: mayor, menor
Proceso: comparación
Diseño de la solución
3. Una empresa desea calcular los nuevos salarios de sus empleados de la siguiente forma: quienes ganan hasta $ 500.000 tendrán un incremento del 10%, quienes devengan más de $ 500.000 y hasta 800.000 recibirán un aumento del 8% y los demás del 5%. ¿Cuál será el valor del aumento? ¿Cuál será el valor del nuevo sueldo?
Definición del problema
Calcular el valor a incrementar y el valor del nuevo sueldo de los empleados.
Análisis del problema
El porcentaje de incremento en el sueldo depende del valor del sueldo actual, los sueldos más bajos tienen un mayor incremento:
10% para sueldo <= $ 500.000
8% para $ 500.000 < sueldo <= $ 800.000
5% para sueldo > 800.000
Datos de entrada: sueldo
Datos de salida: aumento, nuevo sueldo
Proceso:
aumento = sueldo * porcentaje donde porcentaje = 5, 8 o 10%
nuevo sueldo = sueldo + aumento
Diseño de la solución
Decisión múltiple
Muchas decisiones deben tomarse, no solo entre dos alternativas, sino de un conjunto mayor. Estos casos bien pueden solucionarse utilizando condicionales dobles anidados; sin embargo, en favor de la claridad del algoritmo y la facilidad para el programador, es mejor utilizar una estructura de decisión múltiple, la cual es fácil de llevar a un lenguaje de programación, ya que éstos incluyen alguna instrucción con este fin.
La decisión múltiple determina el valor de una variable y dependiendo de éste sigue un curso de acción. Es importante tener en cuenta que solo se verifica la condición de igualdad entre la variable y la constante.
En diagrama N-S la estructura de selección múltiple tiene la forma:
Ejemplo:
una distribuidora de motocicletas tiene una promoción de fin de año que consiste en los siguiente. Las motos marca HONDA tienen un descuento del 5%, las de marca Yamaha del 8% y las Suzuki el 10%, las de otras marcas el 2%
Definición del problema
Calcular el valor del descuento y el valor a pagar por la motocicleta.
Análisis del problema
Porcentaje descuento = 5% para motos Honda
Porcentaje descuento = 8% para motos Yamaha
Porcentaje descuento = 10% para motos Suzuki
Porcentaje descuento = 2% para motos otras marcas
Datos de entrada: marca, valor
Datos de salida: descuento, valor a pagar
Proceso:
descuento = valor * porcentaje
Valor neto = valor – descuento
Diseño de la solución
- Estructuras de decisión
- Estructuras de repetición
En la solución de algunos problemas es necesario ejecutar repetidas veces una instrucción o un conjunto de instrucciones. En algunos casos, el número de repeticiones se conoce con anterioridad, mientras que en otras depende de cálculos o estados de variables que se dan dentro de la solución del problema.
Para solucionar este tipo de problemas se utiliza un tipo de estructuras a las que se conocen como estructuras de repetición, bucles o ciclos.
Un ciclo consiste en un grupo de acciones que se ejecutan repetidas veces dependiendo del cumplimiento de una condición.
Este ciclo consiste en un conjunto de instrucciones que se repiten mientras se cumpla una condición. De igual manera que en los condicionales, la condición es evaluada y retorna un valor lógico, que puede ser verdadero o falso. En el caso del ciclo mientras las instrucciones contenidas en la estructura de repetición se ejecutarán solamente si al evaluar la condición se genera un valor verdadero; es decir, si la condición se cumple; en caso contrario, se ejecutará la instrucción que aparece después de Fin mientras.
A diferencia de otros ciclos, el ciclo mientras comienza evaluando la expresión condicional, si el resultado es verdadero se ejecutarán las instrucciones que estén entre el mientras y el fin mientras, al encontrarse la línea fin mientras se volverá a evaluar la condición, si se cumple se ejecutarán nuevamente las instrucciones y así sucesivamente hasta que la condición deje de cumplirse, en cuyo caso, el control del programa pasa a la línea que aparece después de fin mientras.
En diagrama de Chapin (N-S), esta estructura tiene la presentación:
Ejemplos:
1. Un algoritmo para mostrar los números del 1 al 10.
Definición del problema
Mostrar listado de números de 1 a 10.
Análisis del problema
Datos de entrada: ninguno
Datos de salida: número
Proceso: ninguno
Diseño de la solución
Este es un algoritmo muy trivial pero permite revisar la aplicación de la estructura de repetición Mientras.
Después de haber mostrado el contenido de la variable num, éste cambia, se incrementa en 1.
2. Leer n números y encontrar el valor promedio, el mayor y el menor
Definición del problema
Encontrar el promedio, el mayor y el menor de varios números
Análisis del problema
Para solucionar este problema, lo primero que hay que plantear es cómo se sabrá cuando terminar la lectura de datos, ya que no se especifica la cantidad de números que serán ingresados y en el planteamiento del problema no se da ninguna condición que permita saber cuando terminar el ciclo. Este tipo de problemas es muy común.
Hay dos formas de abordar este ejercicio, la primera consiste en preguntar al usuario con cuantos números desea trabajar y guardar dicho valor en una variable que se utilizará para establecer el ciclo. La segunda consiste en preguntar después de leer cada dato, si se desea ingresar otro. En este ejercicio se utilizará la primera estrategia.
Datos de entrada: cantidad de números, número
Datos de salida: promedio, mayor y menor
Procesos:
suma = suma + número
promedio = suma / cantidad de números
Diseño de la solución
3. La serie Fibonacci comienza con los números: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, … Se requiere un algoritmo para generar los primeros 10 números.
