Metodos cuantitativos I – Cuaderno de trabajo para el examen departamental

Introducción

En el cuaderno, se presentan ejemplos similares a las preguntas que aparecen en el examen departamental. Los ejemplos están resueltos paso a paso y con observaciones que le facilitarán su comprensión. Para obtener los mejores resultados en su examen departamental, se requiere que usted tenga y domine los conocimientos básicos de Algebra de la secundaria y bachillerato.

Durante el curso de Métodos Cuantitativos 1, se recordarán dichos conocimientos, además, se plantearan y resolverán ejercicios para mejorar sus habilidades en su uso y aplicación. El examen departamental solo evalúa conocimientos básicos y de ninguna manera evalúa todo el curso. El trabajo en la resolución de los ejercicios lo familiarizará con los temas que se evalúan en el examen departamental y con el grado de dificultad que debe dominar. El trabajo continuo le permitirá ganar confianza hasta que la naturaleza y lenguaje de las preguntas se le haga familiar.

Podrá darse cuenta en qué puntos o áreas se encuentra más débil y en cuales más fuerte y así enfocar sus esfuerzos en los puntos más débiles, ahorrándole tiempo en la preparación de su examen. Aunque en el curso no se cubran los temas incluidos en el examen, no será pretexto para que usted no los pueda resolver. Tiene ésta guía como apoyo y las asesorías que se imparten en el Departamento de Físico – Matemáticas. Durante el curso se trabajará con cantidades variables y cantidades fijas. En todos los casos, las cantidades se refieren a números reales. Las cantidades se representarán con los símbolos conocidos de los números, con letras o con una combinación de números y letras. Los números reales tienen ciertas propiedades y siguen ciertas reglas, como en cualquier juego o deporte. Deberá recordar éstas y usarlas correctamente.

El éxito en el examen dependerá de:

Su competencia en la materia

Entendimiento de la naturaleza del examen y de las condiciones en las que lo presentará.

Actitud emocional y grado de confianza.

Recomendaciones

Lea el problema una vez para tener una idea general de lo que se le pregunta. Determine qué se le pregunta.

Lea el problema por segunda ocasión para identificar y relacionar los datos.

Lea el problema por tercera vez para usar los hechos específicos y decidir que método y que ecuaciones necesitará para resolverlo.

En caso de ser necesario, haga dibujos o esquemas para aclarar el problema.

Aprenda a leer el formulario y el significado de las letras que aparecen en las fórmulas.

Resuelva, primero, los problemas que crea le son más fáciles.

Relacione correctamente los datos y las incógnitas con las letras que aparecen en las ecuaciones.

Verifique sus cálculos.

Resuelva el examen de práctica del cuaderno.

Trate de resolver sus asuntos pendientes antes de entrar al examen y hacer todas las llamadas por teléfono que tenga que hacer.

No coma mucho antes del examen y acuda al baño si es necesario.

Lleve consigo lápiz y calculadora (No graficadora o programable).

Al estudiar, en el cuaderno de trabajo, recuerde que si algo no le queda claro:

Consulte las referencias

Consulte a su profesor o

Consulte las asesorías que se imparten en el Departamento de FÍSICO-MATEMATICAS.

Ejemplos resueltos

Razones proporciones y porcentajes

La división de los números reales da lugar a los conceptos de razón, de proporción y porcentaje, debe aprender o recordar el significado práctico de éstos conceptos y manejarlos con facilidad.

Razón

Se llama razón al resultado de dividir dos cantidades, razón =

Si la cantidad es mayor que b, b es el número de partes en que se dividirá la cantidad y la razón nos dice el valor de cada parte. Por ejemplo, 245/5= 49.

Esto es, cada una de las 5 partes en que se dividió 245 vale 49 o la razón es igual a 49

Si la cantidad es menor que b, la razón nos dice que parte del total b es la cantidad Por ejemplo, 5/25= 0.2.

Esto es, cada una de las 25 partes en las que se divide el 5 vale 0.2 o la razón es igual a 0.2

Porcentajes

El resultado de dividir un número multiplicado por 100 es el porcentaje. Esto es, el valor de la razón multiplicada por cien es un porcentaje

Ejemplos de porcentajes:

Sea el número 3200, ¿qué porcentaje es 640 de dicho número?

