Solucionario del cuarto módulo de resolución de problemas matemáticos (página 2)

Búsqueda de estrategias

Ahora si podemos buscar el patrón (o regla de formación) o característica que cumplen todos los números que caen debajo de una columna determinada, para luego deducir debajo de que letra aparecerá el número 2006.

Notaremos que debajo de la columna A aparecen los números

1 ; 8; 15; …

Estos números, a partir de 1, van aumentando de 7 en 7, y forman una progresión aritmética de razón 7 y cuyo primer término es 1. Estos son números que al dividirse entre 7 dejan residuo 1.

Igualmente, notaremos que debajo de la columna B, aparecen los números

7; 14; 21…

Y estos números, a partir de 7; van aumentando de 7 en 7 y forman los múltiplos de 7. Estos son números que divididos entre 7, dejan residuo 0.

Luego, podemos decir que debajo de cada columna aparecerán los números que divididos entre 7 dejan un mismo residuo.

En A (los que dejan residuo 1); en B (los que dejan residuo 0)

En C (los que dejan residuo 2); en D (los que dejan residuo 6)

En E (los que dejan residuo 3); en F (los que dejan residuo 5); y

En G (los que dejan residuo 4).

Ejecución

Determinaremos qué residuo deja 2006 al dividirse entre 7:

Como 2006 al dividirse entre 7 deja residuo 4, entonces 2006 caerá en la columna G.

Respuesta: El 2006 aparecerá escrito debajo de la columna G.

• 3. Familiarización y comprensión:

La condición más importante es que:

"Los números vecinos, solo pueden diferenciarse en 1 ó 2 ".

Por ejemplo, los vecinos del 6 podrían ser solo 4; 5; 7 u 8.

En cambio 10 solo puede tener como vecinos al 8 ó 9.

El 1 también puede tener como vecino solo al 2 o al 3.

Búsqueda de estrategias:

Primero trataremos de encontrar la ubicación de los números vecinos de 10 (porque hay solo 2) y luego los del 1.

Ejecución:

Como los únicos vecinos de 10 pueden ser 8 ó 9 y como el 9 no puede ser vecino del 6 (pues le lleva 3 de ventaja), se deduce que el "vecino" del 10 que está para el lado del número 6 es 8, y el "vecino" del 10 que está al lado de b es 9.

Ahora los vecinos del 9 podrían ser: 10 ; 8 ó 7.

Entonces como b es vecino de 9 sólo podría ser 7 (porque el 8 ya está ubicado entre 6 y 10)

b=7

a=5

Como b = 7, y "a" tiene que ser su vecino, a podría ser 9; 8; 6 ó 5. Pero como 9; 8 y 6 ya están ubicados, por descarte.

Luego: a + b = 5 + 7 = 12

Respuesta: La suma de los números tapados por los cuadritos y marcados con las letras "a" y "b" es: 12.

• 4.  Familiarización y comprensión:

Si cada jarrón se compró a 24 soles, podemos decir que el precio de compra de cada jarrón es 24 soles. Si luego se vende cada jarrón ganando 15 soles, significa que el precio de venta de un jarrón es:

24 + 15 = 39.

Cumpliéndose la relación:

Precio de venta = Precio de compra + Ganancia

Búsqueda de estrategias:

Para los problemas que tengan que ver con precios, ganancias, etc., hay dos formas diferentes de analizar la situación.

Una forma es considerar los ingresos y egresos necesarios para cumplir las condiciones; y otra forma es considerar solo las ganancias y las pérdidas que ocurren en cada transacción para luego obtener la ganancia final.

Ejecución:

Primera forma: Trabajando con ingresos y egresos:

Como cada jarrón se compró a 24 soles, entonces

El precio de compra de los 30 jarrones es: 30 × 24 = 720 soles

Como al final, la ganancia debe ser: 374 soles

Entonces el ingreso en todas las dos ventas deben sumar: 720 + 374 = 1 094 soles.

• Ganando 15 soles en cada jarrón significa que cada jarrón se vendió a 24 + 15 = 39 y el ingreso en esta venta fue: 18 × 39 = 702 soles.

• Ahora en los 8 jarrones rotos, no se obtienen ingreso alguno.

Luego, faltaría recaudar: 1094 – 702 = 392 soles y esto se tendrá que obtener de la venta de los jarrones que quedan, o sea en la venta de: 30 – 18 – 8 = 4 jarrones.

Luego, cada uno de estos jarrones se debe vender a:

Respuesta: Cada uno de los jarrones restantes se vendió a 98 soles.

Segunda forma: Trabajando con ganancias y pérdidas en cada transacción.

La ganancia final, por dato, debe ser: 374 soles.

En la 1ª venta de los 18 jarrones se ganó: 18 × 15 = 270 soles.

En los 8 jarrones rotos se perdió su costo: 8 × 24 = 192 soles.

Luego, en la venta de los 4 jarrones que quedan se debe ganar, lo que falta ganar: 374 – 78 = 296 soles, o sea en cada jarrón se debe ganar:

Y por lo tanto cada uno se debe vender a: 24 + 74 = 98 soles.

Precio de costo + ganancia = 24 + 74 = 98 soles.

• 5. En estos problemas, hemos advertido anteriormente, que se debe trabajar con lo que puede hacer cada elemento en la unidad de tiempo. En este problema la unidad de tiempo es 1 hora.

