HABILIDADES LÓGICO MATEMÁTICAS PRESENTACIÓN El presente módulo de Habilidades Lógico Matemáticas tiene como finalidad proporcionar los fundamen- tos matemáticos para estudiantes de ciencias empresariales, ingenierías y ciencias sociales, para que los estudiantes adquieran soltura en el manejo de estos conceptos, que son herramientas comunes en los cursos que llevaran en ciclos superiores. El objetivo de este material es que la transmisión delos conocimientos básicos de Habilidades Lógico Matemáticas debe hacerse a través de situaciones aplicadas y contextualizadas a las Ciencias empresa– riales, ingenierías y ciencias sociales, aumentando el interés y la motivación para así de esta manera comprender la necesidad de adquirir dichos conocimientos. En este material, cada concepto matemático es explicado y ejemplificado a través desituaciones contex- tualizadas que introduce al alumno en problemas que encontrará a lo largo de su vida académica y pro- fesional. El módulo contiene conceptos y ejemplos de lógica proposicional, teoría de conjuntos, proporcionali- dad, ecuaciones e inecuaciones, funciones reales, así como aplicación de los conocimientos adquiridos en la resolución de problemas prácticos teniendo como soporte el software matemático GEOGEBRA para la visualización geométrica de conceptos en concordancia con el enfoque pedagógico de Van Hiele. Cada tema contiene aplicaciones a sus respectivas carreras, y una gran variedad de ejercicios y aplica- ciones resueltas, al final de cada tema contiene una lista de ejercicios propuestos al estudiante que tiene la misión de analizar ejemplos concretos de la teoría revisada. PRIMERA UNIDAD I. COMPETENCIA Desarrolla habilidades lógico matemáticas para identificar y plantear problemas de la realidad, y tomar decisiones para su resolución, desenvolviéndose con responsabilidad y actitud proactiva. II. CAPACIDADES 1. Analiza y aplica los principios lógicos en su vida cotidiana. 2. Discrimina tautologías, contradicciones y contingencias. 3.- Reconoce las principales proposiciones categóricas A, E, I, O, 4. Discrimina inferencias y falacias en su quehacer cotidiano a partir del conocimiento de las reglas y leyes lógicas. 5 Conceptúa los términos: Conjunto elemento y relación de pertenencia. 6 Construye el concepto de proporcionalidad. 7.- Construye el concepto de regla de tres. CAPÍTULO I: LÓGICA SESIÓN 1 I.- DEFINICIÓN Y OBJETO DE LA LÓGICA La palabra Lógica se deriva de la palabra griega logos que significa razonamiento o discurso. La Lógica Matemática es la disciplina que trata de métodos de razonamiento. En un nivel elemental, la Lógica proporciona reglas y técnicas para determinar si es o no válido un argumento dado. Ciertamente se usa en forma constante el razonamiento lógico para realizar cualquier actividad. Existen además otras definiciones: Lógica es la ciencia que estudia la estructura del pensamiento, prescindiendo del contenido. Lógica también es la manera ordenada de pensar y de expresar nuestras ideas.
El objetivo principal de la Lógica es analizar la estructura del pensamiento, es decir su forma lógica para descubrir leyes y reglas.
1.1.- DIFERENCIAS ENTRE JUICIO, ORACIÓN Y PROPOSICIÓN
1.1.1.- El juicio Es una relación o conjuntos de conceptos que se caracteriza por constituir una afirmación o aseveración de algo, es una forma, una estructura del pensamiento que objetivamente es verdadero o falso. (Astudi- llo, Dolores; Inciso, Liliana). 1.1.2.- El Enunciado Es la expresión verbal o escrita del juicio.
Ejemplos: ? ? ? Pedro es ingeniero. El puente más extenso del mundo se encuentra en China. Las matemáticas son la base de las ingenierías. No son enunciados:
Las oraciones exclamativas. (Sentimientos, interjecciones). Ej.: ¡socorro!, ¡auxilio! ¡te quiero! Las oraciones imperativas. (Órdenes), Ej.: Cierra la puerta; te vas afuera. Las desiderativas. (Deseos, súplicas). Ej.: Ojala no haya clases. Las oraciones interrogativas. (Preguntas). Ej.: ¿Qué hora es?
1.1.3.- Razonamiento
Es un conjunto de afirmaciones o juicios relacionados de manera tal que se supone que uno de ellos (llamado conclusión) se desprende o infiere del o los otros (llamados premisas). La pretensión de que la conclusión se deriva de las premisas se manifiesta a través de expresiones especiales como: por lo tan- to, luego, por consiguiente, etc.
1.1.4..- La Proposición
Es un enunciado que puede ser falso o verdadero, pero no ambas cosas a la vez. La proposición es un elemento fundamental de la lógica matemática; generalmente se las expresa en oraciones declarativas o aseverativas, tales como:
Oraciones afirmativas. (Informan). Ej.: Mañana es lunes.
