Resolución de dos problemas matemáticos (página 2)

Con estos coeficientes se llega a la siguiente definición de los polinomios de Taylor y de los polinomios de Maclaurin.

Definición de los Polinomios de Taylor y de Maclaurin:

Si f tiene n derivadas en c, el polinomio:

Pn(x) = f (c) + f ‘(c)(x – c) + f ‘’(c) (x –c)2 + × × × + f (n)(c) (x – c)n

2! n!

se llama el polinomio de Taylor de grado n de f en c. Si c = o, entonces:

Pn(x) = f (0) + f ‘(0)x + f ‘’(0) x2 + f ‘’’(0) x3 + × × × + f (n)(0) xn

2! 3! n!

se llama el polinomio de Maclaurin de f . Entonces f es aproximadamente Pn(x).

Definición de Series de Potencias:

Una serie de potencias puede considerarse como un polinomio de grado infinito cuya forma de escritura es la notación sigma (å ).

Si x es una variable, una serie de potencias es cualquier serie de la forma:

¥

å anxn = a0 + a1x + a2x2 + a3x3 + × × × + anxn + × × ×

n=0

Más en general, cualquier serie de la forma:

¥

å an(x – c)n = a0 + a1(x – c) + a2(x – c)2 + × × × + an(x – c)n + × × ×

n=0

se dice que es una serie de potencies centrada en c, donde c es una constante.

Definición de las Series de Taylor y Maclaurin:

Si una función f tien derivadas de todos los órdenes en x = c, se llama serie de Taylor de f (centrada) en c a la serie:

¥

å f (n)(c) (x – c)n = f (c) + f ‘(c)(x – c) + × × × + f (n)(c) (x – c)n + × × ×

n=0 n! n!

Si c = 0, la serie se conoce también como la serie de Maclaurin de f .

Para encontrar la serie de una función se debe lograr observar cual es la pauta que siguen los coeficientes en los polinomios, ya sea de Taylor o de Maclaurin.

Ecuaciones de las Cónicas en Coordenadas Polares:

Las ecuaciones de las cónicas en coordenadas polares se basan en que el foco (en el caso de la parábola), o uno de sus focos (en el caso de la elipse o la hipérbola) se encuentra localizado en el polo.

Clasificación de las Cónicas según la Excentricidad:

El lugar geométrico de los puntos del plano cuya razón de distancias a un punto fijo (foco) y a una recta fija (directriz) es constante es una cónica. La razón constante e es la excentricidad de la cónica.

1. La cónica es una elipse si 0 < e < 1.
2. La cónica es una parábola si e = 1.
3. La cónica es una hipérbola si e > 1.

La excentricidad de la elipse y de la hipérbola viene dada por el cociente: e = c

a

donde c es la distancia del centro a uno de los focos y a es la distancia del centro a uno de sus vértices mayores (en el caso de la elipse) y a uno de sus vértices (en el caso de la hipérbola).

Ecuaciones en Polares de las Cónicas:

La gráfica de una ecuación en polares de la forma:

r = ed o r = ed .

1 ± e cos q 1 ± e sen q

es una cónica, donde e > 0 es la excentricidad y ½ d½ la distancia entre el foco situado en el polo y su correspondiente directriz.

Los cuatro tipos de ecuaciones ya indicados admiten la siguiente clasificación donde d > 0.

1. 1 + e sen q

2. Directriz horizontal sobre el polo: r = ed .

   1 – e sen q

3. Directriz horizontal bajo el polo: r = ed .

   1 + e cos q

4. Directriz vertical a la derecha del polo r = ed .
5. Directriz vertical a la izquierda del polo: r = ed .

1 – e cos q

SOLUCIÓN Y RESULTADOS

PROBLEMA No. 1:

a)Construir la serie de potencias, centrada en 0, de la función:

f (x) = ln (x2 + 1) = g(x)

x2 h(x)

Se construye en primer lugar la serie de potencias de g(x), empezando por derivar las veces que sean necesarias la función:

g(x) = ln (x2 + 1) g¢ (x) = 2x g¢ ¢ (x) = – 2×2 + 2

x2 +1 (x2 + 1)2

g¢ ¢ ¢ (x) = 4x(x2 – 3) g4(x) = -12(x4 – 6×2 + 1)

(x2 + 1)3 (x2 + 1)4

g5(x) = 48x(x4 – 10×2 + 5) g6(x) = -240(x6 – 15×4 + 15×2 – 1)

(x2 + 1)5 (x2 + 1)6

g7(x) = 1440x(x6 – 21×4 + 15×2 – 7) g8(x) = -10080(x8 – 26×6 + 740×4 – 28x + 1)

(x2 + 1)7 (x2 + 1)8

Se evalua cero en g(x) y sus respectivas derivadas:

g(0) = 0 g¢ (0) = 0 g¢ ¢ (0) = 2 g¢ ¢ ¢ (0) = 0 g4(0) = -12 g5(0) = 0

g6(0) = 240 g7(0) = 0 g8(0) = -10080

Se construye un polinomio de grado &uml;n¨ de la función:

P8(x) = 0 + 0x + 2×2 + 0x3 – 12×4 + 0x5 + 240×6 + 0x7 – 10080×8

2! 3! 4! 5! 6! 7! 8!

