Dinámica, movimiento rectilineo uniforme y variado, desplazamiento angular

– – – – Alexander Sarmiento DEFINICIÓN DE FÍSICA DEFINICIÓN DE FÍSICA Ciencia, fundamental en la comprensión de los fenómenos naturales de universo Griego ? “Physics” Observaciones experimentales Mediciones y cuantitativos Objetivo es desarrollar teorías físicas y leyes fundamentales En función o está el científico explica las propiedades de la Interacción ente materia y energía desde sus componentes básicos materia Desde esto se estudio Propiedades generales de cuerpos Transferencia de energía Fuerzas modificadores Interacción entre partículas 5

Física Alexander Sarmiento TIPOS DE FENÓMENOS TIPOS DE FENÓMENOS Físico Interacción ente materia y energía desde sus componentes básicos Químico Cambian las substancias de los cuerpos y permanecen desde de la causa que los produce y son irreversibles Fisiológico Se da solo en ejes orgánicos y se da mediante a la acción de fenómenos físicos y químicos Mecánica.- Reposo y movimiento de los cuerpos Ondas.- Perturbaciones periódicas de energía Termodinámica.- Calor y sus transformaciones FÍSICA CLÁSICA FÍSICA MODERNA APLICACIONES DE LA FÍSICA Electromagnetismo.- Relación entre fenómenos eléctricos y magnéticos. Óptica.- Comportamiento de la luz Física cuántica.- Teorías y fenómenos del átomo Física atómica.- Estudia el comportamiento de átomo Física nuclear.- Núcleos atómicos, especialmente radioactivos Relatividad.- Comportamiento de los cuerpos a velocidad de luz. Astrofísica.- Naturaleza y estructura de los cuerpos celestes. Geofísica.- Fenómenos relacionados con la estructura y condiciones de la Tierra. Biofísica.- Fundamentos de la vida en base a leyes físicas. Física y Química.- Interacciones entre átomos y moléculas desde el punto, física y química. 6

Alexander Sarmiento MAGNITUD Por su origen Por su naturaleza Fundamentos Derivadas Escalares vectoriales No se expresan Se expresan Posee Posee: en términos de estas magnitudes. Se usan para expresar otras. mediante la combinación de magnitudes fundamentales y otras derivadas módulo No posee dirección No posee sentido Módulo Dirección (ángulo) Sentido (flecha) SISTEMA INTERNACIONAL (SI) En 1960 científicos de todo el mundo decidieron y llegaron a la necesidad de plantear a todo el mundo un solo sistema de unidades. Magnitud Longitud Unidad Metro – – Masa Tiempo Temperatura Cantidad de sustancia Intensidad luminoso Intensidad de – – Kilogramo Segundo Kelvin Mol Candela Amperio corriente 7

Alexander Sarmiento SISTEMA DE MEDIDAS CGS Gravitacional o técnico Inglés Cegesimal se basa en: Sus unidades Es utilizado en Centímetro Gramo Segundo fundamentales son: Longitud el metro Fuerza el kilopondio Tiempo es segundo anglosajones: Longitud el pie (ft) Fuerza es libra – peso Tiempo es segundo SI CGS TÉCNICO INGLÉS LONGITUD MASA TIEMPO Metro (m) Kilogramo (Kg) Segundo (s) Centímetro (cm) Gramo (g) Segundo (s) Metro (m) Unidad técnica de masa (utm) Segundo (s) Pie (ft) Slug Segundo (s) 8

s Alexander Sarmiento FÍSICA SISTEMA INTERNACIONAL (S.I) Magnitud Longitud Masa Tiempo Temperatura Unidad Metro Kilogramo Segundo Kelvin m Kg ºK Símbolo L M T ? Dimensión ANÁLISIS DIMENSIONAL Nos permite saber cómo se relacionan las magnitudes derivadas con las fundamentales, además nos permite verificar si una fórmula física es correcta o no mediante el principio de homogeneidad dimensional. ECUACIONES DIMENSIONALES Son expresiones matemáticas que nos permiten colocar las magnitudes derivadas en función de las fundamentales a través de procesos algebraicos excepto la suma y la resta. PROPIEDADES 1. Principio de homogeneidad dimensional o principio de FOURIER Nos indica que cada uno de los términos (monomios) de una ecuación serán iguales dimensionales. En la práctica debemos cambiar los signos de suma o resta de una ecuación por el igual. 2. Términos adimensionales 9