Dividiendo 640 entre el total, 640/3200 =1/5 = 0.20. Esto es, 640 es el 0.2 X 100 = 20% de 3200.

Quiere decir que 640 es la quinta parte o el 20% de 3200. Si fuera un pastel de 3200 gramos, se tendrían 5 rebanadas de pastel de 640 gramos.

Se puede hacer la pregunta en otra forma, ¿qué número es el 20% de 3200?

Primero ponemos el porcentaje en forma decimal dividiendo entre 100, 20/100 = 0.2, Luego dividimos la incógnita entre el total e igualamos a 0.2,

Despejando,

¿Qué porcentaje es 1500 de 225?

Dividimos 1500/225 y multiplicamos por 100. Esto es, 1500 es el 666.66% de 225. Quiere decir que 1500 es 6.666 veces más grande que 225

El porcentaje se expresa como tanto por ciento o en forma decimal dividiendo entre 100. Se puede hablar del 16 % de una cantidad o se puede decir 0.16 de la cantidad. La notación decimal se la encontrará en diferentes partes de su curso y de su examen

Proporción.

Es la comparación entre dos razones La proporción nos dice que:

El valor de cada parte de la primera razón es igual valor de cada parte de la segunda razón. La proporción permite usar la llamada "regla de tres".

Ejemplos de proporción:

¿Qué porcentaje es 25 de 625?

Como "regla de 3", 625 es al 100% como 25 es a

4% o 25 es el 0.04 de 625

Ejemplo 1

En los siguiente ejemplos además, del concepto de porcentaje debe plantear una ecuación de acuerdo a lo que se pregunta y los datos del problema.

Un producto, con un descuento del 12%, se vende en $4500. El valor original del producto es.

$4500 es igual al valor original (X) menos el 12% del valor original, esto es el 88% del valor original. En fórmula, queda

X – (12/100) X = $4500, o simplificando: X (1- 0.12) = 0.88 X = $4500

X = 4500/0.88 = $5113.64

¿Con qué porcentaje de descuento se vendió un pantalón si originalmente costaba $1250 y se vendió en $850?

$850 es igual al valor original menos el porcentaje de descuento por el valor original, en fórmula:

850 = 1250 – (X%/100)1250

despejando el porcentaje,

(X%/100) = (1250 – 850)/1250 = 0.32.

Esto es, se vendió con el 0.32 100 = 32 % de descuento

Un tanque tiene 40 litros cuando se encuentra al 20% de su capacidad, ¿cuántos litros tendrá cuando se encuentra al 80 % de su capacidad?

Podemos usar una proporción o la "regla de 3"

40 es a 20%, como X a es 80%. Resolviendo: X = (80)(40)/20 = 160 litros

Problemas de Mezclas.

Problemas de planteamiento de dos ecuaciones con dos incógnitas, usando el concepto de una cantidad que es un porcentaje o parte de algo.

Ejemplo 2.

La cantidad de leche con 12% de vitaminas que se le debe agregar a 5 litros de leche con 18% de vitaminas para obtener leche con el 14% de vitaminas es:

Se tienen dos tipos de cantidades, litros y vitaminas. De las cuales, 3 cantidades se refieren a litros y 3 cantidades se refieren a porcentajes o cantidad de vitaminas.

Dado que se tienen dos incógnitas, se requieren de dos ecuaciones para resolver el problema. La primera se plantea igualando cantidades en litros y la otra igualando cantidades de vitaminas.

Identificamos y etiquetamos las cantidades que aparecen en el problema:

Sean A y B las cantidades en litros de las leches con diferentes porcentajes de vitaminas y T la cantidad de litros de leche resultante. A es dato, B y T son incógnitas.

Sean PA y PB los porcentajes de vitaminas en A y en B, respectivamente y PT el porcentaje total de vitaminas en la mezcla. PA, PB y PT son datos.

Nota, el porcentaje se maneja en forma decimal (%/100)

Ecuaciones:

En general:

A + B = T . . . . . . . . . (1)

(P A /100) A + (P B /100) B = (PT/100) T . . . . . . . . . (2)

El término (P A /100) A es la cantidad de vitamina que contiene la leche tipo A.

