“Asociativa: Si hay más de dos sumandos, elordenprogresivoenque“entran”enlasuma es indiferente: el resultado siempre es el mis- mo.Porejemplo,sihayquesumar15,37y25, puede hacerse en cualquier orden: 15 más 37 y luego más 25, ó 37 más 25 y luego más 15, ó 25más15yluegomás37”,elusodeletrasnos llevaría a esta representación generalizada:
Asociativa:Paracualesquieratresnúmeros naturales, a, b y c, se verifica: (a + b) + c = a + (b + c ).
Y la conjunción de las propiedades con- mutativa y asociativa nos permitiría extender la representación anterior a: Para cualesquiera tres números naturales, a, b y c, se verifica: (a + b) + c = a + (b + c) = (a + c) + b. De modo que el uso de las letras nos permite generalizar la representación de las propiedades de las operaciones aritmé- ticas aplicables a los números naturales.
Siobservamosbienelprocesodegenerali- zación que acabamos de mostrar, nos daremos cuenta de que hemos sustituido unos símbolos abstractos (los números) por otros símbolos más abstractos todavía (las letras). En efecto, las letras son una abstracción de los números, que ya son una abstracción de realidades de nuestro entorno.
Con el uso de las letras ganamos en gene- ralidad, pero se nos plantea una cuestión: así como las expresiones con los números debían guardar ciertas reglas de escritura, lo mismo debe ocurrir para las expresiones que se escri- ben con las letras como símbolos. En otras pa- labras, debemos conocer y manejar la nueva sintaxis simbólica.
2.2. La sintaxis simbólica literal
Ya hemos establecido que las letras serán los símbolos que representarán a los números naturalesdeunaformageneralizada.Estossím- bolos literales reciben el nombre genérico de indeterminadas, por cuanto su valor numéri- co no está determinado en principio; es decir, puede adoptar cualquier valor. 7 Otrasituaciónenlaqueelusodeletrasre- sultaprácticamentenecesarioparaganarenge- neralidad, es la referente a las propiedades de las operaciones con potencias de los números naturales. Al respecto, en el Cuaderno 6 (p. 19) escribíamos (adelantándonos a lo que estamos diciendo ahora):
“Al multiplicar, por ejemplo, 25 x 23 se ob- tiene: (2 x 2 x 2 x 2 x 2) x (2 x 2 x 2) = 2 x 2 x 2 x2x2x2x2x2=28.Análogamente,secom- pruebaque52x54=56.Yasíconcualquierotro ejemplo. No es, pues, difícil generalizar la pro- piedad: El producto de dos potencias de igual base es otra potencia de la misma base y cuyo exponente es la suma de los exponentes de las potencias que se multiplican. Simbólicamente (a, n y m son números naturales): a n x a m = a n + m ”.
Las operaciones expresadas con las indeterminadas se representan así: Como se puede apreciar, el cambio más significativo se halla en la representación de la multiplicación, en la que se omite el signo (x) utilizado en el terreno aritmético; ahora pode- mosutilizarunpunto(.)entrelosnúmerosyva- riables que se multiplican, o no colocar nada. De este modo, si en una expresión como 3yz, se asigna a y el valor 5 y a z el valor 4, no se obtiene como resultado el número 354, sino el producto de 3 x 5 x 4, es decir, 60.
Un objeto como 3yz, ó 2x, ó n, recibe el nombredetérmino;elnúmeroqueacompaña a la parte literal se denomina coeficiente: 3 en 3yz, 2 en 2x, ó 1 en n. Cuando varios térmi- nos se ligan mediante signos de operaciones, se forma una expresión algebraica. Ejemplos de esta última pueden ser: a + b; x – y + 5; 5ab – a 2 + b 2; etc.
Otroelementoaconsiderareselorden en que deben efectuarse las operaciones. Por ejemplo, la expresión a + bc indica que prime- rodeberíaefectuarselamultiplicacióndebyc, para agregar después al producto el valor de a. Análogamente, la expresión a/b – c indica que primero debería efectuarse la división de a en- tre b, para restar después el valor de c. 8 Ahora bien, ¿cómo escribiríamos la expre- sión que recoja la operación de “dividir a entre la diferencia de b y c ”? Indudablemente, no se trata de la expresión anterior, a/b – c, ya que ahora no puedo proceder a la división hasta quenotengaladiferenciadebyc;debocalcu- lar primero esta diferencia. Debemoscontarconunossímbolosyunas reglas que nos señalen cómo hacerlo. Pues bien, para ello disponemos de los paréntesis –del tipo ( ), [], {}- como elementos auxiliares. Así, la operación de “dividir a entre la diferen- cia de b y c ” se expresaría: a / (b – c).
