Curvas equipotenciales (página 2)

FUNDAMENTO TEÓRICO

Al hablar de curvas equipotenciales tenemos que mencionar muchos conceptos tales como campo eléctrico, potencial eléctrico, líneas de fuerza y finalmente definir curvas equipotenciales.

a) Campo Eléctrico

Existen muchos ejemplos de campos, por ejemplo el flujo de agua de un río es un campo de vectores, llamado campo de flujo. Cada punto en el agua lleva asociado consigo una cantidad vectorial, la velocidad con la cual pasa el agua por el punto. A los puntos cercanos ala superficie terrestre se le puede asociar también un vector de intensidad gravitacional.

El espacio que rodea a una varilla cargada parece estar afectado por la varilla, y a éste espacio lo denominamos campo eléctrico.

Esto es, si colocamos una carga q1, ésta produce un campo eléctrico en el espacio que lo rodea. Ahora si colocamos, esta vez, una carga de prueba q2, ésta experimentaría una fuerza. Se deduce que el campo juega un papel intermedio en las fuerzas que obran entre las cargas. Entonces podemos decir que el campo eléctrico está íntimamente ligado a la distribución de cargas que lo denominaremos

Con todo esto, se define al Campo Eléctrico utilizando el método operacional, como un vector que sólo requiere conocer la distribución de cargas .

Se define de esta forma, ya que si q fuera comparable con Q, entonces afectaría al campo creado por éste último.

Para una distribución de carga , tomamos un elemento de contribución, y luego integramos en todo su volumen:

b) Potencial Eléctrico

Una distribución de carga produce un campo eléctrico , esta información es hasta cierto punto un poco incompleta y complicada de manejar, esto nos lleva a tratar de encontrar una magnitud que nos exprese en forma sencilla cómo una distribución de carga puede modificar su espacio de entorno.

Analicemos si el campo electrostático es un campo conservativo. Es decir, para una fuerza existe una función escalar U tal que cumple con la siguiente condición:

Entonces:

Para el caso más general:

es una función vectorial, esto es:

Aplicando el operador rotor:

…(1)

Para

Para

Y ahora éstos resultados demuestran la expresión (1), con lo que se demuestra también que el campo es conservativo, ya que , es decir justificamos la existencia de una función escalar U=V tal que = .

Por lo tanto la propiedad conservativa de nos proporciona una función escalar V para evaluar los efectos de .

La pregunta es inmediata, ¿qué interpretación toma V?. Si hacemos el producto escalar con un e integramos obtendremos:

=

De acuerdo con lo anterior, como existen infinitas soluciones de V() debido a V(), lo que será importante a la postre serán los .

Analizando el V() para una carga puntual en el origen:

Aquí se ha encontrado una relación entre la diferencia de potencial y el trabajo realizado por una fuerza externa. Ahora si realizamos el siguiente análisis:

c) Líneas de Fuerza

Son líneas imaginarias que representan la trayectoria de una partícula cargada si es que fuese colocada en algún campo eléctrico.

Las líneas de fuerza presentan las siguientes características:

• Las líneas de fuerza comienzan en las cargas positivas y terminan en las negativas.

• La densidad de líneas es proporcional al valor del campo.

• No existe intersección entre las líneas de fuerza resultantes.

• La tangente a la línea en cualquier punto es paralela a la dirección del campo eléctrico en ese punto.

La forma de las líneas de fuerza depende exclusivamente de la distribución de carga.

d) Curvas Equipotenciales

Los conceptos mencionados anteriormente son muy importantes para reconocer las superficies equipotenciales. La distribución del potencial eléctrico en una cierta región donde existe un campo eléctrico puede representarse de manera grafica mediante superficies equipotenciales.

Una curva o superficie equipotencial es el lugar geométrico de los puntos de igual potencial, donde se cumple que el potencial eléctrico generado por alguna distribución de carga o carga puntual es constante.