Oraciones descriptivas. (Describen). Ej.: La tiza es blanca
Oraciones explicativas. (Explican). Ej.: Si hace frío entonces es invierno
A continuación se tienen algunos ejemplos de proposiciones válidas y no válidas, y se explica el porqué algunos enunciados no son proposiciones. Las proposiciones se indican por medio de una letra minúscu- la, dos puntos y la proposición propiamente dicha.
Ejemplo. p q r s t: w: El edificio es alto. -17 + 38 = 21 x > y-9 Las ingenierías son base para el desarrollo del país. Hola ¿como estas? Lava el coche por favor.
r: (a +b) = a + 2ab + b Los incisos p y q sabemos que pueden tomar un valor de falso o verdadero; por lo tanto son proposicio- nes válidas. El inciso r también es una proposición válida, aunque el valor de falso o verdadero depende del valor asignado a las variables x y y en determinado momento. La proposición del inciso s,es válida Sin embargo los enunciados t y w no son válidos, ya que no pueden tomar un valor de falso o verdadero, uno de ellos es un saludo y el otro es una orden. EJERCICIOS No. 1. Valida las siguientes Proposiciones. p1: Todo ingeniero del 2 ciclo de la UCV tiene soluciones concretas. p2: Todas las ingenierías necesitan de las matemáticas. p3: Todos los ingenieros egresados de la UCV tienen trabajo. p4: Un ingenieros es trabajador. p5: Los ingenieros aceptan los retos más difíciles de la vida. p6: El alumno no necesariamente quiere ser ingeniero. Ejercicios Escribir 20 proposiciones válidas y 10 inválidas. Importante: Valor de verdad Una proposición es verdadera o es falsa; si es verdadera se denotará por la letra “V” o el “1” y si es falsa se denotará por “F” o por el “0”. Si no se puede determinar su valor de verdad, se podrá analizar los posibles valores de verdad (tablas de certeza). II.- CLASES DE PROPOSICIONES Las proposiciones se clasifican en proposiciones simples o atómicas y proposiciones compuestas o mo- leculares: 2.1.- PROPOSICIONES SIMPLES Son aquellas proposiciones que no se pueden descomponer. Ejemplo: p: Todo ingeniero se adapta rápidamente a su centro laboral. q: Si un puente resiste a un terremoto; también para las lluvias. 2 2 2 2.2.- PROPOSICIONES COMPUESTAS O MOLECULARES Son aquellos enunciados que están formados por dos o más proposiciones simples y unidos por término lógico. Ejemplos: p: Laisaes Administradora y su hermano Mateo es Ingeniero. q: Un Ingeniero tiene como base las matemáticas y las Física.
Podemos observar en los ejemplos anteriores que tanto p como q están compuestas de dos proposicio- nes simples.
Los conectivos lógicos son elementos gramaticales que unen dos o más proposiciones simples; estos son:
2.3.- CONECTIVOS LÓGICOS 2.4.- PROPOSICIONES COMPUESTAS Y CONECTIVOS LÓGICOS
Los operadores lógicos también permiten formar proposiciones compuestas (formadas por varias propo- siciones). Los operadores o conectores básicos son:
2.4.1.- CONJUNCIÓN ( ? ) QUE SE LEE Y
Se utiliza para conectar dos proposiciones que se deben cumplir para que se pueda obtener un resultado verdadero. Su símbolo ? que se lee “y”. Se lo conoce como la multiplicación lógica y tiene estrecha rela- ción con la intersección de conjuntos.
Ejemplo 01.
Sea el siguiente enunciado:
“Un tren enciende cuando tiene gasolina en el tanque y tiene corriente la batería”.
Simbolizando tenemos:
p: el tren enciende cuando tiene gasolina en el tanque
q: el tren enciende cuando tiene corriente la batería.
V(p) = V V(q) = V En consecuencia:V(p? q) = V
Ejemplo 02.
3 + 4 = 6 y 3 + 7 = 10
p: 3 + 4 = 6 q: 3 + 7 = 10 V(p) = F V(q) = V Por consiguiente:V (p? q) = F
De tal manera que la representación del enunciado anterior usando simbología lógica es como sigue:
pyq p ? p pero q q; que se lee: p aunque q p incluso q p también q; etc.
Su tabla de verdad es: Ejercicios Escribir 5 ejercicios de conjunción y determine el valor de verdad de cada uno.
2.4.2.- LA DISYUNCION:
2.4.2.1..- LA DISYUNCIÓN INCLUSIVA
( ? ) QUE SE LEE: O.