En general, éste es el orden de aplica- ción de las operaciones indicadas en las expresiones literales o numérico – literales: 1. Operaciones indicadas dentro de los paréntesis. Si hay paréntesis dentro de otros paréntesis, se procede a resolverlos de adentro hacia fuera. 2. Potencias. 3. Multiplicaciones y divisiones. 4. Sumas y restas.
Veamos algunos ejemplos de aplicación de estas reglas:
g) 2(3 + 5z) – (z + 3); z = 1 1. En cada uno de estas expresiones, apliqueordenadamentelospasosaseguir y halle su valor numérico para los valores de la(s) indeterminada(s) que se indican:
a) 3y + 5; y = 1 b) 3(y + 5); y = 1 c) 2a2 + 2; a = 10 d) 3b + 4(c/2); b = 1, c = 2 e) (16m – n2) / 4; m = 1, n = 4 f) ; x =3 2
h) [15 – (m – n)3]2; m = 5, n = 3 i) 8[2(y – 3) + 4(7 – y)]; y = 5 2. Escriba las expresiones correspondien- tes a cada uno de los enunciados siguien- tes [utilice las letras de las indeterminadas así: a, si hay una sola indeterminada; a, b, si hay dos indeterminadas; etc.]: a) el doble de un número (es decir, el doble de a) b) el triple de un número, más 1 c) el triple de “un número más 1” d) el cuadrado de la suma de dos números e) la suma de los cuadrados de dos números f) la suma de dos números multiplicada por su diferencia g) 1 más el cubo de la suma de dos números h) el triple de un número menos el doble de otro número i) la cuarta parte de un número j) la mitad de la diferencia de los cuadrados de dos números k) la quinta parte del cuadrado de la dife- rencia de dos números l) el número siguiente a uno dado
Al igual que en Aritmética, ahora también puede hablarse de (y representar) la igualdad de dos expresiones simbólicas literales; por ejemplo, 4a + b = 3c – 2d. Esto significa que para algunos números, el cuádruple del prime- ro más el segundo, toma el mismo valor que el triple del tercero menos el doble del cuarto. Puede verificarse esta igualdad para muchos grupos de cuatro números naturales, debida- mente seleccionados.
Enestepunto,convienellamarlaatención respectoalmanejodelsignoigual.EnAritméti- ca, estamos acostumbrados a ver el signo igual “detrás”deunaoperaciónindicada,alaespera 9
decolocar“aladerecha”delsignoelresultado de la operación. Así por ejemplo, “5 + 7 =” in- vita a colocar 12 a la derecha: “5 + 7 = 12”.
Ahora, en el caso de las expresiones sim- bólicas literales, el signo de igualdad no es una invitación para obtener el resultado numéri- co de una operación; simplemente indica un “equilibrio”, una “simetría”, entre las expre- siones que se hallan a ambos lados del signo: ambas tienen el mismo valor.
Ya nosotros utilizamos este tipo de igual- dad en algunos temas de Aritmética; por ejem- plo, al hablar de la potenciación (Cuaderno 6, p. 17) escribíamos igualdades como éstas para representar algunas regularidades referentes a los números naturales:
(n + 1) 2 = n 2 + 2n + 1 (n + m) 2 = n 2 + 2nm +m 2
Ahora vamos a referirnos particularmente al caso de estas y otras regularidades.
2.3. La representación de regularida- des referidas a los números naturales
Así como hemos descubierto la necesidad de introducir expresiones simbólicas literales, con su sintaxis propia, para representar las pro- piedadesdelasoperacionesconnúmerosnatu- rales y, de este modo, ganar en generalidad, lo 10 mismoocurreparalarepresentaciónderegula- ridades que conciernen también a los números naturales.
Esta necesidad de generalización, de ex- presar la generalidad, es tan sentida que, como acabamos de recordarlo, no pudimos resistir la “tentación” de utilizar expresiones simbólicas literales en algunos de los Cuadernos anterio- res. Así que, “sin querer queriendo”, ya hemos justificado el uso de estas expresiones para re- presentarregularidadespropiasdelosnúmeros naturales.
