´ v v u a a o ia u o e v u v u v v v ´ o e i, o u e o e o NECESIDAD DE LA EXISTENCIA DE NUMEROS REALES No todos los puntos de la recta representan n´meros racionales; existen segmentos de medida de un conjunto m´s amplio. Se atribuye a Pit´goras el notable descubrim- iento de la inconmesurable de la diagonal del cuadrado de lado 1, que viene a dar respuesta negativa a la cuesti´n. Si en Geometr´ no se consideran otros n´meros que los naturales y los racionales, pronto se llegar´ia a contradicciones como se ha visto en el ejemplo anterior. Ejemplo 1: Se pueden dibujar todos los cuadrados posibles en la cuadr´icula mostrada a con- tinuaci´n, de manera que coincidan los v´rtices de dichos cuadrados con los puntos representados. 1 unidad • • • • Como se pude ver en una cuadr´icula de 9 puntos se deben dibujar cuatro cuadra- dos de lado i unidad, un cuadrado de lado 2 unidades y un cuadrado de lado 2 = 12 + 12 unidades : • • • • • • • • • Se pude apreciar que en la ejecuci´n de esta actividad aparece el n´mero 2 Conocemos la imposibilidad de los n´meros racionales de representar 2 dentro de su conjunto, por lo tanto demostremos 2 es no racional. Demostraci´n: Supongamos 2 racional 2 = p/q con p y q primos relativos 2 = p2 /q2 2q2 = p2 de esta igualdad se deduce que p debe ser par, es decir, p = 2p Luego 2q2 = 4p 2 q2 = 2p 2 por lo que q debe ser tambi´n par, por lo tanto p y q no son primos entre s´ por lo que llegamos a una contradicci´n pues al inicio pusimos como hip´tesis p y q primos relativos. v Entonces 2 no es un n´mero racional. Sin salir de la aritm´tica, se encuentran muy diversas cuestiones que obligan a re- alizar una ampliaci´n del campo num´rico. En primer lugar, en el lenguaje del Algebra, que existen ecuaciones bin´micas como x3 = 5 y x2 = 2/5 sin ra´ices naturales ni racionales. 3
ia u e o u o u o u e e Por otra parte, inmediatamente se ve que las ecuaciones del tipo 10x = 7 carecen de ra´ices fraccionarias, pues si fuese x = n/m resultar´ 10n = 7m que es absurdo; otro problema imposible en n´meros racionales y que reclama soluci´n urgente es, por tanto, el de la logaritmaci´n. Existen, adem´s, multitud de tipos de ecuaciones como, por ejemplo, x3 – 7x +7 = 0 tambi´n sin soluciones en el campo racional. En resumen, la ampliaci´n de los n´meros racionales tiene su origen, al igual que la ampliaci´n de los n´meros enteros, en una necesidad te´rica de solucionar problemas de este tipo. Con esto surge la necesidad de ampliar el conjunto de dos n´meros a un conjunto num´rico maypr con ayuda del cual se pueda expresar la longitud de cualquier seg- mento del eje num´rico. 4
´ ´ u a e u a i u u a a ´ u ´ u a o u a u u a RELACIONES ENTRE LAS DIFERENTES FORMAS DE DEFINIR LOS NUMEROS REALES ORIGEN DE LOS NUMEROS REALES N´meros Racionales: En este trabajo, m´s que los m´todos usados en la construcci´n del campo de los n´meros racionales nos interesan sus propiedades, las cuales son conocidas desde la ense˜anza primaria; pero las fundamentales ser´n enumeradas aqu´ para nuestros objetivos y se resumen en que Q es un cuerpo ordenado arquimedeano. Propiedades de los n´meros racionales: Propiedad 1-Existencia de un orden: Para cualquier n´mero x y y se cumple una y solo una de las siguientes relaciones: -x < y -x > y -x = y Propiedad 2-Transitividad: Si x > y y y > z, entonces x > z. Adem´s, si x = y y y = z, entonces x = z Propiedad 3-Existencia de una suma: Para todo x y y est´ de?nido de modo unico; el n´mero representado por x + y Esta operaci´n posee las propiedades siguientes para todo x, y y z Propiedad 4-Conmutatividad: x + y = y + x Propiedad 5-Asociatividad: (x + y) + z = x + (y + z) Propiedad 6-Existencia y unicidad del elemento nulo: x + 0 = x para todo x Propiedad 7-Existencia y unicidad del opuesto: Para todo x existe un unico n´mero, que ser´ -x, tal que x + (-x) = 0 Propiedad 8-Existencia de la multiplicaci´n: Existe una regla por medio de la cual x y y se le hace corresponder un n´mero z, que ser´ z = xy Esta operaci´n posee las siguientes propiedades para todo x, y y z Propiedad 9-Conmutatividad: xy = yx Propiedad 10-Asociatividad: (xy)z = x(yz) Propiedad 11-Existencia y Unicidad del elemento unidad: Existe un n´mero 1 tal que: 1x = x Propiedad 12-Existencia y Unicidad del rec´iproco: Para todo x = 0 existe un n´mero que ser´ 1/x tal que, x1/x = 1 5
a ices u v o a o o u a ´ o 2 2 o e a l´ o l´ u i e u u a o u u ´ Las operaciones suma y multiplicaci´n est´n relacionadas por la propiedad siguiente: Propiedad 13-Distributividad respecto a la suma: Cualesquiera sean x, y y z se cumple: (x + y)z = xz + yz Relaci´n del orden con la suma y multiplicaci´n: Propiedad 14- Si x > y, entonces para todo z se cumple: x + z > y + z Propiedad 15- Si x > y y z > 0, entonces xz > yz y si x > y y z < 0, entonces xz < yz Propiedad 16- Propiedad Arquimedeana: Para todo x existe un n N tal que n > x -Sobre el campo de los n´meros reales. A continuaci´n enunciaremos una serie de resultados elementales que nos ser´n utiles en la ulterior exposici´n de nuestras ideas. A pesar de la aparente ”bondad”que se describe en las propiedades anteriores, hemos visto que Q tiene huecos. Por ejemplo, analicemos una sucesi´n que es ampliamente utilizada en la pr´ctica para el calculo de ra´ cuadradas xn+1 = 1 (xn + xn ).Esta es una sucesi´n de n´meros racionales, y puede probarse utilizando t´cnicas del an´lisis cl´sico que im xn = 2. Propiedad de continuidad: Toda sucesi´n mon´tona y acotada tiene un imite El siguiente resultado caracteriza una forma de construcci´n de los n´meros reales que comunmente llamamos ”Principio de intervalos encajados”. Por la importancia que representa el acercarnos con mayor exactitud a describir la longitud; en general lo hacemos por defecto y por exceso, para conseguir as´ una mayor exactitud. Precisemos en t´rminos matem´ticos esta idea: Sean a y b dos n´meros tales que a = b. Se llama intervalo cerrado con extremos a y b a los n´meros x tales que a = x = b y lo denotaremos por [a, b]. Se dice que los intervalos (Ik )k?N est´n encajados uno en los otros si I1 ? I2 ? … ? In ? …. Los llamaremos sistema de intervalos encajados. Si volvemos a la idea de la exactitud utilizando dicho sistema de intervalos encajados cerrados, y la certeza de que estos se acercan a la medici´n exacta se traduce en la postulaci´n de la existencia de un n´mero que pertenezca a todos los intervalos del sistema, se tiene entonces la siguiente proposici´n: Principio de intervalos encajados: Todo sistema de intervalos encajados [an , bn ] tiene al menos un punto com´n a todos los intervalos del sistema. Si el sistema es in?nitesimal, es decir bn – an ? 0 entonces dicho punto es unico. 6
ia u u u u u u e u u u u io u u u ia u u u u u o u a n u u a u a u a n u u a u a e a Antes de expresar el siguiente resultado, introduciremos alguna terminolog´ espe- cial. Sea S una colecci´n de n´meros (reales), a la que se denominara conjunto. Cada n´mero considerado individualmente se llama elemento del conjunto y se dice que pertenece al conjunto. Si existe un n´mero real b tal que x = b para cada x del conjunto, b se denominara cota superior de S. Por ejemplo el conjunto de todos los n´meros negativos es un conjunto acotado superiormente. En efecto, cada n´mero real positivo b es una cota superior de este