Actualización del álgebra lineal

1. Resumen
3. El arreglo
4. El único sub-índice de un arreglo
5. El producto de dos arreglos
6. La inversa generalizada
7. Tipos de inversa generalizada
8. Desigualdad de F. Schur
9. Enunciado de Gershgorin
10. Bibliografía

RESUMEN

El Álgebra Lineal es la Rama de las Matemáticas que concierne al estudio de los vectores, espacios vectoriales, transformaciones lineales y sistemas de ecuaciones lineales. A pesar de que encasi todas las Universidades, en sus ramas técnicas y científicas se estudia el Álgebra Lineal, se observa la ausencia del tratamiento de tópicos que hoy son fundamentales. A pesar de que el Álgebra Lineal Moderna se inició en el año 1843 con William Rowan Hamilton, el creador de los cuaterniones, y en 1844 con el libro DIE LINEARE AUSDEHNUNGSLEHRE de Hermann Grassmann, han surgido desde esa época una serie de nuevos conceptos y enfoques, que no se presentan ni se comentan en los llamados cursos modernos de Álgebra Lineal. Por eso en este trabajo se presentan algunos tópicos que se consideran básicos dentro de un cursos de Álgebra Lineal moderna, esperando contribuir con la divulgación de esos tópicos y esperando se incluyan en dichos cursos.

1.- INTRODUCCIÓN

Existe una gran cantidad de libros y textos sobre el Álgebra Lineal, que omiten la presentación de tópicos importantes que se han desarrollado en dicha área y que tienen actualmente mucha relevancia. Incluso en los cursos universitarios de Álgebra Lineal esos tópicos ni se presentan y ni se mencionan.

Entre esos tópicos podemos mencionar el único subíndice de los arreglos, el Álgebra Cracoviana, los Productos Kronecker Directo e Inverso, el Álgebra de Arreglos, el Producto Khatri-Rao Completo y Reducido, el Producto Hadamard, la matriz inversa generalizada, etc. Sólo exponen, por ejemplo, las matrices y su álgebra, que es el Álgebra Matricial, como si ésta fuera la única que existiera en ese campo del Álgebra Lineal, asunto que consideramos lamentable.

Así mismo cabe señalar el desprecio que se hace sobre datos históricos de los tópicos que se enseñan en esos cursos o que contienen los libros y textos de Álgebra Lineal; a manera de ejemplo, no mencionan que ya los Chinos usaban los determinantes y matrices siglos antes de Cristo, para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Consideramos que la información histórica debe ser parte de la formación cultural del estudiante, además de su formación Técnica.

2.- EL ARREGLO.-

Un arreglo es aquel que está conformado por elementos A(i,j), en la cual la posición del elemento se disponen en filas y columnas, con dos subíndices, donde la "i" indica la fila y la "j" indica la columna.

Ejemplo :

Es decir que en el arreglo A el elemento A(3,2) representa el elemento que está ubicado en la fila 3 y en la columna 2.

3.- EL ÚNICO SUB-ÍNDICE DE UN ARREGLO.-

Un arreglo con sub-índice doble puede ser transformado en un arreglo con un sólo sub-índice, de acuerdo a una secuencia previamente seleccionada.

Consideremos un arreglo rectangular de orden n x m ; es decir que ese arreglo tiene "n" filas y "m" columnas :

Asumiendo, por ejemplo, el siguiente arreglo de 5 filas y 3 columnas :

Se nos presentan varias alternativas para convertilo en un arreglo de un solo sub-índice, como por ejemplo :

Bastaría con desarrollar el algoritmo que nos permita pasar de un arreglo de doble sub-índice a un arreglo de un único sub-índice y viceversa.

A manera de ejemplo se presenta el algoritmo para el Tipo 1 y Tipo 2

TIPO 1 :

Único sub-índice h = ( i – 1 ) x m + j

Dado el único sub-índice "h" se determinan i,j usando lo siguiente :

h -1

i = E [ —— ] + 1

m

Donde E significa la parte entera del cociente.

j = h – ( I – 1 ) x m

TIPO 2 :

Unico sub-índice : h = ( j – 1 ) x n + 1

Dado "h" se hallan i,j empleando lo siguiente :

h – 1

j = E [ ——- ] + 1

n

siendo E la parte entera.

i = h – ( j – 1 )x n

En el desarrollo de este trabajo se empleará el TIPO 2 cuando se exponga lo relativo a la solución de ecuaciones normales usando el álgebra cracoviana y el único sub-índice, por las grandes ventajas computacionales que ofrece. En la Universidad del Zulia, Venezuela, Facultad de Ingeniería, Escuela de Ingeniería Geodésica se aplica el Álgebra Cracoviana de manera cotidiana, ya que forma parte fundamental del programa de estudio y de aplicación rutinaria, lo cual no excluye al Álgebra Matricial.