Definición del problema
Generar los 10 primeros números de la serie fibonacci
Análisis del problema
La serie fibonacci se genera a partir de dos valores iniciales que son el 0 y el 1, que al sumarse dan como resultado 1. El siguiente número se obtiene sumando el último número obtenido con el anterior, en este caso 1 + 1 = 2, luego será 2 + 1 = 3 y así sucesivamente.
Datos de entrada: ninguno
Datos de salida: serie fibonacci
Procesos:
a = 0
b = 1
f = a + b
Diseño de la solución
Este ciclo, al igual que los demás, permite ejecutar repetidas veces una instrucción o un grupo de ellas, pero a diferencia de otras instrucciones de repetición, ésta maneja el valor inicial, el valor de incremento o decremento y el valor final de la variable de control como parte de la instrucción.
Cuando al ejecutarse un algoritmo se encuentra una instrucción para la variable de control (contador) toma el valor inicial, se verifica que el valor inicial no sobrepase el valor final y luego se ejecutan las instrucciones del ciclo. Al encontrar la instrucción fin para, se produce el incremento y se vuelve a verificar que la variable de control no haya superado el límite admitido, y se vuelven a ejecutar las instrucciones que están dentro del ciclo, y así sucesivamente tantas veces como sea necesario hasta que se supere el valor final establecido.
El ciclo para termina en el momento en que la variable de control (contador) sobrepasa el valor final; es decir, que la igualdad está permitida y las instrucciones se ejecutan cuando el contador es igual al valor final.
Este ciclo puede presentarse de tres maneras: la primera es la más común, cuando se produce un incremento de 1 en cada iteración, en cuyo caso no es necesario escribir explícitamente.
En diagrama N-S:
El segundo caso de utilización del ciclo Para es cuando el incremento es diferente de 1, en cuyo caso se escribirá la palabra incrementar seguida del valor a sumar en cada iteración.
En tercer lugar, el ciclo para no siempre se incrementa desde un valor inicial hasta un valor mayor, puede suceder que se requiera que se disminuya desde un valor inicial alto, hasta un valor menor. En este caso será suficiente con escribir decrementar en vez de incrementar.
Ejemplos:
1. Imprimir los números del 1 al 10
Definición del problema
Imprimir números del 1 al 10
Análisis del problema
Datos de entrada: ninguno
Datos de salida: números (1 … 10)
Proceso: ninguno
Diseño de la solución
2. Imprimir los números del 5 al 50 con intervalos de 5.
Definición del problema
Imprimir números de cinco en cinco
Análisis del problema
Datos de entrada: ninguno
Datos de salida: números
Proceso: ninguno
Diseño de la solución
3. Dado un número n mostrar los números menores o igual a éste, en orden descendente
Definición del problema
Imprimir números en orden descendente
Análisis del problema
Datos de entrada: número
Datos de salida: números
Proceso: ninguno
Diseño de la solución
4. un algoritmo que lee 10 números y muestra la sumatoria, el promedio, el número mayor y el número menor.
Definición del problema
Leer 10 números y sumarlos, determinar el promedio, el número menor y el número mayor.
Análisis del problema
Datos de entrada: número
Datos de salida: sumatoria, promedio, número menor y número mayor
Proceso:
suma = suma + número
promedio = suma / 10
Diseño de la solución
La utilización adecuada e ingeniosa de las estructuras presentadas permite el diseño de algoritmos de aceptable nivel de complejidad, como se ha mostrado en los ejemplos. Obsérvese que cada estructura permite incluir las anteriores, en el último ejemplo se ha utilizado todos los conceptos presentados en este documento.
Los diagramas N-S permiten representar de forma sencilla los pasos que conforman un algoritmo y por su combinación de texto e imagen son muy fáciles de interpretar; no obstante, es recomendable que quien se inicia en el diseño de algoritmos conozca otras técnicas como el pseudocódigo y el diagrama de flujo.
Finalmente, es menester anotar que el diseño de algoritmos no solo requiere conocer metodologías de representación, sino también desarrollar el pensamiento lógico para generar soluciones y esto se consigue mediante el desarrollo de ejercicios.
Mas información
Para mayor información comunicarse con el autor o consultar su libro, el mismo que aparece en la bibliografía.
ALLEN WEIS, Mark. Estructuras de datos y algoritmos. Wilmington E.U.A: Addison – Wesley Iberoamericana, 1995. 486 p.
BECERRA SANTAMARÍA, Cesar. Algoritmos conceptos básicos. Bogotá: Kimpres, 1993. 391 p.
BRASSARD Y BRATLEY. Fundamento de algoritmia. España: Prentice-All, 1997. 579 p.
CAIRO BATTISTUTTI, Osvaldo. Metodología de la programación. México: Alfaomega, 1995. 1009 p.
CHAVES TORRES, Anívar. Algoritmos: pseudocódigo, diagama de flujo y diagrama N-S. Pasto – Colombia: Multigráfico impresores, 2004. 297p.
CORREA URIBE, Guillermo. Desarrollo de algoritmos 3ra ed. Bogotá: McGraw-Hill, 1998. 248 p.
GALVE, Javier et al. Algoritmia. Wilmington E.U.A: Addison – Wesley Iberoamericana, 1993. 502 p.
JOYANES AGUILAR, Luis. Programación en C++ algoritmos, estructuras de datos y objetos. España: McGraw-Hill. 2000. 710 p.
——————–. Metodología de la programación. México: McGraw-Hill, 1992. 248 p.
Anívar Chaves Torres
Ing. de Sistemas