c) Los métodos de despeje
Como hemos venido diciendo, la tarea de resolver una ecuación termina cuando se lle- ga a obtener el valor de la incógnita; es decir, cuando se llega a una expresión como x = 5. Bien observada, esta última expresión tiene también la forma de una ecuación: hay dos miembros ligados por el signo de igualdad. La particularidad está en que en uno de los miem- brosfiguralaincógnitaconcoeficiente1yenel otro, un número. En lo que respecta a la incóg- nita, debe estar sola, “despejada” de cualquier otrotérminoydecualquierotrocoeficienteque no sea 1.
Por consiguiente, es lógico pensar en un método que parta de la ecuación original y que,medianteunacadenadeecuacionesequi- valentes obtenidas por la aplicación de trans- formaciones válidas, nos lleve a una expresión en la que la incógnita aparezca despejada. Y resulta natural identificar a este proceso como el método de despeje. b) El método de ensayo y ajuste (tanteo razonado)
Setratadeasignarunvalorinicialalaincógnita,sustituirloenlaecuación,observarsilosdos miembros de la ecuación toman el mismo valor, y decidir en consecuencia. Por ejemplo, intente- mos resolver la ecuación 5x – 7 = 3x + 5. Damos a x el valor inicial 3; el miembro de la izquierda queda igual a 8 y el de la derecha, a 14; evidentemente, 3 no es la solución requerida ya que 8 ? 14; anotamos que la diferencia entre estosvalores14–8es6.Damosahoraaxelvalor4;elmiembrodelaizquierdaquedaiguala13y eldeladerecha,a17;tampoco4eslasoluciónrequerida,peroobservamosqueladiferenciaentre estos últimos valores 17 – 14 es 4; es decir, la diferencia se ha acortado (ha pasado de 6 a 4). Esta última observación significa que el proceso de incrementar el posible valor de x, a partir del valor inicial 3, es correcto: la incógnita vale más que 3. En efecto, si en lugar de 4 hubiéramos dado a la incógnita el valor 2, el miembro de la izquierda hubiera quedado igual a 3 y el de la derecha a 11, y la diferencia entre estos últimos valores 11 – 3, sería 8; es decir, la diferencia se habría incrementado (pasaría de 6 a 8). Por consiguiente, después de dar estos dos pasos, es decir, de asignar dos valores a la incóg- nita, estamos en capacidad de decidir hacia dónde tenemos que ensayar nuevos valores de la incógnita.Enelejemploquenosocupa,estevaloresmayorque4.Resta,pues,probarcon5,con 6…, hasta llegar al punto en que los dos miembros de la ecuación alcancen el mismo valor. En nuestra ecuación 5x – 7 = 3x + 5 esto ocurre con x = 6; en efecto, los dos miembros de la ecuación toman el valor 23 (que es el valor de la igualdad aritmética inicial). Pudiera alegarse que este método de ensayo y ajuste es muy largo y, por consiguiente poco económico. Aparentemente es así, pero tiene la ventaja de que también toma en cuenta a toda la ecuación de una manera integral, y no sólo a las incógnitas; y además, nos recuerda el origen de lasecuaciones,laigualdadaritméticaoriginal,yaqueencadaensayonosobligaaconsiderarsise ha alcanzado o no dicha igualdad. Comoenelcasodelosmétodosintuitivos,tampocoaquíseestáobligadoaescribirelproce- so de resolución; el método puede desarrollarse mentalmente. Pero podemos ayudarnos con un esquema sencillo como éste:
e ir escribiendo los sucesivos resultados en las filas inferiores de la tabla anterior hasta llegar a la solución buscada. Volveremos sobre este método posteriormente.
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19 Vamos a trabajar con este método. Yla primera observación que formulamos es que pueden presentarse diversas alternativas de aplicación, de acuerdo con la naturaleza de los términos que presente la ecuación.
c.1) La técnica de la balanza
Consideremoslaecuación2x+9=5x+3,enlaquelostérminosnuméricosyloscoeficientes de la incógnita son todos positivos. Podemos representar esta situación mediante una balanza en equilibrio(imagendelaigualdad),enlaquecadaplatillosimbolizaunmiembrodelaecuación;y para cada x y un ? para cada unidad para representar los términos utilizamos, por ejemplo, un numérica.
La ecuación podría, entonces, representarse así: ? ? ? ? ? ? ? ? ? ???
Despejar la incógnita significará ir extrayendo de cada platillo, en cada paso, la misma canti- dad de cualquiera de los dos objetos dibujados. Esta condición es necesaria para que se mantenga el equilibrio de la balanza. Por ejemplo, podemos extraer dos “incógnitas”, con lo que llegamos a: ? ??? ?? ? ? ? ??? Ahora podemos extraer tres unidades numéricas, operación que nos lleva a:
? ?? ? ? ?
Elequilibriofinaltraducelaequivalenciaen“peso”delosobjetoscontenidosencadaplatillo; es decir, un equivale a ? ?. Si regresamos ahora a las representaciones iniciales, decimos que hemos llegado al resultado: x = 2. Esta es la solución de la ecuación, como puede verificarse; el valor de la igualdad aritmética inicial es 13.
