Las secciones cónicas (página 2)

Es una cónica con excentricidad e, la cónica es una elipse si e < 1. Una parábola si e =1 y una hipérbola si e > 1.

Si N es un vector normal a L y P cualquier punto de L, la distancia d(X,L) de cualquier punto X a L, viene dada por la fórmula:

d( X,L ) = I(X – P)*Nl / lNl

Cuando N tiene longitud 1. Esta expresión se simplifica y queda d( X.L ) = I(X – P)*Nl. Y la ecuación fundamental de las secciones cónicas, se transforma en:

lX – Fl = e l(X – P)*Nl

La recta L separa el plano en dos regiones, que llamaremos arbitrariamente" positiva" y "negativa" según la elección de N. Si l(X – P)*Nl >0, decimos que X está en el semiplano positivo, y si l(X – P)*Nl < 0 en el semiplano negativo.

Para los puntos de la recta L, tenemos:

l(X – P)*Nl = 0. En la figura 8, la elección del vector normal N indica que los puntos situados a la derecha de L está en el semiplano positivo y los de la izquierda en el plano negativo.

Figura 8. Una cónica de excentricidad e s el conjunto de todos los X que satisfacen

lX – Fl = e (X – P)*N – d.

Coloquemos el foco F en el semiplano negativo, como se indica en la figura 8 y elijamos P de modo que sea el punto de L más próximo a F. Entonces P – F = dN , siendo ldi = ll P – Fil la distancia del foco a la directriz. Puesto que F está en el semiplano negativo, tenemos (F –P).N = – d < 0, así que d es positivo. Sustituyendo P por F + dN, obtenemos el teorema siguiente que se representa en la figura 8.

Teorema 1. Sea C una cónica con excentricidad e, foco F y directriz L a una distancia d de F. Si N es un vector unitario normal a L y si F está en el semiplano negativo determinado por N, entonces C es el conjunto de todos los puntos X que satisfacen la ecuación:

ll X –F ll = e l( X – F ). N – d l.

La excentricidad de una cónica es un número que mide su alargamiento y que está relacionado con los ángulos a y ß.

La excentricidad de la circunferencia es cero. Es decir, las circunferencias no son nada

La elipse puede definirse como lugar geométrico del siguiente modo: dados dos puntos fijos, F y F", llamados focos, y un número fijo k, K>FF", la elipse es el lugar geométrico de los puntos, P, del plano cuya suma de distancias a F y F" es igual a k:

Esta forma de definir una elipse permite dibujarla mediante el llamado "método del jardinero": se colocan dos alfileres en la posición de los focos y se ata a ambos un hilo cuya longitud sea igual a k. Con un lápiz situado de modo que mantenga tenso el hilo, se recorre la elipse.

Además de los focos F y F´, en una elipse destacan los siguientes elementos:

• Centro, O.  • Eje mayor, AA´. • Eje menor, BB´. • Distancia focal, OF.

Fig. 6.

Algunas distancias características de la elipse se suelen designar con las letras siguientes:

La excentricidad de una elipse se obtiene así: e = c/a

Puesto que c < a se verifica que 0 < e < 1, es decir, la excentricidad de una elipse es un número comprendido entre 0 y 1.

Las órbitas de todos los planetas son elipses, uno de cuyos focos es el Sol. Las más excéntricas, aunque ahora ya no se le trata como planeta, son la de Plutón, e = 0,25 , y la Mercurio, e = 0,21. Los restantes planetas tienen órbitas con excentricidades inferiores a 0,1 , es decir, casi circulares.

Hay otras definiciones de las secciones cónicas que son equivalentes. En una de ellas de ellas se consideran unos puntos especiales llamados focos, y, entonces la elipse se puede definir como el lugar de todos los puntos del plano cuya suma de distancias d1 y d2 a los dos puntos F" y F (los focos) es constante (véase fig. 5). Si los focos coinciden la elipse se reduce a una circunferencia.

Existe un razonamiento muy simple y elegante que prueba que la propiedad focal de una elipse es consecuencia de su definición como sección de un cono.

Esta demostración fue descubierta en 1822 por el matemático belga G. P. Dandelin (1794-1841) utilizando dos esferas que son tangentes al cono y al plano secante tal como se indica en la figura 7.