El uso de la expresión simbólica literal de una regularidad [por ejemplo, (n + 1)2 – n2 = n + (n + 1)] abarca todos los casos numéricos particulares y “dice” la regularidad de una ma- neramásresumidaquesuexpresiónverbal(“la diferencia de los cuadrados de dos números naturales consecutivos es igual a la suma de dichos números consecutivos”). Sin embargo, quien lee (n + 1)2 – n2 = n + (n + 1) debe estar siempre en capacidad de interpretar su conte- nido, es decir, de saber formular su expresión verbal.
Si n y m representan a dos números naturales cualesquiera, interprete las siguientes igualdades simbólicas lite- rales:
a) (n – m) 2 = n 2 – 2nm + m 2 b) (n + m) + (n – m) = 2n c) (n + 1) (n + 3) = n 2 + 4n + 3 d) n 3 – 1 = (n 2 + n + 1)(n – 1) 3. Escriba la igualdad simbólica literal correspondiente a los siguientes enun- ciados (utilice n y m para designar las indeterminadas):
a) La suma de dos números menos la di- ferencia de ambos, es igual al doble del número menor. b) La suma de dos números multiplica- da por su diferencia, es igual al cua- drado del número mayor, menos el cuadrado del número menor. c) La suma de dos números seguidos es igual al doble del primero, más 1 uni- dad.
2.4. La representación de patrones o términos generales de una sucesión de números
En los Cuadernos de Aritmética hemos planteado algunos ejercicios en los que se da- ban algunos términos de una sucesión de nú- meros y se pedía averiguar algún número omi-
tido, o el siguiente de la sucesión. Un ejercicio de esta especie puede ser: ¿Cuál es el número que ocupa la posición 15 en esta sucesión de números: 2, 4, 6, 8, 10,…?
Resolver este ejercicio implica averiguar cuál es la ley o regla que se aplica para gene- rar cada uno de los números de la sucesión. Al intentar hacerlo nos percatamos enseguida de que estamos tratando con dos tipos de núme- ros: uno, el que indica la posición en que se halla cada número (n); y dos, el número que ocupa esa posición (an). Para el ejemplo dado:
Pues bien, lo que tenemos que hacer es descubrir la relación que existe entre cada par de números: “posición ocupada” y “número que ocupa esa posición” (1 y 2; 2 y 4; 3 y 6; etc.); es decir, debe tratarse de una relación constante, la misma para cada par de números relacionados.Ennuestrocasoessencillo:elnú- mero que ocupa una posición es el doble del número que indica la posición ocupada: an es el doble de n.
Ahora resulta sencillo representar esta re- lación: el término general de la sucesión es an = 2n. Ahora estamos listos para contestar la pregunta: el número que ocupa la posición 15 (n = 15) en esta sucesión es a15 = 2 x 15 = 30. Y, además, podemos saber qué número ocu- pa cualquier otra posición en la sucesión, así mediante la expresión 2n,enlaquendenota cualquier número natural (de esta forma se in- cluye también el 0, que es un número par).
Enestecasosediceque2nrepresentacual- quier número par, siendo n cualquier número natural. Esta última condición puede escribirse simbólicamente: para todo n ? N (el símbolo ? se lee “que pertenece a”; N representa al conjunto de los números naturales); también suele decirse: para n = 0, 1, 2,…
He aquí algunos otros ejemplos:
3 5 7 9 1 3 5 7
11 comolaposiciónqueocupacualquiernúmero; porejemplo,elnúmero628estáenlaposición 314 de esa sucesión (¿por qué?).
Lasucesiónquehemospresentadoeslade losnúmeros parespositivos(>0).Nosinteresa destacar que, además de servirnos para averi- guar cuál es el número par positivo que ocupa una determinada posición en la sucesión o, al revés,laposiciónqueocupacualquiernúmero par en ella, la expresión del término general se convierte en la expresión de cualquier número par; todo número par puede representarse
? ? ? ? ?
?
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?
construyepordentro[…],todoestoformaparte delclimaenquedebemostrabajarlamatemáti- ca,parcelaporparcela,nosotrosyconnuestros alumnos”. es 10a + b; el número con las cifras en orden invertido, ba, valdrá 10b + a, con a, b? N. 2.5. La representación y prueba de conjeturas relativas a los números
En el Cuaderno dedicado a la divisibilidad (nº 8, pp. 10 y 11) se hablaba de las conjeturas, proposicionesque tienen quever con números y que se cumplen para distintos valores numé- ricos. Por ejemplo, ésta: “Todo número par mayor que 4 es suma de dos números primos impares (conjetura formulada por Goldbach, un matemático alemán que vivió en el siglo XVIII)”.