2 2 2 Alexander Sarmiento Los ángulos, los números, las KSTES numéricas, los logaritmos, las funciones trigonométricas son considerados términos sin dimensión por lo que se asume que su dimensión es igual a la unidad siempre que sean cocientes o coeficientes, caso contrario se conserva su valor. 3. Suma o resta No se cumple la suma o resta algebraica. ?L? ? ?L? ? ?L? ?M ? ? X ? ?M ? 4. Todas las ecuaciones dimensionales deben expresarse como productos y no como cocientes ML T MLT 2 EJERCICIOS F ? G m1m 2 r 2 Determinar las dimensiones de G F= Fuerza MLT 2 ? ML3T ? 2 M 2 ?G ?M .M L ? ?G ? G= Konstante m1, m2 = masa r= distancia. ?G ? ? M ?1 L3T ? 2 m1 m2 ? M r ? L 10 F ? Kg m s ? MLT 2

P ? D V ? ?1 ?2 1 x ?1 y F Kgm A m s P ? 2 s 2 m ? F Kg m A m s Alexander Sarmiento Determinar el valor de x y y 1 x y 3 ML T ? M .L?3 3 ? ?LT ? P ? Pr esión D ? Densidad V ? Velocidad ML?1T ?2 M x L?3 x Ly T ? y ML?1T ?2 M x L?3 x Ly T ? y ? 2 2 ? ML?1T ? 2 M ? M x X ? 1 T -2 ? T ? y Y ? 2 D ? V ? m V m s ? M .L?3 ? L.T ?1 Determinar ?X ? at 2 ? 3e?m ? x?4 como no hay datos M ? ?X ? Determinar Ax A B E ? AV 2 BP E ? AV 2 ? BP AV ? BP E= Energía V= Velocidad P= Presión A?LT '? ? B?ML?1T ? 2 ? A ML?1T 2 B LT ?1 E ? Kg V ? LT ?1 m ? ML2T ?2 A B ? ML? 2T ?1 P ? ? 2 2 ? ML?1T ?2 11

Alexander Sarmiento CIFRAS SIGNIFICATIVAS Cifras concretas.- Son aquellas que resultan de la medición directa de las marcas del instrumento de medida. Cifras estimadas.- También son llamadas cifras dudosas, aproximadas o inciertas y se obtienen de la aproximación razonable de una fracción de la división, más pequeña de instrumento. Tolerancia (?) 103 ? 0,7 (102,3) (103.7) Las cifras significativas están conformadas por las cifras estimadas y concretas. Reglas para determinar el número de cifras significativas a. Todo dígito diferente de cero es una cifra significativa 456, 728 6 CS b. Si el cero o los ceros aparecen entre 2 dígitos distintos de cero se les considera como cifra significativa 9 000 56, 768 560.0789 9 CS 7 CS c. Si el cero o los ceros aparecen para indicar la posición decimal de un número mayor o igual a la unidad se le considera como cifras significativas. 56 000 Km 1.00 Kg 5 CS 3 CS 12

cifras a Alexander Sarmiento d. Si el cero o lo ceros aparecen para indicar posición decimal en un número menor que la unidad no se la considera cifra significativa. 0.034 0.009 2 CS 1 CS e. Si el cero o los ceros aparecen a la derecha de la posición decimal después de dígitos distintos de cero en un número menor que la unidad se los considera significativas. 0.340 0.009000 3 CS 4 CS f. Si el cero o los ceros aparecen después de dígitos distintos de cero en un número mayor que la unidad a veces se los considera como cifras significativas. 340 50 000 2o3 1o5 REGLA DE REDONDEO Para poder aplicar el redondeo en ciertas cantidades solamente se lo puede hacer en la parte decimal. 1. Regla Si el dígito o los dígitos decimales a eliminar son mayores o iguales a 5.500,50, etc. la cifra que le antecede aumenta en 1. Ejemplo Redondear Redondear 456,1 8,00 456.0557 ? a 7,999 ? 13 4 CS 2 CS