Debemos calcular qué parte del estanque llenó A en las 4 primeras horas y luego determinar cuánto demorarán A y B para llenar la parte que falta. Se puede finalmente usar regla de tres simple.

Como A puede llenar el estanque en 12 horas, se deduce que

A en 1 hora llena: del estanque.

Análogamente, como B puede llenar el estanque en 20 horas, entonces:

B en 1 hora llena: del estanque.

Así, A llenó en la primeras cuatro horas:

Luego, faltaría llenar:

En este momento se abre el caño B y a partir de ahora

Y como ahora trabajaran juntos A y B,

En 1 hora A y B juntos llenan:

Y llamando "x" al tiempo que tardarán A y B juntos en llenar lo que falta o sea del estanque, obtenemos:

Respuesta: El estanque se llenará, 5 horas después de abrir el caño B.

• 6. Familiarización y comprensión:

En estos problemas se supone que todas las gallinas tienen igual rendimiento para poner huevos; y también tienen igual velocidad para comer el maíz. "Nos dan la productividad y el consumo en unidades diferentes" y tenemos que comparar lo que ponen con lo que comen.

Búsqueda de estrategias

Emplearemos, el procedimiento de "reducción a la unidad", o sea determinaremos el tiempo en que 1 gallina pone 1 docena de huevos y el tiempo en que 1 gallina come 1 kilo de maíz, para luego comparando, deducir ¿cuántos kilos de maíz necesitan comer 18 gallinas para poner 18 docenas de huevos?

El siguiente ejemplo puede servir para visualizar mejor la solución que emplearemos. Supongamos que en una clase hay 30 estudiantes de igual rendimiento y que cada uno puede resolver un problema en 4 minutos.

Entonces: 1 estudiante resuelve 1 problema en 4 minutos.

Ahora, si a cada uno de los 30 estudiantes de esta clase le proponemos un problema para que lo resuelva, entonces los 30 estudiantes resolverán los 30 problemas en: 4 minutos.

Es lógico que resultará 4 minutos, porque cada alumno resolverá solo el problema que le ha tocado y esto por dato sabemos que lo hace en 4 minutos.

Ejecución del plan

1º dato: Si 20 gallinas ponen 20 docenas de huevos en 20 días.

¿Qué pasó en los 20 días?

Cada gallina puso una sola docena de huevos.

2º dato: Si 5 gallinas comen 5 kilos de maíz en 5 días.

¿Qué pasó en los 5 días?

Que cada gallina comió 1 kilo de maíz.

Luego, Reuniendo estas dos informaciones, deducimos que para que 1 gallina ponga 1 docena de huevos deben transcurrir 20 días pero en 5 días esa gallina se comió 1 kilo de maíz, o sea en los 20 días se habrá comido:

20 : 5 = 4 kilos de maíz.

Luego, Para que 1 gallina ponga 1 docena de huevos se comerá 4 kilos de maíz y como deben ser 18 gallinas que deben poner 18 docenas de huevos, entonces estás se comerán en total: 18 × 4 = 72 kilos de maíz.

Respuesta: 72 kilos de maíz.

• 7. Familiarización y comprensión

Si "D" es la cantidad total de dinero que tenía Ernesto, primero gasta de D; pero luego gasta del resto. Note que esto último que gastó no es del total, sino del resto que quedó después de haber gastado el primer de D.

Esto significa que las fracciones no son todas fracciones de D, sino de los restos que van quedando después de realizar los gastos.

A este tipo de problemas se les llama de RESTOS SUCESIVOS.

Búsqueda de estrategias

En este tipo de problema, podemos usar "fracción de fracción" para determinar la fracción de "D" que quedó como resto final y este valor igualarlo al dato que es 360 soles. De allí se despejaría "D".

También como las cantidades gastadas son fracciones y en ningún momento se suma o resta algo a las cantidades, se puede usar el método de falsa suposición y luego por proporcionalidad hallar el valor verdadero. Este último procedimiento es más sencillo y fácil de entender para los estudiantes de educación básica.

Ejecución del plan

Como MCM (3 , 4 y 5 ) = 60

Recordar que se supone un número que tenga tercera, cuarta y quinta parte exacta para que las operaciones produzcan resultados enteros.

Supongamos que el dinero que tenía Ernesto era: D = 60 soles.

1°) Ernesto gasta: El resto sería: 60 – 20 = S/. 40

2°) Luego gasta: ( El nuevo resto sería: 40 – 10 = S/. 30

3°) Por último gasta: ( Le quedaría al final: 30 – 6 = S/. 24

Por proporcionalidad:

De donde por regla de tres simple directa:

Luego: Ernesto tenía D = S/. 900 y

Como le quedó al final: S/. 360

Entonces Ernesto gastó: 900 – 360 = S/. 540

Respuesta: Ernesto gastó: S/. 540.

• 8. Familiarización y comprensión:

Cada letra "esconde" o representa a un dígito de 1 a 9 (o sea ninguna letra representa al cero).

Letras diferentes representan cifras diferentes y letras iguales representan cifras iguales.

Como nos piden el valor máximo que puede tomar se intuye que hay varias respuestas posibles, y debemos hallar aquella que produzca el mayor valor posible.

Además ya nos dan el valor de la letra D = 2

Y también nos indican que C y N son ambos impares.

