4.- EL PRODUCTO DE DOS ARREGLOS .-
Si se tienen dos arreglos A y B, se pueden inventar diversas maneras de hacer la multiplicación de esos dos arreglos :
Caso 1 : Matrices.-
Multiplicar fila de A por columna de B , que es el caso del álgebra matricial.
Ejemplo :
56 = 1×7 + 5×8 + 9×1 66 = 1×9 + 5×6 + 9×3 67 = 1×2 + 5×4 + 9×5
78 = 7×7 + 3×8 + 5×1 96 = 7×9 + 3×6 + 5×3 51 = 7×2 + 3×4 + 5×5
94 = 4×7 + 8×8 + 2×1 90 = 4×9 + 8×6 + 2×3 50 = 4×2 + 8×4 + 2×5
Es imperioso señalar que en el álgebra matricial el producto de dos matrices deben ser conformes para la multiplicación; así se tiene que
A ( m, n) x B( p , q) = C( m, q)
para que sean conformes para la multiplicación debe cumplirse : n = p.
Caso 2 : Cracovianos.
Se multiplican las columnas del primer arreglo por las columnas del segundo arreglo, siendo cada arreglo un Cracoviano. Esto da origen al álgebra
Cracoviana, desarrollada en 1925 por el Astrónomo, Geodesta y Matemático polaco TADEUSZ BANACHEWICZ ( 1822 – 1954 )
67 = 1×7 + 7×8 + 4×1 63 = 1×9 + 7×6 + 4×3 50 = 1×2 + 7×4 + 4×5
67 = 5×7 + 3×8 + 8×1 87 = 5×9 + 3×6 + 8×3 62 = 5×2 + 3×4 + 8×5
105 = 9×7 + 5×8 + 2×1 117 = 9×9 + 5×6 + 2×3 48 = 9×2 + 5×4 + 2×5
Caso 3 : Producto Kronecker.
Utilizando los productos Kronecker Directo o Kronecker Inverso, desarrollados por el matemático alemán LEOPOLD KRONECKER (1823 – 1891 ),
( uno de los creadores de la moderna álgebra abstracta ), y que sirve de base para la llamada ÁLGEBRA DE ARREGLOS ( ARRAY ÁLGEBRA ), de mucha importancia hoy día.
La gran ventaja del Producto Kronecker ( ya sea el Directo o el Inverso ) es que permite multiplicar dos arreglos, cualquiera que sea el orden de ellos; así un arreglo de 3×3 y otro de 2×2 se pueden multiplicar, mientras que en el álgebra matricial o cracoviana no se pueden multiplicar.
En el producto Kronecker Directo se tiene por ejemplo :
Ejemplo :
En el producto Kronecker Inverso se tiene por ejemplo :
Ejemplo :
Caso 4 : Producto Khatri-Rao.-
Utilizando el producto KHATRI-RAO Completo, requiere que los dos
arreglos sean del mismo orden y el producto se expresa de la manera siguiente :
El producto Khatri-Rao fue introducido por los matenaticos hindúes C. R. Rao y C. G. Khatri en 1968. C.R. RAO significa Calyampudi RadhaKrishna Rao.
Por ejemplo :
Utilizando el Producto Khatri-Rao reducido , se obtiene una simplificación de las operaciones :
Según el ejemplo anterior : A( 3, 2 ) y B( 3, 2 ) por lo tanto C ( 6, 2 )
Ejemplo :
z = ( 3 x ( 3 + 1 ))/2 = 6
por lo tanto :
Caso 5 : Producto Hadamard.-
Utilizando el Producto Hadamard, desarrollado por el longevo Francés Jacques Hadamard ( 1865 – 1963 ), que requiere que los dos arreglos sean del
mismo orden, se obtiene lo siguiente :
Existen otros tipos de Productos de dos arreglos, como el Relic product, por ejemplo, pero se considera suficiente con los presentados en esta breve introducción, lamentando que en los cursos universitarios y en los textos de álgebra lineal, no se presentan y ni siquiera se mencionan esos productos, a pesar de que muchos hablan de una álgebra lineal moderna.