Lasconjeturasseestablecenapartirdeuna observación atenta de los que pasa con ciertos números. Una vez formuladas, se desea saber si se cumplen para todos los números. Es decir, se desea establecer su generalización. Esto no siempre es fácil y, como decíamos en el Cua- derno8,hayalgunasconjeturas“abiertas”,que nohanfalladohastaahora,perocuyagenerali- zación no se ha establecido todavía. Otras son más sencillas de verificar.
¿Y qué importancia tienen las conjeturas para el desarrollo de la matemática y para no- sotros? Lo decíamos también en el Cuaderno 8 (p. 11): “…la curiosidad, la búsqueda, el plan– teamiento de conjeturas, el intento por verifi- carlas (o por refutarlas), el hacerse nuevas pre- guntas…, todo esto forma parte de la historia y del “ser” de la matemática, la manera como se 12 literales. Y luego, trabajar con este tipo de ex- presiones para intentar llegar al resultado; esta segundapartesedenominalapruebaodemos- tración de la conjetura.
Veamos algunos ejemplos de prueba de conjeturas, a cuyos enunciados se ha llegado porobservacionesatentasdeloqueocurrecon los números.
La suma de dos números, más su di- ferencia, es igual al doble del número mayor. Si representamos los números como a y b (a > b), la conjetura se expresa como: El primer paso para intentar establecer la (a + b) + (a – b) = 2a, con a, b? N. Y su generalización de una conjetura, es decir, para prueba es muy sencilla: (a + b) + (a – b) verificarquesecumpleparatodoslosnúmeros = a + b + a – b = a + a = 2a. naturales, es expresarla en términos simbólicos La suma de dos números impares seguidos es múltiplo de 4. Un número impar cualquiera puede ser representado, según vimos, como 2n + 1, n?N. El número impar siguiente será 2(n + 1) + 1, que puede escribirse como 2n + 2 + 1 = 2n + 3. Si sumamosambosnúmerostenemos:2n+1+2n+3=4n+4=4(n+1).Lasumaes,pues,un múltiplo de 4, ya que es el producto de 4 por el número (n + 1).
Tome un número de dos cifras (p. ej., 37); forme otro número con las cifras del anterior en or- den invertido (73); obtenga la diferencia positiva entre ambos números (73 – 37 = 36). Haga lo mismo con otros números y observe bien las diferencias en cada caso. ¿Qué conjetura se le ocurre? ¿Cómo puede estar segura(o) de su enunciado? (Cuaderno 8, p. 11). Unnúmerodedoscifrascomo37puededescomponerseasí:37=3×10+7(Cuaderno2).Si ahoraqueremosgeneralizarestaexpresiónparacualquiernúmerodedoscifrasdelaformaab (ojo,enestemomentonoestamosrefiriéndonosalproductodeaporb),sabemosquesuvalor Supongamosqueb>a.Enestecaso,10b+aesmayorque10a+bylarestaentreambosnú- merosdarácomoresultado:(10b+a)–(10a+b)=10b+a–10a–b=9b–9a=9(b–a).Esta última expresión representa a un múltiplo de 9 (lo mismo ocurre si a > b). Luego la conjetura dice que la resta de esos dos números de dos cifras, sean cuales sean, es un múltiplo de 9. Y acabamosdedarsuprueba,quenospermiteestarsegurosdesuenunciado,sinnecesidadde hacer todas las verificaciones posibles con los números.
+ 4n, que puede expresarse en la forma 4n (n + 1). Esta última expresión puede inter- Si a todo número impar elevado al cuadrado, se le resta 1 unidad, se obtiene un número múltiplo de 8. Si tomamos un número impar 2n + 1, n?N, su cuadrado será (2n + 1) 2 = (2n + 1)(2n + 1) = 4n 2 + 2n + 2n + 1 = 4n 2 + 4n + 1. Si a este resultado se le resta 1, nos queda 4n 2 pretarse como el producto de tres factores: 4, n y (n + 1). Ahora bien, si n es impar, (n + 1) será par; y si n es par, (n + 1) será impar, ya que se trata de dos números seguidos. Y si uno de ellos es par, el producto n (n + 1) será siempre par, y al multiplicarse por 4, la expresión total 4n (n + 1) será múltiplo de 8.
