Solucionario del cuarto módulo de resolución de problemas matemáticos (página 3)

En la 2ª posición tiene que ir ahora un libro azul (para que no haya libros vecinos con pasta del mismo color) y como hay tres para escoger tenemos entonces también 3 libros para escoger y colocar en esta posición.

En la 3ª posición tiene que ir un libro Rojo; y como uno de ellos ya se quedó en la 1ª posición, solamente quedarían para escoger cualquiera de los otros dos:

En la 4ª posición tiene que ir un libro Azul y como uno de ellos ya se colocó en la 2ª posición, solo quedaría para escoger cualquiera de los otros dos.

En la 5ª posición tiene que ir un libro Rojo; y como dos de ellos ya están ubicados en la 1ª y 3ª posición, quedaría para escoger el único libro Rojo que queda para esta posición.

Igualmente seguirá en la 6ª posición el único libro Azul; que queda:

Ahora aplicando el principio de la multiplicación en Combinatoria, obtenemos el número de formas posibles de arreglo, para este primer caso:

3 × 3 × 2 × 2 × 1 × 1 = 36 formas.

Segundo caso:

Si ahora empezamos colocando en la 1ª posición un libro azul (siguiendo el mismo análisis del primer caso, obtendríamos 36 formas de arreglo más.

Luego: En total hay: 36 + 36 = 72 formas diferentes de arreglar los 6 libros.

Respuesta: Hay 72 formas diferentes de arreglar los libros de tal manera que los libros vecinos no tengan pastas del mismo color.

• 32. Familiarización y comprensión:

En la sucesión: 1, 2, 3, . . . . , 8, 9, 10, 11, … , 98, 99, 100.

El dígito 9 puede ocupar el orden de unidades y/o el orden de decenas de un número. Por ejemplo: en el 29 el 9 aparece una vez como cifra de unidades; en el 94;el 9 aparece como cifra de decenas, y en el 99 aparece 2 veces tanto en la cifra de unidades como de decenas.

Búsqueda estrategias:

Contaremos el número de dígitos 9 que aparecen como unidades y luego los que aparecen como decenas y sumaremos los resultados para obtener la cantidad pedida.

Ejecución:

El 9 aparece como unidades en los números: 9, 19, 29, …, 89, 99 ( son 10 veces

El 9 aparece como decenas en: 90, 91, 92, …, 98, 99 ( también son 10 veces

En total son 10 + 10 = 20 veces que se escribe el dígito 9.

Respuesta: El dígito 9 se escribe 20 veces.

• 33.  Del grupo de 30 personas, se mencionan a su vez a dos conjuntos:

Los que hablan francés y los que hablan español, así como su intersección (o sea los que hablan francés y a la ves español).

En estos problemas conviene usar diagramas de Venn para visualizar las relaciones entre los datos.

Sea:

? el conjunto de todas las personas en la reunión, y por dato su número de elementos es: n(?) = 30

F el conjunto de las personas que hablan francés: n(F) = 18

E el conjunto de las personas que hablan español: n(E) = 15

Y la intersección F ( E será el conjunto de las personas que hablan francés y español: n(F ( E) = 7

En un diagrama de Venn: colocamos los datos numéricos.

Luego: El número de personas que hablan francés pero no español es: 18 – 7 = 11

E igualmente el número de los que hablan español pero no francés es: 15 – 7 = 8

El número de los que no hablan francés ni español sería: 30 – (11 + 7 + 8) = 4

Luego: La probabilidad de que al escoger al azar a una persona de las 30 personas, ésta no hable francés ni español es:

Respuesta: La probabilidad de que al escoger al azar una persona, ésta no hable francés ni español es

• 34. Familiarización y comprensión:

Como cada dado tiene 6 caras, marcadas con puntos desde 1 al 6, al arrojar los dados, el número total de puntajes posibles de obtener, aplicando el principio de multiplicación de la Combinatoria es:

Estas 36 posibilidades serían:

De estas posibilidades las que suman un puntaje de ocho son:

(2;6) ; (3;5) ; (4;4) ; (5;3) ; (6;2) o sea 5 parejas.

Luego, la probabilidad de que al arrojar los dos dados se obtenga una suma igual a 8, es:

Respuesta:

La probabilidad de que al lanzar dos dados se obtenga una suma igual a 8 es

En la urna hay: 10 bolitas rojas.

15 bolitas verdes.

y 8 bolitas azules.

