Consulta de Integrales

Integrales definidas

Cálculo de una integral definida:

Todo esto lo mostraremos de forma gráfica como sigue:

Teorema de la existencia de la integral definida

Reglas de cálculo de las integrales definidas:

• 1. Fórmula de Newton-Leibniz:

• 2. integración por partes:

• 3. Cambio de variable:

Donde es una función continua junto con su derivada en el segmento es una función continua en el segmento

Ejemplo:

En este caso hacemos un cambio de variable ya que el argumento de la función es aparentemente complejo, o sea:

Por lo que la integral nos quedará de la siguiente forma:

Propiedades principales de una integral definida

Posteriormente resolveremos el miembro derecho de la igualdad:

Por lo que queda demostrada la propiedad.

EJERCICIOS RESUELTOS (1)

• 1) Calcule las siguientes integrales:

Para el segundo integrando:

Ahora los límites de integración cambiarán de la siguiente manera:

Ahora aplicamos el método de integración por partes, donde:

El segundo integrando también procederemos por partes, o sea:

Aplicaciones de las integrales definidas:

Las integrales definidas son muy aplicables en las ciencias exactas, técnicas, económicas y naturales. En este caso trataremos de las aplicaciones que estarán relacionadas con las ingenierías, para ello es importante tener en cuenta los siguientes aspectos que a nuestro humilde juicio son importantes para la mejor asimilación de este tema:

Cálculo del área de una figura plana:

Generalmente es importante para cualquier ingeniero calcular las áreas de determinados planos, que a diferencia de lo conocido por nosotros en la geometría plana donde las figuras son regulares, casi siempre nos encontramos con figuras geométricamente irregulares por lo que nos sería muy difícil aplicar los métodos tradicionales para el cálculo del área, por ejemplo:

Si tuviésemos una parcela de tierra para un futuro cultivo cuya forma fuese regular, o sea:

En este caso como en otros es fácil determinar el área, pero en caso que la parcela sea con sus lados, o al menos uno de sus lados curvos. Es por ello que debemos tener en cuenta los siguientes aspectos.

Caso I

Caso II

Caso III

Caso IV

Caso V

Aplicaciones económicas de la integración

Extracción del petróleo de un pozo:

De igual manera sucede con los recursos forestales que el hombre explota en ocasiones sin tener en cuenta la reserva, siendo este uno de los grandes problemas existentes en el mundo actual, para estos casos:

Reserva de divisas de un país:

EJERCICIOS RESUELTOS (2)

En este caso, no quedará que:

Ahora aplicamos el método de sustitución de variables, o sea;

En otras palabras hay que evaluar las curvas en los puntos donde se cortan para saber cuál de ellas tiene mayor valor, esto significa que en el gráfico una estará por encima de la otra, o sea, el área de la figura plana es real (No Negativa), de aquí que:

Resolución

Este caso es parecido a los anteriores, con la diferencia que se trata de una recta y una curva por lo que igualaremos ambas funciones para saber dónde se cortan, o sea:

Resolución

Entonces nos quedará que:

Resolución

Este caso se puede resolver de la siguiente forma:

Derivamos la ecuación de la curva, o sea:

Ejercicios resueltos sobre aplicaciones de las integrales definidas

• 2A.1- El rendimiento de plantas de café con buenas condiciones de fructificación en un intervalo de tiempo normal de una cosecha se expresa por la siguiente ecuación, o función de densidad probabilística:

Resolución

En este caso procederemos teniendo en cuenta que el intervalo de tiempo es desde 4 hasta 15 años, o sea:

Aunque parezca un valor insólito este es el rendimiento por planta de café en 11 años con óptimas condiciones.

El rendimiento medio en este caso será:

Con óptimas condiciones el rendimiento medio será de 99,77 %.

• 2A.2- La densidad de probabilidad de una variable aleatoria que nos representa el tiempo expresado en años que demora en contaminarse determinada zona de cultivos que producto de la cercanía a una central nuclear, cuyas medidas de protección no se cumplen se ha comprobado que la misma se rige por la siguiente ley:

Resolución

En este ejercicio que es típico de una posible investigación sobre contaminación ambiental, por lo que le proponemos los siguientes pasos:

• 2A.3- Si la fuerza de Coriolis que actúa sobre un cuerpo de masa está dada por la siguiente ecuación

Resolución

Este es un caso típico de aplicación de las integrales definidas en uno de los fenómenos físicos más comunes existentes en nuestro planeta a gran escala, o sea, la existencia de un grupo de fenómenos relacionados con las fuerzas de Coriolis donde se ha comprobado que la rotación de la Tierra ejerce un efecto sobre los objetos que se mueven sobre su superficie que se llama "Efecto Coriolis". En el Hemisferio Norte este efecto curva su dirección de movimiento hacia la derecha y viceversa por lo que el efecto Coriolis curva la dirección inicial de los vientos que se mueven entre dos puntos de alta y baja presión desviándolos, en el Hemisferio Norte, hacia la derecha de su dirección de avance y en el Hemisferio Sur, hacia la izquierda. Por lo anteriormente analizado le proponemos aplicar el siguiente procedimiento:

Esta es la expresión de la velocidad para esta latitud geográfica

Para obtener la expresión del desplazamiento de un cuerpo que cae libremente en esta latitud es fácil, sólo hay que tener en cuenta que:

Y esta es la expresión que rige el desplazamiento del cuerpo en estas condiciones.