Búsqueda de estrategias:

Para estos problemas debemos analizar el posible resultado que se obtiene al sumar los dígitos de una misma columna, teniendo en cuenta que en nuestro sistema de numeración decimal (base diez) cada vez que en una columna la suma de los dígitos es una cantidad mayor que diez se debe formar grupos de diez para llevarlos al orden inmediato superior o (sea a la columna de la izquierda) y lo que sobra después de formar estos grupo de diez, quedará en la misma columna como resultado. Ejemplo:

También debemos observar que al sumar dos sumandos en cualquier columna, la suma máxima que se puede obtener es: (9 + 9) = 18 ó 19 (en el caso de que de la columna anterior se haya llevado 1). De esta observación se concluye que: al sumar dos sumandos, nunca en una columna puede haber una suma total que llegue a 20, por lo tanto en una suma de dos sumandos se puede llevar 1 como máximo al siguiente orden (o sea a la columna de la izquierda).

Análogamente, se deduce que al sumar 3 sumandos (como es en nuestro problema) la cantidad máxima que se puede llevar al siguiente orden es 2. Porque como máximo la suma sería: (9 + 9 + 9 = 27).

Como: E (que esta como sumando) también debe quedar en el resultado, se deduce que:

U + M + (lo que posiblemente se llevo de decenas) debe ser igual a diez.

Para que se forme un grupo exacto (un millar) que se lleve al orden de millares y que de cómo resultado "E" en dicha columna.

Luego, como P es igual a lo que se llevó de centenas, entonces:

P = 1

De la columna de UNIDADES: Como la cifra representada por U (que está como sumando) también debe quedar en el resultado (en las cifra de las unidades), se deduce que las otras cifras de esta columna (C y N) deben sumar 10. Para que formen una decena exacta que se lleve al otro orden.

Luego: C + N = 10

Y como por dato: C y N son ambos impares, estas letras podrían ser las parejas

(1 y 9) ; (3 y 7) ó (5 y 5), pero como el valor de P es 1.

Entonces la pareja (1 ; 9) queda descartada; y como C y N son letras diferentes, entonces la pareja (5 ; 5) también queda descartada.

Luego: C y N son 3 y 5 (ó 5 y 3).

En la columna de DECENAS: Como de unidades se llevaba 1 (porque se había formado 1 grupo de diez), como D = 2, y como M e I pueden tomar valores a partir de 4,

Entonces:

1 + M + I + 2 = 10 + R

ó M + I = 7 + R

En la columna de las centenas: 1+U+M=10 de donde: U+M=9

Como queremos que sea máximo y además sabemos que P = 1, daremos a E el valor máximo posible (E = 9) y luego comprobaremos si esto es compatible o no.

Si E = 9, quedarían por usar los dígitos: 4 ; 5 ; 6 y 8.

Respuesta: El valor máximo de es 1964.

• 9. Viendo el recibo:

Podemos hallar el consumo de Julio del 2006 en Kwh, restando:

(lectura actual) – (lectura anterior)

134096-

132578

(a) Consumo: 1518 kWh (kilowats – hora)

Y multiplicando este consumo por el precio en soles de un kW – hora que es 0,3203, nos tendría que dar (como comprobación) el cargo por energía.

Veamos: 1518 × 0,3203 = 486,2154 y redondeando

Cargo por energía = S/. 486,22 (que es precisamente lo que figura en el recibo).

(b) La tasa actual del I.G.V. (Impuesto general a las ventas) es: 19% del valor de venta

o sea: y

Redondeando el I.G.V. al céntimo sería: S/. 92,38

Ahora como comprobación, la suma del cargo por energía más el I.G.V. nos tiene que dar el total por pagar.

(S/. 486,22) +

I.G.V. (S/. 92,38)

578,60 (lo que es correcto)

Luego el recibo completo del mes de Julio quedaría así:

Respuesta:

a) El consumo, en kWh, en Julio 2006 fue: 1518

b) El I.G.V., en soles, que pagó en Julio 2006 fue: 92,38

• 10. 

Ahora haremos lo mismos cálculos para el mes de Agosto de 2006

Lo primero que debemos darnos cuenta es que el valor de la lecturas:

Lectura anterior (08/07/2006) será el valor de la lectura actual del mes pasado (08/07/2006) o sea 134096 Kw-h.

Luego:

Lectura actual (08/08/2006): 135 044 kWh

Lectura anterior (08/07/2006): 134 096 kWh

(a) La diferencia entre estas cantidades nos dará el consumo

135044 – 134096 = 948 kWh

Consumo: 948 kWh

(b) El cargo por energía será igual al consumo multiplicado por 0,3203:

Y redondeando al céntimo:

Cargo por energía: S/. 303,64

(c) El I.G.V. ahora será el 19% del cargo por energía:

Y redondeando al céntimo:

I.G.V. = S/. 57,69

(d) El pago total en Agosto sería la suma del cargo por energía más el I.G.V.

Cargo por energía + I.G.V. = 303,64 + 57,69 = 361,33

Total agosto 2006 = S/. 361,33

El recibo de agosto quedaría así:

Respuesta:

a) Consumo: 948 kWh

b) Cargo por energía: 303,64 soles

c) I.G.V: 57,69 soles

d) Total recibo: 361,33 soles

II. RAZONAMIENTO LÓGICO:

• 11. El error que cometió cada uno es la diferencia entre lo que dijo y el valor real del número de bolitas..