De acuerdo a los datos e incógnitas del problema:

5 + B = T

0.18 (5) + 0.12 B = 0.14 T.

Observe que en la primera ecuación se suman litros y se obtienen litros y en la segunda se suman vitaminas y se obtienen vitaminas.

Resolviendo el sistema de ecuaciones por cualquier método (suma y resta, sustitución, matrices, etc.), se obtiene que se deben agregar B = 10 litros de leche con 12% de vitaminas.

En este tipo de problemas se tienen 6 cantidades, se proporcionan 4 como datos y se dejan 2 como incógnitas, en cualquier caso el sistema de ecuaciones es similar.

Por ejemplo, se pueden dar dos porcentajes y dos cantidades y dejar un porcentaje y una cantidad como incógnitas.

Se puede cambiar la redacción y en lugar de líquidos usar sólidos o gases, es más se puede cambiar el enunciado a inversiones con 2 cantidades a diferentes porcentajes de rendimiento para obtener un rendimiento combinado, como en el siguiente caso.

Se tienen $50,000 para invertir en una inversión de alto riesgo que rinde el 18% anual y una inversión de bajo riesgo con un rendimiento anual del 9%. ¿Cuánto se debe invertir en cada una para tener un rendimiento total del 12%?

En este caso, las incógnitas son las cantidades que se invierten en cada tipo de inversión, son datos el total invertido y los porcentajes. Se deja como ejercicio que haga las sustituciones adecuadas y resuelva el sistema de ecuaciones.

Este tipo de problemas se pueden simplificar a un problema de una incógnita, en el cual solo se requiere de una ecuación, como el siguiente:

Ejemplo 3

La cantidad, en porcentaje, de tamarindo que deben tener 30 litros de agua para que al agregarlos a 20 litros de agua, con el 12% de tamarindo, se tenga agua con el 14 % de tamarindo, es:

Planteamos la ecuación en términos de la cantidad de tamarindo

X (30) + 0.12 (20) = 0.14 (50)

Recuerde que en esta ecuación se maneja el porcentaje en forma decimal y cada término representa cantidad de tamarindo en cada recipiente de agua.

Simplificando números y despejando

X = (7 – 2.4)/30 = 0.1533

Por lo tanto el porcentaje de tamarindo que deben tener los 30 litros que se agregan es:

X% = (0.1533)(100) = 15.33%

Tiempo en hacer un trabajo entre dos objetos o personas.

Enunciado general del problema

Un objeto o persona hace una cantidad total de trabajo en un tiempo 1 y otro objeto o persona hace la misma cantidad de trabajo en un tiempo 2. ¿En qué tiempo hacen el trabajo si lo hacen juntos?

Primero, identificamos y etiquetamos las cantidades que aparecen en el problema:

Cantidad de trabajo total = W

Tiempo en que el primer objeto o persona hace el trabajo = t1

Tiempo en que el segundo objeto o persona hace el trabajo = t2

Tiempo en el que se hace el trabajo si trabajan juntos = t

La cantidad de trabajo que se hace individualmente en la unidad de tiempo es:

Para el primer objeto o persona

Para el segundo objeto o persona

Segundo, establecemos una ecuación que relacione las cantidades involucradas

La primera parte de la ecuación nos dice la cantidad de trabajo que hace 1 en el tiempo total t. La segunda parte de la ecuación nos dice la cantidad de trabajo que hace 2 en el tiempo total t. La suma de las dos partes es igual al trabajo total.

Cada uno de los términos que se suman se puede obtener usando una "regla de tres" o proporción. En t1 se hace el trabajo W, en t se hace X cantidad de trabajo. Esto es, t1 es a W como t es a X.

Ejemplo 4

Una persona hace 20 pasteles en 3 días y la otra los hace en 2 días. El tiempo en que se hacen los 20 pasteles si trabajan juntas las dos personas es:

Identificamos los datos y la incógnita para sustituir en la fórmula

Simplificando y despejando

días

Observe que 20/3 = 6.67 es el número de pasteles que hace 1 cada día y 20/2 = 10 es el número de pasteles que hace 2 cada día. Si multiplicamos por el tiempo total nos dice cuantos pasteles hizo cada uno.

