Cabe señalar que estas ecuaciones se utilizan siempre que el ángulo de dirección sea adyacente al eje de las "x" (como en el ejemplo), en caso de que ( sea adyacente al eje "y", las ecuaciones se invierte. Al proceso de encontrar las componentes rectangulares de un vector se le denomina descomposición rectangular de vectores.
Cuando se determina el vector a partir de sus componentes rectangulares se denomina al proceso composición rectangular de vectores . El vector resultante se puede determinar mediante el teorema de Pitágoras, y su ángulo de dirección con cualquiera de las relaciones trigonométricas.
Equilibrio de la partícula en forma vectorial cartesiana
Un sistema vectorial, es un conjunto de vectores que actúan sobre una partícula o un cuerpo rígido al mismo tiempo. Cuando varios vectores actúan sobre una partícula dada, todos ellos tienen el mismo punto de aplicación (son concurrentes) y pueden ser reemplazados por un solo vector al cual se le denomina vector resultante
Un vector resultante, es un vector que produce el mismo efecto que el conjunto de vectores.
Para resolver un sistema vectorial concurrente, se pueden utilizar diferentes métodos estos son:
Equilibrio de una partícula.
Cuando la resultante de todas las fuerzas que actúan sobre una partícula es igual a cero, la partícula está en equilibrio.
Una partícula sobre la cual actúan dos fuerzas, estará en equilibrio si las dos fuerzas tienen la misma magnitud y la misma línea de acción, pero dirección opuesta.
Las condiciones necesarias y suficientes para que una partícula esté en equilibrio son
Esta condición se le conoce como primera condición de equilibrio o Equilibrio trasnacional.
Para resolver problemas en los que se considera una partícula en equilibrio, se puede dibujar un diagrama de cuerpo libre a partir del cual se aplican las ecuaciones anteriores para determinar las incógnitas planteadas.
Diagrama de cuerpo libre es una representación en un eje coordenado de todas las fuerzas que actúan sobre una determinada partícula.
Resuelve los siguientes problemas que consideran a la partícula en equilibrio.
Es importante resaltar que puedes resolver por los métodos gráficos ó analíticos con las ecuaciones anteriormente mostradas.
Producto escalar y producto vectorial de dos vectores en el plano
PRODUCTO ESCALAR.
El producto escalar de dos vectores A y B se denota como A ( B por esta notación el producto escalar también se denomina producto punto.
Para definir el producto escalar A ( B, dibujamos A y B con sus orígenes en el mismo punto. El ángulo entre sus direcciones es (, siempre entre 0° y 180°. Con estas condiciones, se define A ( B como la magnitud de A multiplicada por la componente de B paralela a A (fig b)o bien como la magnitud de B multiplicada por la componente de A paralela a B (fig. c) quedando como:
PRODUCTO VECTORIAL
El producto vectorial de dos vectores A y B, también llamado producto cruz, se denota con A x B. Este producto cruz se utiliza para describir magnitudes físicas como el momento angular, y la relación entre fuerza y velocidad que adquiere una partícula al penetrar en un campo magnético todas ellas magnitudes vectoriales.
Para definir el producto vectorial de A y B, se dibujan los vectores con sus orígenes en el mismo punto. Así, los dos vectores están en un plano. Definimos el producto vectorial como un vector perpendicular a éste plano y con una magnitud C igual a AB Sen (, es decir, C = A x B
Fricción
Cuando dos superficies están en contacto, siempre se presentan fuerzas tangenciales, llamadas fuerzas de fricción, cuando se trata de mover una de las superficies con respecto de la otra. Estas fuerzas están limitadas en magnitud y no impedirán el movimiento si se aplican fuerzas lo suficientemente grandes.
Se distinguen dos tipos de fricción:
a) Fricción en fluidos: Se desarrolla entre capas de fluidos que se mueven a diferentes velocidades. La fricción en fluidos es de gran importancia en problemas que involucran el flujo de fluidos a través de tuberías y orificios o cuando se está trabajando con cuerpos que están sumergidos en fluidos que están en movimiento. Además, la fricción en fluidos también es básica en el análisis del movimiento de mecanismos lubricados.
b) Fricción seca que algunas veces se denomina como fricción de Coulomb. Se desarrolla cuando cuerpos rígidos están en contacto a lo largo de superficies que no están lubricadas.
En tema solo estudiaremos la fricción seca.
Cuando un bloque de peso W se coloca sobre una superficie horizontal plana, las fuerzas que actúan sobre el bloque son su peso W y la reacción de la superficie, que es normal a la misma y está representada por N.
Supóngase que se aplica sobre el bloque una fuerza horizontal P. Si P es pequeña, el bloque no se moverá; por lo tanto, debe existir alguna ora fuerza horizontal, la cual equilibra a P. Esta otra fuerza es la fuerza de fricción estática Fs se supone que está fuerza se debe a las irregularidades de las superficies en contacto y, en cierta medida, a la atracción molecular.
