Area de los polígonos regulares

An = kn a2 vs A= pa/2

Hace dos años publiqué por este mismo medio la monografía titulada: Area de los Polígonos – Enfoque para el Cálculo. En la primera parte analizo la fórmula conocida del polígono regular A=pa/2 (perímetro por apotema entre dos); al considerar que la última fórmula posee fallas en su estructura, concluyo que tal fórmula es inválida y deduzco una fórmula correcta para el cálculo. En la segunda parte planteo una fórmula general para el área de cualquier polígono; deduzco directamente las fórmulas más conocidas para el cálculo de áreas de polígonos de cuatro y de tres lados y, en forma indirecta, la del polígono regular que considero correcta.

Antes de su publicación había enviado el material a consulta de especialistas en la Academia de las Ciencias Físicas y Matemáticas, Ministerio de Educación, Centro Nacional para el Mejoramiento de la Enseñanza de Las Ciencias e Instituto Pedagógico de Caracas. Después de su publicación lo envié, vía Internet, a una veintena de universidades e institutos de investigación. He recibído pocos comentarios y, en vez de éstos, recibí invitación para participar el XIV Encuentro de Geometría y sus Aplicaciones que se celebró en junio de 2003 en Bogotá, de parte de la Universidad Pedagógica Nacional de Colombia.

Los pocos comentarios se han referido a mi aseveración de la invalidez de la fórmula tradicional para el cálculo de áreas de polígonos regulares. Los comentarios acerca de la formula general para el cálculo del área de cualquier polígono han sido, prácticamente, nulos; lo que considero lamentable, ya que la propuesta de esta fórmula es lo más importante, puesto que no existía, o si existía no era del dominio general.

Los mencionados comentarios coinciden en que la fórmula: An =Kna2 que propuse para el cálculo del área del polígono regular de n lados es correcta (aquí utilizo a para la apotema y no ap utilizado en la monografía citada), como también coinciden en que es incorrecto decir que la fórmula criticada es inválida, aunque se presenten variables interdependientes como si fueran dependientes. Por más que he argumentado, con razonamientos que se desprenden del sentido común y de la óptica del educador en matemática, sólo he logrado mayor énfasis en responderme que estoy equivocado, con razonamientos que también considero de sentido común y de la óptica del investigador o experto.

Como no he podido estructurar una demostración formal que verifique mi afirmación, o hipótesis; como tampoco he recibido otra formal que la niegue; y como la carga de la prueba me corresponde: a falta de la demostración formal, me parece prudente aceptar la sugerencia de Ignacio Barradas (del CIMAT de Guanajuato) en el sentido de considerar que la fórmula criticada no es la mejor opción didactica para la enseñanza del cálculo de áreas de polígonos regulares, en vez de asegurar que es inválida. Sugerencia que tiene mucho valor dado que mi intención básica es el mejoramiento de la enseñanza y no la investigación matemática.

En ese sentido expondré y comentaré algunos de los argumentos explanados, ante mis interlocutores, a objeto de dar a conocer las ventajas que ofrece la fórmula An =Kna2 frente a la tradicional y, a la vez, motivar su incorporación a los planes de estudio.

Todo lo que sigue no es más que la opinión de un educador que, atendiendo a dificultades en el proceso enseñanza-aprendizaje, ha propuesto una fórmula diferente para el cálculo de áres de polígonos regulares.

Atte,

Gustavo Yanes Yanes

ASPECTOS IMPORTANTES EN LAS FÓRMULAS MATEMÁTICAS.

La Matemática es, por excelencia, una ciencia auxiliar que pretende facilitar en vez de complicar; esto último sin menoscabo de su condición de ciencia formal. La fórmula matemática es una herramienta para uso de quien la requiera y no sólo de los matemáticos, ya que estos últimos no tendrán problemas en deducir, estructurar o diseñar, sus propias fórmulas; cada fórmula indica un procedimiento útil, para lograr el objetivo deseado, que es seguido minuciosamente por el usuario.