Si el potencial eléctrico es constante, la diferencia de potencial se define de la siguiente manera.

Si ΔV=VB-VA pero VB = VA , entonces VB-VA = VB-VB = 0

Como q no es cero, el producto escalar de los vectores F y dr es cero:

F.dr=0. en otras palabras se puede afirmar lo siguiente:

VAB = = 0

Como dr pertenece a la superficie equipotencial, por álgebra vectorial se concluye F es ortogonal a dr, de aquí se puede determinar que las líneas de fuerza siempre son perpendiculares a las superficies equipotenciales y como el campo eléctrico E es paralelo a la fuerza eléctrica, se puede concluir también que el campo eléctrico también es perpendicular a una superficie equipotencial, también se puede concluir que el trabajo requerido para llevar a una carga de un sitio A a un sitio B (siendo A y B pertenecientes a la equipotencial) es cero.

Por otra parte se puede afirmar que la superficie equipotencial que pasa por cualquier punto es perpendicular a la dirección del campo eléctrico en ese punto. Esta conclusión es muy lógica puesto que si se afirmo lo contrario, entonces el campo tendría una componente a lo largo de la superficie y como consecuencia se tendría que realizar trabajo contra las fuerzas eléctricas con la finalidad de mover una carga en la dirección de dicha componente.

Finalmente las líneas de fuerzas y las superficies equipotenciales forman una red de líneas y superficies perpendiculares entre si. En general las líneas de fuerzas de un campo son curvas y las equipotenciales son superficies curvas. Podemos afirmar asimismo, que todas las cargas que están en reposo e un conductor, entonces la superficie del conductor siempre será una superficie equipotencial.

En el dibujo, como se puede apreciar, las líneas de fuerza, las de color azul son perpendiculares a las curvas equipotenciales denotadas de color verde, en este caso generadas por una carga positiva.

Un ejemplo sencillo de curva equipotencial:

Hay que notar que las cargas o distribuciones de cargas que generan el potencial eléctrico están en estado de reposo. Es importante recalcar esto para que el experimento de laboratorio funcione.

PROCEDIMIENTO EXPERIENTAL

Para el experimento se desea calcular las curvas equipotenciales que generan tres sistemas distintos: Punto-Punto, Punto-Placa y Placa-Placa. En el caso Punto-Punto se hará uso de electrodos que servirán de cargas estacionarias. En el presente laboratorio se usaran dos alambres, que representaran a los electrodos.

Para esto, se necesita una cubeta de plástico, una solución de sulfato de cobre, una fuente de poder DC de 2,75 V para poder cargar los electrodos, un galvanómetro que permite medir la diferencia de potencial, dos electrodos y tres láminas de papel milimetrado para poder marcar dónde la diferencia de potencial sea cero.

Lo que se tiene que hacer es colocar debajo de la cubeta una hoja de papel milimetrado donde se haya trazado previamente un sistema de coordenadas cartesianas xy, donde el punto (0,0) coincida con el centro de la cubeta. Ahora en la cubeta se vierte una solución de sulfato de cobre tal que la altura de la solución no pase de un centímetro, y armar un circuito de esta manera visto desde arriba.

Con la fuente de poder, se establece una diferencia de potencial entre los electrodos que deben estar equidistantes del punto (0,0).

Para empezar a encontrar las curvas equipotenciales, se necesita mínimo nueve puntos donde se cumpla que al medir con el galvanómetro la diferencia de potencial entre dos puntos, ésta debe ser cero. Esto se obtiene poniendo uno de los punteros del galvanómetro en un punto fijo, y al otro se le hace variar paralelo al eje x. Los procedimientos para los otros dos sistemas son similares.