Nota. En estos problemas no se requiere la cantidad de trabajo total para resolverlos.

Ecuaciones y Despejes

En el mundo de los negocios, de las economías globalizadas, del manejo de los recursos naturales, del movimiento de los mercados, de la publicidad, etc., se manejan diferentes cantidades y las relaciones que existen entre éstas (ecuaciones o modelos matemáticos).

El uso adecuado de las ecuaciones requiere que se transformen para acomodarlas de acuerdo a las necesidades o resultados buscados.

Las propiedades de los números reales junto con el concepto de igualdad para formar una ecuación le permitirán hacer despejes. Esto es, manipular, modificar, transformar, las ecuaciones para llegar a los resultados que le piden.

Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones algebraicas.

Una expresión algebraica es una combinación de cantidades expresadas en forma de letras y números.

Concepto de igualdad. Lo que se tiene de un lado del símbolo " = " es igual a lo que se tiene del otro lado. Si se modifica un lado de la igualdad se debe modificar exactamente en la misma forma el otro lado para que siga siendo una igualdad. Por supuesto que ya no se tendrá lo mismo que al principio, se transformó, pero sigue siendo una igualdad.

Recuerde que todo lo que modifique de un lado de una igualdad se lo debe modificar en la misma forma a todo el otro lado.

A continuación, se presenta un caso de despeje o transformación de una ecuación usando las reglas de los números y al final se establecerán dos reglas empíricas que le pueden ayudar

Despejar significa modificar o transformar una ecuación, de tal manera que, al final, la incógnita o cantidad que se quiere despejar quede sola de un lado de la igualdad y del otro lado todos los demás elementos o cantidades de la ecuación original.

Uso de las reglas de los números para resolver ecuaciones o hacer "despejes"

Ejemplo 5

Despeje la letra p en la igualdad

Multiplicando ambos lados de la ecuación por 2 y simplificando:

Multiplicando ambos lados por 3 y simplificando:

Por último dividiendo ambos lados entre 5: , , por lo que:

Observe, que en cada paso se usaron las reglas o propiedades de los números reales y el concepto de igualdad.

Reglas que se pueden usar:

Cualquier cantidad que se encuentre sumando ( o restando) en un lado de una igualdad, se puede quitar de ese lado y "pasar" al otro lado restando (o sumando)

Cualquier cantidad que se encuentre dividiendo (o multiplicando), se puede "quitar", multiplicando (o dividiendo) TODOS los demás términos de la igualdad ( de un lado y del otro)

Ejemplo 6

Despeje en ecuaciones con letras:

El resultado de despejar M en la ecuación es:

Multiplicando ambos lados por el denominador (regla 2)

Multiplicamos por 25

Restamos los términos que suman (regla 1)

Dividiendo entre 25 (regla 2) y factorizando el término común

Nota. No es el único camino, se pudo haber restado primero el 10 y luego multiplicar.

Exponentes

Simplificación con Exponentes.

En el producto, se suman los exponentes

En una cantidad elevada a una potencia y luego a otra potencia se multiplican las potencias.

En la división se restan los exponentes

Una raíz se puede expresar como un exponente fraccionario y viceversa.

Cualquier número elevado a la cero es igual a uno excepto el cero

Ejemplo 7

Simplifique la expresión:

Para resolver el ejercicio, debe recordar las propiedades de los exponentes:

Pongo las raíces en forma de potencias fraccionarias.

Aplicando la regla 2 a cada una de las cantidades en el paréntesis

Aplicando la regla 1 y 3 a los términos semejantes.

Ecuaciones o funciones de Oferta o Demanda (lineal)

En una ecuación de demanda o de oferta se relacionan las cantidades precio p en función del número de unidades q de producto comercializados.

Una función lineal es de la forma y = mx + b. Para las variables del ejercicio

p = mq + b

Dados dos puntos con coordenadas (x1, y1) y (x2, y2), se puede encontrar la ecuación o función, calculando el valor de la constante m (pendiente) y de la constante b (ordenada al origen)

Ejemplo 8

Si el precio de una computadora es de $8,500, se venden 200 computadoras, y si su precio es de $8.000, se venden 250. Encuentre la ecuación o función de demanda, suponiendo una relación lineal ente las variables.