En razón de lo anterior, y en ausencia de una norma que regule el diseño, me atrevo a sugerir que toda fórmula matemática debe atender a los siguientes criterios:

Elemental, Pertinente.
Económica, Concisa.
Directa.
Propia.
Precisa.
Deducible, Demostrable.

Elemental, Pertinente: La fórmula debe estar basada sólo en elementos del objeto de estudio. Sólo los "adivinadores" atentan contra este aspecto; ya que incorporar variables extrañas y luego eliminarlas persigue confundir y ocultar el truco.

Económica, Concisa. La cantidad de elementos que intervienen en la fórmula debe ser la menor posible que conduzca al resultado esperado; los necesarios y los suficientes. Una fórmula económica limita las posibilidades de error en los casos de que se requieran mediciones. No deben poseer elementos innecesarios ni pecar por omisión. Conviene tomar las que se basen en los elementos y características que definen, en forma inequívoca, al objeto para el que diseñó la fórmula e indiquen en función de que elemento, o elementos, está definida la variable a calcular. Si esto último no está explícito, conviene agregarlo.

Directa: Lleva al resultado sin rodeos; facilita, no dificulta. Si una variable interviniente es función de otra, deberá estar escrita en función de la última. No debe existir posibilidad de que sea necesaria la aplicación de una fórmula aparte antes de aplicar la que se diseña. Como la fórmula es una función, conviene utilizar la composición de funciones en el diseño, o rediseño.

Propia: Atiende sólo a objetos con las mismas características. Toda fórmula, mientras más amplia sea toma en cuenta menos características. Mientras que las fórmulas particulares toman en cuenta más características y todos los elementos de la fórmula amplia de que se deduce están intrínsecamente contenidos en ella. El uso de fórmulas particulartes contribuye a fijar el concepto del objeto de estudio.

Precisa: No permite el suministro de datos fuera de contexto. La fórmula debe contener información para que los datos se proporcionen adecuadamente. La Matemática, por su condición de ciencia formal, no requiere de objetos reales; por lo que se suelen plantear situaciones proporcionando datos en forma teórica. Esto es lo normal en el proceso de enseñanza-aprendizaje en cualquier nivel o modalidad de la educación.

Una fórmula bien estructurada permite dar cualquier dimensión para las variables independientes sin preocuparnos del contexto, salvo para unos pocos casos (si existieran). Si en su enunciado, la fórmula deja abierta la posiblidad de que se suministren datos fuera de contexto, debe ser acompañada con las restricciones pertinentes del caso.

Deducible, Demostrable. Se desprende de una verdad considerada válida. Esto es necesario en el proceso enseñanza-aprendizaje. La demostración convence y contribuye a una mejor comprensión del objeto que se trata. En lo posible, se demostrará la equivalencia de fórmulas que para la misma variable dependiente se estructuren con elementos diferentes.

El seguimiento de los aspectos anteriores evita la proliferación de fórmulas poco útiles; facilita el suministro de datos teóricos correctos y evita que el usuario, a partir de la fórmula, llegue a conclusiones erróneas.

Ilustraré lo anterior con algunos ejemplos en Geometría, aunque considero viables la aplicación a cualquier otra fórmula matemática:

Supongamos que para el cálculo del área del cuadrado se presenta la siguiente estructura:

Donde l es el lado, d la diagonal, p el perímetro y a la apotema.

Por supuesto que el valor resultante, al sustituir cada variable por las dimensiones correspondientes, será el área del cuadrado dado.

Salta a la vista la existencia de variables innecesarias, puesto que en función de cada una de ellas existe una fórmula particular directa. Si se propusiera un ejercicio de cálculo, antes de terminar de dar la longitud de la diagonal es posible calcular el área en función del lado. Por otra parte, para proporcionar los datos deberán calcularse previamente las dimansiones de los elementos a partir de uno dado, para no cometer errores; si se dispone del objeto real y se requiere de mediciones, es obvio que la posibilidad de cometer errores se incrementa.

De la expresión anterior, con una simple sustitución de variables, podemos obtener las fórmulas del área del cuadrado:

En función del lado l: A = l2

En función de la diagonal d: A = d2/2

En función del perímetro p: A = p2/16

En función de la apotem a: A = 4 a2

He tomado un ejemplo exagerado para dar mayor claridad al asunto.