Alexander Sarmiento 2. Regla Si el dígito o los dígitos a eliminar son menores a 5, 50, 300, etc. La cifra que le antecede queda igual. Redondear 789,0477 ? 4 CS 788,0 Redondear 789,047 ? a 1 CS 789 ? 7,89 x 102 ? 8 x 102 TEORÍA DE LOS ERRORES 1. Cuando realizamos un experimento y medimos varias veces una misma magnitud no obtenemos un mismo resultado, esto se debe no solo a las condiciones físicas de la medida sino a la temperatura, presión y humedad. 2. También se deben los errores cometidos por el observador 3. Las medidas realizadas no son totalmente confiables muchas veces se limitan a la exactitud y la precisión. La magnitud a medida que se obtiene de un aparato o instrumento se llaman DIRECTA y las que se obtienen de una formula se llaman INDIRECTA. Ejemplo V ? IR A V ? 110V R ? 1? I ? ? I ? I ? V R 110V 1? I ? 110 A 14 I ? 110 ? 0,6 A I1 ? 109.1A I1 ? 110,6

ó ? ? ? Alexander Sarmiento Toda medida debe estar formada por el valor estimado, el valor de la medida y la unidad de medida usada. Medida= (Valor estimado ? error) ? CONVERSIÓN DE UNIDADES Un factor de conversión es una fracción cuyo numerador y denominador son la misma cantidad expresada en diferentes unidades. Ejemplo 2,54 y 1 in ya que no una pulgada es 2, 54 cm. Esta relación nos permite escribir 2 factores de conversión. 2,54cm 1in 1 in 2,54 cm Ejemplo Convertir 23,50 cm a in. 23,5cm 1in 2,54cm ? 9,251 in ? 9,3 in Convertir 3 toneladas 3 Tm 1000 Kg 1 Tm 6.85 ? 10 2 slug 1 Kg ? 205,5 slug Convertir 78 unidades técnicas de masa a toneladas 78 utm 9,81 Kg 1Tm 1 utm 1000Kg ? 0.76tm // 15

b c c s Alexander Sarmiento VECTORES Se lo representa con un segmento dirigido a la recta, la magnitud y la dirección de vector están representadas por la longitud y la dirección respectivamente del segmento dirigido de la recta. Resolución de triángulos rectángulos Un triángulo rectángulo es una figura formada por 3 segmentos que unen 3 puntos no colÍneales y uno de sus ángulos no interiores mide 90º y los otros 2 ángulos son complementarios. Funciones trigonométricas Sen? ? Cos? ? a c c 2 ? b 2 ? a 2 Ejemplos Hallar b y c tg? ? b a Cos 30º ? Sen 30 ? b 5,77 c ? 5 3 2 b ? 1 2 5.77 c ? 10 3 3 b ? 2,88m // c ? 5,77m 16

Alexander Sarmiento SISTEMA DE COORDENADAS Y MARCOS DE REFERENCIA Está formado por 2 ejes perpendiculares entre si, es decir forman 4 ángulos rectos, su punto de intersección se denomina origen de coordenadas y es designado por la letra O, el eje horizontal se llama eje de las abscisas y el eje vertical se llama eje de las coordenadas. La posición de un punto en el plano xy es la intersección de la abscisa x y la ordenada y. A este punto se la denomina coordenadas rectangulares. COORDENADAS RECTANGULARES Grafique los siguientes puntos A= (3, 4) B= (-2, 5) C=(-4, -3) D= (6, -5) 17

Alexander Sarmiento COORDENADAS POLARES Están formados por un eje de referencia x llamado eje polar que en un punto cualquiera de este se encuentra el eje de coordenadas (0) llamado origen o polo. r es el radio vector y representa al modulo de la coordenada, es decir la distancia positiva desde el origen hasta el punto final de la coordenada. T es el ángulo polar y corresponde a la medida del ángulo formado entre el eje polar y el radio vector en sentido anti horario. Ejemplos Grafique las siguientes coordenadas A ? ?3m,40º ? B ? ?2,150º ? 2 vectores son iguales si tienen igual magnitud y dirección esto implica que un vector puede ser trasladado siempre que se conserve su magnitud y dirección. 18