Representar simbólicamente una conjetura y probarla, no es una tarea sencilla; sin em- bargo, le proponemos las siguientes para que intente expresarlas y probarlas: a) La suma de dos números, menos su diferencia, es igual al doble del número menor. b) La suma de tres números seguidos es un número múltiplo de tres. c) El producto de dos números impares seguidos, más 1 unidad, es un múltiplo de 4. d) Tome un número de dos cifras, inviértalo como antes, pero ahora sume los dos nú- meros. Haga lo mismo con otros números y observe los resultados. Nuevamente, ¿qué conjetura se le ocurre? ¿Cómo puede estar segura(o) de su enunciado?
Como podemos apreciar, las conjeturas se establecen en el campo de la Aritmética y son un motorparaelavancedelconocimientomatemático,peronecesitandelasexpresionessimbólicas literales para probar su carácter general.
3. Las ecuaciones HastaahorahemosvistolaconvenienciaylanecesidaddeavanzarmásalládelaAritmética, precisamente para dotar de generalidad a la representación de: · las propiedades de las operaciones entre números naturales, · ciertas regularidades que se presentan entre tales números, · los patrones o términos generales de secuencias numéricas, · conjeturas acerca de los números, y para su correspondiente prueba. ExisteotrocampodetrabajofundamentalenlaAritmética,queeslaresolucióndeproblemas. Hemos trabajado con algunos métodos propios, tales como utilizar las operaciones y sus propie- dadescomomodelosdelassituacionesproblemáticas;tambiénnoshemosservidodelmétodoge- neral de ensayo y ajuste, que sugiere probar con valores particulares de la incógnita del problema y tomar decisiones a partir de los resultados así obtenidos, hasta llegar a la solución.
Pero después de lo desarrollado en este Cuaderno, es lícito preguntarnos: ¿También es posible avanzar hacia procesos más genera- les de resolución de problemas? ¿Existe algún método general, válido como el de ensayo y ajuste,quepermitaabordarlaresolucióndeun problemasintenerqueirprobandoconvalores particulares de la incógnita del problema?
Veamos este problema, planteado y re- sueltoconanterioridad(Cuaderno3,p.22):“La suma de tres números impares consecutivos es 81. ¿Cuál es el menor de ellos?”. La solución dada es la siguiente (p.25): “Basta con aproxi- marnosportanteo.Sellegaalvalorde25(25+ 27 + 29 = 81)”.
Si en el enunciado se nos hubiera dicho quelasumaes126,elmétododetanteohubie- ra funcionado igual, pero habría que ensayar con otros números particulares, hasta llegar al ajuste correspondiente.
¿Hay otra forma de plantear la búsqueda de la solución? Sí. Pensemos en el enunciado de esta manera: tengo que sumar al número menor otro que es 2 unidades mayor, y un ter- cero que es 2 unidades mayor que el anterior, es decir, 4 unidades más que el primero; en to- tal estoy acumulando tres veces el número me- nor, más 6 unidades; este total debe valer 81.
Podemos abreviar todo ese discurso si al número menor (que es la incógnita del proble- ma)lodesignamos…conunaletra;porejemplo, n. Entonces el planteamiento hacia la solución se escribiría: n + (n + 2) + (n + 4) = 81. ¿Qué es esta expresión? ¿Qué representa? Desde lue- go, no representa una propiedad de la suma de números, tampoco una regularidad que se 13
cumple para todos los números, ni tampoco el patrón de una sucesión numérica, ni tampoco una conjetura de carácter general. A pesar de que utilizamos un símbolo literal, ya no es- tamos en el ámbito de las expresiones que representan una generalización…
Esa es una expresión particular, en la que el símbolo n representa a un número concre- to, en un contexto concreto (el de los números impares), que debe satisfacer unas condiciones concretas(quela suma indicada valga 81). Este objeto matemático nuevo recibe el nombre de ecuación.
Enloquesiguevamosaestudiarcondete- nimientoestenuevoobjetomatemáticoycómo setrabaja conél para poderllegaralasolución delosproblemas,esdecir,aobtenerelvalorde laincógnitadecadaproblema.Peroloquenos interesa destacar es que llevar el enunciado de un problema a una ecuación es un nue- vo método para resolver ciertos problemas. Y es un método general.
