INTRODUCCIÓN
El presente trabajo contiene la resolución de dos problemas de aplicación del curso de matemática, así como información sobre los métodos utilizados para su respectiva solución.
El primer problema consiste en encontrar la serie de potencias de la función centrada en cero, así como el polimonio de Taylor de grado ocho de la misma función (P8(x)), luego en el problema se pide graficar en una calculadora tanto la función como su respectivo polinomio de Taylor, así mismo completar una tabla en la que se deben efectuar integrales definidas para el polinomio y para la función desde un punto igual a cero hasta un punto b que toma diferentes valores, por último se debe describir la relación entre las gráficas observadas en la calculadora y los datos obtenidos en la tabla donde están los valores obtenidos de las integrales.
En el segundo problema consiste en encontrar la ecuación en polares de la órbita de un satélite que gira alrededor de la Tierra, como es de esperarse la trayectoria de la órbita es una elipse, bajo ciertas condiciones que se plantean en el problema.
Asimismo se debe la distancia entre la superficie de la Tierra y el satélite cuando el ángulo que forma una línea recta imaginaria que va desde la superficie de la Tierra hasta el satélite es de 60 grados, con respecto a otra recta imaginaria horizontal llamada eje polar.
Finalmente se espera que tanto el contenido de los métodos utilizados en la resolución de los problemas, así como la resolución de los mismos estén lo más claro posible, para su fácil comprensión.
OBJETIVOS
- Encontrar la serie de potencias centrada en cero de f(x) = ln(x2 + 1)/ x2 y su respectivo polinomio de Taylor de grado 8 centrado en cero.
- Encontrar la ecuación en coordenadas polares de la órbita del satélite Explorer 18 alrededor de la Tierra y la distancia entre la superficie de la Tierra y el satélite cuando q = 60° .
- Verificar que las ecuaciones de las cónicas en polares tienen aplicación en la vida real en lo que se refiere al movimiento de los cuerpos celestes y satélites artificiales alrededor de la Tierra.
DESCRIPCIÓN TEÓRICA DE LOS MÉTODOS
Aproximación Polinómicas de Funciones Elementales:
Se utilizan para aproximar las funciones trascendentales por medio de un polinomio. Para hallar una función polinómica P que aproxime a otra función f, empezamos eligiendo un número c en el dominio de f en el que P tomará el mismo valor, es decir:
P(c) = f (c) Las gráficas de f y P pasan por (c, f (c))
Se dirá que la aproximación polinómica está centrada en c. Geométricamente, exigir que P(c) = f (c) significa obligar a la gráfica de P a que pase por (c, f (c)). Ni que decir que hay muchos polinomios que satisfacen esa condición. Nuestro empeño consiste en encontrar uno cuya gráfica sea parecida a la de f en las proximidades de ese punto. Una forma de lograrlo consiste en imponer la condición adicional de que la pendiente de la función polinómica sea la misma que la de f en el punto (c, f (c)).
P’(c) = f ‘(c) Las gráficas de f y P tienen las misma pendiente en (c, f (c))
Polinomios de Taylor y de Maclaurin:
Una aproximación polinómica de una función f centrada en algún valor c, debe ser escrita de la siguiente manera:
Pn(x) = a0 + a1(x – c) + a2(x – c)2 + a3(x –c)3 + × × × + an(x – c)n
Así las sucesivas derivadas dan como resultado:
Pn’(x) = a1 + 2a2(x- c) + 3a3(x – c)2 + × × × + nan(x – c)n – 1
Pn’’(x) = 2a2 + 2(3a3)(x – c) + × × × + n(n – 1)an(x – c)n – 2
Pn’’’(x) = 2(3a3) + × × × + n(n – 1)(n – 2)an(x – c)n – 3
:
Pn(n)(x) = n(n – 1)(n – 2) × × × (2)(1)an
Haciendo x = c, obtenemos:
Pn(c) = a0, Pn’(c) = a1, Pn’’(c) = 2a2, × × × , Pn(n)(c) = n! an
donde el símbolo n! (se lee ¨n factorial¨). Si n es un entero positivo, se define n factorial como: n! = 1 × 2 × 3 × 4 × × × (n – 1) × n .
Y como el valor de f y de sus n primeras derivadas deben coincidir con los de Pn y sus derivadas en x = c, se sigue que:
f (c) = a0, f ‘(c) = a1, f ‘’(c) = a2, × × × , f (n)(c) = an
2! n!
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