Observemos, ahora, una de las fórmulas propuestas por mí en la publicación citada anteriormente:

Area del polígono regular en función del lado l:

An= n2l2/4 kn siendo n el número de lados y kn la constante correspondiente..

En el caso específico del cuadrado pierde utilidad dado que en forma explícita contiene una de sus fórmulas particulares; por lo que el número de lados y el denominador de la fracción están sobrando. El lado es suficiente y lo demás innecesario. Aún sin tener en forma explícita una de las fórmulas particulares: cualquier fórmula para el del cuadrado diferente a las de arriba, donde intervenga alguno de los elementos citados, sería inútil.

En el caso del área del rectángulo: A=l.a, obviando el particular del cuadrado, si se enunciara: "Calcular el área del rectángulo…" y se dieran el largo y el ancho de un rectángulo áureo, es claro que el área a calcular será la del rectángulo aúreo dado. El proponente no pecaría si diera, sin importar el orden, cualquier otro par de longitudes; solamente tendría el cuidado de que el ancho fuera menor que el largo. Ahora bien, si la propuesta comienzara diciendo: "Calcular el área del rectángulo áureo….", el proponente no solamente tendría que tomar en cuenta lo anterior sino también la razón entre los lados, por lo que la fórmula pierde dirección. Aún calculando los lados, el control del error estaría en manos del proponente y no de la fórmula por carecer de la condición (o resticción) específica. En este caso, a mi manera de ver, la fórmula largo por ancho pierde sentido aunque la relación entre los elementos se conserve. Es por ello que para el cálculo del área del rectángulo áureo se utilizan las siguientes fórmulas:

En función del ancho (a): A = a2j

En función del largo (l): A = l2/j

Donde: j » 1,618034

El control del error estará en función del refinamiento de la constante j .

Estas fórmulas se deducen directamente de la fórmula largo por ancho incorporando la particularid del caso; quedando redefinida. Implícitamente contienen todos los elementos de la primera; pero, no son la misma por contener una condición de que carece la anterior.

Veamos otros ejemplos partiendo de la definición de perímetro, aplicada al triángulo:

En función de los lados: a, b, c; la fórmula debería ser acompañada de una restricción como se muestra:

p = a+b+c, ½ a-b½ < c < a+b.

A estas alturas pareciera que no es necesaria la restricción indicada, puesto que al tratrarse del triángulo, por descontado, los lados cumplen la condición. Es, precisamente por ello que se hace necesaria su mención; para evitar datos fuera de contexto se requiere que los proporcionados cumplan la condición para que, en efecto, formen un triángulo; ya que cualquier trío de longitudes no siempre definen esta figura.

Si se tratara de triángulos rectángulos la fórmula debería redefinirse así:

En función de los catetos a,b:

p= a+b +(a2+b2)1/2

En función del cateto a y la hipotenusa c:

p= a+c +(c2-a2)1/2, c>a.

Véase que la primera fórmula no posee restricciones. Esto porque cualquier par de longitudes para los catetos define un triángulo rectángulo. Lo que no sucede en la segunda donde necesariamente la longitud de la hipotenusa debe ser mayor que la del cateto.

Otras situaciones se evidenciarán en el próximo aparte.

DEBILIDADES DE LA FORMULA A= pa/2

En la monografía mencionada cité como el argumento más importante, para invalidar la fórmula, el hecho de que el perímetro y la apotema sean interde-pendientes. Motivado por un comentario de Ignacio Barradas, luego de analizar con más profundidad la situación concluí que la independencia absoluta de las variables intervinientes no es condicionante para el diseño de la fórmula. Por ejemplo, en la propuesta por mí: An= n2l2/4 kn, en función del lado, vista en forma amplia: A= n2l2/4 kn (quitando n en An) kn pasa a ser una variable dependiente discreta en función de la variable independiente número de lados, también discreta. Pero, a diferencia de la criticada, está explicita la relación entre las variables.