Figura 7

Modificando ligeramente esta demostración se tienen las correspondientes para la hipérbola y la parábola. En el caso de la hipérbola se ha de considerar una esfera en cada hoja del cono, y para la parábola una esfera tangente al plano secante en el foco. Esta esfera es tangente al cono a lo largo de una circunferencia situada en un plano cuya intersección con el plano secante es la directriz de la parábola. Con estas indicaciones es fácil probar que las

propiedades focales de la hipérbola y la parábola se pueden deducir de su definición como secciones de un cono.

Expresion analítica de las cónicas

La ecuación general de segundo grado se representa de la siguiente manera:

En particular, consideraremos el caso en que la ecuación (1) contiene un término en xy.es decir el caso en B ? 0, se puede demostrar que por medio de una rotación de los ejes coordenados siempre es posible transformar ésta ecuación en otra, de la forma:

En la que uno de los coeficientes A" y C" por lo menos es diferente de cero, y no aparece el término de x"y".

Se sabe que si la ecuación (2) representa un lugar geométrico real, representa o bien una cónica o uno de los casos excepcionales de un punto de un punto o de un par de rectas. Como la naturaleza de un par geométrico no se altera con transformación de coordenadas, se sigue que, si la ecuación (1) tiene lugar geométrico, éste lugar geométrico debe ser también o una sección cónica o uno de los casos excepcionales de un punto o un par de rectas. Por los tanto, la ecuación (¡) se toma, generalmente como la definición analítica de cónica.

De esto podemos inferir la existencia de una definición geométrica, que incluya a todas las cónicas. Esta misma definición existe para la parábola, la elipse e hipérbola.

TRANSFORMACIÓN DE LA ECUACIÓN GENERAL. (Por rotación de los ejes coordenados)

Si la ecuación transformada (2) va a carecer del término en x"y", el coeficiente de B" debe anularse. Por lo tanto, debe tener:

Por medio de las fórmulas trigonométricas del ángulo doble, ésta última ecuación puede escribirse en la forma:

En resumen:

Teorema 1. La ecuación general de segundo grado

En donde B ? 0, puede transformarse siempre en otra de la forma:

Mediante este teorema, es posible determinar el ángulo ? y por tanto, los valores de sen ? y cos ? para usarlos en las ecuaciones de transformación por rotación. De aquí que las ecuaciones de transformación pueden obtenerse antes de hacer la sustitución en la ecuación general.

Del teorema 1 podemos deducir una conclusión muy importante. El ángulo de rotación ? es de 45°, si A = C, o bien tal que:

De acuerdo con esto. La ecuacion general (1) puede transformarse en la forma (6) girando los ejes coordenados un angulo diferente de cero. Pero hemos visto que, si la ecuación (6) representa una sección cónica, el eje paralelo a ( o coincidente con) uno de los ejes coordenados, y recíprocamente. Por lo tanto si la ecuación (1) representa una cónica. El eje focal debe ser oblicuo con respecto a los ejes coordenados recíprocamente. Este resultado lo enunciamos en el teorema siguiente:

Teorema 2. Si la ecuación general de segundo grado,

En donde B ? 0 representa una sección cónica, el eje focal es oblicuo con respecto a los ejes coordenados, y, recíprocamente.

La discriminante D = B2 – 4AC. Anteriormente se pudo observar que si los ejes coordenados giran un ángulo ?, la ecuación general

Más aún, si se selecciona el ángulo de rotación ? como lo especifica el teorema 1, la ecuación (2) toma la forma

Luego se presentará un resumen de la naturaleza del lugar geométrico de la ecuación (6), Por ejemplo si A" o C" son iguales a cero, uno u otro, la ecuación (6) representa una parábola cuyo eje es paralelo a (o coincidente con) uno de los ejes coordenados, o constituye unos de los casos excepcionales de dos rectas diferentes o coincidentes, paralelas a uno de los ejes coordenados, o ningún lugar geométrico.

Por lo tanto sin temor a equivocarnos podemos afirmar que la ecuación (6) representa una cónica género Parábola. Para los demás casos se usarán términos semejantes al anterior según las diferentes definiciones:

Definición 1. Si uno de los dos coeficientes A" o C" es igual a cero, la ecuación (6) representa una cónica genero parábola, es decir uno cualquiera de los casos especificados al inicio de la presente.

Definición 2. Si A" y C" son del mismo signo, se dice que la ecuación (4) representa una cónica de género elipse , es decir uno cualquiera de los casos especificados anteriormente.

