u ´ ´ e u a u o a Los N´meros Reales Karen Garc´ia Mesa [email protected] Universidad de la Habana Yanelys Zald´ivar Universidad de la Habana Celia Galvez [email protected] Universidad de la Habana Avalado por: Dr. Rita Roldan [email protected] Universidad de la Habana Resumen Se estudian varios m´todos para construir los n´meros reales manteniendo los ax- iomas que de?nen a los racionales y uno adicional que puede ser cualquiera de los siguientes: Propiedad de continuidad Principio de intervalos cerrados encajados Axioma del supremo Cortaduras de Dedekind Adem´s se demuestra la equivalencia entre cada una de estas construcciones. Palabras y frases Claves: n´meros reales, cortaduras, conjunto Clasi?caci´n: An´lisis Matem´tico
´ a u a a a o o u o ia o a e a o a o u i a n a e o o o u o o u o ia ia a o o u a o u ia u u u u u o o u u e o INTRODUCCION Nuestro inter´s por realizar este trabajo se debe a que pens´bamos que conoc´iamos los n´meros reales, pero de?nitivamente est´bamos equivocados, pues no nos imag- in´bamos ni remotamente su origen. Con nuestro comienzo en la universidad se nos abrieron numerosas puertas al conocimiento matem´tico, entre ellas est´ el conocer que R surge a partir de los huecos de Q y que existen diferentes manera de de?nirlo. Se atribuye a los pitag´ricos la expresi´n ”Todo es n´mero”. La Escuela Pitag´rica fue la primera escuela matem´tica griega. Antes de ellos se hab´ acumulado una buena cantidad de conocimiento matem´tico debido a culturas tales como la egipcia y la babil´nica; conocimiento con el que entran en contacto los griegos por medio de los viajes de Tales de Mileto y, luego, del propio Pit´goras. Este contacto signi?ca para la matem´tica de la ´poca un enorme salto conceptual pues, de una matem´tica dedicada en lo esencial a la soluci´n de problemas de tipo pr´ctico, se pasa a una matem´tica interesada en los conceptos y las relaciones que ellos ocultan, es de- cir una matem´tica te´rica. A partir de Tales y Pit´goras, la matem´tica griega evoluciona por caminos de alta complejidad que, parad´jicamente, se estructuran alrededor de una disciplina com´n: la geometr´ia. Es as´ como en el siglo IIIa.C., m´s de doscientos a˜os despu´s de Tales y Pit´goras, aparece un texto de importan- cia capital para la historia de la matem´tica: los ”Elementos”de Euclides, esfuerzo totalitario de recolecci´n del saber matem´tico acumulado hasta la ´poca; dotado de un enorme sentido pedag´gico que llev´ desde su creaci´n a separarlo en trece vol´menes. ¿C´mo congeniamos estas ideas, aparentemente dispersas, en una sola disciplina conceptual? Podemos dar un ejemplo si retomamos la idea pitag´rica original ”To- do es n´mero”, idea que para los propios pitag´ricos ten´ un sentido tan profundo que adquir´ caracter´isticas sagradas. En este sentido, Pit´goras viene a ser el pre- decesor original de Leopold Kronecker, el matem´tico que a?rm´ que ”Dios cre´ los n´meros enteros, lo dem´s lo hizo el Hombre”, porque cuando un pitag´rico hablaba de n´mero lo que ten´ en mente espec´i?camente era un n´mero racional. Esto lo podemos ver claramente en ”Los Elementos ”de Euclides Def.V II,1 y Def.V II,2. La primera dice que una unidad es aquello en virtud de lo cual ca- da una de las cosas que hay es llamada una y la segunda a?rma que un n´mero es una pluralidad compuesta de unidades. De?niciones lo su?cientemente restrictivas para separar el concepto de unidad del concepto mismo de n´mero: una unidad no es un n´mero, es el ente que constituye a los n´meros. La visi´n pitag´rica del n´mero como la sustancia constitutiva del Universo, con- dujo a otra creencia que juega un papel importante en el desarrollo del tema que nos ocupa: la absoluta conmensurabilidad de los segmentos, es decir, la existencia de una medida com´n para dos segmentos distintos cualesquiera. Tambi´n se asigna a los pitag´ricos el descubrimiento del teorema que lleva su nombre el cual, entre otras muchas cosas, conduce a una importante proporci´n: el cuadrado construido sobre la diagonal de un cuadrado es al cuadrado original como 2 es a 1. 1
a o u u o u a u u u o u o u o u i u o e u Ahora bien, esta proporci´n trae como consecuencia inmediata una interrogante: ¿Cu´l es la proporci´n que se establece al comparar la diagonal del cuadrado y el lado del mismo?. La respuesta demoli´ la convicci´n pitag´rica de la conmensurabilidad de los seg- mentos: ambos segmentos resultaron ser inconmensurables, no era posible conseguir un segmento medida com´n para ellos. De esta forma surge la primera noci´n de irracionalidad y desde entonces el concepto de n´mero ha sufrido una considerable evoluci´n hist´rica, estableci´ndose distintos tipos de n´meros que conforme son m´s evolucionados permiten resolver distintos tipos de problemas, por ejemplo: i)El problema de contar, producto del cual se establecen los conocidos axiomas de Peano.(n´meros naturales N) ii)El problema de la resta (n´meros enteros Z). En el conjunto de los n´meros nat- urales la ecuaci´n a + x = b no siempre tiene soluci
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