Como puede apreciarse, el procedimiento es útil para manipular y captar visualmente las transformaciones que afectan a cada miembro de la ecuación (platillo) y que van generando la cadenadeecuacionesequivalentesquenosllevanalasolución.Sulimitaciónconsisteenquelos términos numéricos y los coeficientes de la incógnita deben ser todos positivos. Resuelva las siguientes ecuaciones utili- zando su representación en la balanza:
a) 5m + 1 = 7 + 4m b) 9 = 6 + p c) 7 + 3z = 8z + 7 d) 3u = u + 12 c.2) La técnica del gráfico transformacional Denominamos así el procedimiento que vamostrando,apartirdelaecuacióninicial,las transformaciones que se aplican en cada paso y las ecuaciones equivalentes que se generan como resultado. Así, para nuestra ecuación 2x + 9 = 5x + 3 partimos de su representación ini- cial, en la que se colocan los términos de cada miembro encima y debajo de los lados hori- zontales de un rectángulo:
2x + 9
5x + 3 y su resolución se representaría así: 2x + 9 9 6 2 – 2x -3 :3 5x + 3 3x + 3 3x x Evidentemente, el orden de aplicación de las transformaciones puede variar (por ejemplo, se pudohaberrestado3unidadesalcomienzoy,después,2x).Cadaeslabónrectangularcontienelos pares de miembros que forman las sucesivas ecuaciones equivalentes hasta llegar a la solución. Conrespectoa la representación de la balanza, ahoraya noexiste lalimitacióndequetodos lostérminosnuméricosseanpositivos.Incluso,podemosresolverecuacionesquenosepresenten en su forma canónica. Por ejemplo, resolvamos la ecuación 2(x – 4) + 7 = 44 – 3x: + 3x 2(x – 4) + 7
44 – 3x 2x – 8 + 7
44 – 3x 2x – 1
44 – 3x 5x – 1
44 +1 :5 5x
45 x
9 c.3) La técnica simbólica habitual
La técnica de despeje que se utiliza habi- tualmente para la resolución de una ecuación deprimergradoesunasimplificacióndelatéc- nica transformacional anterior, en el sentido de queúnicamentesepresentalacadenadeecua- ciones equivalentes, en su forma simbólica, sin indicarexplícitamentelatransformaciónquese lleva a cabo en cada paso. Así, en nuestra ecuación 2x + 9 = 5x + 3, la secuencia de resolución es:
(1) 2x + 9 = 5x + 3 (2) (3) (4) 2x + 6 = 5x 6 = 3x 2= x Esta técnica tiene validez para el resolutor si éste entiende cuál es la transformación que debe aplicar en cada paso. Con mucha fre- cuencia se suele sustituir esta comprensión de las transformaciones por reglas mecánicas sin mayor sentido. Por ejemplo:
· de (1) se pasa a (2) porque “el 3 que está sumando pasa restando”; · de(2)sepasaa(3)porque“el2xqueestá sumando pasa restando”; · de (3) se pasa a (4) porque “el 3 que está multiplicando pasa dividiendo”.
Las reglas mecánicas que suelen aplicarse son, pues, éstas:
· lo que está sumando, pasa restando; · lo que está restando, pasa sumando; · lo que está multiplicando, pasa dividiendo; · lo que está dividiendo, pasa multiplicando. Como se puede apreciar, las dos primeras transformaciones no implican operaciones aritméticas referidas a ambos miembros de la ecuación, sino simplemente transformaciones en la expresión de uno de los miembros, con el fin de llegar a la forma canónica de la ecuación.
Resuelva las siguientes ecuaciones utilizando su representación transformacional: a) 2x – 1 = 3x – 8 b) 5(2s – 6) = 0 c) 5z + 2 = 2(1 + 3z) d) 1 = 16 – 3(m + 1)
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???? ??? ??? ?????? De donde: =x = ?? Indudablemente,estasreglasnodebenenseñarsealosalumnos,nienprimerlugar,nimucho menosexclusivamente;entodocasodebenserdescubiertasporellos,comounaconclusiónprác- ticayposteriordesutrabajoconlaaplicacióndelastransformacionescorrespondientes.Sólosise guarda este orden se evitarán los errores tan frecuentes en las tareas de despeje de la incógnita.
Demodoquelasecuenciadeaprendizajedelaresolucióndeunaecuacióndeprimergrado por el método de despeje, bien puede pasar por las dos técnicas previas (de la representación en la balanza y por medio del gráfico transformacional) antes de llegar al modo habitual de sólo pre- sentar la cadena de ecuaciones equivalentes (mal acompañada, a veces, por las reglas mecánicas al uso…).
No está de más, incluso, ver cómo se puede pasar del proceso en la balanza a la técnica centrada únicamente en la forma simbólica de las ecuaciones equivalentes. Veámoslo para la ecuación 2x + 9 = 5x + 3.