conjunto. El n´mero 0 es tambi´n una cota superior, pero ning´n n´mero inferior a 0 tiene esta propiedad. Este hecho se expresa diciendo que 0 es el supremo de este conjunto. En general, un n´mero b se denomina supremo de S (´in?mo de S) si es la menor (mayor) de las cotas superiores (inferiores) del conjunto, es decir: i) b es una cota superior de S y ii) ning´n b1 < b es cota superior de S El siguiente resultado se re?ere a conjuntos no vac´ios: Axioma del supremo: Sea S un conjunto no vac´ de n´meros reales acotado superiormente, existe entonces un n´mero real y solo uno que es el supremo S. Comentaremos ahora acerca de otra forma de construir el campo de los n´meros reales, las cortaduras. La teor´ de los n´meros reales en la forma de Dedekind esta basada en la idea de cortar el dominio de los n´meros racionales, es decir dividimos el conjunto de todos los n´meros racionales en dos conjuntos no vac´ios A y A y asumimos que: i) todo n´mero racional se encuentra en uno y solo uno de los conjuntos A y A . ii) todo n´mero del conjunto A es menor que cualquiera del conjunto A . El conjunto A es llamado clase baja y el conjunto A clase alta. El corte puede ser denotado por A|A . La de?nici´n implica que todo n´mero racional m´s peque˜ o que el n´mero a de la clase baja se encuentra en esta clase. Ejemplos: De?namos A como el conjunto de los n´meros racionales a que 1.) Satisfacen a < 1, mientras que el conjunto A contendr´ todos los n´meros a tales que a = 1. F´cilmente se observa que en efecto hemos obtenido una cortadura el n´mero 1 se encuentra en la clase A y obviamente es el m´s peque˜o del conjunto, por otro lado 1 no es el n´mero mayor de la clase A puesto que para cada a ? A existe un n´mero racional a1 ,localizado entre A y la unidad, consecuentemente mayor que a y adem´s perteneciente a la clase A. 2.) La clase baja contendr´ todos los n´meros racionales a tales que a = 1 mientras que la clase alta contendr´ todos los racionales a con a < 1. Este ejemplo tambi´n es una cortadura, y ahora la clase alta no tiene un elemento m´inimo sin embargo la clase baja si tiene un elemento m´ximo. 7
1 2 1 e 2a 1 a2 + n n n n u u a e u a u o a u i ´ e v a a u a u u a i o u u ´ u u u a e o ´ u 3.) La clase A contiene a todo n´mero racional tal que a2 < 2, mientras que la clase A contiene a todo n´mero racional que cumple a 2 > 2. Es f´cil ver que este ejemplo tambi´n es una cortadura. Ahora la clase A no tiene un n´mero m´ximo y la clase A no tiene un n´mero m´inimo. Probaremos por ejemplo la primera a?rmaci´n(La segunda se podr´ probar de for- ma an´loga). Sea a un n´mero positivo de la clase A de aqu´ que a2 < 2. Probaremos que selec- cionando un entero positivo n tal que (a + n ) < 2 de modo que a + n tambi´n se encuentra en la clase A. Esta desigualdad es equivalente a: + 2 < 2 2a 1 + 2 < 2 – a2 y esta ultima desigualdad se satiaface tambi´n si n es tal que: para el cual es su?ciente tomar 2a + 1 n n> < 2 – a2 2a + 1 2 – a2 Por otra parte es importante notar que no existir´ una cortadura que tenga si- mult´neamente un n´mero m´ximo a0 en la clase baja y un n´mero m´inimo a0 en la clase alta. En efecto, supongamos que existe tal n´mero y llamemosle c, entonces c est´ entre a0 y a0 de aqu´ que no pertenece a la clase baja, pues es mayor que a0 y tampoco a la clase alta ya que es menor que a0 lo cual contradice la de?nici´n de corte dada. De esta manera las cortaduras pueden ser de tres tipos, iliustrados en los ejemplos 1, 2, 3. En los dos primeros ejemplos las cortaduras forman el n´mero racional r (que es la frontera entre las clases A y A ). En el tercer caso el n´mero frontera no existe y la cortadura