Resolución

Este ejercicio aparentemente es difícil, pero, si tenemos en cuenta las siguientes consideraciones desde el punto de vista físico es fácil percatarse de las siguientes condiciones de frontera o contorno.

La fuerza de atracción entre un planeta y el Sol o entre dos cuerpos en el espacio cósmico es central y conservativa, por lo que para que estos cuerpos se acerquen o sea alejen, la fuerza gravitacional realizará un trabajo que depende de las posiciones iniciales y finales de ambos cuerpos, o sea, en este caso variará la energía potencial del campo gravitatorio. Esto se puede expresar matemáticamente de la siguiente forma:

Integrales impropias

Conceptos básicos: Se llaman integrales impropias a aquellas que:

• 1. A las que tienen límites infinitos.

• 2. A las de las funciones infinitas.

Ejemplos:

Como este límite no existe. Por ende, la integral impropia diverge.

O sea, la integral impropia converge

Por lo que la integral impropia converge.

Por lo que la integral impropia diverge.

Por lo que la integral impropia converge.

Criterios de comparación: Al investigar la convergencia de integrales impropias se utilizaremos uno de los criterios de comparación:

Ejemplos:

Integrales en función de un parámetro. Derivación e integración bajo el signo de integral

Consideremos la siguiente integral:

Para derivar respecto al parámetro una integral impropia:

Ejemplos:

Posteriormente hallamos la derivada del integral respecto con respecto a o sea:

Luego derivamos respecto a una vez más, o sea:

Resolución:

En este caso lo primero que haremos es examinar la integral:

• XI-b)- Hallar:

Resolución:

En este caso procederemos como sigue:

Resolución:

En este caso procederemos como sigue:

Por consiguiente:

Función gamma

Se llama función gamma o Integral de Euler de segundo género a una integral que tiene la siguiente forma:

Propiedades de la función gamma:

A modo de conclusión

Ejemplos:

Resolución:

En este caso emplearemos otros recursos, ya conocidos, o sea:

Resolución:

En este caso utilizaremos la relación:

Función Beta

Se llama función beta o integral de Euler de primer género a la integral:

A las formas anteriores se reducen muchas integrales que se resuelven en problemas prácticos. Para calcular los valores de la función beta se utiliza la siguiente dependencia entre la función beta y la función gamma:

Entonces como:

Ejemplos:

Resolución:

En este caso procederemos como sigue, o sea:

Resolución:

En este caso procederemos como sigue:

• 1. Primero para mayor facilidad de trabajo, escribiremos la integral de la siguiente forma:

Entonces nos quedará que:

• XIII-c)- Demuestre que si:

Resolución:

En este caso aparentemente es difícil, pero, en realidad es todo lo contrario, para ello le proponemos la siguiente forma de resolución:

Aplicaciones en la física

El objetivo fundamental de el conocimiento de este tema es para una de las aplicaciones más importantes en la Física Moderna, específicamente en la Óptica Cuántica, cuando se estudia la radiación térmica, donde se pone de manifiesto una de las leyes más importantes no sólo de la Física, sino, también de la naturaleza la Ley de Conservación de la Energía y aunque nos parezca extraño es un aspecto importantísimo en la comprensión de las cuestiones referentes a la Física Nuclear, aspecto este de gran aplicación en la ciencia actual. Pero no pretendemos en este capítulo profundizar en el tema desde el punto de vista físico, nuestra intención es dar a conocer algunas de las aplicaciones más importantes referentes al tema y profundización de estos métodos matemáticos, por lo que resumiremos a continuación los siguientes aspectos:

EJERCICIOS RESUELTOS (3)

• 3.1- Hallar:

Resolución:

En este caso procederemos realizando los siguientes pasos:

Resolución:

Este inciso se refiere como hemos visto en ejemplos anteriores a un caso típico de la función gamma para una fracción negativa, por lo que procederemos de la siguiente forma:

Resolución:

Este inciso se refiere como hemos visto en ejemplos anteriores a un caso típico de la función gamma para una fracción positiva semientera, por lo que procederemos de la siguiente forma:

Resolución:

Este inciso se refiere como hemos visto en ejemplos anteriores a dos casos comunes de la función gamma para un número natural y uno real entero, por lo que procederemos de la siguiente forma:

• Para determinar aplicamos la 4ta propiedad de la función gamma, o sea:

• Luego determinamos aplicando la 6ta propiedad de la función gamma, de la siguiente forma:

• Ahora determinamos

Autor:

Profesor: Lic. Juan Carlos Chávez Turiño