Para saber el mínimo número de bolitas que debemos sacar de la urna para tener la certeza que se ha sacado por lo menos 1 bolita roja y 2 bolitas azules, usaremos el método del caso crítico o más desfavorable que ya conocemos.

El caso crítico (o más desfavorable) será aquel en el que saquemos la mayor cantidad posible de bolitas pero sin que se cumpla la condición del problema.

Al sacar estas 26 bolitas quedarían en la urna 7 bolitas azules y todavía no cumplimos la condición, porque faltaría una bolita azul (para tener las 2 bolitas azules).

Luego, tenemos que sacar una bolita más (que va a ser azul) para tener la certeza de contar siempre con 1 bolita roja y 2 bolitas azules, por lo menos.

Respuesta: El número de bolitas que debemos sacar para tener la certeza de que en el grupo hay por lo menos una bolita roja y dos bolitas azules es 27.

• 36. Familiarización y comprensión

En un diagrama estadístico circular o de sectores circulares, se establece una correspondencia proporcional entre la medida del ángulo central del sector circular que representa a un rubro y el porcentaje del total que representa dicho rubro.

Así: 360° (una vuelta) corresponde al 100%

180° corresponde al 50%

Si x° corresponde al y%

Por proporcionalidad se obtiene:

Y se puede obtener el ángulo del sector circular o el porcentaje de un rubro determinado según sea el caso.

Búsqueda de estrategias:

Como ya hemos establecido, aplicaremos proporcionalidad directa para responder a las preguntas que se hagan en un diagrama circular, teniendo como partida que:

360° (una vuelta) corresponde al 100% (total) de los datos estadísticos

O sea que la suma de los ángulos de todos los sectores circulares debe ser 360° y la suma de los porcentajes representados por todos los sectores circulares debe ser 100%.

Ejecución del Plan:

Como nos faltan los porcentajes correspondientes a los rubros de Educación y "Reserva en efectivo", sumaremos todos los porcentajes y el resultado debe ser 100%, [por dato, si la compañía guardó como reserva en efectivo x%, en Educación invirtió el triple o sea (3x)% ].

De donde: 4x = 12

x = 3

Luego: En "Reserva en efectivo" se guardo: 3% y en Educación se invirtió 3 × 3 = 9%.

• (a) ¿Cuánto se invirtió en Educación?

Según hemos determinado, en Educación se invirtió el 9% del total de las inversiones

O sea: 9% de 250 000 dólares

• (b) ¿Cuál debe ser la medida en grados sexagesimales del ángulo central que corresponde al sector "Servicios Públicos"?

Sea "(" la medida del ángulo central del sector: "Servicios Públicos".

Del gráfico vemos que la inversión en Servicios Públicos fue el 35% del total y según hemos visto, la correspondencia proporcional que se debe plantear es::

Respuestas:

a) En "Educación" invirtieron 22500 dólares.

b) La medida del ángulo central que corresponde a "Servicios Públicos" es:

26° sexagesimales.

• 37. Como en la bolsa habían 4 bolas:

1 bola negra.

1 bola blanca.

2 bolas rojas.

Entonces al sacar dos bolas de la bolsa y siendo una de ellas roja, las posibles combinaciones que tendría en sus manos la persona serían:

(1 roja y 1 roja)

(1 roja y 1 negra)

(1 roja y 1 blanca)

Luego: La probabilidad de que la otra bola sea también roja es 1 caso favorable de un total de 3 posibles o sea .

Respuesta: La probabilidad de que la otra bola sea también roja es:

• 38.  Representaremos por ? a un caníbal y por ? a un misionero.

IMAGINACIÓN GEOMÉTRICA:

Observar que las 8 tarjetas son del mismo tamaño y forma y que la tarjeta A, es la que se ve completamente.

Después de hacer un análisis visual podemos deducir que el orden en que han sido colocadas empezando por la primera es: E – F – G – H – B – C – D – A.

El siguiente esquema muestra la forma:

Respuesta:

El orden en que se colocaron las tarjetas, comenzando por la última hasta llegar a la primera, fue: A – D – C – B – H – G – F – E.

En todo rectángulo (entre los cuales se incluye el cuadrado también) hay dos propiedades básicas relativas a áreas:

• 1) La diagonal de un rectángulo, lo divide en dos triángulos de igual área:

• 2) Si dos vértices adyacentes de un rectángulo se unen mediante un segmento con un mismo punto del lado opuesto, se forma un triángulo cuya área es la mitad de la del rectángulo y la suma de los otros dos triángulos será también la mitad de la del rectángulo.