Las cantidades erradas que dijeron, ordenándolas son:

42 , 49 , 52 , 59 , 62 y 65

Y los errores cometidos (ordenándolos) son:

1 , 4 , 6 , 9 , 11 y 12

Sea x el valor verdadero, entonces debe existir alguna persona que dijo un número "a" alejado de x en 12 unidades y otra persona que dijo un número "b" alejado de x en 11 unidades; pero estos 2 valores a y b no pueden estar hacia un mismo lado de x porque la diferencia entre estos dos valores sería 1, y no existe ninguna pareja de números, entre las cantidades erradas (que se han dado como dato) que se diferencian en 1.

Luego los valores a y b están en lados diferentes del valor verdadero x.

ó

De aquí se deduce que a y b se diferencian en 12 + 11 = 23 unidades, y en la lista de las cantidades erradas que dijeron las personas, los únicos valores que se diferencian en 23 son 42 y 65. Luego la posición es:

Y el valor verdadero "x" podría ser: 42 + 11 = 53 ó 42 + 12 = 54

Pero 54 no puede ser porque, si x = 54 no habría ninguna cantidad en la lista, que hubiera producido el error de 1 ya que en la lista de cantidades erradas no aparece el 53 ni el 55.

Luego: El valor verdadero "x" es 53.

Comprobación: Los valores que dijeron: 42 ; 49 ; 52 ; 59 ; 62 y 65.

El valor verdadero es: 53

Los errores son: 11 ; 4 ; 1 ; 6 ; 9 y 12 respectivamente.

Respuesta: En la caja hay 53 bolitas.

Haciendo un diagrama, partiendo de los datos que dicen que:

"la niña a la derecha de Anita tiene vestido fucsia" y

"la niña de vestido morado está al frente de la niña de vestido fucsia", tendremos:

Ahora, como dicen que: "Bety está al frente de la niña vestida de rojo" y "como Bety solo puede estar al frente de Anita (observar el diagrama), se deduce que Anita está vestida de rojo, y Bety estará vestida del único color que queda (verde).

Ahora, "como la niña de vestido verde (Bety), está a la izquierda de Carmen" se deduce que Carmen está vestida de morado y por descarte Diana es la que está vestida de fucsia.

Respuesta:

Anita está vestida de rojo.

Bety está vestida de verde.

Carmen está vestida de morado.

Diana está vestida de fucsia.

Como en el problema: la persona que habla (y se identifica como "yo") es uno de los hijos y de los datos esta persona es mayor que Mónica (Dato ii) y también es mayor que Jaime (Dato iii) se deduce que Mónica y Jaime también son hijos de familia y hermanos del que habla.

Los nombres que faltan ubicar son: Juanita; David y María, y como David es el único Varón, éste será el nombre del Padre, y como por dato (i): "Juanita es menor que María", la madre debe ser la mayor, o sea María, quedando que la persona que se identificaba como "yo" era: Juanita.

Luego, los nombres de los padres son: David y María.

Respuesta: Los nombres de los padres son: David y María.

• 14. Consideraremos la siguiente "tabla de decisiones" para visualizar las relaciones:

Como ya hemos explicado en los módulos anteriores, colocaremos SI en la casilla que muestra la relación correcta entre el nombre de la fila y la profesión de la columna correspondiente; y colocaremos NO cuando la relación no sea correcta.

• Del primer dato se deduce que Félix es casado y que no es el médico.

• Del segundo dato se deduce que Aurelio no es el matemático.

• Del cuarto dato, el abogado y el matemático son solteros y el ingeniero y el médico son casados.

• Del quinto dato David es soltero y no es abogado.

De la tabla se observa ahora que el Médico podría ser David o Aurelio, pero como el médico es casado y David es soltero, entonces el médico no puede ser David y tendrá que ser Aurelio. Luego, como Aurelio es el médico, Aurelio es casado y ya no puede ser abogado ni ingeniero.

Ahora, David no puede ser ingeniero, porque David es soltero y porque el ingeniero es casado; luego David sería matemático, quedando la tabla así después de completar.

Respuesta:

Félix es Ingeniero.

David es Matemático.

Gustavo es Abogado.

Aurelio es Médico.

• 15. Ordenaremos los datos en el siguiente cuadro:

De acuerdo a los datos, Gustavo llegó primero; el que llegó último vistió de azul y el que llegó en segundo lugar tenía el número 3.

Ahora como "David venció a Félix", significa que David no fue el último, o sea David llegó 2° ó 3°, y Félix llegó después (identificado con el número 1).

Habrían entonces (3) casos posibles con respecto a la posición entre David y Félix:

Ahora, como por dato:

"solo uno de los participantes llegó en una posición igual al número que lo identificaba".

Se observa que los casos (2) y (3) no pueden ser posibles, porque no hay posibilidad de que haya algún participante, que su puesto coincida con su número de identificación (puede verificarlo en los cuadros).

Luego, se deduce que el único posible es el caso (1) y el participante que llegó en una posición igual al número que lo identificaba "solo pudo ser: el 4°".