Definición 3. Si A" y C" son de signo contrario, se dice que la ecuación (6) representa una cónica del género Hipérbola, es decir uno de los casos también especificados anteriormente

Usando las primeras tres relaciones de (3) y la identidad trigonométrica sen2? + cos2? = 1, podemos demostrar fácilmente que:

Los resultados precedentes se pueden resumir en el siguiente teorema:

Teorema 3. La ecuación general de segundo grado:

Para determinar la naturaleza de su lugar geométrico: reducir la ecuación a su forma canónica por transformación de coordenadas. Trazar el lugar geométrico y todos los sistemas de coordenadas que hayan sido necesarias.

Para establecer la solución de la ecuación (9), determinamos el indicador (discriminante):

Obsérvese que por ser ? agudo, 2? está en el primero o en el segundo cuadrantes en donde el coseno y la tangente de un ángulo son del mismo signo. De éste valor de cos 2?, podemos obtener los valores de sen ? y cos ? por medio de las fórmulas trigonométricas del ángulo mitad.

Las ecuaciones de transformación por rotación son entonces:

La ecuación (10) puede simplificarse, bien por una traslación de los ejes X" y Y" o completando los cuadrados. El resultado será una elipse.

De acuerdo al problema considerado, la gráfica se construye, generalmente a partir de la ecuación más simple obtenida finalmente por transformación de coordenadas. Se puede hacer una comprobación parcial de la exactitud de ésta gráfica comparando sus intersecciones con los ejes originales, cuando existen dichas intersecciones, con los valores de estas mismas intersecciones obtenidas a partir de la ecuación original.

Figura 8

El teorema 3 establece que el orden en que se efectúen la traslación y la rotación no tienen importancia. Si los términos de segundo grado forman un cuadrado perfecto, se debe hacer la rotación de los ejes antes que la traslación. Enseguida demostraremos la razón de esto. Si reemplazamos x y y en la ecuación general (1)por los valores dados en las ecuaciones de transformación para traslación.

No podemos eliminar los términos de primer grado comenzando por una traslación. En general, por lo tanto, simplificaremos la ecuación (1) girando primero los ejes.

LA CIRCUNFERENCIA

Figura 8. Circunferencia.

La Circunferencia, es una curva plana cerrada en la que cada uno de sus puntos equidista de un punto fijo, llamado centro de la circunferencia. No se debe confundir con el círculo (superficie), aunque ambos conceptos están estrechamente relacionados. La circunferencia pertenece a la clase de curvas conocidas como cónicas, pues una circunferencia se puede definir como la intersección de una superficie cónica con un plano perpendicular a su eje.

Cualquier segmento rectilíneo que pasa por el centro y cuyos extremos están en la circunferencia se denomina diámetro. Un radio es un segmento que va desde el centro

hasta la circunferencia. Una cuerda es un segmento rectilíneo cuyos extremos son dos puntos de la circunferencia. Un arco de circunferencia es la parte de ésta que está delimitada por dos puntos. Un ángulo central es un ángulo cuyo vértice es el centro y cuyos lados son dos radios.

La proporción entre la longitud de la circunferencia y su diámetro es una constante, representada por el símbolo p, o pi. Es una de las constantes matemáticas más importantes y desempeña un papel fundamental en muchos cálculos y demostraciones en matemáticas, física y otras ciencias, así como en ingeniería. Pi es aproximadamente 3,141592, aunque considerar 3,1416, o incluso 3,14, es suficiente para la mayoría de los cálculos. El matemático griego Arquímedes encontró que el valor de p estaba entre 3 + 1/7 y 3 + 10/71.

El centro de la circunferencia es centro de simetría, y cualquier diámetro es eje de simetría.

Propiedades de la elipse

Si desde un punto P de la elipse se trazan los segmentos PF y PF", la bisectriz exterior del ángulo que forman estos segmentos es tangente a la elipse.

Figura 9.

Otra propiedad de la elipse, consecuencia de la anterior, es que un rayo que pasa por uno de los focos de la elipse, al reflejarse en ésta, pasa por el otro foco.

Ecuación reducida de la elipse

Si se sitúan los ejes ordenados del siguiente modo: el eje X coincidiendo con el eje mayor de la elipse y el eje Y coincidiendo con el eje menor, la ecuación de la elipse adopta la forma siguiente:

que se llama ecuación reducida de la elipse.