Alexander Sarmiento Transporte de vectores libres al plano Coordenadas geográficas Están formadas por 2 ejes perpendiculares entre si, el punto de intersección divide al plano en 4 puntos en el plano, queda determinado por un par ordenado (r, rumbo) r es la distancia o módulo y el rumbo representa la dirección. Para representar rumbo, primero se menciona la palabra Norte o Sur y luego el ángulo agudo y finalmente la posición Este u Oeste. Ejemplo Representar las siguientes coordenadas geográficas a. A= (150 ?; N 20º O) b. B= (100 ?; 560º E) c. C= (150?; O) d. D=(150?; 50) 19

? ? ? ? Alexander Sarmiento Componentes vectoriales de un vector Existe un número infinito de descomponer un vector en 2 o tres etc. vectores cualquiera sin embargo solo existe una forma de descomponer un vector A en 2 vectores de modo que el uno sea paralelo al eje x y el otro paralelo al eje, a estos 2 vectores se los llama componentes vectoriales rectangulares de vector A o simplemente componentes vectoriales que se denotaran Ax y Ay y se obtendrán al proyectar el vector sobre los ejes Ax, Ay. Cos? ? Ax A Sen? ? Ay A tg? ? Ay Ax Ax ? ACos? Ay ? ASen? A 2 ? Ax 2 ? Ay 2 Nota: La magnitud de un vector es siempre positiva pero sus componentes Ax y Ay pueden ser positivos o negativos o cero. EXPRESIÓN DE UN VECTOR A TÉRMINOS DE LOS VECTORES UNITARIOS Las direcciones positivas de los ejes x, y están definidos por los vectores unitarios ?i , j ? . Los vectores ?i , j ? siempre son menores que 1 ? ? A ? Axi ? Ayj 20

Ax Ay 2 2 2 2 2 ? ? ? ? ? ó Alexander Sarmiento COSENOS DIRECTORES Los cosenos o ángulos directores son aquellos que forma el vector con los ejes positivos x,y de sistema de coordenadas rectangulares y varían entre 0 y 180º; los ángulos directores en el plano son a, es el vector que se forma con el eje positivo (x) y ß es el que se forma con el eje positivo (y). ? ?x ? ? ? y ? Cos? ? A (1) Ax ? A.Cos? Cos? ? A (2) Ay ? A.Cos? (3) A ? Ax ? Ay 1, 2 en (3) A2 ? ?A.Cos? ? ? ?A.Cos? ? A2 ? A2 .Cos 2? ? A2 Cos 2 ? 1 ? Cos 2? ? Cos 2 ? El Unitario El vector unitario es igual al vector en sus vectores base dividido a su modelo ? A ? ?Axi ? Ayj ? A ? A ? ? ? Axi Ayj A A ? ? ? ? A ? Cos?i ? Cos?j VECTORES EN EL ESPACIO En el espacio son válidos todos los conceptos vistos para vectores en el plano, cambia la forma de indicar la dirección se aumenta una componente y se añade el vector unitario que da la dirección del vector A en el eje positivo Z. 21

AQ A2 ? ? Alexander Sarmiento Cos? ? Ay A xy ? xz OA ? AQ Sen? ? Ax OQ Ay ? A.Cos? Sen? ? A OQ ? A.Sen? Cos? ? OQ A2 ? OQ Cos.Q A2 ? A.Sen?.Cos? ? ? ? ? Aj ? Axi ? Ayj ? A2k 22 Ax ? Sen? .OQ Ax ? A.Sen?.Sen?

2 2 2 ? ? ? ? ? i ? j ? ? a b c Alexander Sarmiento También se puede indicar la dirección de un vector en el espacio con los ángulos a,ß,d en forma que el vector tendrá en los ejes x positivo, y positivo y z negativo, estos ángulos se los denomina ángulos directores. Cos? ? Ax A Cos? ? Ay A Cos? ? Az A Ax ? A.Cos? Ay ? A.Cos? Az ? A.Cos? A ? Ax 2 ? Ay 2 ? Az 2 A 2 ? Ax 2 ? Ay 2 ? Az 2 A 2 ? ?A.Cos? ? ? ?A.Cos? ? ? ?A.Cos? ? ? A ? ? A ? ? A ? ? A A ? ? ? ? x i Ay j AZ k A A A A.Cos? ? A.Cos? ? A.Cos? ? k A A A ? ? ? u A ? Cos?i ? Cos?j ? Cos?k TEOREMA DE SENOS ? ? SenA SenB SenC El teorema de senos dice que los lados de un triangulo no rectángulo son proporcionales con los senos de sus ángulos opuestos. 23