de?ne a un nuevo elemento, un numero irracional. De este modo toda cortadura de la forma 3) de?ne un n´mero irracional a. Este a reemplaza el faltante n´mero frontera, el esta entre todo numero a de la clase A y todo numero a de la clase A . En el ejemplo 3) el nuevo elemento creado es 2. Entonces para todo n´mero r existir´n dos cortaduras que lo de?nen, los elementos a < r estar´n contenidos en la clase baja y los a > r en la clase alta. Podemos entonces de?nir R a trav´s del siguiente axioma. Axioma de Dedekind : Dados dos conjuntos A y B tales que forman una Cor- tadura de Dedekind, es decir: – Para todo x ? Q se tiene x ? A ´ x ? B, siendo A B = 0 – Para todo x ? A, y ? B es x = y Existe un unico n´mero ?; para todo x ? A y y ? B es x = ? = y 8
i n a a a o a u u a o e e u o o o u a a e o o o l´ a o e a a n e o a e e e a o o e l´ a a o u -Unicidad en la construcci´n de R A partir de nuestra corta experiencia como estudiantes as´ como por los resulta- dos de entrevistas realizadas a otros compa˜eros, comentamos cu´l o cu´les de las diferentes formas de de?nir R nos resultan m´s sencillas y c´modas para entender el An´lisis Matem´tico, y luego de un estudio sobre el tema obtuvimos diversas opiniones que conllevaron a un gran debate. El concepto de n´mero real ?gura entre los conceptos matem´ticos fundamentales. Se han de?nido los n´meros reales en nuestro trabajo utilizando el m´s l´gico y sim- ple de los m´todos existentes, el m´todo axiom´tico, al cual fue necesario agregar un axioma de existencia del n´mero real. Por esta raz´n para algunos la Propiedad de Continuidad, acerca de la convergencia de toda sucesi´n mon´tona acotada, cons- tituye el axioma de existencia que nos permite ver la de?nic´n de n´mero real de forma m´s natural, siendo muy f´cil comprenderlo. El hecho de haber estudiado las sucesiones num´ricas fue de gran ayuda pues permiti´ a los estudiantes irse familia– rizando con los conceptos de sucesi´n acotada, convergente y mon´tona, preparando condiciones favorables para comprender con mayor facilidad este concepto. La opini´n de muchos estudiantes de matem´tica coinciden con que el Principio de Intervalos Encajados es el que mejor facilita la comprensi´n de R pues no necesita de la utilizaci´n del imite para convergencia de sucesiones mon´tonas y acotadas como en la Propiedad de Continuidad y el Axioma de Supremo con la idea de conjunto acotado, que son temas de gran debate debido al concepto de in?nito. Mientras que el principio de Intervalos Encajados viene siendo el m´s intuitivo, pues todo se basa en una idea geom´trica para problemas de representaci´n num´rica. No existe idea m´s sencilla, pues todo se resume a un procedimiento mec´nico. Estudiantes de a˜os avanzados consideran de su preferencia el axioma de Cortaduras, pues posee ideas tan propias del ser humano como lo es agrupar. Este m´todo, que aunque muchos lo consideran abstracto, mani?esta una elegante sencillez poque su trabajo solo consta de la utilizaci´n de conjuntos, sin necesidad de llegar a emplear otros entes. Adem´s tambi´n se utiliza para de?nir otros objetos en cualquier cuerpo ordenado K, por eso es considerado un m´todo constructivista. Estas y otras razones hacen ver para algunos el m´todo de Cortaduras como el m´s e?caz, abstracto y riguroso de todos los que conocemos, para la contrucc´n de R. Nos llam´ mucho la atanci´n que el Axioma de Supremo sea un m´todo para la preferencia de pocos, pues a nuestro entender no resulta complicado luego de domi- nar conceptos como imite, convergencia y monoton´ia, y es el m´s pr´ctico para la deducci´n de las propiedades principales de los n´meros reales. 9