Primero, identificamos que se trata de una ecuación lineal (a partir del enunciado del problema)

Segundo, identificamos las variables y asociamos los valores del problema como las coordenadas de dos puntos: q1 = 200 y p1 = $8,500, q2 = 250 y p2 = $8,000

Tercero, calculamos la pendiente con la fórmula:

$/articulo

Cuarto, la otra constante (ordenada al origen) y la ecuación pedida, se encuentran simplificando la fórmula.

Observe que, en el caso de oferta o demanda, el precio (p = y) es una variable que depende del número de productos comercializados (q = x). El cuarto paso, también, se pudo haber calculado con el otro punto (250, 8000).

Logaritmos y sus propiedades.

El logaritmo de un número (A) es la potencia (n) a la cual se debe elevar la base (b) para obtener el número.

en forma exponencial

Ejemplo 9

Cálculo de un logaritmo con una base diferente a la de la calculadora.

El es:

La calculadora maneja base "10" o el número "e", por lo que no se puede usar directamente.

Primero. Escribimos el logaritmo en forma exponencial (definición de logaritmo)

Segundo. Usamos la propiedad de logaritmos que permite escribir el exponente como producto. Aplicando logaritmo (base 10 o e) en ambos lados:

Tercero. Con la calculadora obtenemos los logaritmos y calculamos:

Ejemplo 10

Simplificación de ecuaciones con logaritmos.

El valor de c , en la igualdad: es:

Reacomodando la igualdad:

Usando las propiedades de los logaritmos, para la resta de dos logaritmos, simplificamos:

Escribiendo el logaritmo en forma exponencial (definición de logaritmo):

Usando las reglas para despejar:

Ejemplo11

Despeje de una incógnita que aparece en el exponente:

El valor de x en la ecuación: es:

Primero, simplifique números:

Aplicando logaritmo en ambos lados de la igualdad y usando propiedades de logaritmos:

,

Simplificando:

Restamos 1 y dividimos entre 3

NOTA: 1) La notación, "log" significa usar base 10 y

2) Si se usa logB B = 1, se simplifica un término.

Aplicación a un ejercicio de Interés compuesto.

Aplicación de logaritmos y sus propiedades en el caso de un interés compuesto.

Este es el caso en el que se pone un capital a un interés anual fijo y se reinvierte la inversión más el interés. Se llama compuesto ya que la reinversión se puede hacer cada tres meses, cada mes, cada día, etc.

Se invierten Co = $10,000 al 14 % compuesto trimestralmente, El tiempo para tener un capital de $19897.88 es:

Fórmula:

Trimestralmente significa que la reinversión, capital más lo que se ganó, es cada 3 meses.

Entonces, el interés se tiene que dividir entre 4 ya que al año hay 12 meses o 4 trimestres y la reinversión se hace n = 4 veces cada año.

Sustituyendo los datos:

Ejemplo 12

Una máquina tiene un valor original de $ 18000 y de $10,000 al cuarto año que se compró. Si el valor de la máquina se deprecia en forma de una progresión aritmética, su valor al sexto año es:

Ejemplo 13

Una máquina tiene un valor original de $ 18000 y de $10,000 al cuarto año que se compró. Si el valor de la máquina se deprecia en forma de una progresión geométrica, su valor al sexto año es:

En forma similar al ejercicio anterior, se busca el valor de la máquina cuando n es igual a 6 pero, antes se calcula el valor de la razón R con el valor original y con el valor al cuarto año.

Ejemplo 14

El costo de un producto es igual a 10q +1000, si el equilibrio ocurre cuando q = 200, la ecuación de utilidad es:

Primero. Recordamos la ecuación de utilidad y su relación con el ingreso y el costo.

U = I – C = pq – (10q + 1000)

Segundo. Se observa que falta el precio para poder establecer la ecuación en función del número de artículos "q" que se fabriquen y vendan

Tercero. En el equilibrio, se iguala el ingreso con el costo. Se sustituye el valor de q en equilibrio y se encuentra el valor del precio de venta.