5.- LA INVERSA GENERALIZADA.
El álgebra matricial clásica sostiene que la matriz inversa de una matriz A debe cumplir varias condiciones :
– que la matriz A sea una matriz cuadrada
– que la matriz A no sea singular; es decir que su determinante no
no sea cero
– que la matriz A satisfaga la expresión A¹ x A = A x A¹ = I
siendo I la matriz identidad
Se define en el álgebra matricial clásica como matriz inversa, la cual se designará como A-¹, de una matriz A dada, a la matriz calculada así :
1
A¹ = ———————— x A
Determinante de A adjunto
Ejemplo :
por lo tanto :
El concepto de la inversa generalizada fue introducida por el matemático norteamericano ELIAKIM HASTINGS MOORE ( 1862 – 1932 ), a quien se
considera como el "padre de la matemática norteamericana" , en 1920, que permite obtener la inversa de cualquier matriz, sea cuadrada o no, singular o no, lo cual no es posible realizar con la inversa clásica. Una solución diferente ya había sido planteada por el Geodesta Alemán FRIEDRICH ROBERT HELMERT ( 1841 – 1917 ) en el año 1906 y en 1916. Dada la poca acogida a lo planteado por E. H. MOORE, éste vuelve a presentar la inversa generalizada de una manera mas amplia, pero por la escasa referencia que se encuentra en la literatura entre 1920 y 1949, se desprende que no tuvo receptividad.
Para el año 1948 el geodesta y matemático Finlandés ARNE BJERHAMMAR
presenta una nueva definición de la inversa generalizada, independiente de los trabajos de E. H. MOORE, y la aplica al cálculo de compensación por el método de los cuadrados mínimos o Norma de Gauss-Legendre, además introduce la estimación estocástica con el uso de la inversa generalizada. Durante el período que va desde 1948 hasta 1971 desarrolló ampliamente todo lo relativo a la inversa generalizada, con aportes y publicaciones diversas.
La matriz inversa generalizada de una matriz A de orden n x m es una matriz A¹, que algunos designan como A+ o bien Ag que satisface la relación siguiente :
A x A-¹ x A = A o bien A-¹ x A x A-¹ = A-¹
Siendo la relación de la inversa clásica :
A x A-¹ = A-¹ x A = I ( matriz identidad )
un caso particular de la inversa generalizada.
Para hallar la inversa generalizada de una matriz, la cual puede no ser única , se utiliza la inversa clásica si una matriz cuadrada puede ser obtenida por partición y ser invertible en forma clásica. Esto nos plantea varios casos :
CASO A :
CASO B :
CASO C :
Para cualquiera de estos tres casos A, B y C la matriz inversa generalizada A-¹ es la matriz inversa clásica de la sub-matriz cuadrada no singular , más la adición de elementos ceros para llevar la matriz A-¹ al orden correcto, puesto que para la matriz dada A de orden m x n la inversa generalizada A-¹ es de orden n x m
Ejemplo ilustrativo :
Consideremos un sistema de ecuaciones lineales escrito en forma matricial :
que en forma simbólica se escribe de la manera siguiente :
A x X = L por lo tanto : X = A-¹ x L
Obsérvese que la matriz A es una matriz de 4 x 3 la cual no podemos hallarle su inversa clásica, por no ser una matriz cuadrada. Apliquemos los casos A, B y C antes presentados.
CASO A :
por lo tanto :
CASO B :
por lo tanto
CASO C :
por lo tanto :
Para la matriz A se han obtenido TRES matrices inversas. Si calculamos las incógnitas X1,X2 y X3 se obtienen los mismos resultados.