En efecto, si en el problema anterior la sumadebeser129,laecuacióncorrespondien- te será n + (n + 2) + (n + 4) = 129. Cambia ese dato final, pero no la estructura de la ecuación. Másaún,sielenunciadoindicaquelasumade 5 números impares consecutivos es 405 y hay que hallar el mayor, la ecuación será (n – 8) + (n – 6) + (n – 4) + (n – 2) + n = 405; la ecuación tiene una estructura similar a las anteriores. Es decir, la estructura de la ecuación está pre- parada para aceptar diversos casos particu- lares y representarlos.
Vamos a aprender a “resolver” ecuaciones para poder resolver problemas. Pero, de suyo, el objeto matemático ecuación es muy impor- tante en sí mismo, así que vamos a estudiarlo con detenimiento. 14 3.1. Construir ecuaciones
La primera pregunta que tenemos que res- ponder es, indudablemente, ¿qué es una ecua- ción?Nadamejorparaelloquesaberconstruir- la: si sabemos “fabricar” una ecuación tendre- mos asegurada una respuesta a esa pregunta. Vamos a hacerlo. Tomemos, por ejemplo, el número 13 y escribamos algunas expresiones aritméticas que liguen números naturales con operaciones y cuyo resultado sea 13. En segui- da se nos vienen a la mente las más sencillas, lasqueutilizandosnúmerosligadosporunsig- no de operación; por ejemplo: 9 + 4; 18 – 5; 26 : 2; 5 + 8; etc.
En un segundo paso, seguramente empe- zamos a manejar expresiones más complejas, con más números o más operaciones implica- das; por ejemplo: 6 + 6 + 1; 8 + 10 – 5; 3 x 4 + 1; 30 : 2 – 2; 2 x 5 + 3; 6 x (4 – 1) – 5; 42 + 4 – 7; etc. Como se puede apreciar, la lista de expresiones no tiene fin.
Si ahora tomamos dos cualesquiera de esasexpresionesaritméticasylasigualamoses- tamos construyendo una igualdad aritmética. Por ejemplo: 2 x 5 + 3 = 5 + 8. Bien; supon- gamos que alguien tapa con el dedo o con un símbolo cualquiera (nos puede servir?) el nú- mero 5, presente a ambos lados de la igualdad. Nos quedaría a la vista 2 x? + 3 =? + 8.
Desde luego, la expresión resulta extraña; laigualdadindicadayanoestransparentecomo antes, cuando se podía calcular el valor de las expresiones ubicadas a cada lado del signo = y verificar su igualdad. En lugar de esta sencilla tareadeverificacióntenemosotraunpocomás compleja: descubrir qué número debe estar es- condidotraselsímbolo? paraquelaigualdad vuelva a ser verificable. Hay que hacer notar que los símbolos que habitualmente se utilizan para “esconder” los números son los de uso más universal: las le- tras. De este modo, si tomo la letra m (que es la inicial de mi nombre), la expresión anterior será: 2 x m + 3 = m + 8 cuya escritura formal, segúnvimosanteriormente,será:2m+3=m+ 8. Acabamos de construir una ecuación.
También podríamos haber partido de la igualdad aritmética 4 2 + 4 – 7 = 3 x 4 + 1 en la que, si escondemos el número 4 tras la letra n (que es la última letra de mi nombre), llega- mos a la expresión: n 2 + n – 7 = 3 x n + 1, cuya escritura formal será: n 2 + n – 7 = 3n + 1. Hemos construido otra ecuación. Ahora ya po- demos responder a la pregunta anterior, qué es una ecuación.
3.2. Conceptos y elementos asociados a una ecuación
· Una ecuación es una igualdad aritmética en la que hay algún nú- mero desconocido.
· El símbolo (letra) que “esconde” ese número se denomina incóg- nita.
· Resolver una ecuación significa hallar el valor numérico de la in- cógnita.
· Una ecuación está bien resuelta si al sustituir la incógnita por el valor numérico hallado se hace verificable la igualdad aritmética inicial. En este caso hemos halla- do la solución de la ecuación.
5. Determine si la solución propuesta para cada ecuación es la solución cor- recta: a) 5s – 7 = 2 + 2s; s = 2 b) 7c –10 = 30 – c; c = 5 c) 18e + 5 = 5; e = 0 d) 3x 2 + 5 = x + 8; x = 1 e) 60 = 85 – 15t; t = 5 f) 3u 2 – 15u = 15u; u = 10 g) 3u 2 – 15u = 15u; u = 0 h) 3m – 9 = 3(m – 3); m = 4 i) 3m – 9 = 3(m – 3); m = 5
En una ecuación ya construida encontra- mos los siguientes elementos: · Losmiembrosdelaecuaciónsonlasexpresionesqueseubicanacadaladodelsigno=.Así, en 2m + 3 = m + 8, el miembro de la izquierda es 2m + 3, y el de la derecha, m + 8. Y análogamente, n 2 + n – 7 y 3n + 1 en n 2 + n – 7 = 3n + 1.