Completando la 1ª columna con el nombre que falta (Aurelio) y la 2ª columna con el N° 2 (de Gustavo) y como por dato el que llevaba el número 2 vistió de rojo, entonces Gustavo fue el que vistió de rojo:

Como por dato "el participante de amarillo venció al participante vestido de verde" sólo sería posible que David fuera el de amarillo y Félix el de verde, quedando finalmente el cuadro así:

Respuesta:

• 16.  Para determinar la posición de la flota usaremos las reglas y condiciones dadas en el enunciado del problema.

• Si a una fila o columna le corresponde un número 0, significa que en dicha fila o columna no hay ninguna parte de un barco y por lo tanto podemos llenar todas las casillas de esas filas o columnas con agua (ver filas D; E; G y la columna Q).

• Si una fila o columna ya tiene ocupados por partes de barcos una cantidad de casillas igual al número total posible de esa fila o columna (dados por los números de la derecha o de abajo), las demás casillas deben ser llenadas con agua (ver la fila B y la columna U).

• También debemos observar las partes de los barcos dadas como pistas. Nos daremos cuanta si son extremos de barcos; o cuerpo de un barco, etc.

En nuestro ejemplo (B-V) es el extremo superior de un barco de 2 ó más casillas, pero como solo hay un espacio para 2 casillas, se deduce que corresponde a un destructor (que ocupa 2 casillas).

Las casillas vecinas rellenan con agua.

Asimismo (F-U) es el extremo izquierdo de un barco de 2 ó más casillas por lo tanto la casilla (F-V) debe estar llena con parte de un barco.

Con esto, la columna V tendría 3 casillas ocupadas y como ese número es el máximo de esa columna, las demás casillas deben estar llenas de agua.

• Ahora tendremos de ubicar la posición de los barcos más grandes.

Comenzaremos con tratar de ubicar el acorazado (que ocupa 4 casillas).

Notaremos que, aunque la fila A debe tener 4 casillas ocupadas, no hay 4 casillas libres seguidas, igualmente en la fila I y también en la columna P. en conclusión, solo puede estar en la fila F y a la derecha.

Ahora si es fácil darse cuenta de la ubicación de los dos cruceros (de 3 casillas cada uno) y continuar descubriendo los barcos que faltan.

La solución será como se indica en la figura de la derecha.

• 17.  Familiarización y comprensión

Debemos hacer corresponder 4 nombres: Juana, Lucia, Luisa y Ana con los 4 apellidos; Bravo, Díaz, Gómez y Soto.

Aunque ya nos dan como dato que el apellido de Juana que es Bravo.

Búsqueda de estrategias

Como también nos dan los puestos que obtuvieron en la carrera podemos hacer el siguiente cuadro para llenarlo con los datos.

Ejecución

Como "Juana Bravo venció a Lucía", entonces la Srta. Bravo no fue última;

como "La Srta. Díaz venció a Luisa" entonces la Srta. Díaz no fue última

y como "La Srta. Gómez no fue la última", se deduce entonces

que la última tuvo que ser la Srta. Soto y como esta llegó exactamente después de Juana, entonces Juana llegó penúltima, quedando el cuadro así:

Ahora como "La Srta. Díaz venció a Luisa", la única preposición posición sería:

Y completando con el nombre y el apellido que quedan que son Ana y Gómez respectivamente, el cuadro final quedaría así:

Respuesta:

• 18. Familiarización y comprensión

Los nombres de los tres compañeros son Luis, Pedro y Silvia.

Los apellidos son: Fernández, Morales y González, y

las profesiones son: químico, profesor y médico.

Búsqueda de estrategias

Como hay mayor cantidad de datos que relacionan los apellidos con las profesiones conviene emplear la siguiente tabla de decisiones:

(Silvia)

Ejecución del plan

Como Morales trabaja como químico, colocamos un SI en la casilla que está en la intersección de Morales con químico. Ahora a las demás casillas de la columna y de la fila donde está el SI deben colocársele un NO.

(Silvia)

Ahora, "como el médico no se apellida González", el médico sólo podría ser Fernández, quedando el cuadro así:

(Silvia)

Y por último como Luis no se apellidaba Fernández (que es médico) entonces Luis no es médico y será químico y el médico será Pedro.

Respuesta:

La "aparente" contradicción se produce por el errado razonamiento del mozo, ya que el dice:

"Como cada uno de los tres, pagó en verdad 9 soles, esto hace un total de 3 × 9 = 27 soles"… Hasta aquí las cuentas van bien.

[Y estos 27 soles se distribuyeron así:

25 soles para pagar la cuenta y 2 soles que se guardó el mozo]

Lo que está mal es lo que sigue: "sumándole los dos soles con los que yo me he quedado hace un total de veintinueve soles…"

Estos 2 soles no deberían haberse sumado a los 27 soles porque ya estaban incluidos en los 27 soles. Y por eso no hubo un balance correcto en las cuentas.

Las cuentas claras deberían ser así:

Si el cliente tiene 100 dólares en su cuenta, al retirar todo su dinero en partes, la suma de los retiros hechos siempre es igual a 100 dólares, pero no es correcto pensar que la suma de los saldos que quedaban en su balance después de hacer los retiros también tenga que ser 100 soles.

Esta última suma es completamente variable como podemos observar comparando el cuadro dado en el problema con otra solución que se podrá haber presentado.

Ahora si los 6 retiros hubieran sido de 20; 20; 20; 20; 10 y 10 el cuadro sería el siguiente:

80 + 60 + 40 + 20 + 10 + 10 = 220

Luego: como podemos observar,

La suma de los retiros no tiene porque ser igual a la suma de los saldos que quedaban en su balance.