CASO A :
Si al sistema de ecuaciones lineales le aplicamos el concepto de las ecuaciones normales, se tiene lo siguiente :
A x X = L
multiplicando cada lado por la matriz transpuesta de A, que designamos como At se obtiene lo siguiente :
At x A x X = At x L
Por lo tanto :
X = ( At x A )-¹ x At x L
Denominando :
At x A = N y At x L = F
Resulta :
X = N-¹ x F
Para el caso del ejemplo ilustrativo del sistema de ecuaciones lineales resulta :
Como la matriz N es una matriz cuadrada y simétrica ( siempre lo será ), no singular, se puede aplicar la inversa clásica, obteniéndose finalmente :
Cuando se tiene una matriz A cuadrada pero singular, en la que se cumple que :
Determinante de At x A = Determinante de A x At = CERO
Entonces la matriz inversa generalizada puede ser obtenida usando la orladura ortogonal de la matriz A , de manera tal que las columnas ortogonales generen una matriz B y las filas ortogonales generen una matriz C, resultando una matriz U cuadrada no singular.
En la cual se cumplen :
At x B = 0 A x B = 0 Determinante de U ≠ 0
A x Ct = 0 A x C = 0 Determinante de B x Bt ≠ 0
Determinante de C x Ct ≠ 0
Es decir : A11 x B11 + A21 x B21 + A31 x B31 = 0
A12 x B12 + A22 x B22 + A32 x B32 = 0
A11 x C11 + A12 x C12 + A13 x C13 = 0
A21 x C21 + A22 x C22 + A23 x C23 = 0
Ejemplo ilustrativo :
Determinante de A = 0 Rango de A = 1 Defecto de rango = 2
por lo tanto la inversa generalizada de A será :
Otra alternativa para hallar la matriz inversa generalizada es utilizar la inversa de F. R. HELMERT, donde la inversa de una matriz cuadrada y singular, debe cumplir la condición siguiente :
N-¹ = N x ( N x N )-¹ x N x ( N x N )-¹ x N
La matriz ( N x N )-¹ es una nueva matriz resultante del producto de N por si misma, pero eliminando tantas filas y columnas como defecto de rango tenga la matriz N . Esta sub-matriz así particionada no es singular y se le puede determinar su inversa clásica. Para obtener nuevamente las dimensiones de la matriz N original , se completa con elementos cero las filas y columnas antes eliminadas.
Ejemplo ilustrativo :
Determinante de N = 0 Rango de N = 2 Defecto de rango = 1
Como el defecto de rango de la matriz N es uno, debemos eliminar en la matriz N x N una fila y una columna, resultando :
cuyo determinante es 2156, por lo tanto no es singular y le determinamos su inversa clásica, obteniéndose :
Acompletando con elementos cero la fila y la columna antes eliminadas se obtiene lo siguiente :
Finalmente calculamos la matriz inversa de N aplicando la expresión :
N-¹ = N x (N x N )-¹ x N x ( N x N )-¹ x N
Obteniéndose lo siguiente :
la cual satisface las condiciones :
N x N-¹ x N = N
N-¹ x N x N-¹ = N-¹
Otra alternativa para obtener una matriz inversa generalizada es mediante el uso de la Descomposición en Valores Singulares de una matriz cualquiera.
6.- TIPOS DE INVERSA GENERALIZADA.
a ) MATRIZ RECÍPROCA INVERSA
Toda matriz A cuya inversa A-¹ satisface la relación :
A-¹ x A x A-¹ = A-¹
Se dice que A-¹ es una MATRIZ RECIPROCA INVERSA si y sólo si el
Rango de A es igual al rango de A-¹
Ejemplo :
Entonces A-¹ es una matriz reciproca inversa de A
b) MATRIZ NORMAL INVERSA
Toda matriz A-¹ que satisface la relación :
At x ( A x At )-¹ = A-¹
es una matriz NORMAL INVERSA . Toda matriz normal inversa es
también una matriz reciproca inversa.
Ejemplo :
c ) MATRIZ TRANSNORMAL INVERSA
Toda matriz A-¹ que satisface la relación :
( At x A )-¹ x At = A-¹
es una matriz TRANSNORMAL INVERSA
Ejemplo :
La matriz Transnormal Inversa es una matriz Reciproca.