En el gráfico del problema:

Como el área del cuadrado ABCD es 108cm2, al trazar la diagonal AC del cuadrado, por la propiedad (1), el área del triángulo ADC es la mitad del área del cuadrado o sea:

Igualmente, como el triángulo ADC ha sido formado uniendo 2 vértices adyacentes del rectángulo ACEF, con un punto D del lado opuesto, por la propiedad (2), el área de este triángulo ADC (que es 54 cm2) es la mitad del área del rectángulo ACEF.

Luego el área del rectángulo ACEF es: 2(54) = 108 cm2.

Respuesta: El área del rectángulo ACEF es 108 cm2.

• 41.  Familiarización y comprensión:

En el diagrama se muestra el triángulo QPR con la medida de dos de sus ángulos interiores (falta el tercero) y también se muestran tres ángulos consecutivos al mismo lado de una línea recta y exactamente uno de estos ángulos es el ángulo del triángulo cuya medida no conocemos.

Búsqueda de estrategias:

Para hallar "x" aplicaremos:

• 2) La suma de las medidas de los tres ángulos interiores de un triángulo es 180°.

• 3) La suma de las medidas de los ángulos consecutivos y que están a un mismo lado de una recta es 180°.

Ejecución del Plan:

Por la propiedad (1), en el triángulo QPR: 46 + 52 + m = 180°

De donde despejando m = 180° – 98 = 82°

Por la propiedad (2), en la recta QRS: la suma de los tres ángulos consecutivos es 180°

m + x + 25 = 180°

y reemplazando m = 82 y despejando: x = 180 – 25 – 82 = 73

Luego: x = 73°

Respuesta: El valor de x es 73°

• 42. Familiarización y comprensión:

El siguiente esquema muestra como sería el área del terreno de la casa de la familia Maldonado y de cómo estaría sujeto su perro Gastón.

Tenemos que determinar el área cubierta o protegida por Gastón.

Búsqueda de estrategias:

Tenemos que visualizar las figuras que se formarán al desplazarse Gastón alrededor de la casa y luego calcularemos el área de cada figura aplicando las fórmulas correspondientes y por último sumaremos los resultados.

Ejecución del Plan:

Gastón al desplazarse, sujeto al punto P con la cuerda de 20 m de largo, formará las siguientes figuras.

Parte (a)

Podemos observar que se formó:

Los de un círculo de radio 20m más 2 cuartos de círculo de radio 10 metros.

o sea de un círculo de radio 20m más círculo de radio 10m.

Parte (b):

Calculando:

Área de de un círculo de radio 20m:

Área de de un círculo de radio 10m:

Luego:

El área en metros cuadrados de la zona por la que se podrá mover Gastón es:

300( + 50( = 350(.

O efectuando operaciones: 350 × (3,1416) = 1099,56m2.

Respuesta: El área, en metros cuadrados, de la zona por la que se podrá mover Gastón es 1099,56 m2.

• 43. Familiarización y comprensión:

Los puntos E y F son puntos medios de los lados y CD respectivamente del cuadrilátero ABCD.

Si el vértice A, lo unimos con estos puntos E y F se forma un cuadrilátero AECF que, según dato, tiene un área de 15cm2.

Ahora nos piden hallar el área del cuadrilátero ABCD en cm2.

Búsqueda de estrategias:

Como se ha unido el vértice A a los puntos medios de BC y CD podemos formar los triángulos ABC y ACD y las líneas trazadas AE y AF serían medianas de estos triángulos y luego aplicaremos la siguiente propiedad de la mediana:

Propiedad:

Cualquiera de las medianas de un triángulo divide al triángulo en otros dos que tienen la misma área.

Como E es el punto medio de BC, AE es una mediana y como los triángulo ABE y AEC tienen bases de igual medida (BE = EC) y también tienen igual altura entonces tendría igual área. Luego:

Área de ABE = Área de ACE.

Ejecución del Plan:

Si en la figura dada como dato, se une el vértice A con los puntos E; C y F, se tendría:

DATO:

ÁREA DEL CUADRILÁTERO AECF 15cm2.

En esta figura, se formó el triángulo ABC, y donde, por ser E el punto medio de BC, se tendría que AE es mediana del triángulo ABC.

Por la propiedad de la mediana, los triángulos ABE y AEC tiene la misma área. Representaremos por "a" al valor del área de cada uno de estos triángulos.