I = C

p(200) = 10(200) + 1000

p = (3000)/200 = $15 (precio de venta para tener equilibrio al vender 200 unidades de producto)

Cuarto. Escribimos la ecuación de utilidad o ganancia:

U = 15q -10q -1000

U = 5q -1000

Utilidad y ecuación cuadrática

Dado el ingreso y el costo resolver una ecuación cuadrática para un valor particular de la utilidad.

Ejemplo 15

Se tienen dos soluciones, en q = 32 y q = 12 se obtiene la utilidad pedida.

Observe que en éstos valores de "q" no se tiene la utilidad máxima.

Nota. Tenga cuidado con el manejo de los signos.

Algebra y Factorización

Los números se pueden expresar como el producto de otros números, por ejemplo el 66 se puede expresar como 6 11 = 2 3 11.

De igual forma las expresiones algebraicas se pueden expresar como producto de factores.

Los productos especiales que aparecen en el examen son de la forma:

Ejemplo 16

Factorice la expresión:

La expresión se parece al primer caso, en donde el "– 7" es la suma de dos números que multiplicados deben ser 12. Los dos números buscados deben ser negativos ya que el producto es positivo y la suma negativa.

Los números "– 6" y "- 1" suman "– 7" pero su producto no es 12, seguimos buscando y encontramos que – 3 y – 4 suman – 7 y su producto es igual a 12 por lo tanto la factorización es:

Factorice la expresión:

Esta expresión se parece al segundo caso (diferencia de cuadrados), se observa que el número buscado debe ser () por lo que la factorización es:

División de quebrados con expresiones algebraicas.

Recuerde la mecánica que se sigue para dividir quebrados con números ("Ley del sándwich"). Por ejemplo,

Suma o resta de quebrados con números. Se busca un común denominador, multiplicando los denominadores y con éste se siguen los siguientes pasos. Por ejemplo,

Los mismos pasos que hace con números se deben hacer para sumar, restar, multiplicar o dividir quebrados con expresiones algebraicas.

Ejemplo 17

simplifique la siguiente expresión:

Primero hacemos la resta, en donde el común denominador es el producto de los denominadores

Observe con cuidado que, se hicieron exactamente los mismos pasos que en una operación de quebrados con números (encontramos el común denominador, dividimos entre el primero y multiplicamos por el de arriba y luego dividimos entre el segundo y multiplicamos por el de arriba).

Regresamos a la expresión original

Aquí, otra vez, hicimos lo mismo que si tuviéramos números para hacer la división. Ahora simplificamos.

El resultado de simplificar la expresión es:

Factorizamos y simplificamos

Observe que el término (x – 4)/(x – 4) no se elimina, es igual a 1

Planteamiento de ecuaciones.

Lea con cuidado el problema, identifique las cantidades involucradas, de éstas vea cuales son incógnitas, cuales son datos y use una letra para representarlas.

Escriba las ecuaciones, teniendo cuidado de igualar siempre objetos, cosas o cantidades que sean iguales.

Ejemplo 18

Se fabrican 3 tipos de lentes: clásicos, normales y modernos. Se requiere de: 1 unidad de titanio, 5 de aluminio y 2 de plástico para fabricar los clásicos; 2 de titanio, 4 de aluminio y 3 de plástico para los normales y 5 de titanio, 2 de aluminio y 1 de plástico para los modernos. Si se tienen en inventario 400 unidades de titanio, 850 de aluminio y 500 de plástico, el número de lentes que se pueden fabricar de cada uno, usando las existencias en el inventario, son:

Para resolver el problema:

Las cantidades involucradas son: cantidad de los productos que se fabrican, cantidad de material requerido para fabricar cada producto y cantidad de material disponible

Identificamos las incógnitas: Cantidad de lentes de cada uno

Etiquetamos las variables con alguna letra que me indique la incógnita:

En este caso, las incógnitas son:

Número de lentes clásicos = C

Número de lentes normales = N

Número de lentes modernos = M

Conviene hacer una tabla en forma de matriz para ordenar la información

A partir de la tabla podemos establecer un sistema de ecuaciones para encontrar el número de lentes fabricados de cada tipo.