Por lo tanto:

Fue una coincidencia que la suma de los saldos del balance haya sido S/. 1 menos que la suma de los retiros y esto haya motivado la aparente contradicción.

Respuesta: La suma de los retiros no tiene porque ser iguales.

MODELACIÓN ALGEBRAICA:

• 21.  Familiarización y comprensión:

Según los datos:

Para cada grupo de 2 empleados, es una pizza.

Para cada grupo de 3 empleados, es una ración de papas.

Para cada grupo de 4 empleados es una botella de gaseosa.

Y en total, el supervisor compró 39 artículos exactos entre pizzas, raciones de papa y botellas de gaseosas.

Búsqueda de estrategias:

En este caso podemos analizar la situación, escogiendo primero un grupo formado por un número de empleados con el cual se pueda formar, a la vez, un número exacto de grupos de 2, ó de 3 ó de 4 personas, para que el número de artículos necesarios de cada clase sea entero y exacto. Y luego comparan el resultado con el número que en verdad debe ser para proyectar el valor verdadero.

El número escogido de personas para empezar el análisis sería entonces el MCM de 2, 3 y 4 que es 12.

Luego de comprar el resultado obtenido con este número escogido, con el verdadero resultado, por proporcionalidad se deduciría el número verdadero de personas que debe tener dicho grupo.

Ejecución:

Supongamos que el número de empleados es 12.

Como 12 contiene grupos de 2 empleados, se necesitarán 6 pizzas.

Como 12 contiene grupos de 3 empleados, se necesitarán 4 raciones de papas.

Como 12 contiene grupos de 4 empleados, se necesitarán: 3 gaseosas.

Luego, sumando:

Para cada grupo de 12 empleados el número de artículos necesarios que se tendría que pedir es:

6 + 4 + 3 = 13 artículos

Pero como el número de artículos podidos, fue realmente 39 (y 39 es el triple de 13) se deduce que el número real de empleados, debe ser el triple de 12, o sea 36.

Respuesta: Estaban reunidos 36 empleados.

• 22. 

Este es un problema típico donde se pueden establecer relaciones con una misma variable y luego establecer una ecuación.

Conviene escoger como variable, la cantidad más pequeña en base a la cual se puedan representar las demás.

Sea "x" la edad de mi hija en años.

Mi hijo tiene 5 veces la edad de mi hija, o sea 5x años.

Mi esposa tiene 5 veces la edad de mi hijo, o sea: 5 (5x) = 25x años.

Yo tengo el doble de la edad de mi esposa, o sea: 2 (25x) = 50 x años.

Como la abuela tiene 81 años y su edad es la suma de las edades de todos nosotros, se formaría la siguiente ecuación:

x + 5x + 25x + 50x = 81

Sumando:

81x = 81

De donde: x = 1

Luego mi hijo tiene: 5x ó sea 5 × 1 = 5 años

Respuesta: Mi hijo tiene 5 años.

• 23. 

Sea T el número total de bolitas que inicialmente tenía David.

Según dato, si David agregará 6 bolitas azules, la mitad del total serían azules.

Analizando esta última situación, nos damos cuenta que el nuevo total de bolitas sería (T + 6), y que el número de bolitas rojas y verdes (que no han variado) serían la otra mitad de este total.

Luego, conviene formar la ecuación, no con las bolitas azules, sino con las bolitas rojas y verdes, así:

Multiplicando cada término por 6 (que es el MCM de 3 y 2), para que al simplificar los resultados sean enteros y exactos:

De donde, despejando: T = 90 bolitas

El número de bolitas rojas es entonces: o sea:

Respuesta: David tiene 30 bolitas rojas.

• 24. Sea "m" soles el precio de cada manzana, y "n" soles el precio de cada naranja.

Entonces:

Como Martín compró 2 manzanas más 4 naranjas,

Martín pagó: (2m + 4n) soles

Como Miguel compró 8 manzanas más 2 naranjas, Miguel pagó (8m + 2n) soles.

Pero, por dato, la cantidad que pagó Miguel es el doble de la cantidad que pagó Martín.

Luego:

(8m + 2n) = 2(2m + 4n)

Efectuando, la multiplicación aplicando la propiedad distributiva de la multiplicación:

8m + 2n = 4m + 8n

De donde: 4m = 6n

Dividiendo entre 2 ambos miembros de la ecuación:

2m = 3n

Esta última relación dice que el precio de 2 manzanas equivale al precio de 3 naranjas.

Ahora, como en la pregunta del problema nos piden: ¿Cuántas manzanas se podrían comprar con la cantidad necesaria para comprar 9 naranjas? se tiene:

El precio de 3 naranjas equivale al de 2 manzanas.

Luego:

El precio de 9 naranjas equivale el precio de 6 naranjas.

Respuesta: Se podrían comprar 6 manzanas.

• 25. Familiarización y comprensión:

Se llaman "números enteros consecutivos" a los números que aparecen seguidos en la recta numérica de los enteros.

Por ejemplo:

Son consecutivos: 8 ; 9 y 10.

También son consecutivos: 305 ; 306 ; 307 ; 308

Para formar una sucesión de números enteros consecutivos a partir de un número dado, bastará sumar 1 unidad a dicho número para obtener el segundo número y luego, al segundo número se le sumará 1 unidad para obtener el tercer número, y así sucesivamente.