Igualmente, en el triángulo ACD, AF es la mediana y los triángulo ACF y AFD tiene la misma área. Representaremos por "b" al valor del área de cada uno de estos triángulos:

Como podemos observar el área que tenemos que hallar (del cuadrilátero ABCD) se puede descomponer como la suma de las áreas de 4 triángulos indicados en la figura:

ó

Pero: (a + b) es equivalente al área del cuadrilátero AECF que por dato es 15cm2.

Luego:

Respuesta: El área del cuadrilátero ABCD es 30 cm2.

• 44. Nos piden: ¿Qué fracción del rectángulo ABCD esta sombreada?

Luego tenemos que hallar:

Para determinar esta relación, podemos dividir el rectángulo ABCD (cuyo ancho es 6 unidades) en 6 rectángulos pequeños de ancho una unidad y cuyas alturas sean iguales a las del rectángulo ABCD.

Cada uno de estos rectángulos representaría la sexta parte del rectángulo grande.

Como observamos en la figura, la línea MN es una diagonal del tercer rectángulo pequeño y por la propiedad analizada en un problema anterior, esta diagonal dividirá al rectángulo pequeño en dos triángulos de igual área.

Luego el área de cada uno de estos triángulos será la mitad de o sea:

del rectángulo.

Ahora sí podemos hallar el área sombreada:

Y como:

Se tiene que:

Área sombreada ABMN = del área del rectángulo.

Y despejando hallamos la razón ó fracción pedida:

Respuesta: El área sombreada es los del área del rectángulo ABCD.

• 45. 

En este problema nos piden el valor de la siguiente razón:

Primera forma:

Por dato si el radio del círculo grande es 6 unidades, el radio del círculo pequeño es: unidad y el radio del círculo mediano es el doble del radio del círculo pequeño ó sea: 2 unidades.

Luego, aplicando la fórmula del área del círculo: Área = ? (radio)2

A del círculo grande = ? (6)2 = 36 ? unidades cuadradas.

A del círculo mediano = ? (2)2 = 4 ? unidades cuadradas.

A del círculo pequeño = ? (1)2 = ? unidades cuadradas.

Pero el área sombreada sería:

(Área total del círculo grande) – (Área del círculo mediano) – 2(Área del círculo pequeño)

o sea: Área de la figura sombreada = 36 ? – 4 ? – 2 (?? = 30 ?.

Ahora si podemos hallar la relación pedida:

y simplificando:

Respuesta: Está sombreado los del círculo grande.

Segunda forma:

También podríamos usar proporcionalidad diciendo:

Como la fórmula del Área del círculo = ? (radio)2

Se observa que: el área de un círculo es DIRECTAMENTE PROPORCIONAL al cuadrado del radio.

Ahora según datos:

Los radios de los círculos pequeño, mediano y grande son como 1 ; 2 y 6 respectivamente.

Y como las áreas son proporcionales a los cuadrados de los radios; entonces:

Las áreas serán como: 12 = 1 22 = 4 y 62 = 36

Luego el área del círculo grande es como 36

Y el área sombreada es como 36 – 4 – 2(1) = 30

Reemplazando en la fórmula pedida:

• 46. El siguiente es un rectángulo que ha sido dividido en 4 rectángulos más pequeños y donde los números dados indican el área (en medidas cuadradas) del rectángulo pequeño donde se encuentran.

Si llamamos a, b, c y d, a las medidas de unidades de los lados mostrados y sabiendo que en los rectángulos los lados opuestos tienen igual medida, podemos aplicar las fórmulas del área para cada rectángulo.

b × c = 9 (1)

a × c = 6 (2)

a × d = 10 (3)

Multiplicando miembro a miembro (1) y (3)

b × c × a × d = 9 × 10

y reemplazando la relación (2): a × c = 6, obtenemos que:

b × 6 × d = 90

de donde: b × d = 15

y esta última relación es precisamente el área del 4° rectángulo.

Luego:

Área del rectángulo grande: 6 + 9 + 10 + 15 = 40

Respuesta: El área del rectángulo grande es 40 unidades cuadradas.

Como según dato la figura siguiente en forma de "jarra":

Ha sido formada por tres "cuartos de circunferencia" y un "tres cuartos de circunferencia", podemos completar las 4 circunferencias y obtenemos la siguiente figura.

Ahora, los "cuarto de circunferencia" a, b y c, que forman parte de la "jarra" los podemos trasladar a los cuartos de las circunferencias en blanco que están dentro del cuadrado.

Luego, estaríamos mostrando que el área del cuadrado es equivalente al área de la jarra y como el lado del cuadrado es el doble del radio mide: 10 + 10 = 20 cm.