Debido a que se tienen tres incógnitas, se requieren tres ecuaciones para hallar una solución única. Las ecuaciones son:

C + 2 N + 5 M = 400 . . . . . . . . . . . . 1

5 C + 4 N + 2 M = 850 . . . . . . . . . . . . 2

2 C + 3 N + M = 500 . . . . . . . . . . . . 3

Observe que realmente se igualan cosas iguales, cantidad de titanio con cantidad de titanio, cantidad de aluminio con aluminio, etc.

Resolvemos el sistema de ecuaciones por el método de suma y resta y se obtiene aproximadamente:

C = 73, N = 111 y M = 21

Método de suma y resta para resolver el sistema:

Primero, se elimina una incógnita para reducir a un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas y luego se elimina otra incógnita para reducir a una ecuación con una sola incógnita.

El método requiere que una de las variables tenga el mismo coeficiente en dos ecuaciones para que al sumar (o restar) las ecuaciones desaparezca esa incógnita

Multiplicando la ecuación 1 por (-5) y sumándola a la ecuación 2

Con el valor de M sustituimos en la ecuación 4 o 5 para obtener el valor de N y con el valor M y N se sustituye en cualquiera de las tres primeras ecuaciones para obtener el valor C

Observe que se puede plantear, en general, el problema para 3 objetos, (en este caso lentes de diferente tipo), que se fabrican con tres materiales diferentes (en éste caso, titanio, aluminio y plástico). En cualquier caso, una matriz nos ayuda a organizar la información y así es más fácil plantear las ecuaciones. El problema se puede generalizar para más objetos y más materiales de construcción.

Ejemplo 19

En el examen aparece un problema con dos productos y dos materiales de fabricación de la forma:

Una granja tiene dos tipos de cerdos. El cerdo tipo A come 20 kg del alimento 1 y 15 kg del alimento 2, el cerdo tipo B come 24 kg del alimento1 y 12 kg del alimento2. Si se disponen de 550 kg del alimento 1 y 700 kg del alimento 2, el número de cerdos de cada tipo que se pueden alimentar es:

Identificamos y etiquetamos las incógnitas

Incógnitas: Número de cerdos del tipo A y número de cerdos del tipo B

Tablas de datos:

Ecuaciones:

20 A + 24 B = 550

15 A + 12 B = 700

Resolviendo el sistema de ecuaciones, se encuentra que se pueden alimentar 15 cerdos del tipo A y 27 del tipo B.

Matrices

Suma, resta y producto de matrices:

Las matrices son un arreglo de números que se caracterizan por tener un cierto número de columnas y de hileras.

El orden de una matriz se escribe como m n. En donde, m representa el número de hileras y n el número columnas.

Para que dos matrices se puedan sumar (o restar) se requieren que tengan el mismo número de hileras y de columnas. El resultado de la suma (o resta) es una matriz con el mismo número de hileras y de columnas. El elemento resultante es la suma (o resta) de los elementos correspondientes.

Para que dos matrices se puedan multiplicar se requiere que el número de hileras de la primera sea igual al número de columnas de la segunda. El resultado es una matriz con el mismo número de hileras de la primera y el mismo número de columnas de la segunda.

Ejemplo 20

Sea una matriz A de orden 5 X 3 y otra matriz B de orden 3 X 5, el resultado del producto A X B , es una matriz de orden 5 X 5.

El producto de B X A tiene como resultado una matriz de orden 3 X 3.

b) A B = C

La primera matriz es de orden 3 3 y la segunda de 3 2, por lo que si se pueden multiplicar para obtener una matriz de 3 2.

El producto de la segunda matriz B por la primera A no está definido.

Como ejemplo, se presenta el cálculo del primer elemento de la matriz El primer elemento se obtiene multiplicando el primer renglón de la primera matriz por la primera columna de la segunda matriz, en la siguiente forma.

El lugar de elemento resultante nos índica que renglón y que columna se deben multiplicar, por ejemplo el elemento resultante se obtiene multiplicando la tercera fila de la primera matriz por la segunda columna de la segunda matriz.

Desigualdades.

Algebraica. Una desigualdad es una relación de orden entre dos expresiones algebraicas. La solución de una desigualdad lineal, a diferencia de una ecuación lineal, es un conjunto de valores que cumplen con la desigualdad. En una ecuación solo hay un valor de la incógnita que es solución.