Es la unión de dos proposiciones simples con el conectivo lógico “o”. Simbólicamente se lo representa así: p? q que se lee p ó q o ambas. El enunciado es verdadero cuando alguna de las proposiciones es verdadera o ambas son verdaderas; Se conoce también como la suma lógica y se relaciona estrecha- mente con la unión de conjuntos.
Ejemplo 01.
Sea el siguiente enunciado
“Un ingeniero puede entrar al cine si compra su boleto u obtiene un pase”.
Donde.
p: Un ingeniero puede entrar al cine si se compra su boleto. q: Obtiene su pase.
Simbólicamente tenemos:p ? q
V( p ) = V V( q ) = V
En consecuencia: V (p ? q) = V
4+3=9o3+5=8
p: 4 + 3 = 9 q: 3 + 5 = 8 V ( p) = F V (q ) = V En consecuencia: V (p ? q) = V
Su tabla de verdad es: TAREA
Escriba 10 ejemplos de disyunción inclusiva y determine su valor de verdad.
2.4.2.2..- DISYUNCIÓN EXCLUSIVA
(V ) QUE SE LEE O EN SENTIDO EXCLUYENTE
El enunciado es verdadera cuando p es verdadero y q es falso o viceversa. Simbólicamente se lo repre- senta por p ? q que se lee p o q pero no ambas.
Ejemplos:
Carmen es ingenieroó de matematico
Simbólicamente tenemos:
p: Carmen es ingeniero V(p) = V q: Carmen es matematico V (q) = V En consecuencia: V (p ? q) = F
(p ? q) que se lee: p ó q, pero no ambas.
25 = 6 o 3 + 9 = 7 p: 25 = 6 q: 3 + 9 = 7 V (p) F V (q) = F En consecuencia: V (p ? q) = F
Su tabla de verdad es:
TAREA
Escribir 10 ejercicios de disyunción exclusiva y determine el valor de verdad.
2.4.4.- Negación
( ? ) no
Su función es negar la proposición. Esto significa que sí alguna proposición es verdadera y se le aplica el operador no se obtendrá su complemento o negación (falso). Al negar una proposición simple, se trans- forma en una proposición compuesta Este operador se indica por medio de los siguientes símbolos:
(~, ? )
Ejemplos: p: Patricio está estudiando ingeniería V (p) = V V (? p) = F
V (?q) = V ? p: Patricio no está estudiando ingeniería.
q: María es ingeniero V (q) = F
? q: No es cierto que María es ingeniero
Su tabla de verdad es: A veces la negación de una proposición simple se obtiene mediante otra proposición simple, así:
p: x es mortal
?p: x es inmortal
q: y es par
?q: y es impar
La negación en Matemática se realiza así:
p: 2 + 3 = 5
?p: 2 + 3 ? 5 V (p) = V
V (?p) = F 2.4.5.- CONJUNCIÓN NEGATIVA:
El enunciado es verdadero cuando las proposiciones simples que la forman son falsas.
La conjunción negativa de dos proposiciones p y q, se representa por “p ? q” o por p? q se lee: ni p, ni q
Ejemplos:
“ni 3 + 2 = 5, ni 2 + 4 = 6”
Simbólicamente tenemos:p ? q p: 3 + 2 = 5
q: 2 + 4 = 6 V (p) = V
V (q) = V Consecuentemente tenemos que:V (p ? q) = F ?p: 3 + 2 ? 5
?q: 2 + 4 ? 6 V (? p) = F
V (? q) = F; Consecuentemente:V (? p ?? q) = F ? (? p ?? q ) Entonces se deduce que:(p ? q)
Su tabla de verdad es: TAREA
Escribir 10 ejercicios de conjunciones negativas y determinar el valor de verdad.
2.4.6.- DISYUNCIÓN NEGATIVA:
El enunciado es falso cuando las proposiciones simples que la forman son verdaderas. La disyunción negativa de proporciones se representa por p / q; que se lee noóno q.
Ejemplo: No eres ingeniero o no eres matemático p/q p: eres ingeniero
q: eres matematico V (p) = V
V ( q) = V En consecuencia:V (p / q) = F
? p: no eres ingeniero V (?p) = F
?q: no eres matematicoV (?q ) = F
Consecuentemente:V (?p ??q) = F Luego: p / q ? (?p ??q ) Su tabla de verdad es: 2.4.7.- NEGACIÓN DE PROPOSICIONES COMPUESTAS:
Se puede también utilizar otras formas de negar como: no es el caso que; no es cierto que, (frecuente- mente se acostumbra a utilizar esta forma cuando se niegan proposiciones compuestas)
No es el caso que: 3 ? 2 y 4 + 1 = 5; simbólicamente tenemos: ?(p?q)
No es cierto que: 3 ? 2 y 4 + 1 = 5; simbólicamente tenemos: ?(p?q) p: 3 ? 2
q: 4 + 1 = 5 V (p) = F
V (q) = V Consecuentemente:V ?(p?q) = V
TAREA: Escriba 10 ejemplos de negación.