( El área de la jarra es: 20 × 20 = 400cm2.

Respuesta: El área de la figura en forma de jarra es 400cm2.

48.

Si ABCD es un rectángulo, nos piden determinar.

¿Cuál de los rectángulos sombreados S1 ó S2 en la siguiente figura tiene mayor área?

Nuevamente en este problema aparece una diagonal que divide a un rectángulo en triángulos de igual área.

Si colocamos letras de identificación a los vértices:

En el rectángulo mBnr la diagonal la divide en dos triángulos de igual área. Llamaremos "a" al valor del área de cada triángulo.

En el rectángulo qrpD la diagonal rD lo divide en dos triángulos de igual área. Llamaremos "b" al valor del área de cada uno de estos triángulos.

También llamaremos S1 y S2 a las áreas sombradas.

Pero, en el Rectángulo AVCD, la diagonal BD también lo divide en dos triángulos de igual área:

Área del triángulo ABD = Área del triángulo DBC

Y reemplazando los valores:

a + S1 + b = a + S2 + b

de donde cancelando a y b queda que:

S1 = S2

Respuesta: Los rectángulos sombreados tienen igual área.

INVESTIGACIONES MATEMÁTICAS

INVESTIGACIÓN Nº 1: LOS PENTOMINÓS

• a) ¿Cuántos Pentominós diferentes existen?

De acuerdo a las condiciones dadas para formar los Pentominós y luego de hacer los análisis correspondientes, nos damos cuanta que existen 12 posibles "Pentominós" y sus formas son:

Para acordarse de los 12 Pentominós pueden notar que sus formas parecen la últimas letras del alfabeto: T, U, V, W, X, Y y Z, además de las letras diferentes de la palabra FELIPIN (F ; I ; L ; P y N).

• b) Usando cada Pentominó diferente una sola vez recubre exactamente el área de los siguientes rectángulos:

Solución:

INVESTIGACIÓN Nº 2: ROTULAN ARROZ

EJEMPLO 1:

De la noticia podemos leer los siguientes datos:

Se decomisó 50 toneladas de arroz = 50 × 1000 = 50000 kilos de arroz.

Se decomisaron: 1170 sacos de arroz.

El producto decomisado está valorizado en: 60 mil soles aproximadamente.

Solución a las preguntas del primer ejemplo:

• 1) Si todos los sacos de arroz tienen el mismo peso

¿Cuántos kilos de arroz entran en un saco?

Según dato en los 1170 sacos entran 50000 kilos de arroz.

Luego, en cada saco entran:

• 2) ¿Cuál es el precio de un kilo de arroz?

Según dato el valor de los 50000 kilos de arroz es 60000 soles aproximadamente,

Luego, cada kilo de arroz vale:

• 3) ¿Cuál es el precio de un saco de arroz?

Como el precio de un kilo de arroz vale 1,20 soles y en cada saco entran 42,74 kilos, entonces, el precio del contenido de un saco es:

EJEMPLO 2:

Solución a las preguntas del primer ejemplo:

• 1) ¿Cuántas manos de plátano fueron incautadas por la policía?

Como 5 unidades de plátano forman 1 mano de plátanos, las 20000 unidades de plátano incautadas formarán:

20000 : 5 = 4000 manos de plátanos.

• 2) ¿Cuál es el valor en soles de los plátanos incautados por la policía?

Como se incautaron 20000 unidades de plátano, esta cantidad equivale a 20 millares y como el precio del millar del plátano incautado es 30 soles, el valor de los plátanos incautados es:

• 3) Si el precio del plátano ecuatoriano es treinta soles el millar y el precio del plátano nacional es setenta soles el millar según informan, entonces el precio del plátano ecuatoriano ¿cuánto por ciento inferior es con respecto al precio del plátano nacional? Compara tu resultado con el de la noticia y coméntalo.

Considerando el precio del plátano nacional como referencia:

El precio del plátano nacional es: S/. 70 el millar . . . . . 100%

El precio de plátano ecuatoriano es: S/. 30 el millar . . . . . x%

Y es inferior que el plátano nacional, es: S/. 40 el millar . . . . . y%

Luego, resolviendo las reglas de tres simple directas, para despejar "x" e "y":

Luego, el precio del plátano ecuatoriano es (y): 57,14% inferior al precio del plátano nacional y no 70% como informaron en la noticia.

Autor:

Carlos Alberto Yampufe Requejo