Se utilizan los dos procedimientos de despeje: en el lado izquierdo, el de la balanza; y en el derecho, el correspondiente al uso de la forma simbólica:
Balanzas Símbolos
???? 2x + 9 = 5x + 3
Quitar Restar 2x en ambos miembros
2x – 2x + 9 = 5x – 2x + 3 ???? ??? 9 = 3x + 3
Quitar ??? Restar 3 unidades en ambos miembros
9 – 3 = 3x + 3 – 3 6 = 3x 6 3 2= x La experiencia enseña que habituarse a este tipo de “traslación” de lo gráfico a lo sim- bólicocontérminosnuméricospositivos,facili- ta la comprensión posterior de las transforma- ciones simbólicas en ecuaciones con términos negativos.
¿De dónde viene el nombre de Algebra?
He aquí lo que al respecto escribe Morris Kline (1992, p. 260) sobre los árabes: “Al álgebra contribuyeron antes que nada con el nombre. La palabra ‘álgebra’ viene del libro escrito el [año] 830 por el astrónomo MohammedibnMusaal-Khwârizmî(sobre el 825), titulado Al-jabr w’al muqâbala. La palabra al-jabr que en este contexto signi- fica ‘restauración’, restaura el equilibrio en unaecuaciónalcolocarenunmiembrode lamismauntérminoquehasidoeliminado delotro;porejemplo,si–7sesuprimedex2 –7=3,elequilibrioserestauraescribiendo x2 = 7 + 3. Al’ muqâbala significa ‘simplifi- cación’, en el sentido de que, por ejemplo, se pueden combinar 3x y 4x y obtener 7x, o bien suprimir términos iguales en miem- bros distintos de una ecuación”. Como puede observarse, el nombre de ál- gebrasederivadelaprimerapalabradeun título más largo, título que recoge los nom- bres de dos de las transformaciones permi- tidas (‘restaurar’ y ‘simplificar’) para pasar de una ecuación a otra equivalente. Nada tiene de particular que el campo de la ma- temáticaorientadoalaresolucióndeecua- ciones se conociera durante muchos siglos (prácticamente hasta el siglo XIX) con el nombre de álgebra y que, todavía hoy día, cuando nos hablan de álgebra, pensemos ante todo en la resolución de ecuaciones.
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d) El tanteo formalizado: la regla “falsa” o de “falsa posición”
Retomemos la ecuación que nos sirvió de ejemplo al hablar del método de ensayo y ajuste, 5x – 7 = 3x + 5. Como vimos, empezamos a ensayar con los valores 3 y 4 para x, con los que obtuvimoslosvaloresrespectivosdelosmiembrosdelaizquierdaydeladerecha,8y14(parax= 3) y 13 y 17 (para x = 4); también obtuvimos las diferencias entre ambos miembros, en cada caso, 6y4.Vamosallevartodosestosdatosalasiguientetabla,yagregaremosloscorrespondientesa x =5yax=6(elsubíndicequesecolocaalasincógnitasindicaelordenenqueseconsideran;así, x2= 4 indica que 4 es el segundo valor de x considerado):
Cuando trabajamos con el método de ensayo y ajuste sólo remarcamos dos puntos: que la diferenciaFdisminuyóalpasardex=3ax=4(loqueindicabaquelasoluciónestabadelladode los valores mayores que 3) y que había que seguir ensayando con algún valor mayor que 4, hasta llegar a la solución (cuando F = 0).
Ahora podemos fijarnos en otro dato adicional: la variación de F. Cuando x vale 3, F toma el valor 6; después, al incrementarse x en una unidad (al pasar de 3 a 4, de 4 a 5, y de 5 a 6), F disminuye en 2 unidades (de 6 a 4, de 4 a 2, y de 2 a 0). Pero realmente no teníamos que haber completado la tabla hasta llegar a tener F = 0. Con los dos primeros ensayos (x = 3 y x = 4) podía- mos haber calculado la solución de la ecuación.
En efecto, estamos en presencia de una situación proporcional: cada vez que x aumenta una unidad, la diferencia disminuye en 2 unidades. La pregunta es: ¿cuántas unidades tiene que aumentar x para que la diferencia se anule? Podemos plantear la siguiente regla de tres: aumento del valor de x 1 a disminución de la diferencia F 2 6 6×1 2 que era 3. Por lo tanto, la solución de la ecuación es x = 6. Puede verificarlo. 22
23 Lógicamente, el método funciona también en los casos en que el primer valor ensayado de x vaya por encima de la solución. Por ejemplo, para resolver la ecuación 16 + (20 –x) = 2(18 – 3x), formamos la tabla:
Comoobservamos,alpasardex=5ax=6,Fpasade25a30;estoindicaquelasoluciónno es ningún valor superior a 5, sino inferior; por eso ensayamos con x = 4 y vemos que F disminuye en 5 unidades (pasa de 25 a 20). Organizamos ahora la regla de tres correspondiente: disminución del valor de x 1 d disminución de la diferencia F 5 25 de donde, 5 Es decir, la incógnita debe disminuir 5 unidades a partir de su valor inicial, que era también 5. Por lo tanto, la solución de la ecuación es x = 0. Verifíquelo.