o o o l´ l´ 2 u o l´ l´ a , e , a ´ En el pr´ximo apartado presentaremos el siguiente esquema l´gico para demostrar la equivalencia de cada una de nuestras proposiciones anteriores: partiremos de la veracidad del principio de continuidad, el cual emplearemos para demostrar el prin- cipio de intervalos encajados; luego, utilizaremos este para probar el axioma del supremo y ya con esta herramienta demostraremos el principio de continuidad. Fi- nalmente demostraremos la equivalencia del Axioma de Supremo y las cortaduras de Dedekind. Demostraci´n: i)Principio de continuidad ? Principio de intervalos encajados: Sea el sistema de intervalos cerrados encajados In = [an , bn ] donde a1 < a2 < …an < an+1 < … < bn+1 < bn < … < b1 donde la sucesi´n an es creciente y acotada superiormente, entonces por la propiedad de continuidad ?a = im an ; de la misma forma la sucesion bn , que es creciente y acotada inferiormente tiene limite b = im bn . Si a = b ? a ? nIn . Si a < b ? a+b ? nIn . Veamos la unicidad; supongamos que existen dos n´meros x, y que se encuentran en la intersecci´n, entonces an = x = y = bn ?n pero im an = a y im bn = b por lo que an – bn ? 0 ? a = b de donde x = y = a. ii)Principio de intervalos encajados ? Axioma del supremo: Sea E ? R acotado superiormente tal que E = Ø y sea b una cota superior de E es decir x < b para toda x ? E. Como E = Ø existe a ? E. Luego, el intervalo cerrado [a, b] contiene al menos un punto de E. Si fuera a = b, entonces obviamente ser´ia a = sup E. Sea entonces a < b y sea I1 = [a1 , b1 ] = [a, b], de manera que b1 – a1 = b – a y I1 n E = Ø. Dividimos ese intervalo a la mitad. Si la mitad derecha contiene un punto de E, tomamos a esa mitad como I2 = [a2 , b2 ]. En caso contrario I2 = [a2 , b2 ] ser´ la mitad izquierda. Con ello se garantiza que x = b2 para toda x ? E. Entonces se tiene: I2 ? I1 , b2 – a2 = b – a 2 I2 n E = Ø. Si repetimos el proceso obtenemos en el n-´simo paso el intervalo cerrado In = [an , bn ] tal que: In ? In-1 , bn – an = b – a 2n-1 In n E = Ø Adem´s es x = b para toda x ? E. De esta manera se ha obtenido un sistema in?tesimal de intervalos cerrados encaja- dos In = [an , bn ] tal que In n E = Ø y x = b para toda x ? E. Entonces existe un unico S ? nn In y obviamente se cumple S = b. Comprobemos que S = sup E. 10
a u io a u i)Supongamos que existe x0 ? E como bn – an ? 0, existe n0 ? N tal que bn0 – an0 < x0 – S. Entonce es bn0 < x0 – (S – an0 = x0 ) (pues S – an0 = 0), lo que contradice el hecho de que x = bn para toda x ? E. Luego, S es cota superior de E. ii)Sea ahora > 0 y sea n0 ? N , tal que bn0 – an0 < . Como In n E = Ø para toda n existe un xn0 ? E tal que xn0 ? [an0 , bn0 ] es decir xn0 = S. Entonces es an0 = xn0 = S = bn0 , o sea, S – xn0 = bn0 – an0 < por lo que s – < xn0 < S. Entonces S = sup E. Axioma del supremo ? Principio de continuidad : Como xn es acotada superiormente, existe S = supxn . Queremos demostrar que S = limxn . Como S = supxn , para todo > 0 existe N ? N tal que S – < xN < S. Por otra parte como (xn ) es creciente, esto implica que S – < xn < S < S + para todo n = N , es decir, | xn – S |< para todo n = N , que es lo que quer´iamos demostrar. Axioma de supremo ? Cortaduras de Dedekind : Debemos demostrar que el cuerpo ordenado R veri?ca el axioma del supremo si y solo si veri?ca el axioma de cortadura. Procederemos en dos pasos. 