CÁLCULOS Y RESULTADOS

Para el presente laboratorio se uso 2 alambres como electrodos, mediante el cual se pudo establecer las curvas equipotenciales para dos puntos, para dos placas y para un sistema punto-placa. Por ello los cálculos y resultados se muestran a continuación, mediante puntos, que pertenecen a las curvas equipotenciales, en el eje de coordenadas XY, para los tres casos. Las graficas de las curvas equipotenciales, así como las líneas de fuerza se presentarán en tres papeles milimetrados.

Tabla nº 1

PLACA-PLACA

Tabla nº 2

PUNTO-PUNTO

Tabla nº 3

PUNTO-PLACA

*NOTA: todos los datos y cálculos están en milímetros

CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES

1. En teoría las líneas equipotenciales para la configuración Punto-Punto son las que parecen círculos concéntricos y las líneas de fuerza son las que van de carga a carga. Se debe notar la simetría entre las ordenadas positivas y negativas respecto al eje x. En el laboratorio, las cargas estaban separadas 20 centímetros. La foto fue tomada de un simulador de cargas de la página:

http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/elecmagnet/electrico/cElectrico.html

Debido a que el galvanómetro que se utilizó era muy antiguo e impreciso, el resultado salió parecido pero no igual.

Hay que notar que las equipotenciales son mas intensas cerca de las cargas.

2. En el caso de la configuración placa-placa, como se puede observar en las curvas equipotenciales graficadas mediante los puntos que se hallaron, las curvas equipotenciales tienen una tendencia vertical (paralela al eje de las y) y como sabemos que las líneas de fuerza son perpendiculares a las curvas equipotenciales; entonces se puede notar que las líneas de fuerza son paralelas al eje x. Este resultado concuerda con lo teórico, sin embargo se puede notar al graficar las curvas equipotenciales hay un pequeño margen de error (no salen exactamente paralelas al eje y) este hecho es debido a que el galvanómetro que hemos utilizado no era tan eficiente. Por ello concluimos que para obtener la gráficas exactas de las curvas equipotenciales se requiere de instrumentos adecuados y precisos.

Además en el grafico de arriba se puede notar las líneas de fuerza, por lo tanto ya se tienen las curvas equipotenciales, puesto que son perpendiculares a estas.

3. La superficie equipotencial del experimento Punto-Placa, donde la carga positiva se encuentra a la izquierda representándose mediante un punto y la carga negativa a la derecha de la placa metálica.

Las líneas más próximas a la carga positiva que representan esta superficie, mientras mas se acerca, van ganando mas curva y si continuáramos prolongando estas líneas que representa la superficie equipotencial, pareciera que se forman circunferencias con centro en el punto donde se colocó la carga positiva.

En este caso del Punto-Placa, la distancia del punto mide 20cm, en el grafico del papel milimetrado pareciera que esta distancia es relativamente grande, es por eso que las curvas no se asemejan a la grafica que aparecen en textos de Física. Si la distancia entre las cargas fuese más pequeño o con un tamaño de papel mas grande y con mas puntos la grafica se parecería a la siguiente.

También se observa que las líneas que se acercan a la placa van tomando una ligera curvatura, esto no se debe a que se tomo muy mal las mediciones, por el contrario, las mediciones realizadas fueron buenas ya que uno pensaría que las líneas que se acerquen a la placa deberán ser paralelas a esta, lo cual es incorrecto, la líneas que representan la superficie equipotencial y que se aproximen a la placa serán paralelas a esta si es que la placa metálica es infinita, o tenga una longitud relativamente larga.

BIBLIOGRAFÍA

Fuentes bibliográficas

Electrostática y Magnetismo, LEYVA NAVEROS, Humberto, pp. 121,122, MOSHERA S.R.L., 1999, Perú, Lima.

Física General III, ASMAT AZAHUANCHE, Humberto, pp. 134,135, SAGSA S.A., 1995, Perú, Lima.

Física para Ciencias e Ingeniería, RESNICK, Robert , pp823 – 826 ; 879 – 884; Ed Continental S.A. 1967

Autor:

Casiano Celestino José Luis