Si se incrementa la fuerza P, también se incrementa la fuerza de fricción Fs, la cual continúa oponiéndose a P, hasta que se magnitud alcanza un cierto valor máximo Fm. Si P se incrementa aún mas, la fuerza de fricción ya no la puede equilibrar y el bloque comienza a deslizarse. Tan pronto comienza a moverse el bloque, la magnitud de Fs disminuye de Fm a un valor menor Fk.
Fk representa la fuerza de fricción cinética que permanece aproximadamente constante cuando la superficies se mueven una con respecto de la otra.
El valor máximo de la fuerza de fricción estática Fs es proporcional a la normal de la reacción de la superficie:
Como dichos coeficientes también dependen de la condición exacta de las superficies, sus valores raras veces reconocen con precisión superior al 5%. Algunos valores aproximados de coeficientes de fricción estática para distintas superficies son los siguientes, y los valores correspondientes del coeficiente de fricción cinética serían alrededor de un 25% menores.
Pueden ocurrir cuatro situaciones diferentes cuando un cuerpo rígido está en contacto con una superficie horizontal:
Cuando los cuerpos rígidos en contacto se encuentran en una superficie inclinada y la fuerza Wx se incrementa hasta que el movimiento se vuelve inminente, el ángulo entre la reacción (normal) y la vertical aumenta hasta alcanzar un valor máximo. Este valor recibe el nombre de ángulo de fricción estática y se representa por (s, donde
Equilibrio del sólido rigido en dos dimensiones
Condiciones de equilibrio.
Las condiciones necesarias y suficientes para el equilibrio de un cuerpo rígido se pueden obtener igualando
(Fx = 0 (Fy = 0
A lo que se conoce como primera condición de equilibrio o equilibrio trasnacional y
(( = 0
Lo que se conoce como segunda condición de equilibrio o equilibrio rotacional.
Donde ( es el momento de torsión que se define como la tendencia a producir un cambio en el movimiento rotación. También se le conoce como momento de una fuerza y se determina como el producto de una fuerza por su brazo de palanca
( = F r
F = fuerza (N, D)
r = brazo de palanca (m, cm). Distancia perpendicular entre la línea de acción de la fuerza y el eje de giro
Reacciones en apoyos y conexiones
Las reacciones ejercidas sobre una estructura bidimensional pueden ser divididas en tres grupos que corresponden a tipos diferentes de apoyos y conexiones como se muestra en el siguiente cuadro
1.- Reacciones equivalentes a una fuerza cuya línea de acción es conocida.
2.- Reacciones equivalentes a una fuerza de magnitud y dirección desconocidas.
3.- Reacciones equivalentes a una fuerza y un par.
Máquinas simples
Una máquina simple es un dispositivo que transforma en trabajo útil la fuerza aplicada.
En una máquina simple, el trabajo de entrada se realiza mediante la aplicación de una sola fuerza y la máquina realiza el trabajo de salida a través de otra fuerza única. Durante una operación de este tipo ocurren tres procesos:
1. Se suministra trabajo a la máquina.
2. El trabajo se realiza contra la fricción.
3. La máquina realiza trabajo útil o de salida.
De acuerdo con el principio de la conservación de la energía, estos procesos se relacionan en la siguiente forma:
Conservación:
Trabajo de entrada = trabajo contra la fricción + trabajo de salida.
La cantidad de trabajo útil producido por una máquina nunca puede ser mayor que el trabajo que se le ha suministrado. Siempre habrá una pérdida debido a la fricción o a la acción de otros fuerzas disipativas. Cuanto más se reduzca la pérdida por fricción en una máquina, mayor eficiencia se obtendrá del trabajo suministrado.
La EFICIENCIA E de una máquina se define como la relación del trabajo de salida entre el trabajo de entrada
De acuerdo a la ecuación anterior la eficiencia será un número entre 0 y 1, para expresarlo en porcentaje habrá que multiplicar por 100.
Otra expresión útil es en función de la potencia de entrada y salida.
De lo anterior podemos deducir que la diferencia entre el trabajo de entrada y el trabajo de salida, es el trabajo perdido por fricción.
Ventaja mecánica real.
La operación de cualquier máquina simple se puede describir de la siguiente manera:
Una fuerza de entrada (Fe) actúa a través de una distancia (de) realizando un trabajo Fede.
Al mismo tiempo una fuerza de salida (Fs) actúa a través de una distancia (ds) realizando un trabajo Fede.
La ventaja mecánica real MA de una máquina se define como la relación de la fuerza de salida entre la fuerza de entrada.
La ventaja mecánica real mayor que 1 indica que la fuerza de salida es mayor que la fuerza de entrada.
Como sabemos la eficiencia de una máquina aumenta en la medida en que los efectos de la fricción se vuelven más pequeños. Aplicando el principio de la conservación de la energía a la máquina simple nos queda
La máquina más eficiente que pudiera existir no tendría pérdidas debidas a la fricción. Podemos representar este caso ideal estableciendo trabajo fricción = 0, por lo tanto:
Donde el primer miembro representa la ventaja mecánica real, cuando se desprecia la fricción se denomina ventaja mecánica ideal.