1- Supongamos que R veri?ca el axioma del supremo. Sea (A, B) una cortadura de R. Debemos probar que existe un x ? R con A = x = B.Tenemos que A es no vac´io. Adem´s, A es acotado superiormente (por cada b ? B). Seg´n el axioma del supremo, existe supremo de A. Lo denominamos x. Entonces x = A porque x es una cota superior de A. Cada b ? B es cota superior de A, luego x = b porque x es la menor de las cotas superiores de A. Acabamos de demostrar A = x = b. 2- Supongamos que R veri?ca el axioma de cortadura. Sea C no vac´ un subcon- junto acotado superiormente, C ? R. Debemos probar que exite supremo de C. Denotemos por A el conjunto de todos los x ? R que son menores o iguales a un c ? C cualquiera: A = x ? R/?c ? C c x Entonces C. Cada cota superior estricta de C es una cota superior estricta de A,e inversamente. (Sea z > C. Si x ? A, entonces existe c ? C con x = c. Dez > C se deduce x = c = z, es decir z > A). Llamemos B al conjunto de todas las cotas superiores estrictas de C: B = z ? R/z > C Entonces x < z para todo x ? A, z ? B, pues cada z ? B es una cota superior estricta de A. Adem´s, A, B y A n B es no vac´io. Veremos que A ? B = R. Si y ? R no pertenece a A entonces, no existe un c ? C con y = c; luego, y = c para todo c ? C, es decir, y > C, o sea, y ? B. Resulta que el par (A,B) es una cortadura de Dedekind. Seg´n el axioma de cortadura existe x ? R con A = x = B. Vamos a demostrar que x es el supremo de C. 11
2 o o En primer lugar, se cumple x = C para todo c ? C porque C ? A = x. Supongamos ahora por el absurdo que x < x es una cota superior de C. Para todo x0 = x+x ? R se cumple x < x0 < x. Por de?nici´n de A existe c ? C con x0 = c. Para esta c ? C se tiene x = x0 = c, en contradicci´n con la hip´tesis que x es cota superior de C. Luego, no existe una cota superior de C menor que x y, por tanto, x = sup C. 12
u a e l´ o u e o o u ´ a o u o Conclusiones: El estudio de las diferentes formas de de?nir los n´meros reales nos conduce a concretar diferentes ideas. En primer lugar se obtiene un nuevo conjunto que contiene a Q como subconjunto, que mantiene sus propiedades y est´n en ´l todos los elementos imites de sucesiones racionales que no pertenecen a Q, o sea, este nuevo conjunto es una ampliaci´n del de los n´meros racionales: ”Tapan los huecos de la recta num´rica”. Hemos observado como se ilumina una cuesti´n que fue desconsertante para los pitag´ricos, que trabajaban solo con los n´meros racionales, y se percataron de que no pod´ian medir segmentos con exactitud. Como demostramos, el nuevo dominio puede de?nirse manteniendo los axiomas que de?nen a los racionales y uno adicional que puede ser cualquiera de los siguientes: i)Propiedad de continuidad ii) Principio de intervalos cerrados encajados iii)Axioma del supremo iv) Cortaduras de Dedekind Este ultimo no esta incluido en el curso ordinario de An´lisis Matem´tico I pero resulta de gran importancia te´rica. En segundo se demuestra la equivalencia que existe entre los resultados que permiten la construcci´n de lo n´meros reales, lo cual evidencia el hecho de que este campo puede ser construido de diferentes maneras sin que resulte ninguna contradicci´n entre ellas. Estas ideas, que se espera hayan quedado claras en el trabajo, mani?estan de forma sencilla y transparente la existencia de una madeja de caminos deslumbrantes en el dif´icil arte de la matem´ticas. Al lector el deseo de que el presente se convierta en una invitaci´n a estos caminos. 13
ia a o a a o Bibliograf´ 1)Fikhtengolts, G.M: The Fundamentals of Mathematical Analysis, Volumen I, Editorial Pergamon Press, 1965. 2)Hinrichsen, Driedrich: An´lisis Matem´tico I Segunda Parte, Editorial Pueblo y Educaci´n, 1973. 3)Rudin, Walter: Principles of Mathematical Analysis, Editorial McGraw-Hill Book, 1953 4)S´nchez, Carlos: An´lisis Matem´tico Tomo I, Editorial Pueblo y Educaci´n, 2001. 14
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