Como puede apreciarse, este método elude todo procedimiento de despeje y se basa en la proporcionalidad presente entre los valores que toma la incógnita y los correspondientes deladiferenciaqueseoriginaentrelosvaloresdeambosmiembrosdelaecuación.¿Sorpren- dente, no?
Sinospreguntamosdesdecuándoseconoceestaformaderesolverecuacionesdeprimer grado, tendremos que decir que ya era utilizado en la Edad Media, aunque en el documento egipcio conocido como “Papiro de Rhind” o “Papiro de Ahmes”, que data del siglo XVIII a. C., ya se utiliza un método similar para resolver algunos problemas por la vía de las ecuacio- nes de primer grado. Y, al parecer, también era conocido siglos atrás en Babilonia… (Mason, 1996).
En cuanto al apelativo de regla “falsa” (de hecho había más de una…), proviene del acto deprocederportanteo,deadelantarunaposiblesolución(generalmente“falsa”,conrespecto alacorrecta),luegootrapróxima(casisiempretambién“falsa”),compararalgunosresultados y generar a partir de ahí la solución correcta. Aplique el método de la regla de falsa posición para resolver las siguientes ecuaciones:
a) 2x – 1 = 3x – 8 b) 5(2s – 6) = 0 c) 5z + 2 = 2(1 + 3z) d) 1 = 16 – 3(m + 1)
24 Este método de resolución de las ecuaciones de primer grado no es solamente una reliquia histórica; puede utilizarse hoy día con toda propiedad. Y, de hecho, en algunas circunstancias resulta más apropiado y explicativo que el método de despeje.
Al respecto, tomemos la ecuación 2(3z + 4) – 4 = 1 + 3(2z + 1). Si procedemos por despeje, tendremos la secuencia: 2(3z + 4) – 4 6z + 8 – 4 6z + 4 6z 0 -4 – 6z 1 + 3(2z + 1) 1 + 6z + 3 4 + 6z 6z 0 Como se ve, al término de esta secuencia se llega a un resultado (0 = 0) que no nos permite inferir cuál es la solución de la ecuación, aun cuando el paso anterior (6z = 6z) nos deja ver que la incógnita puede tomar cualquier valor. De hecho, esta ecuación tiene como solución cualquier número (puede verificarlo con dos o tres valores) y, por ello, recibe el nombre de indeterminada.
Esta situación sepresentacuandoalconstruirlaigualdad aritméticainicialcolocamoslamis- ma expresión en ambos términos de la igualdad (aunque éstos aparezcan después ligeramente transformados…).
Veamos este segundo ejemplo, 7 – 3u = 10 + 3(2 – u). Utilizamos de nuevo el método de despeje para su resolución: 7 – 3u 7 – 3u 7 – 3u 7 + 3u 10 + 3(2 – u) 10 + 6 – 3u 16 – 3u 16 Altérminodeestanuevasecuenciasellegaaunresultadoabsurdo(7=16),quenonospermi- tedecidiracercadelasolucióndelaecuación.Dehecho,estaecuaciónnotienesolución.Dicho en otras palabras, no se puede construir ninguna igualdad aritmética inicial que desemboque en esta ecuación.
Veamos ahora el tratamiento de estas dos ecuaciones cuando se utiliza el método de la regla de falsa posición. Para la ecuación 2(3z + 4) – 4 = 1 + 3(2z + 1):
Esta secuencia de acciones es precisa- mente la más apropiada para elaborar un programa de computación que lea la ecua- ción y reporte como salida alguno de los tres resultados finales.
9. Aplique las acciones anteriores a las siguientes ecuaciones y reporte, en cada caso, el resultado final:
a) 8m + 1 = 13 – 4m b) 6(3 – 2t) = 1 + 4(5 – 3t) c) 3 + 7x = 3(2x + 1) + x d) 7 = 2(5z + 2) + 3 e) 14r + 2(r + 2) = 4(1 + 4r) f) 3(y + 6) – 3y = 5
Un comentario final en relación con la resolución de ecuaciones de primer grado. La primera actividad que debemos promover al enfrentar esta tarea tiene que ser observar atentamente cada ecuación propuesta; examinar con detalle ambos miembros, los términos presentes, la incógnita cuyo valor se solicita. Y en segundo lugar, decidir el méto- do a aplicar para su resolución, tomando en cuenta que cualquiera de ellos es válido.
Hallar el valor de x + 2 si x es la solu- ción de la ecuación 4x + 12 = 5x + 10. Un posible camino para resolver el pro- blema puede ser obtener el valor de x como solución de la ecuación dada y, luego, agregar 2 unidades. La resolución de la ecuación (por cualquier método) nos lleva a x = 2; y de aquí llegamos a x + 2 = 4. 25 Basta con tomar dos valores cualesquiera de la incógnita para observar que las diferencias finales F1 y F2 son ambas cero. Esto nos indica que la incógnita puede tomar cualquier valor. Y para la ecuación 7 – 3u = 10 + 3(2 – u):
Ahoranosencontramosconquealtomarlaincógnitadosvalorescualesquiera,lasdiferencias finales F1 y F2 son ambas iguales y distintas de cero. Esto nos indica que esta diferencia no variará, cualesquieraseanlosvaloresasignadosalaincógnita(puedeverificarloconcualquierotrovalor). Deaquísededucequenohayvalordelaincógnitaquepuedallevaresadiferenciafinalacero;es decir, la ecuación no tiene solución.