Pn(x) = 2×2 – 12×4 + 240×6 – 10080×8 + (-1)n +1 2(2n + 1)! x2n

2! 4! 6! 8! (2n)!

La sumatoria desde ¨n¨ igual a uno hasta infinito del n-ésimo término del polinomio anterior es la serie de g(x):

¥ ¥

g(x) = å (-1)n + 1 2(2n + 1)! x2n = å (-1)n + 1 x2n

n=0 (2n)! n=0 n

Como f (x) es igual a g(x)/ h(x) entonces la serie de f (x) es igual a: LA SERIE DE g(x) .

h(x) = x2

¥

f (x) = å (-1)n + 1 x2n – 2

n=0 n

b)Representar en la calculadora f y el polinomio de Taylor de grado 8, P8(x), de f .

f (x) » 1 – x2 + x4 – x6 + x8

2 3 4 5

c)Completar la tabla siquiente, donde:

d)Describir la relación entre las gráficas de f y de P8 y los resultados de la tabla del apartado c).

Tomando en cuenta la observación de las gráficas de f y de P8 y además los resultados de la tabla anterior, se puede tomar a -3/ 4 < x < 3/ 4 como un intervalo aproximado donde la gráfica de P8 es parecida a la gráfica de f .

PROBLEMA No. 2:

El 28 de noviembre de 1963, EE.UU., lanzó el Explorer 18. Sus puntos más alto y más bajo sobre la superficie de la Tierra fueron 119 millas y 122000 millas. El centro de la Tierra es el foco de la órbita. Hallar la ecuación en polares de la órbita y la distancia entre la superficie de la Tierra y el satélite cuando q = 60° . (Suponer que el radio de la Tierra es 4000 millas).

2a = 119mi + 122000mi + 2(4000mi)

a = 65059.5 millas

c = 122000mi + 4000mi – a = 126000mi – 65059.5mi

c = 60940.5 millas

excentricidad = c = 60940.5mi = e = 0.94

a 65059.5mi

En el libro de texto el problema muestra una elipse cuya directriz que debe ser vertical y estar a la izquierda del polo, por lo que la ecuación en polares de la órbita del satélite debe tener una ecuación del siguiente tipo:

r = ed .

1 – e cos q

r = f (q ) Þ 2a = f (0) + f (p )

2a = 0.94d + 0.94d = 0.94d + 0.94d = 2 (0.94d)

1 – 0.94 cos 0 1 – 0.94 cos p 1 – 0.94 1 + 0.94 1 – 0.942

130119 = 15.28d Þ d = 8516.41

r = ed = 0.94(8516.41) = 7977.22 = f (q )

1 – e cos q 1 – 0.94 cos q 1 – 0.94 cos q

Si r = f (q ) y 60° = p / 3 Þ f (p / 3) = 7977.22 = 15004.5 millas

1 – 0.94 cos (p / 3)

Distancia entre la superficie de la Tierra y el satélite es: f (p / 3) – radio de la Tierra.

Distancia = 15004.5mi – 4000mi = 11004.5 millas.

CONCLUSIONES

• Los polinomios de Taylor y de Maclaurin son útiles para aproximar valores de las funciones trascendentales, en los cuales mientras más grande es el grado del polinomio menor es el error en la aproximación.
• Una serie de potencias puede considerarse como un polinomio que representa a una función, cuyo grado es infinito. La serie puede parecerse a la función en toda la recta real, en algún intervalo o solamente en algún punto, como es el caso del problema donde solamente son similares las gráficas en el intervalo (-1,1) aproximadamente.
• Las ecuaciones en coordenadas polares son útiles para verificar la trayectoria de cometas, planetas y toda clase de cuerpos celestes que se mueven en el espacio, debido a que la forma de la trayectoria de estos puede ser una de las tres cónicas: parábola, elipse e hipérbola.

BIBLIOGRAFÍA

McGraw-Hill Interamericana Editores. Cálculo. Roland E. Larson, Robert Hostetler y

Bruce Edwards. Traducido por Lorenzo Avellanas Rapún. Volumen 1. Sexta Edición.

Páginas: 676, 678, 679, 688 Y 707.

McGraw-Hill Interamericana Editores. Cálculo. Roland E. Larson, Robert Hostetler y Bruce Edwards. Traducido por Lorenzo Avellanas Rapún. Volumen 2. Sexta Edición.

Páginas: 957 y 958.

Elias Felipe Nij Patzán

Universidad de San Carlos de Guatemala

Facultad de Ingeniería

Escuela de Ciencias

Matemática Intermedia 1