Por pensar que la fórmula usual pertenece al conjunto de las que deben ser sustituidas por otras que se ajusten a los criterios mencionados, comentaré las causales que me motivaron a buscar una fórmula más adecuada que la sustituya:

No señala que el perímetro y la apotema se condicionan mutuamente. La omisión de este aspecto ha traído como consecuencia que se incurran en errores al momento de plantear problemas de cálculo. En la bibliografía revisada, los datos de los ejemplos y de los ejercicios no corresponden al polígono regular cuya área se propone calcular; lo más común es que no correspondan a polígono regular alguno. Los autores no mencionan la relación entre los elementos ni siquiera cuando se deduce, o demuestra, la fórmula. Esto me dice que la relación entre el perímetro y la apotema no es tan obvia como sostienen algunas de las personas que han comentado mi trabajo y, en consecuencia, debe indicarse.
No señala otro aspecto importante: el área del polígono regular depende, necesariamente, del número de lados. Esta dependencia tampoco se muestra en la fórmula; situación de la que no nos damos cuenta por la costumbre de mencionar el tipo de polígono y las longitudes del lado y la apotema para proceder según la estructura A=nla/2 que, aunque resulte el mismo valor final, no es la fórmula enunciada. Luego, no se acostumbra aplicar la fórmula tal cual es; no es usual el planteamiento de problemas donde se den sólo las longitudes del perímetro y la apotema, como lo especifica la fórmula.
Si se quisiera tomar en cuenta las condiciones anteriores tendría que darse un elemento como independiente y aplicar otra fórmula, previa a la del área, para calcular el otro elemento. Como se dijo antes, lo prudente es componer las funciones y diseñar una fórmula que lleve a la solución en forma directa.
Además de permitir que se proporcionen datos fuera de contexto, también permite que se deduzcan, o infieran, situaciones erróneas como que: dos polígonos regulares con diferente número de lados pero con igual perímetro e igual apotema también tienen igual área, o que variando en proporciones inversas el lado y la apotema obtenemos otro polígono regular del mismo tipo y de igual área. Esas situaciones pueden ser planteadas por quien desconozca la existencia de las relaciones que se dan entre el número de lados, el lado y la apotema; vale la pena decir: por la mayoría de nosotros.
En vez de analogías, establece diferencias entre los polígonos regulares y el círculo. Sabemos que al incrementar indefinidamente el número de lados de un polígono regular la figura tenderá al círculo; por lo que lo razonable es buscar algún tratamiento único para ambas figuras. Este tratamiento ha podido conseguirse aplicando la fórmula del área del polígono regular para calcular el área del círculo; a lo mejor con la variante A=Lr/2. No se ha dado porque, en el caso del círculo, es obvio para todos que la longitud de la circunferencia (L) y el radio (r) están correlacionados mediante una constante; pero, es así porque nos lo han dicho y no porque nos lo hayan demostrado o nos hayan enseñado a deducir el valor del número pi.
Dificulta el estudio de las relaciones entre polígonos regulares de diferente número de lados. Al observar la bibliografía, vemos que el estudio de relaciones no pasa de las del polígono regular con sus semejantes, con el círculo inscrito y con el círculo circunscrito. Si a partir de la fórmula criticada quisiéramos estudiar las relaciones entre polígonos regulares con diferente número de lados, después de algunos rodeos terminaríamos incluyendo las condiciones olvidadas para obtener conclusiones válidas.

VENTAJAS DE LA FÓRMULA An =Kna2

Esta fórmula para el cálculo del área de los polígonos regulares se ajusta totalmente a los criterios señalados para las fórmulas matemáticas, como de seguida paso a argumentar:

Es Deducible, Demostrable: Si se tiene en cuenta la existencia de la relación entre el lado, la apotema y el número de lados del pólígono regular, a partir de la relación A=pa/2; se puede llegar a la fórmula propuesta mediante los siguientes pasos:

A.- Expresando el perímetro en función del lado (l) y el número de lados (n), de la relación se obtiene A=nla/2:

B.- Expresando el lado en función de la apotema y la razón entre ellos se obtiene A=n2tg(180°/n) aa /2;

C.- Cancelando los 2 y por producto de potencias de igual base se obtiene: A=ntg(180°/n) a2;

D.- Por ser ntg(180°/n) un valor fijo en cada tipo de polígono regular; para eliminar la expresión trigonométrica lo llamamos kn y obtenemos An= kna2.