Enconclusión,elmétodode laregladefalsa posiciónsepercibe comomáspertinentequeel métododedespejeparadilucidarloscasosenquelaecuaciónnotenganingunasoluciónotenga infinitas soluciones. Podemos resumir el proceso de resolución de ecuaciones por ese método mediante la siguiente secuencia de acciones: F1 F1 – F2 x = x1 +
11. A partir de la ecuación 4 + 8 y = 4 y + 4, obtenga el valor de 4 y + 1. Hágalo como lo desee.
12. Resuelva las siguientes ecuaciones por el método que usted desee: a) 3m – 7 = 2 b) 16 – 5x = 4(4 + x) c) 3(z + 2) + 1 = 7 + 3z d) 4u – 3 = 8 – 7u e) 120 = 20 + 25z f) 98 + 2(c + 10) = 40(2 + c) g) 27 + 9s = 4(2s + 7) – 1 h) 12t – 5 = 15 + 2t i) 4(x + 2) – 3x = 12
4. La resolución de problemas Después de este largo y necesario recorri- do por el tema de las ecuaciones, volvemos al punto de la resolución de los problemas. Ha- bíamos planteado éste: “La suma de tres nú- meros impares consecutivos es 81. ¿Cuál es el menor de ellos?”. Ydecíamos que si al número menor(queeslaincógnitadelproblema)lode- signamos con la letra n, entonces la traducción del enunciado nos lleva a la ecuación: n + (n + 2) + (n + 4) = 81.
La resolución de esta ecuación pasa por las ecuaciones equivalentes:
n + n + 2 + n + 4 = 81 3n + 6 = 81 3n = 75 n = 75/3 = 25 Pero hay otra forma de proceder que consiste en “ver” a x + 2, como un todo, “dentro” de la ecuación. Así, 4x + 12 puede verse como 4(x + 2) + 4 (verifique que es lo mismo); y 5x + 10 como 5(x + 2). De esta forma, la ecuación puede escribirse como 4(x + 2) + 4 = 5(x + 2), con x + 2 como la nueva incógnita. Una lectura de esta ecuación nos dice que “4 veces la incógnita, más 4, es igual a 5 veces la incógnita”.
Si esta incógnita se representara, por ejemplo, con la letra z, podríamos es- cribir la ecuación como 4z + 4 = 5z. Intuitivamente percibimos que z debe valer 4; es decir, x + 2 = 4, que es lo que nos pedían hallar. Acabamos de reali- zar un cambio de incógnita que nos ha llevado directamente a la respuesta solicitada.
10. A partir de la ecuación 6r – 7 = 2r + 1, obtenga el valor de 2r – 1. Hágalo como lo desee.
26 Este valor verifica la ecuación: 25 + 27 + 29 = 81. Además son tres números impares consecutivos, tal como se pedía. Hemos re- sueltoelproblemaporlavíadelasecuaciones, además de haberlo hecho previamente por la vía del ensayo y ajuste.
Ahorayapodemosentendercómofuncio- naestenuevométododeresolucióndeproble- mas:
1. Leer atentamente el enunciado del problema (probablemente habrá que hacerlo más de una vez durante el proceso de su resolución). Determinar la incógnita del problema (lo que nos piden hallar). 2. Tratar de llevar las relaciones descri- tas en el enunciado a la forma de una ecuación (si es posible; si no lo es, hay que ensayar otro método).
3. Resolver la ecuación; verificar si la so- lución obtenida es la correcta.
4. No olvidar que la solución del proble- ma no es un simple número, sino un número en un contexto. Por ello, hay que llevar el valor hallado al enuncia- do del problema y verificar si satisface las condiciones descritas.
5. Ensayar otras vías para resolver el pro- blema; esto no es un lujo, sino poner en práctica el principio de diversidad en el aprendizaje de la matemática.
Vamos a resolver por esta vía algunos problemas a cuya solución llegamos en su mo- mentoporotrosmétodos(sesugiererevisaresta primera forma de resolución en los Cuadernos y páginas indicados en cada caso).
Jugando al baloncesto, Daniel ha encestado 40 balones durante 5 días consecutivos. Si cada día logró encestar 3 balones más que el día anterior, ¿cuántas cestas consiguió el primer día? (Cuaderno 3, p. 22; solución propuesta en la p. 25).
Identificamoslaincógnitadelproblema“nºdecestasqueconsiguióelprimerdía”conlaletra z. El análisis del enunciado nos lleva a la ecuación: z + (z + 3) + (z + 6) + (z + 9) + (z + 12) = 40. De aquí se llega a las ecuaciones 5z + 30 = 40; 5z = 10; z = 2. Esta solución satisface la ecuación(2+5+8+11+14=40)ytambiénlascondicionesdelenunciado.Porconsiguien- te, el primer día Daniel consiguió 2 cestas.