? ? ? ? 2 2 4 2 Alexander Sarmiento TEOREMA DE COSENOS a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc.CosA b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac.CosB c 2 ? a ? b 2 ? 2ab.CosC EJERCICIOS Encontrar los lados a y c mediante el teorema de senos y cosenos SenC SenB C b Sen 45 Sen 71 c 71 a SenA b SenB a Sen 64 71 Sen 71 c ? 0.707?71? 0.945 a ? 71?Sen 64? Sen 71 c ? 53.1 a ? 67,5 c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab.Cos.c c 2 ? ?67.5? ? ?71? ? 2?67.5??71?Cos 45 c ? 53.1 Si el Cos ? ? y el vector forma un ángulo de 45º con el eje y. determinar: a. Los cosenos directores b. Si el módulo de vector es de 5u. encontrar el vector en función de los unitarios normalizados. 24

4 2 ? ? ? ? 2 ? Cos ? ? 1 ? ? ? 2 2 ? ? A i ? ? ? j ? k ? ? 2 ? 1 ? 2 ? ? 2 ? ? 4 j ? k ? ? 2 ? ? ? A ? ? ? ? ? Alexander Sarmiento Datos Cos ? ? ? ? ? 69.29º ? ? 45º a) ? , ? , ? ? ? ? ? ? ? b) A ? Axi ? Ayj ? Azk a. 1 ? cos ? ? Cos 2 ? ? Cos 2? b. ? ? ? ? A ? Cos?i ? Cos?j ? Cos?k Cos 2? ? 1 ? Cos 2? ? Cos 2 ? 2 ? 2 ? ? 4 ? ? Cos ?45? Cos ? ? 1 ? ? ? ? 16 ? 2 ? ? ? 2 ? ? 4 ? A ? A? A A ? 5? i ? ? 2 ? 2 2 ? 2 16 ? ? 4 ? 16 ? ? 4 ? Cos 2? ? 1 ? 2 1 16 2 ? ? 5 2 ? 5 2 ? 5 16 ? ? ? 4 i ? 2 j ? 4 k ? Cos 2? ? Cos 2? ? Cos 2? ? 16 ? 2 ? 8 16 6 16 6 4 25

? ? ? 2 2 2 2 2 2 ? ? ? 2 ? b. c. ? ? ? 1 2 ? 1 ? Alexander Sarmiento ? Dado el siguiente vector en el espacio A ? ? ? ? 3ai ? 2aj ? 3ak . Determinar a. Los cosenos directores b. El vector unitario paralelo al vector proyección en el plano xz c. El ángulo que forma el vector con su proyección en el eje y Datos ? ? ? ? A ? 3ai ? 2aj ? 3ak a. Cos? ? ? Cos? ? ? Cos? ? ? ? AXZ ? ? ? ? y a. A ? Ax ? Ay ? Az A 2 ? ? 3a ? ? ?2a ? ? ?? 3a ? A ? 3a 2 ? 4a 2 ? 9a 2 A ? 16a 2 A ? 4a Cos? ? Cos? ? Cos? ? Ax 3 A 4 Ay 1 A 2 Az ? 3 A 4 ? b. Axz ? ? Axz ? ? Axz ? ? 3ai? ? 3ak?? ? Axz Axz ? ? 3ai 3ak 2a 3 2a 3 Axz ? Ax 2 ? Az 2 Axz ? 3a 2 ? 9a 2 Axz ? 12a 2 c. Cos? ? ? ? 60 ? Axz ? i ? 2 3 ? k 2 Axz ? 2a 3 26