Aplicación de las cónicas

Las cónicas poseen curiosas e interesantes propiedades por las que resultan sumamente útiles en la naturaleza, la ciencia, la técnica o el arte. Por ejemplo, las órbitas de los planetas y cometas en su rotación alrededor del Sol son cónicas; los faros de los coches tienen sección parabólica, al igual que los hornos solares y las antenas de seguimiento de satélites, debido a que en la parábola los rayos que pasan por el foco salen paralelos al eje y viceversa. También existe un tipo de ayuda a la navegación (loran) basado en las propiedades de las hipérbolas. Pero lo más destacable en su aplicación en la técnica son los diseños de los perfiles de engranajes, para su correcto funcionamiento

Salvo la circunferencia, las restantes cónicas se pueden definir como lugares geométricos a partir de un punto fijo F, llamado foco, una recta fija, d, llamada directriz, y su excentricidad, e > 0, del siguiente modo:

El lugar geométrico de los puntos P del plano tales que el cociente de sus distancias a F y a d es igual a e (dist PF/dist Pd = e), es una cónica de excentricidad e.

Cónicas degeneradas

Las cónicas propiamente dichas son las que ya se han descrito: circunferencia, elipse, hipérbola y parábola. Sin embargo, desde un punto de vista matemático conviene a veces considerar como cónicas las figuras que se obtienen al cortar la superficie cónica mediante planos que pasan por su vértice. A estas figuras se les llama cónicas degeneradas. Según esto, una recta, un par de rectas, o incluso un punto, serían cónicas degeneradas.

DEFINICIÓN GENERAL DE LA CÓNICA

Esta definición incluye a la parábola, la elipse y la hipérbola.

Definición. Dada una recta fija l y un punto fijo F no contenido en ésta recta. Se llama cónica al lugar geométrico de un punto P que se mueve en el plano de l y F de tal manera que la razón de su distancia de F a su distancia de l es siempre igual a una constante positiva.

a recta l fija se llama directriz, el punto fijo F, foco, y la constante positiva, a la que designaremos por e, excentricidad de la cónica, cuando e= 1m la definición anterior es el de la parábola,

El cual puede expresarse analíticamente por la ecuación:

Elevando al cuadrado ambos miembros de ésta ecuación, quitando denominadores y transponiendo, resulta:

Podemos demostrar, recíprocamente, que cualquier punto cuyas coordenadas satisfacen la ecuación (13) es un punto que satisface la ecuación geométrica (12) y, por lo tanto, está sobre el lugar geométrico. De acuerdo con esto, la ecuación (13) es la ecuación buscada.

Por lo anteriormente estudiado, reconocemos a primera vista que el lugar geométrico de la ecuación (13) es una cónica, pero su naturaleza depende, evidentemente, del valor de la excentricidad e.

Completando el cuadrado en x. podemos reducir ésta ecuación a la segunda forma ordinaria de la ecuación de una cónica central,

El que la ecuación (14) represente una elipse o una hipérbola depende del valor de e. Tenemos entonces dos subcasos,

Entonces:

Evidentemente, el lugar geométrico de la ecuación (15) es una hipérbola, análogamente a como hicimos para la elipse podemos demostrar que el valor de e dado por la ecuación (14) es idéntico con su valor previamente definido de

Bibliografía

• 1. CÁLCULO EN LAS TRES PRIMERAS DIMENSIONES: Sherman K. STEIN.

2. CALCULUS. Cálculo con funciones de muna variable, con una introducción al Álgebra

3.-GEOMETRÍA ANALÍTICA. Charles Lehmann

4.- Editorial original en Inglés publicada en Estados Unidos de América © 1958.

Lineal. Tom M. Apóstol. Volumen 1. Editorial Reverté.

Traducción y adaptación: Ing. Humberto Cantú Salinas LIBROS MACGRAW HILL.

Autor:

Flores Dobladillo, Rafael Oswaldo

Chavéz Chavéz, Giancarlo Enrique

Chirito Lopez, Ernesto Eduardo

Flores García, Mery Nelida

Huaringa Robles, Amador Macgyver

Malpartida Palacios, Enrique

Montero Vicente, Brian Yonathan

Salazar Choy, Juan Carlos

Vásquez Porras, Karina Mirella

Villacorta Gonzalez, Pilar Jovanna

Fernández flores, Wendhy

Docente: Raúl Castro Vidal

"UNIVERSIDAD DEL PERÚ, DECANA DE AMERICA"

FACULTAD DE MEDICINA

E.A.P: TECNOLOGIA MÉDICA

AREA: TERAPIA FISICA Y REHABILITACION

Trabajo monográfico de Cónicas

2010