En unas elecciones, el candidato ganador triplicó en votos a su oponente, y juntos sacaron 116.000 votos. ¿Cuántos obtuvo el candidato ganador? (Cuaderno 5, p. 29; sin solución pro- puesta).
El análisis del enunciado (el candidato ganador triplicó en votos a su oponente) nos lleva a seleccionar como incógnita del problema el “nº de votos consegui dos por el candidato per- dedor”.Silarepresentamosconlaletrax,elnºdevotosconseguidosporelcandidatoganador será 3x. Siguiendo el enunciado, llegamos a la ecuación: x + 3x = 116.000; y de aquí, 4x = 116.000; de donde x = 29.000.
Estasoluciónsatisfacelaecuación(29.000+87.000=116.000)ytambiénlascondicionesdel enunciado. Por consiguiente, el candidato ganador obtuvo 87.000 votos.
Elproblemaanteriornosllevóaseleccionarcomoincógnitadelaecuaciónaunacaracterística quenocoincidíaconlaincógnitadelproblema,paraevitarlaaparicióndefracciones. Enefecto,si xhubierarepresentadoelnúmerodevotosdelganador,elnúmerodevotosdelperdedorsehubie- ratenidoqueexpresarcomox/3;ylaecuación,comox+x/3=116.000,siempremásengorrosa para resolver. Esta selección es válida, siempre que al final se tome en cuenta que debe darse el valor de la incógnita del problema.
También podría haberse tomado como incógnita el número de votos del ganador, y haberla representado con el término 3x ; así, el número de votos del perdedor se hubiera teni- do que expresar como x ; y la ecuación, como 3x + x = 116.000, repitiéndose el proceso de resolución ya planteado anteriormente.
Rafael tiene 40 años y la suma de las edades de sus tres hijos es 22 años. ¿DentrodecuántosañoslaedaddeRafael será igual a la suma de las edades de sus tres hijos? (Cuaderno 7, p. 5; sin solución propuesta).
La incógnita del problema es el “número de años que tiene que pasar para que se produzca esa igualdad de edades”; podemosdesignarlaconlaletrau.Cuando pasen u años, Rafael tendrá 40 + u años; encuantoalostreshijos,cadaunodeellos habrá incrementado también su edad en u años, de modo que la suma de las tres edades se habrá incrementado en 3u años y será 22 + 3u. La ecuación que recoge el enunciado del problema es: 40 + u = 22 + 3u. De aquí se llega a las ecuaciones 18 + u = 3u; 18 = 2u ; 9 = u. Esta solución satisfacelaecuación(40+9=49;22+3x 9=22+27=49)ytambiénlascondiciones del enunciado. Por consiguiente, dentro de 9 años la edad de Rafael será igual a la suma de las edades de los tres hijos.
Otra vía válida para la resolución de los dos últimos problemas es la del ensayo y ajuste. 27
La señora Antonia compró un lote de caramelos a razón de 270 pesos por cada 9 caramelos y los vendió a ra- zón de 10 caramelos por 800 pesos. Al venderlos todos obtiene una ganancia de 21.000 pesos. ¿Cuántos caramelos compró? (Cuaderno 7, p. 28; sin solu- ción propuesta).
En primer lugar, podemos inferir ciertos datos, tales como el precio de compra y de venta de cada caramelo: 30 pesos y 80 pesos, respectivamente (¿por qué?). Identificamos la incógnita del problema “nº de caramelos comprados” con la le- tra n. El monto de las ventas será 80n y el de la compra, 30n. Como la ganancia es el resultado de la diferencia entre am- bos montos, podemos llegar a la ecua- ción: 80n – 30n = 21.000. De aquí se llega a las ecuaciones 50n = 21.000; n = 21.000/50 = 420. Esta solución satis- face la ecuación (80 x 420 – 30 x 420 = 33.600 – 12.600 = 21.000) y también las condiciones del enunciado. Por con- siguiente, se compraron 420 caramelos.
El problema se puede resolver tam- bién calculando el beneficio que se ob- tiene por la venta de cada caramelo: 80 pesos – 30 pesos = 50 pesos. Ahora se puede deducir el número de caramelos comprados mediante una simple divi- sión: el monto de las ganancias totales, entre la ganancia obtenida por cada caramelo vendido: 21.000 : 50 = 420 caramelos. Esta vía de resolución es es- trictamente aritmética.
Resuelva los siguientes problemas por to- das las vías que se le ocurran: 28 13. En una feria hay un puesto donde la gente puede probar su puntería in- tentando darle al blanco. Por cada tiro acertado se reciben 3 caramelos y por cada tiro errado se devuelven 2. Aunque Ramón ha perdido 5 veces, tiene 11 ca- ramelos consigo. ¿Cuántas veces le ha dado al blanco?
14. Hemos marcado en el mapa cuatro montañas cuyas alturas suman 19 kiló- metros. La más alta supera en 1.055 m a la segunda; ésta, en 855 m a la tercera; y finalmente, ésta supera en 665 m a la montaña más baja. ¿Cuál es la altura de la montaña más alta?