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? Alexander Sarmiento SUMA Y RESTA VECTORIAL Suma de vectores Método paralelogramo.- La resultante de 2 vectores cuyas direcciones forman un ángulo que se presentan con un vector cuya dirección es la diagonal de paralelogramo formado por los vectores dados cuyo origen coincide con el punto de ambos. Método analítico.- Cuando los vectores se encuentran expresados en función de sus vectores base. ? ? ? ? A ? Axi ? Ayj ? Azk ? ? ? ? B ? Bxi ? Byj ? Bzk A ? B ? ?Ax ? Bx ?i ? ?Ax ? Bx ? j ? ?Ax ? Bx ?k Resta de vectores ? ? ? Para restar el vector B del vector A basta con sumar geométricamente el vector A con el ? opuesto al B (todos sus signos cambiados) es decir: ? ? ? ? A ? B ? A ? ? B A ? B ? ?Ax ? Bx ?i ? ?Ay ? By ? j ?? ? ?Az ? Bz ?k EJERCICIOS Hallar el vector resultante de 2 vectores Fuerza de 2kp y 3kp aplicados en un punto O y formando un ángulo de: a. 90º b. 60º C ? A 2 ? B 2 C ? ?4?2 ? ?3?2 C ? 5kp Cos? ? Cos? ? A C 4 5 ? ? 36.9º 27

? b x Sen? ? 2 2 ? Alexander Sarmiento C ? ?5kp;36.9º ? Datos ? A ? 4kp ? B ? 3kp ? C ? ? ? SenB SenC 3?Sen120º ? 6,08 ? ? 25.19º c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab.CosC c 2 ? ?4? ? ?3? ? 2?4??3?Cos120 c 2 ? 16k `p 2 ? 9kp2 ? 24kp2 Cos 120 c 2 ? 37kp c ? 6.08kp c ? ?6.08Kp;25.29º ? 28

? x ? 2 2 ? ? Alexander Sarmiento Hallar el ángulo que deben formar 2 vectores de igual módulo para que su resultantes sea la mitad del valor de uno de ellos. Datos ? ? ? A ? B ? X c 2 ? A 2 ? B 2 ? 2 AB.Cos? 2 ? ? ? ?x ? ? ?x ? ? 2?x ??x ?Cos? ? 2 ? C ? A B X 2 2 2 x 2 4 ? 2 x 2 ? ?2 x 2 Cos? ? 7 x 2 4 ? ?2 x 2 .Cos? 7 x 2 4.2 x 2 ? Cos? Cos? ? 7 8 ? ? 29º Dos vectores forman entre si un ángulo de 53º uno de ellos es de 75u y su resultante es de 300u. Hallar la magnitud del otro vector y la dirección resultante. Datos ? ? 53º A ? 75u B ? ? C ? 300u 29

c a ? 2 2 Alexander Sarmiento ? Sen C Sen A 300 75 Sen 127 Sen? Sen? ?300? ? 75.Sen127 Sen? ? 75.Sen127 300 Sen? ? 0,199 ? ? 11,52º ? ? 180 ? 11.52º ?127 ? ? 41.48º B 2 ? C 2 ? A2 ? 2 AC.Cos? B 2 ? ?300u ? ? ?75u ? ? 2?300??75?Cos?41.48? B 2 ? 90000u 2 ? 5625u 2 ? 45000?0.749? B 2 ? 61920 B ? 248.83u 30

? ? ? ? 2 2 ? ? ?20i ??34,64 j ?Km ? ? ? ? ? Alexander Sarmiento Un excursionista inicia un viaje caminando primero 25 km SE desde su base. Al segundo día camina 40 km. En una dirección N30° E en cuyo punto descubre la torre de guardabosque. Determinar: a. Establezca las componentes del establecimiento del excursionista en el primero y segundo día. b. Establezca las componentes de desplazamiento total de excursionista para el viaje. c. Determine la magnitud y dirección del desplazamiento desde la base Datos A ? ?25Km; SE ? B ? ?40Km : M 30º E ? a. A ? ?Ax, Ay ? B ? ?Bx, By ? ? b. C ? ? a.) Ax ? A.Cos? Ax ? 25Km?Cos 45? Ax ? 17,68 Ay ? A Sen? Ay ? ?17,68Km c. ?c,? ? b.) Bx ? B.Cos? Bx ? 40km.Cos60º Bx ? 20º By ? B.Sen ? By ? 40Km.Sen60º By ? 34.64 c.) C ? Cx ? Cy C ? 37,68 2 ? 16,69 2 C ? 41,32Km ? A ? ? ? B ? ? ? A ? B ? 17.68i ? 17,68 j ?Km ?37,68i ? 16,69 j ?Km Cos ? º ? Cos ? º ? Cx X 37.68 41.2 ? ? 24.22º C ? ?41,32Km;24,22º ? 31

