L a sugerencia que proponíamos en el Cuaderno Nº 1 y que siempre presidirá los demás Cuadernos: Vamos a estudiar mate- mática, pero no lo vamos a hacer como si fué- ramos simplemente unos alumnos que poste- riormente van a ser evaluados, y ya. No. Noso- tros somos docentes –docentes de matemática en su momento- y este rasgo debe caracterizar la forma de construir nuestro pensamiento ma- temático. ¿Qué significa esto?
· Lapresenciaconstantedelametaúltima de nuestro estudio: alcanzar unos niveles de conocimiento tecnológico y reflexivo, lo cual debe abrir ese estudio hacia la búsqueda de aplicaciones de lo aprendido, hacia el análisis de los sistemas que dan forma a nuestra vida y utilizan ese conocimiento matemático, y hacia criterios sociales y éticos para juzgarlos.
· Construirelconocerdecadatópicoma- temático pensando en cómo lo enseñamos en el aula, además de reflexionar acerca de cómo nuestro conocer limita y condiciona nuestro trabajodocente.Deestaforma,integrarnuestra práctica docente en nuestro estudio.
· Como complemento a lo anterior, cons- truir el conocer de cada tópico matemático pensando en cómo lo podemos llevar al aula. Paraello,tomarconcienciadelprocesoquese- guimos para su construcción, paso a paso, así comodeloselementos–cognitivos,actitudina- les, emocionales…- que se presenten en dicho proceso. Porque a partir de esta experiencia re- flexivacomoestudiantes,podremosentendery evaluar mejor el desempeño de nuestros alum- nos –a su nivel- ante los mismos temas.
· En definitiva, entender que la matemáti- caeslabasedesudidáctica:laformaenquese construye el conocimiento matemático es una fuente imprescindible a la hora de planificar y desarrollar su enseñanza.
Y ahora, vamos al tema de este Cuaderno, la introducción al Algebra. 5
1. ¿Necesitamos ir más allá de la Aritmética? Esta es una buena pregunta porque si, como nos sugiere el título de este Cuaderno, aparen- temente nos vamos a introducir en otro campo de la matemática, debemos detenernos y observar dónde estamos parados, de dónde venimos y qué hemos recorrido hasta ahora. Y si hemos de avanzar, necesitamos saber qué nos puede aportar este nuevo campo, en términos de nuevos co- nocimientos y, también, de profundización y extensión de los conocimientos anteriores. Asíqueparaempezararesponderlapreguntainicial,recordemospartedeloquehemospre- sentado hasta ahora. En los Cuadernos 2 al 11 trabajamos con los números, con las operaciones entre ellos, con las propiedades de tales operaciones, con las relaciones que pueden descubrirse y construirse entre los números, con ciertas regularidades que pueden presentarse, y con patrones que rigen secuencias de números. Descubrimos,además,quetodoloanteriornosayudabaaresolvermultituddeproblemasde naturaleza y contextos muy diversos, ya que el mundo de los números, de sus operaciones y de sus relaciones, se nos presentaba como una colección muy rica de modelos utilizables para esta tarea de resolver problemas, algunos de éstos generados en nuestro entorno y otros de carácter más lúdico, pero siempre como un reto a nuestra capacidad de hallar soluciones a los problemas. Y además aprendimos a resolverlos por vías muy particulares, entre las que destacamos la del ensayo y ajuste. El mundo de los números, de sus operaciones y de sus relaciones, de sus regularidades y patrones, de la resolución de problemas con modelos y métodos propios… Estamos hablando de la Aritmética. Y volviendo a la tarea de responder la pregunta inicial, vamos a recordar algunos puntos en losquedimosalgunospasoshaciaunmásadelantequenollegamosaidentificarensumomento, pero que bien podemos mirar y valorar ahora como un nuevo campo, extensión espontánea de laAritmética.Enloquesiguetrataremos,pues,deresaltaraquellassituacionesocircunstanciasya trabajadas que nos pueden sugerir la necesidad de avanzar a partir de la Aritmética.
2. Las generalizaciones en la Aritmética 2.1. Representación de las propiedades de las operaciones
En los Cuadernos dedicados a las diversas operaciones aritméticas hemos hablado de las propiedades de dichas operaciones. Por ejemplo, la adición de números naturales presenta las propiedades conmutativa, asociativa, y de existencia de un elemento neutro. Así presentábamos, por ejemplo, la primera de estas propiedades (Cuaderno 3, p. 13): 6 “Conmutativa:Elordenenqueseconside- ran dos sumandos no modifica su suma. Porejemplo,sumar5a8ósumar8a5produce el mismo resultado.”
5+8=8+5 a+b=b+a
En el caso anterior, hubiéramos podido representar la propiedad escribiendo: 5 + 8 = 8 + 5. Pero, evidentemente, la propiedad no se restringe al ejemplo indicado; sirve para cualquier par de números naturales. ¿Cómo escribimos, representamos, esta última afirma- ción?
Unamanerasencilladehacerloesutilizar letras, bajo el supuesto compartido por todos (escritorylectores)dequetalesletrasesconden, representan,númerosnaturales.Yasí,siconve- nimos en llamar a y b a dos números naturales cualesquiera,lapropiedadasociativadelaadi- ción se representaría:
Conmutativa: Para todo par de números naturales a y b, se verifica: a + b = b + a.
¿Qué hemos ganado con esta forma de representación de la propiedad mencionada? Hemos ganado en generalidad. Ahora tene- mos una forma de representación que puede referirse a cualquier número natural, a cual- quier par de números naturales, etc.
Y lo mismo ocurre si se trata de otro tipo de números. Por ejemplo, la misma propiedad conmutativa de la adición puede referirse a las fracciones, en cuyo caso escribiremos: Conmutativa: Para todo par d
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