· En cada miembro encontramos términos, que son las expresiones separadas por los signos + ó –. Por ejemplo, en n 2 + n – 7 hay tres términos: n2, n y 7. Algunos términos tiene su coeficiente numérico y su parte literal; por ejemplo, en 3n, 3 es el coeficiente y n la parte literal;yenm,elcoeficientees1ymlaparteliteral.Otrostérminossereducenaunnúmero, como por ejemplo, 3, 8, 7, 1. · Elgrado de la ecuaciónvienedadoporelmayorexponentequepresentalaincógnitares- pectiva. Así, la ecuación n 2 + n – 7 = 3n + 1 es de grado 2 o de segundo grado, mientras que 2m + 3 = m + 8 es una ecuación de primer grado o de grado 1.
· El número de incógnitas de una ecuación es otro elemento a tomar en cuenta. Así, 2m + 3 = m + 8 y n2 + n – 7 = 3n + 1 son dos ecuaciones con una sola incógnita cada una. En cambio, 3p + 2r = 16 es una ecuación con dos incógnitas.
También suele tomarse en cuenta la naturaleza de las soluciones, es decir, el tipo de números que se obtienen al resolver una ecuación. Las ecuaciones cuyas soluciones son exclusivamente números naturales suelen denotarse como “ecuaciones en N” (N desig- na el conjunto de los números naturales). En este Cuaderno trabajaremos con ecuaciones de primer grado con una incógnita en N.
¿Por qué la x en nuestras ecuaciones? Si tomamos cualquier libro de matemática en el que se trate de ecuaciones, encontraremos que casi siempre la incógnita se designa con la letra x. ¿De dónde viene esta costumbre? ¿Es muy reciente? Pues no es tan reciente; lo cierto es que tiene unos cuantos siglos de antigüe- dad. De hecho proviene de los árabes, aunque su fundamentación es anterior. Veámoslo.
Las ecuaciones se plantearon y resolvieron desde las culturas babilónica y egipcia; es decir, quizá desde el cuarto milenio antes de Cristo (Kline, 1992). Claro que no se escribían como hoy en día, en la forma simbólica y reducida que nosotros utilizamos desde hace unos pocos siglos. El planteamiento de una ecuación consistía en “echar el cuento” de lo que había que hacer con el valor desconocido: multiplicarlo por tal cantidad, sumarle tanto, etc., para ob- tener tanto…
15 Siguiendo el ejemplo anterior, constru- ya dos ecuaciones para cada uno de los casos siguientes, en los que se da el valor de la igualdad aritmética inicial y el valor que debe tener la incógnita (el número que se escondió): 20 5 1 16 0 115 3 0 4 7 5 25
16 Eltérminoparadesignarestevalordesconocidovariabadeunaculturaaotra,peroapartirde cierto momento fue designado habitualmente como “la cosa” (todavía, en nuestras culturas utilizamosexpresionescomoésaparareferirnosaobjetosdecuyonombrenonosacordamos o que no queremos mencionar en público…). “Lacosa”enlatínsedice“res”(deahívienelapalabrarepública,“respublica”,“lacosapúbli- ca”, aunque algunos de nuestros gobernantes la han solido convertir en “la cosa de ellos”…). Yen árabe, xai. Pues bien, la letra inicial x, como abreviatura de xai, pasó a convertirse en el símbolo que representaba a la cosa desconocida, a la incógnita. Estamos hablando del siglo IX de nuestra era, cuando los árabes dominaban buena parte de Asia, el sur de Europa y el norte de África, y se convirtieron en los propagadores de las culturas antiguas… y de la x de nuestras ecuaciones. Esacostumbredeutilizarlaletraxparadesignarlaincógnitadelaecuaciónhatrascendidoel campo de la matemática y hoy en día sirve para referirse a lo desconocido, lo incógnito. Así, hablamos de rayos X, los expedientes X, los hombres X, la sustancia X, etc. 3.3. Ecuaciones equivalentes Muchas ecuaciones pueden com- partir la misma solución. Las que lo hacen se denominan ecuaciones equivalentes. Por ejemplo y dentro del conjunto de las ecuaciones de pri- mergradoconunaincógnitaenN,2m +3=m+8 y 20–3x=xsonecuacio- nesequivalentes,yaqueparaambasla solución es 5. Nos interesan, en particular, las ecuaciones que se van derivando de una ecuación dada a partir de trans- formaciones que sean válidas. Como una ecuación es una igualdad aritmé- tica, las transformaciones válidas son aquellas que conservan la igualdad de ambos miembros. Veamos algunas de ellas,aplicadasalaecuación2m+3= m + 8 cuya solución es 5.