Búsqueda de estrategias

Para resolver problemas donde intervienen números consecutivos, lo más importante, es la representación de estos números, y luego plantear, de acuerdo a los datos, una ecuación.

Cuando la cantidad de números consecutivos en un problema sea PAR, generalmente al primero de los números se le escoge como incógnita y los demás se representan sumándole 1 sucesivamente a la incógnita, así:

En cambio, cuando la cantidad de números consecutivos en un problema es IMPAR, conviene escoger como incógnita al número del medio y luego sumar 1 para obtener la siguiente y restar 1 para obtener el anterior,….

Por ejemplo, si son 5 números consecutivos, llamaremos x al del centro o sea al 3°. Luego, el 4° y el 5° serán (x+1) y (x+2); y el 2° y el 1° serán (x-1) y (x-2) como se muestra en la siguiente tabla:

Ejecución del Plan:

Primera forma:

Como por dato son tres números enteros consecutivos representaremos con x al número del medio (o sea al 2°); el 1° será (x – 1) y el 3° será (x + 1), como se muestra en la tabla:

Por dato, la suma de estos tres números es 2007.

(x – 1) + x + (x+1) = 2 007

Y efectuando las operaciones obtenemos (nótese que 1 y -1 se cancelan):

3x = 2007

Y dividiendo entre 3:

Luego: Los números son:

Segunda forma:

Como podemos notar, cuando la cantidad de números consecutivos es IMPAR, la suma de todos es un múltiplo exacto del término del centro.

Por ejemplo, si son 5 números consecutivos, la suma de todos será 5 veces el término del medio.

Si son 7 números consecutivos, la suma de todos será 7 veces el término del medio.

Y cuando son tres números consecutivos, la suma de todos será 3 veces el término del medio.

Luego, como por dato: la suma de los tres números enteros consecutivos es 2007

Se deduce que esta suma será 3 veces al término del medio.

Ó 3 (medio) = 2007.

De donde el término medio es:

Y los números serán: 668; 669; 670.

Respuesta:

Los números enteros consecutivos que suman 2007 es: 668; 669; 670

• 26.  Sea x el número de palomas.

Ahora trasladamos el enunciado a lenguaje simbólico:

Si sumamos las que somos: x

Más tantas como las que somos: x + x

Más la mitad de las que somos:

Más la mitad de la mitad de los que somos:

En este caso, contigo gavilán, seríamos 100:

Como la ecuación formada sería:

Y multiplicando cada término por 4 (para eliminar los denominadores)

4x + 4x + 2x + x + 4 = 400

Y efectuando: 11x + 4 = 400

11x = 400 – 4 = 396

De donde:

Respuesta: Habían 36 palomas en la bandada.

• 27. Familiarización y comprensión:

Para una persona que compra algo, lo que paga al comprarlo, se llama "precio de compra" o precio de costo" del artículo.

Y si luego esta persona lo vende, lo que recibe al venderlo se llama "precio de venta" o ingreso de la venta"

Ahora si el precio de venta es mayor que el precio de costo, ha habido ganancia, y se cumplirá que:

(Precio de venta) = (Precio de costo) + (Ganancia)

Ahora si el precio de venta fuera menos que el precio de compra, ha habido pérdida en esta venta, y se cumplirá que

(Precio de venta) = (Precio de costo) – (Pérdida)

También debemos recordar que calcular el porcentaje de un número equivale a aplicarle al número un operador multiplicativo con denominador 100, así por ejemplo:

20% de N =

35% de X =

Búsqueda de estrategias:

• Como según dato, Gustavo vendió el reloj con una ganancia, emplearemos la ecuación:

(Precio de venta) = (Precio de costo) + (Ganancia)

Y luego de reemplazar los datos despejaremos el costo y luego hallaremos la ganancia.

• Otra forma podría ser empleando "falsa suposición" y luego aplicar proporcionalidad.

Ejecución del Plan:

Primera forma:

Si Gustavo compró el reloj en "c" soles

Por dato, su ganancia, al venderlo fue:

Luego, como Gustavo vendió el reloj en S/. 216, el precio de venta fue S/. 216,

Entonces reemplazando en la fórmula:

(Precio de venta) = (Precio de costo) + (Ganancia)

Ecuación del plan:

Resolviendo esta ecuación (multiplicando cada termino por 20)

20C + 7C = 20 × 216

27C = 4320

De donde:

Luego: Gustavo compró el reloj en 160 soles y como lo vendió a 216 su ganancia fue:

216 – 160 = 56 soles.

Respuesta: La ganancia de Gustavo fue 56 soles.

Segunda forma: "Por suposición y proporcionalidad"

Supongamos que Gustavo compró el reloj en: S/. 100

[se escoge 100 porque es más fácil calcular algún porcentaje de 100)]

Entonces por dato, su ganancia será: 35% de 100 = S/. 35

Y por fórmula el precio de venta sería: 100 + 35 = S/. 135.

Luego, por regla de tres simple:

Si el costo fuera S/. 100, el precio de venta sería S/. 135

Entonces, el costo será C para que el precio de venta sea S/. 216.

Y

Y la ganancia será: 216 – 160 = 56 soles.

• 28. Familiarización y comprensión:

Tenemos que determinar lo que gastó Juan en los tres días, y esto equivale al total de sus ahorros.