Es Precisa: No hay necesidad preocuparse por el contexto, se pueden enunciar problemas mencionando cualquier polígono regular y cualquier longitud para la apotema, con la seguridad de que existe el polígono regular dado.

Es Propia: No sólo es la fórmula particular para el área de los polígonos regulares; sino que se particulariza para cada tipo de polígono regular, al sustituir la n por el valor que corresponda.

Es Directa. Económica, Concisa, Elemental, Pertinente: Esto salta a la vista; por lo que no hago comentarios.

La fórmula An= kna2 ofrece una buena cantidad de ventajas, que pueden ser consultadas en la monografía citada y en la monografía "Nuevas Relaciones- Polígonos Regulares, Círculos y Estrellas Planas". Razón por la que comentaré algunas en forma rápida:

Como los polígonos regulares y el círculo poseen la misma fórmula para el cálculo del área (kn y a se corresponden directamente con la constante pi y el radio), pueden considerarse que pertenecen a un mismo conjunto de figuras y puede dárseles un tratamiento de familia.
Dado que se incorpora una constante para cada tipo de polígono regular, que se desprende de la interrelación entre la apotema, el lado y número de lados: será neceario el tratamiento del tema; por lo que conocerán las relaciones olvidadas hasta ahora. Con un enfoque adecuado y una correcta adaptación al nivel de escolaridad, podrán ser abordadas las relaciones con la claridad permitida, siendo más clara en la medida que se sube de nivel. Esto indica que el tema puede ser tratado reiteradamente desde la educación básica hasta la superior. Por otra parte, quedará claro también que la constante pi no está aislada y, además, podrá demostrarse su existencia y deducir su valor mediante un procedimiento coherente.
Permite deducción fórmulas, basadas en otros elementos del polígono regular, en forma sencilla, rápida y correcta. Además, cada fórmula tiene una trigonométrica equivalente.
Permite inferir solamente lo correcto. Dado que la apotema es el único elemento que podemos variar a voluntad en cada tipo de polígono, sólo podemos deducir que el área está en función del cuadrado del factor de contracción aplicado a la apotema. Esto, aunque sencillo, es muy importante porque tal deducción no se alcanza con facilidad desde la fórmula criticada, por no decir que es imposible, siendo necesario inferirlo a partir de la homotecia.
Permite el estudio de relaciones entre polígonos regulares de diferentes tipos ( considerando como tipo el número de lados), con lo que se amplía el estudio de las figuras mencionadas.

Podría pensarse que la existencia de una constante de semiproporcionalidad para cada tipo de polígono constituye una debilidad. Creo, más bien, que es una fortaleza; porque más temprano que tarde se entendería que la Matemática, en la práctica, no es tan "exacta" como el común de la gente pregona; porque existen infinidad de números que no pueden escribirse y deben ser aproximados; porque acepta puntos de vista que dan origen a disciplinas dentro de una misma rama; porque existen paradojas; porque algunas de las verdades no son comprobables; porque existen problemas sin resolver etc… El dilema de las infinas constantes kn, deberá ser resuelto en forma práctica.

CONCLUSIONES

La fórmula An = kn a2 ofrece ventajas sobre sobre la conocida A=pa/2. Estas ventajas no sólo son didácticas sino, también, Matemáticas. Dadas las limitaciones de la formula usual es recomendable sus sustitución en los programas de estudio. Esta sustitución traería como consecuencia la necesidad de actualización tanto de los docentes como de la bibliografía; por lo que debe realizarse un esfuerzo que se verá recompensado con un mejoramiento notable de la calidad del proceso enseñanza-aprendizaje.

Sin más

Gustavo Yanes Yanes

Profesor Titular en la U.E. "Prof. Boris Bossio Vivas"

San Antonio de Los Altos, Estado Miranda

República Bolivarina de Venezuela