Las secciones cónicas

Introducción

Se denomina Cónica, a cada una de las curvas planas que se obtienen al cortar una superficie cónica por un plano que no pasa por su vértice. El tipo de curva que se obtiene depende del ángulo a de la superficie cónica y del ángulo ß que forma el plano P con el eje e.

Si ß > a entonces el plano corta a todas las generatrices de la superficie cónica y, por tanto, se obtiene una curva cerrada. Si ß = a se obtiene una curva abierta. A continuación se exponen con más detalle los distintos casos que se pueden dar según los valores que tome ß.Si ß = 90º la intersección del plano con la superficie cónica es una circunferencia.

Figura 2. Plano de sección forma una circunferencia

Si ß > a y ß < 90º se obtiene una elipse tanto más alargada cuanto menor (más próximo a a) sea el ángulo ß.

FIGURA 3. Plano de corte que forma una elipse

Si ß = a el plano es paralelo a una de la generatrices y se obtiene una curva abierta llamada parábola.

Figura 4. Plano de corte que forma una parábola

Si ß < a entonces, tanto en los casos en que el plano corta al eje (0 < ß < a) como cuando es paralelo a él (ß = 0), se obtiene una curva con dos ramas abiertas llamada hipérbola.

Figura 5. Plano de corte para una hipérbola.

Muchos descubrimientos importantes, tanto en la Matemática pura como en la aplicada han tenido relación con las secciones cónicas. El estudio por Apolonio de las cónicas. En el siglo III a.n.e. fue uno de los trabajos más notable de la geometría griega. Unos 2000 años más tarde, Galileo descubrió que un proyectil lanzado horizontalmente desde lo alto de una torre, cae a la tierra describiendo una trayectoria parabólica (si se prescindiera de la resistencia del aire y se supone que el movimiento tiene lugar sobre una parte de la superficie terrestre que se supone plana).

Uno de los momentos cumbres de la historia de la astronomía tiene lugar alrededor del año 1600, cuando el astrónomo Kepler sugiere que todos los planetas se mueven en órbitas elípticas. Ochenta años más tarde, Newton demostraba que la órbitas planetarias elípticas implican la Ley de la gravitación Universal. En la que la fuerza de atracción es proporcional al inverso del cuadrado de la distancia entre los cuerpos que se atraen. La teoría de la Gravitación Universal formulada por Newton se considera algunas veces, como el mayor descubrimiento científico que se ha realizado. Las secciones cónicas aparecen no solo en las órbitas de los planetas y satélites, sino también como trayectorias de partículas atómicas elementales. Estos ejemplos y muchos otros muestran la importancia de la teoría de las secciones cónicas que difícilmente es estimada en toda su importancia.

Kepler – Astronomo

Excentricidad de las cónicas

Una sección cónica puede definirse como una curva descrita por un punto que se mueve en un plano de manera que la razón de sus distancias a un punto fijo y a una recta fija es constante. Esta razón constante se llama excentricidad de la curva y se designa por la letra e. (No debe confundirse con la letra e de Euler.) La curva es una elipse si 0 < e < 1. Una parábola si e = 1, y una hipérbola si e < 1. El punto fijo se llama foco y la recta fija directriz.

Dados una recta L, un punto F no perteneciente a L y un número positivo e, designemos con d(X,L), la distancia de un punto X a L. El conjunto de todos los X que satisfacen la relación

lX – Fl = e d (X.L)………………