15. Cuando mi papá tenía 31 años, yo tenía 8. Ahora su edad es el doble de la mía. ¿Cuántos años tengo actualmente? 16. En un grupo de 63 personas, el nú- mero de niños es el doble del de adultos. Entre estos últimos, el número de muje- res es el doble del de hombres. ¿Cuántos hombres hay en el grupo?
17. Una persona debe a dos comercian- tes la misma cantidad de dinero. Al pri- mero le paga con 18 kg de mercancía más 8.000 pesos. Al segundo le da 25 kg de la misma mercancía y recibe como devolución 45.200 pesos. ¿Cuánto de- bía, en pesos, a cada uno de los comer- ciantes?
18. Hallar el número cuyo quíntuplo disminuido en 17 es igual a su triple au- mentado en 41
21. Determine si estos dos términos generales representan, o no, a la misma sucesión de números naturales: an = 5n + 4, n?N; an = 5n – 1, n = 1, 2, 3,… En caso afirmativo, escriba los cinco primeros términos de la sucesión.
22. Resuelva las ecuaciones siguientes por el método que usted desee:
a) 5x + 21 = 21 b) 7 = 115 – 27z c) 4[(3m + 1) – 3] = 1 + 3(m + 3) d) 2(5 + 2c) – 10 = 4c e) 15 – 3y = 2(7 – y) + (1 – y) f) 3x + 8 = 3(x+ 2) g) 5n – 4 = 3n + 2 h) 18 = 3(5 + x) i) 1 + 4r = 3(r + 1) – 2
23. A partir de la ecuación 8m + 5 = 3 + 2(2m + 1), obtenga el valor de 2m + 1. Hágalo como lo desee.
24. ¿Es cierto que cuando los dos miembrosdeunaecuaciónsemultiplican por 3, la solución de la ecuación queda también multiplicada por 3? 19. Escriba la igualdad simbólica literal correspondiente a los siguientes enun- ciados (utilice n para designar la inde- terminada):
a) Dado un número, el producto de los dos números siguientes es igual al cuadrado del número dado, más el triple del mismo, más 2 unidades.
b) Dado un número, el producto de su número anterior por su número si- guiente es igual al cuadrado del nú- mero dado, menos 1 unidad.
20. Halle la representación simbólica del término general de las siguientes su- cesiones (indique también los valores de n para los que se cumple):
a) 5, 11, 17, 23, 29, 35,… b) 2, 3, 6, 11, 18, 27,… c) 3, 9, 27, 81, 243, 729,… d) 10, 100, 1.000, 10.000,…
e) 1, 1 , 1 , 1 , 1 ,… 3 5 7 9 f) 1, 3, 7, 15, 31, 63,… g) la sucesión de los números que, al dividirse por 3, dan como resto 1 25. Trate de expresar y probar las conjeturas siguientes:
a) La suma de tres números naturales consecutivos es múltiplo del número que ocupa la posición intermedia de los tres.
b) La suma de varios múltiplos de un número es también múltiplo de ese número.
c) La suma de cinco números naturales consecutivos es múltiplo de 5.
26. Una señora tiene 33 años y su hijo, 7. ¿Dentro de cuántos años será la edad de la mamá tres veces la de su hijo?
29 5. Y ahora, otros ejercicios “para la casa”…
30 27. Julián pesa el doble de su esposa, ésta el doble de su hija, y los tres juntos, 154 kg. ¿Cuánto pesa la niña? 28. Distribuya 120 cuadernos en tres lotes, tales que el 2º tenga 15 cuadernos más que el 1º, y que el 3º tenga 6 cuadernos menos que el 2º. 29. En este momento, la edad de Marcos triplica a la de Rosaura, pero dentro de 14 años sólo será el doble. ¿Cuántos años tiene Rosaura actualmente? 30. ¿Es posible que la suma de cuatro números pares consecutivos sea 182? En caso afirmativo, halle el menor de esos números. 31. Si la suma de dos números es 50 y a uno de ellos lo identifico con la letra x, ¿cómo puedo designar al otro número, si no deseo utilizar otra letra? 32. En la escuela se han comprado 145 kg de abono para las plantas. El producto viene en 12 sacos, unos de 15 kg y otros de 10 kg. ¿Cuántos sacos de cada tipo se han com- prado? 33. Hay dos números tales que el triple del mayor es igual a cuatro veces el menor. Si la diferencia de ambos números es 8, ¿cuál es el mayor? 34. En un conjunto de vacas y de pollos el número de patas es 14 unidades mayor que el de cabezas, que es 6. ¿Cuántas vacas hay? 35. La suma de dos números enteros es 168; al dividirse el mayor entre el menor se ob- tiene 7 como cociente y 16 como residuo. ¿Cuáles son los números?
Referencias bibliográficas – Kline, M. (1992). El pensamiento ma- temático de la Antigüedad a nuestros días, Vol. I. Madrid: Alianza.
– Mason, J. (1996). El futuro de la aritmé- tica y del álgebra: utilizar el sentido de generalidad. UNO. Revista de Didácti- ca de las Matemáticas, nº 9, 7-21.