La matriz transnormal Inversa es muy útil para determinar la inversa
generalizada de una matriz cuadrada y singular, siempre y cuando la
matriz A pueda ser particionada de manera tal que :
Donde B contiene los elementos independientes de A
Es importante recordar que la partición puede ser realizada de diferentes
maneras tal como se expuso anteriormente.
d) MATRIZ INVERSA DE MOORE – PENROSE
Una matriz A-¹ de orden m x n es la INVERSA GENERALIZADA de la
matriz A si se satisfacen simultáneamente las condiciones siguientes :
(1) A x A-¹ x A = A (3) ( A x A-¹ )t = A x A-¹
(2) A-¹ x A x A-¹ = A-¹ (4) (A-¹ x A )t = A-¹x A
Existen otros tipos de Inversa generalizadas tales como la inversa reflexiva, la de Rao, la de Drazin, etc. Pero se considera suficiente con lo presentado, debido al limitado espacio y este trabajo no es un texto o curso al respecto.
7.- DESIGUALDAD DE F. SCHUR
El matemático FRIEDRICH SCHUR ( 1856 – 1932 ) estableció en 1909 lo que se denominó la DESIGUALDAD de SCHUR :
siendo λ los Eigenvalues, denominados tambiιn : valor propio, valor característico, valor invariante, auto valor.
Aj,k son los elementos de una matriz A cuadrada.
Consideremos la matriz A siguiente :
cuyos valores propios o eigenvalues son :
λ1 = 30 λ2 = 25 λ3 = 20
por lo tanto :
por lo tanto se cumple la Desigualdad de F. Schur :
1925 < 1949
Esta desigualdad de Schur no es mencionada ni presentada en los cursos y los textos de Álgebra Lineal, que se designan como modernos.
8.- ENUNCIADO DE GERSHGORIN
GERSHGORIN, matemático Ruso, estableció en 1931, que los eigenvalues o
valores propios de una matriz están contenidos en una región de círculos.
El circulo D1 tiene su centro en 26 y su radio es – 2 + 2 = 4
El círculo D2 tiene su centro en 21 y su radio es 2 + 4 = 6
El circulo D3 tiene su centro en 28 y su radio es 4 + 2 = 6
Si calculamos los eigenvalues o valores propios de la matriz A se obtienen :
λ1 = 30 λ2 = 25 λ3 = 20
lo cual nos permite concluir que estos valores están dentro de la región de los círculos.
Este es otro tópico que ni se menciona ni se presenta en los cursos y textos de Álgebra Lineal que se designan como modernos.
Con esta breve presentación de algunos tópicos que no se mencionan ni se consideran en los Cursos de Álgebra Lineal, a pesar que existen otros tópicos más, se cree haber hecho una llamada de atención sobre los cursos que se dictan de Álgebra Lineal, a fin de que se haga un enfoque más real y esclarecedor sobre otros aspectos.
Bibliografía
1.- Computational Methods of Linear Álgebra
D. K. Faddeev and V. N. Faddeeva
Traducido del Ruso al Ingles por Robert C. Williams
Publicado por W. H. Freeman and Company en 1963
2.- Álgebra Lineal. Una introducción moderna
por David Poole
Editorial Thomson Learning – 2004
3.- Algebra Lineal
por David R. Hill y Bernard Colman
Editoral Pearson ( Prentice Hall ) – 2006
4.- Applied Linear Algebra
por Ben Noble y James W. Daniel
Tercera Edición Prentice Hall – 1989
5.- Álgebra Lineal
por Stanley I. Grossman
Mc Graw Hill – Interamericana de México – 1996
6.- Linear Álgebra
por Stephen H. Friedberg, Arnold J. Insel y Lawrence E. Spence
Prentice Hall – 1997
7.- Algebra Lineal
por Fraleigh Beauregard
Editorial Educativa de Mexico – 1989
El Autor :
Manuel Marcelino Lunar González
Nacido en Maracaibo, Estado Zulia, Venezuela.
Agrimensor graduado en la Universidad del Zulia, Venezuela
Ingeniero Geodesta ( Universidad del Zulia, Venezuela )
Postgrado en Fotogrametría en el I.T.C. Holland
Postgrado en Mediciones en University of New Brunswick, Canada
Profesor Titular Jubilado de la Universidad del Zulia, Venezuela.
| Página siguiente |