2.4.8.- PROPOSICIONES CONDICIONALES
(? )que se lee “entonces”
Una proposición condicional, es aquella que está formada por dos proposiciones simples (o compuesta) p y q. La cual se indica de la siguiente manera: ? que se lee “si p, entonces q; simbólicamente se la representa por:
Se lee “Si p, entonces q” Si p, q p ? q p, sólo si q p es necesario para q; etc.
En este caso p: es el antecedente y q: es el consecuente.
Se lee: q puesto que p q, si p q cuando p q ? p q cada vez que p q dado que p q porque p q ya que p; etc.
Se caracterizan porque después de cada uno de estos conectivos está el antece dente o condición.
Ejemplo: Simbolice y determine el valor de verdad:
Un candidato a presidente del Ecuador dice:
“Si salgo electo presidente del Colegio de Ingenieros del Perú, entonces recibirán un 50% de aumento en su sueldo el próximo año”.
Una declaración como esta se conoce como condicional. Su valor de verdad es la siguiente: p: Si salgo electo Presidente delColegio de Ingenieros del Perú V (p) = V q: Recibirán un 50% de aumento en su sueldo el próximo año V(q)= V
De tal manera que el enunciado se puede expresar de la siguiente manera: p ? q
El V( p ? q ) = V
Otro ejemplo: 5+7=12 ?8- 5 = 4 ; Simbólicamente tenemos: p?q p: 5+7=12
q: 8 – 5= 4 V( p) = V
V( q ) = F Su valor de verdad es: V (p?q ) = F
Su tabla de verdad es:
Esto significa que una proposición condicional es falsa cuando p = V y q = F; en los demás casos será verdadera. 2.4.8.1.- VARIANTES DE LA CONDICIONAL A toda proposición condicional se le asocia tres proposiciones igualmente importantes, que son: propo- sición recíproca, inversa y contrarecíproca. Proposición recíproca.- Dada la proposición condicional “p ? q “, se llama proposición recíproca a la proposición que se denota por: “q ? p” Ejemplo: Si y es par, entonces, y es múltiplo de 2 ; simbólicamente: p ? q. Condicional
Si y es múltiplo de 2, entonces, y es par ; simbólicamente: p ? q. Su recíproca: Si b es perpendicular a c, entonces c es perpendicular a b. La proposición anterior simbólicamente la denotamos por “p ? q”; mientras que la proposición recíproca será: “q ? p”. c es perpendicular a b, si b es perpendicular a c. Proposición inversa. – Dada la proposición condicional “p ? q “, se llama proposición inversa a la proposición que se denota por: “? p ?? q”. Ejemplo: Si Marcos consigue la beca, entonces estudiara una maestría en ingeniería; simbólicamente tenemos: p ? q La proposición inversa será: "? p ?? q”, será: Si Marcos no consigue la beca, entonces no estudiara una maestría en ingeniería. Simbólicamente tenemos: ?p??q
Si x = 4 entonces x = 16 Proposición contrarecíproca.-
Dada la proposición condicional: “p ? q”, se denomina proposición contrarecíproca a la que se denota por: ? q ?? p.
Ejemplo:
Si vivo en Lambayeque, vivo en la provincia de Chiclayo; simbólicamente: p ? q
La proposición contrarecíproca será :
No vivo en la provincia deChiclayo, si no vivo en Lambayeque ;
simbólicamente: “? q ?? p”
En los siguientes ejercicios escribir la proposición dada en la forma “si p entonces q”; determine su valor de verdad. A continuación, escribir la recíproca y la contrarecíproca y determinar la verdad o falsedad de cada una. ?
?
?
?
?
?
?
?
? Las lechugas son verduras
Sólo las rectas paralelas no se cortan
Sólo las rectas perpendiculares forman ángulos rectos.
Un triángulo equilátero tiene tres lados iguales
Si a es mayor que b entonces b es mayor que a
Los triángulos isósceles son equiláteros
Un hombre natural de Zapotillo es natural de Loja
2
Ningún profesor de idiomas tiene mala ortografía 2.4.9.- PROPOSICIÓN BICONDICIONAL : ( ? ), QUE SE LEE “SI Y SÓLO SI”
Sean p y q dos proposiciones simples entonces se puede indicar la proposición bicondicional de la si- guiente manera: p ? q; que se lee “p si y solo si q”
Esto significa que p es verdadera si y solo si q es también verdadera. O bien p es falsa si y solo si q también es falsa. Ejemplo; el enunciado siguiente es una proposición bicondicional
“Un puente está bien construido , si y solo si; resiste a un terremoto de mayor escala”
Simbólicamente tenemos:
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