Otras referencias recomendadas
– Fernández, F. (1997). Aspectos históri- cos del paso de la aritmética al álgebra. UNO. Revista de Didáctica de las Ma- temáticas, nº 14, 75-91.
– Kieran, C. (2006). Research on the learning and teaching of algebra. En A. Gutiérrez, P. Boero (Eds.), Handbook of research on the Psychology of Ma- thematics Education: Past, present, and future, pp. 11-49. Rotterdam: Sense Pu- blishers.
– Radford,L.(1997).Unaincursiónhistó- ricaporlacaraocultadeldesarrollopri- mitivodelasecuaciones.UNO.Revista deDidácticadelasMatemáticas,nº14, 61-73.
– Radford, L. (1999). El aprendizaje del uso de signos en álgebra. Una perspec- tiva post-vigotskiana. Educación Mate- mática 11, Nº 3, 25-53. 13. 7 veces 14. 6.135 m 15. 23 años 16. 7 hombres 17. 144.800 pesos 18. 29 19. a) (n + 1)(n + 2) = n2 + 3n + 2; b) (n – 1)(n + 1) = n2 – 1 20. a) 6n + 5, n?N; b) n2 + 2, n?N; c) 3n, n = 1, 2, 3,…; d) 10n, n = 1, 2, 3,…; e) 1 / (2n + 1), n?N; f) 2n – 1, n = 1, 2, 3,…; g) 3n + 1, n?N 21. Sí; 4, 9, 14, 19, 24 22. a) x = 0; b) z = 4; c) m = 2; d) tiene infinitas soluciones; e) tiene infinitas soluciones; f) no tiene solución; g) n = 3; h) x = 1; i) r = 0 23. 1 24. No; no varía 25. a) n + (n + 1) + (n + 2) = 3(n + 1); b) an + bn + cn = (a + b + c)n; c) n + (n + 1) + (n + 2) + (n + 3) + (n + 4) = 5(n + 2) 26. 6 años 27. 22 kg 28. 32, 47 y 41 cuadernos 29. 14 años 30. No es posible 31. 50 – x 32. 5 sacos de 15 kg y 7 de 10 kg 33. 32 34. 4 vacas 35. 149 y 19
31 Respuestas de los ejercicios propuestos 1. a) 8; b) 18; c) 202; d) 7; e) 0; f) 5; g) 124; h) 49; i) 96 2. a) 2a; b) 3a + 1; c) 3(a + 1); d) (a + b)2; e) a 2 + b 2; f) (a + b)(a – b); g) 1 + (a + b)3; h)
3a – 2b; i) a /4; j) ; ; k) ; l) a + 1
3. a) (n + m) – (n – m) = 2m; b) (n + m)(n – m) = n 2 – m 2; c) n + (n + 1) = 2n + 1 4. a) 4n + 1, n?N; b) 2n + 1, n = 5, 6, 7,… o también: 2 n + 11, n?N c) 2n, n = 1, 2, 3,… o también: 2n + 1,n?N, d) n (n + 1), n?N; e) (0,2)n, n = 1, 2, 3,… f) 10n + 1, n?N; g) (2n + 1) / 4 (n + 1), n?N; o también: (2 n – 1) / 4n, n = 1, 2, 3,…; i) 5n + 2, n?N. 5. Sí: b, c, f, g, h, i 6. a) 5 = 15 – 5x ; b) 4 + 9p = 13; c) x = 3; d) z = 0; e) 11 – c = 0; f) y = 3 7. Son equivalentes: a, e, f, g, h, i, l 8. Sí 9. a) m = 1; b) no tiene solución; c) tiene infinitas soluciones; d) z = 0; e) tiene infinitas soluciones; f) no tiene solución 10. 3 11. 1 12. a) m = 3; b) x = 0; c) tiene infinitas soluciones; d) u = 1; e) z = 4; f) c = 1; g) s = 0; h) t = 2; i) x = 4
4 EQUIPO EDITORIAL Beatriz Borjas y Carlos Guédez Dimensión: Desarrollo del pensamiento matemático Cuaderno Nº 19 Introducción al Álgebra Autor: Martín Andonegui Zabala Este libro se ha elaborado con el propósito de apoyar la práctica educativa de los cientos de educadores de Fe y Alegría. Su publicación se realizó en el marco del Programa Internacional de Formación de Educadores Populares desarrollado por la Federación Internacional Fe y Alegría desde el año 2001. Diseño y Diagramación: Nubardo Coy Ilustraciones: Corina Álvarez Concepto gráfico: Juan Bravo Corrección de textos: Carlos Guédez y Martín Andonegui Edita y distribuye: Federación Internacional de Fe y Alegría. Esquina de Luneta. Edif. Centro Valores, piso 7 Altagracia, Caracas 1010-A, Venezuela. Teléfonos: (58) (212) 5631776 / 5632048 5647423. Fax: (58) (212) 5645096 www.feyalegria.org © Federación Internacional Fe y Alegría Depósito legal: lf 60320075122630 Caracas, Julio 2007 Publicación realizada con el apoyo de: Centro Magis – Instituto Internacional para la Educación Superior en América Latina y el Caribe (IESALC) – Corporación Andina de Fomento (CAF)
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