Ejemplo 21

Sea la desigualdad: los valores de q que son solución de la desigualdad son:

Una desigualdad se puede trabajar en forma parecida a una igualdad en el caso de hacer despejes, excepto que cuando se multiplica o divide por un número negativo se tiene que cambiar el sentido de la desigualdad.

Observe que en el último paso se cambio el sentido de la desigualdad ya que multiplicamos por (- 1).

Región solución para un sistema de ecuaciones en una gráfica.

Encuentre la región solución para las desigualdades:

Se grafican las desigualdades como si fueran ecuaciones lineales. Para esto, se despeja y.

Se localizan dos puntos, esto es fácil, para encontrar el primero ponemos x = 0 y se encuentra el valor correspondiente de y , para encontrar el segundo ponemos y = 0 y se encuentra el valor correspondiente de x.

Si la desigualdad es de "mayor que" los puntos solución son todos los que se encuentran por arriba de la recta, si la desigualdad es de "menor que" los puntos solución son los que se encuentran por debajo de la recta. La región común es la región o conjunto de puntos que son solución al sistema de desigualdades. Si las desigualdades incluyen el igual los puntos sobre las rectas también, son parte de la solución.

Reacomodamos las desigualdades:

Reescribiendo como si fueran ecuaciones lineales

Se buscan dos puntos y se hace la gráfica.

En la primera ecuación, con x = 0, y = 20 y con y = 0, x = -10.

En la segunda, con x = 0, y = 105 y con y = 0, x = 191

En la gráfica la línea roja representa la desigualdad de menor o igual y la línea negra la desigualdad de mayor o igual.

Las líneas rojas representan la región solución para la desigualdad representada por la recta roja y las líneas negras la región solución para la desigualdad representada por la recta negra. La región sombreada (azul) es la región solución para las dos desigualdades

Nota. En una desigualdad estricta las líneas aparecen punteadas ya que sus puntos no pertenecen a la solución.

Método de reducción.

Método para resolver sistemas de ecuaciones. Se representan las ecuaciones en una matriz de coeficientes "aumentada" y usando las operaciones permitidas sobre renglones de una matriz se transforma la matriz hasta llegar a una matriz con "unos" en la diagonal y "ceros" en los demás elementos

En la primera columna se escriben los valores de los coeficientes de la incógnita x, en la segunda columna, los coeficientes de y, en la tercera los de z. La última columna tiene los valores de los números que aparecen del lado izquierdo de las igualdades.

El método es similar al de suma y resta. Las reglas permitidas sobre renglones son:

Se pueden intercambiar renglones

Se puede multiplicar un renglón por un número (diferente de cero)

Se puede tomar un renglón y sumarlo a otro sin modificar el renglón que se tomó y modificar al que se le sumó

El método consiste en transformar o cambiar los renglones, con las reglas permitidas, hasta obtener una matriz que solo tenga el número 1 en los elementos de la diagonal y ceros en los otros elementos y en la última columna aparecerá el resultado

Sí se vuelve a escribir en forma de ecuación esta matriz, se observa que:

La matriz modificada queda:

Recuerde que se deben multiplicar todos los elementos del renglón y el uno siempre se obtiene multiplicando el número que se quiere cambiar por su inverso.

Observe que el tercer renglón ya se encuentra en la forma buscada y nos dice que z = 4.

Los ceros del tercer renglón se encuentran multiplicando el tercer renglón (el que tiene el uno en esa columna) por -1 y sumándolo al segundo renglón y luego al tercero, quedando

Si al final no se puede poner la matriz en esta forma, significa que no hay solución o se tienen una infinidad de soluciones.

Conjuntos.

Los conjuntos de objetos se representan por medio de llaves, por ejemplo

Nota. Recuerde que la notación Ac, significa el complemento de A

Problemas de Ingreso cuando se aumenta o disminuye del precio de un producto o servicio.

Ejemplo 24

Se tienen 200 clientes si el precio de un servicio es de $50. Se sabe por experiencia, que por cada aumento de $4 en el servicio se pierden 10 clientes. El precio por el servicio para tener un ingreso de $10560 es:

Existen diferentes formas de resolver el problema

Recordando que el Ingreso es igual a al (Precio) (número de clientes), se forma una tabla de la forma

Precio X Cantidad = Ingreso