7. Determine cuáles de las siguien- tes ecuaciones son equivalentes a la ecuación 11 – 2x = 7x + 2 [en los ca- sos afirmativos, trate de precisar la(s) transformación(es) aplicada(s)]: a) 2 + 7r = 11 – 2r b) 15 – 2p = 7p + 8 c) 11 – m = 2 + 7m d) 5s + 2 = 11 e) 4 + 14n = 22 – 4c f) 9 – 5x = 4x g) 2 + 5t = 11 – 4t h) 6 + 15v = 33 – 12v i) 9 = 9x j) 22 – 4g = 4 + 7g k) 7u + 1 = 11 – u l) 33 – 2z = 25z + 6
8. Construya ahora dos ecuaciones equi- valentes y súmelas, miembro a miembro. ¿Laecuaciónresultanteserátambiénequi- valente a las dadas?
3.4. Resolución de ecuaciones
Como se indicó anteriormente, resolver unaecuaciónesencontrarsusolución,esdecir, el valor numérico de la incógnita; este valor, al sustituirse en la ecuación, restituye y hace veri- ficable la igualdad aritmética inicial. Antes de abordar los diversos procedi- mientos disponibles para resolver ecuaciones, digamos que éstas pueden presentar varias formas, como ya hemos visto en los ejemplos presentados hasta ahora. La forma a x ± b = c x± d,enlaquea,b,cydsoncoeficientes(ge- neralmente, números naturales, alguno de los cuales puede ser eventualmente igual a cero), 6. Escriba en cada caso la ecuación resul- tante de las transformaciones que se indi- can para la ecuación dada: a)10+4x=30–6x;dividirlosdosmiem- bros entre 2 y restar 2x en ambos b) 13 – 5d = 4 + 4d; cambiar de lado los miembros de la ecuación, colocar p como incógnita y sumar 5p en ambos miembros c) ; multiplicar ambos miembros por 4, sumar 1 y restar 5x en cada miembro d) 7(z + 2) = 14; dividir los dos miembros entre 7 y restar 2 en ambos e) 5 = 27 – 2c; restar 1 en los dos miem- bros, dividir ambos entre 2, restar 2 en cada miembro y cambiarlos de lado f) ; restar 4 en los dos miembros, multiplicar ambos por 3, dividirlos en- tre 2 y colocar y como incógnita sedenominaforma canónica de la ecuación de primer grado con una sola incógnita en N. Vamos a trabajar en los métodos para su re- solución. a) Los métodos intuitivos Corresponden a ecuaciones muy senci- llas; por ejemplo, para resolver una ecuación como 5 + z = 11, basta recordar las tablas de la suma o, simplemente, contar desde 5 hasta 11 y deducir que z debe ser igual a 6. O para el caso de 2x + 12 = 5x, es fácil percibir que, como 2x + 3x es igual a 5x, entonces 12 debe corresponder a 3x, con lo que x debe valer 4. Igualmente, para ecuaciones como 2u + 15 = 23,podemospercibirque2uequivalea8(para ajustar el resultado de la suma 8 + 15 = 23), de donde se sigue que u es 4.
En todos estos casos prevalece una visión integraldelaecuacióncomountodo,como unarelacióndeigualdadquecomprendetodos lostérminosdelosdosmiembros,ynosólouna visión aislada de la incógnita. Por esta razón, estos métodos son perfectamente válidos y no debendesdeñarse,auncuandoenesteproceso de resolución no se escriba nada y el resolutor se limite a describir verbalmente el proceso se- guido.Esmás,estavisiónintegraldetodaecua- cióndebeserunodelosobjetivosaalcanzaren las tareas de resolución de ecuaciones.
Después de observarlas como un todo, re- suelva intuitivamente y sin escribir nada, las siguientes ecuaciones: a) 7 = 3d + 4 b) 7c = 15 + 2c c) 4m – 5 = 19 d) 17 = 9n + 17 e) y – 18 = 5 f) 18 – 2c = 4c
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