Notaremos que Juan, cada día está gastando una cantidad que tiene la "misma forma" o proceso:

Cada día gasta: (de lo que tiene al comienzo de ese día) + 8 soles.

Notaremos también que Juan gastó todos sus ahorros en los 3 días, o sea que después del tercer día le quedó: "0" soles.

Búsqueda de estrategias:

En módulos anteriores, ya hemos resuelto problemas de este tipo empleando ecuaciones para determinar lo que le quedo al final. Formar la ecuación resulta muy complicado.

Recordemos, que cuando el mismo proceso se repite en cada etapa podemos construir una "fórmula de regresión" (fórmula para regresar del final al principio), y este es el procedimiento que usaremos ahora.

Ejecución del plan:

Sea E lo que tiene Juan al empezar un día

Y F lo que tiene Juan al terminar un día.

Pero por dato en cada día se gasta, de lo que tiene al empezar el día y 8 soles más, o sea se gasta: × E + 8

Luego, F sería igual a: E menos o sea:

De donde:

Y si despejamos E obtenemos:

"Fórmula de regresión"

Esta última fórmula sirve para regresar, o sea si reemplazamos el valor F que tenía Juan al final de un día obtenemos el valor E, que es el valor con el que empezó dicho día:

Debe observarse que el valor final de un día es igual al valor con el que se empieza el día siguiente y también al final del tercer día no le quedó nada, o sea: F3 = 0.

Aplicaremos la fórmula de regresión:

Como F3 = 0 entonces por la fórmula de regresión:

Luego F2 = 12 y por la fórmula de regresión

Luego F1 = 3 y por la fórmula de regresión

Juan tenía al empezar el primer día: E1 = 57 soles

Y esta cantidad la gastó en los tres días.

Respuesta: Juan gastó en los 3 días 57 soles.

COMBINATORIA, INCERTIDUMBRE:

• 29. Familiarización y comprensión:

La máquina dispensadora contiene 24 bolitas de goma de mascar, y éstas son:

• 9 bolitas ROJAS

7 bolitas BLANCAS

8 bolitas AZULES

Nos piden determinar el MENOR número posible de bolitas que debemos comprar, para tener la CERTEZA de que en el grupo comprado haya 4 bolitas del mismo color. (Cual sea este color).

Búsqueda de estrategias:

Ya hemos visto, en módulos anteriores que en los problemas de "CERTEZA" debemos colocarnos en el caso más crítico (o desfavorable) para el cual, todavía no se cumple la condición y luego ver qué se debe hacer para cumplir con la condición deseada.

Ejecución del Plan:

El caso más desfavorable (o crítico) que se nos puede presentar y para el cual todavía no tenemos 4 bolitas del mismo color, es que saquemos.

3 bolitas rojas + 3 bolitas blancas + 3 bolitas azules = 9 bolitas

Pero si sacamos una bolita más, cualquiera sea su color (rojo, blanco o azul), completáramos 4 bolitas de un mismo color.

Luego:

El menor número de bolitas que debemos comprar para estar seguros de tener 4 del mismo color es 10.

Respuesta: La persona ha de comprar diez bolitas como mínimo.

• 30. 

Familiarización y comprensión:

En el arreglo según las condiciones, se puede leer la palabra PERÚ de varias formas: en línea recta, o doblando hacia la derecha, izquierda, arriba o abajo.

¿Cuál es el número total de formas en que se puede leer la palabra PERÚ?

Búsqueda de estrategias:

Hay diversos métodos de llegar a la respuesta, pero en todas, el conteo deber ser SISTEMÁTICO (ordenado) para no dejar alguna forma sin contar y/o contar doble alguna.

Un primer método, sería contar primero, todas las formas en línea recta en que se lee PERÚ (son 4), luego dividir el arreglo en 4 cuadrantes o partes y luego contar las formas que resultan en este cuadrante y como hay simetría el número total se obtiene multiplicando por 4.

Ejecución del Plan:

Hay 4 formas de leer PERÚ en línea recta.

Luego tomando un cuadrante contaremos las formas de leer la palabra PERÚ, sin considerar las formas en línea recta ya contadas.

Como podemos ver hay 6 formas de leer la palabra PERÚ, en un cuadrante y como son 4 cuadrantes, habrán:

6 × 4 = 24 formas de leer "PERU" haciendo "dobleces" en el camino.

Y sumando las 4 formas de leer PERU en forma recta (que ya contamos), nos dará un total de:

24 + 4 = 28 formas.

Respuesta: La palabra PERÚ se puede leer de 28 formas.

• 31. Si identificamos a los tres libros con pasta roja como R1, R2 y R3 y a los tres libros con pasta azul como: A1, A2 y A3, tenemos que acomodarlos de tal manera que los libros vecinos no tengan pasta del mismo color.

Un arreglo será: R1, A1, R2, A2, R3, A3

Otro arreglo sería: R1, A1; R3; A2; R2; A3,…

Para contar el número total de arreglos aplicamos los principios de la Combinatoria, en el siguiente esquema del estante, donde se indican las posiciones a llenar con los libros.

Si numeramos las posiciones:

Primer caso: Empezamos colocando en la 1ª posición un libro de pasta roja.

Como hay tres libros de pasta roja, en esta posición podemos escoger para colocar cualquiera de los tres.