? ? ? ? ?? 164.?54i ? 95 j ?Km ? ? ? Alexander Sarmiento Un avión vuela desde su campamento base hasta el lago A a una distancia de 280 Km en dirección N 70º E después de dejar caer provisiones vuela hacia el lago B ubicado a 190 Km N 60º O de lago A. Determine gráficamente la distancia y a la dirección del lago B al campamento base. Datos A ? ?280Km; N 70º E ? B ? ?190Km; N 60º O ? Ax ? A.Cos?1 Ax ? 280.Km.Cos 20? Ax ? 263,11Km Bx ? A.Cos? 2 Bx ? 190.Km.Cos150 ? Bx ? 164.54Km Ay ? ASen?1 Ay ? 280.Km.Sen 20 ? Ay ? 95.77 Km By ? ASen?1 By ? 190.Km.S en150 ? By ? 95.Km ? A ? ? B ? ? ? A ? B ? ?263,11i ? 95.77 j ?Km ?98,57i ? 190,77 j ?Km 32 C ? Cx 2 ? Cy 2 C ? ?98,57?2 ? ?190,77?2 C ? 214.73Km Cy tg?1 ? Cx 190,77 Km tg? 2 ? 98,57 Km ? 3 ? 62.67 ? //

? ? ? ? ? ?200i ??0 j ?ft ? ?116,91i? ? 67,5 j ??ft j ?103,42i? ? 86,78 ? ?ft ? ? ? ? Alexander Sarmiento Una montaña rusa se mueve 200 ft horizontalmente en el eje positivo de los x y después viaja 135,77 en un ángulo de 30º sobre la horizontal. Luego recorre 135 ft. En un ángulo de 40º debajo de la horizontal. ¿Cuál es su desplazamiento desde su punto de partida?. Utilice técnicas gráficas. Datos A ? ?200 ft ;0º ? B ? ?135 ft ;30º ? C ? ?135 ft ;320º ? B ? Bx; By A ? Ax; Ay A ? ?200 ft ;0 ft ? Bx ? B.Cos30º Bx ? 135 ft ? Cos 30º Bx ? 116,91 ft C ? Cx; Cy Cx ? C.Cos320º Cx ? 135 ft ? Cos 320º Cx ? 103,42 ft By ? B.Sen30º By ? 135 ft ? Sen 30º By ? 67,5 ft Cy ? C.Sen320º Cy ? 135 ft ? Sen 320º Cy ? ?86.78 ft ? A ? B ? C ? D ?400,33i ? 19,28 j ?ft D ? Dx 2 ? Dy 2 D ? ?420.33?2 ? ?? 19.28?2 D´? 420.77 tg? ? tg?1 ? Dy Dx ? 19.28 420.33 ?1 ? ?2.63? ?1 ? 357.37 ? 33

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?0i ??75 j ?? ?250i ??0 j ? ? j ?108,25i? ? 62,5 ? ? ? ? ? ? ? ? C B D A ? ? ? ? ? ? ? ? Alexander Sarmiento Al explorar una cueva una arqueóloga aficionada comienza en la entrada y recorre las siguientes distancias. Se desplaza 75 mts al Norte, 250 mts al Este, 125 mts en un ángulo de N60ºE y 150 mts al Sur. Encuentre el desplazamiento resultante. Datos A ? ?75m;90º ? B ? ?250m;0º ? C ? ?125m;30º ? ? D ? ? ? ? ? A ? Axi ; Ayj A ? ?0i ;75 j ?m C ? ?Cxi ; Cyj ? Cx ? C.Sen60º Cx ? 125m.Sen60º B ? ?Bxi ; Byj ? B ? ?250i ;0 j ? Cy ? C.Cos60º Cy ? 125m.Cos60º Cy ? 62.5m Cx ? 108,25m C ? ?108,25i ;62,5 j ?m ?358,25i ? 12.5 j ?m D ? ?Dxi ; Dyj ? D ?0i ;?150 j ?m Ey tg? ? Ex ? 12.5 tg?1 ? 358.25 ?1 ? ?1.99 ? ?1 ? 358? 34 E ? ?358,25?2 ? ?? 12.5?2 E ? 358.46m