De lo anterior podemos definir la ventaja mecánica ideal como
Ventaja mecánica ideal,
La ventaja mecánica ideal de una máquina simple es igual a la relación de la distancia que recorre la fuerza de entrada entre la distancia que recorre la fuerza de salida.
De la definición de E como la relación del trabajo de salida entre el trabajo de entrada tenemos:
Esta es una expresión para la ventaja mecánica real e ideal de las máquinas simples de manera general. Es posible realizar deducciones para diferentes tipos de máquinas en específico.
Palanca
La máquina mas antigua y las más comúnmente usada es la palanca simple. Una palanca consiste en cualquier barra rígida apoyada en uno e sus puntos al que se le llama fulcro.
La ventaja mecánica ideal para una palanca puede determinarse a partir de:
Se considera un caso ideal porque no se considera ninguna fuerza de fricción.
Ejemplo:
Una barra de hierro de 3 m de largo se usa para levantar un bloque de 60 kg. La barra se utiliza como palanca. El fulcro está colocado a 80 cm del bloque. ¿cuál es la ventaja mecánica ideal del sistema y que fuerza de entrada se requiere? 2.75 213.82N
Si la máquina tiene una eficiencia del 70% cual es la fuerza requerida para levantar el peso? 305.5 N
Una limitación de la palanca es que funciona a través de un ángulo pequeño. Una forma de contrarrestar esta restricción es permitiendo que el brazo de palanca gire continuamente. Por ejemplo, la rueda y eje (cabria) permite la acción continua de la fuerza de entrada, de lo anteriormente descrito tenemos:
La ventaja mecánica ideal de una cabria es el cociente del radio de la rueda entre el radio del eje.
Otra aplicación del concepto de palanca se tiene mediante el uso de poleas. Una polea simple es tan solo una palanca cuyo brazo de palanca entrada es igual a su brazo de palanca de salida. A partir del principio de equilibrio, la fuerza de entrada igualará la fuerza de salida y la ventaja mecánica ideal será 1. La única ventaja de este tipo de dispositivo es que ofrece la posibilidad de cambiar la dirección de la fuerza de entrada.
Una polea móvil como la de la figura tiene una ventaja mecánica ideal de 2 ya que la distancia que recorre la fuerza de entrada es del doble que la que recorre la fuerza de salida.
Esta manera permite asociar el número de cordones que soportan la polea móvil con la ventaja mecánica ideal.
Plano inclinado
Si se desea elevar una carga desde el piso hasta cierta altura es posible utilizar un plano inclinado, con el cual será mas fácil mover dicha carga que elevarla directamente, con lo que se logra que con una fuerza de entrada menor se produce la misma fuerza de salida, sin embargo, la fuerza de entrada menor se ha logrado a expensas de recorrer una mayor distancia.
Considere el movimiento de un peso W hacia arriba del plano inclinado de la figura, el ángulo de inclinación ( y la distancia (de) que el peso debe moverse para llegar a la altura h, en el punto más alto del plano inclinado. Si despreciamos la fricción, el trabajo necesario para empujar el peso hacia arriba del plano, es el mismo que el trabajo requerido para levantarlo verticalmente, para determinar la ventaja mecánica ideal tenemos:
Reordenando los términos tenemos
donde el primer termino es la relación de la fuerza de salida a la fuerza de entrada que representa la ventaja mecánica real cuando la fricción se considera nula, por lo cual se denomina ventaja mecánica ideal.
Una aplicación del plano inclinado es la cuña, la cual en realidad es un plano inclinado doble. En el caso ideal, la ventaja mecánica de la cuña de longitud L y grosor T está dada por
La cuña se aplica en hachas, cuchillos, cinceles, cepilladoras y todas las demás herramientas cortantes.
Otra aplicación del plano inclinado es el tornillo, cuyo principio se aplica a una herramienta conocida como gato de tornillo. Cuando la fuerza de entrada provoca un giro o revolución completa (2(R), la fuerza de salida avanzará una distancia p, que es la distancia entre dos roscas consecutivas y recibe el nombre de paso del tronillo. La ventaja mecánica ideal es la relación entre la distancia de entrada y la distancia de salida.
Movimiento rotacional.
Es posible que un cuerpo se mueva en una trayectoria circular, lo que se conoce como movimiento rotacional, este se presenta cuando un cuerpo describe un movimiento circular cuando gira alrededor de un punto fijo central llamado eje de rotación, ejemplo: las ruedas, poleas, giroscopos, etc.
En el movimiento circular el desplazamiento se llama desplazamiento angular y se mide en grados, radianes o revoluciones (ciclos).
Movimiento circular uniforme
El movimiento circular uniforme se produce cuando un cuerpo con velocidad angular constante, describe ángulos iguales en tiempo iguales.
El origen de este movimiento se debe a una fuerza constante, cuya acción es perpendicular a la trayectoria del cuerpo y produce una aceleración que afectará solo la dirección del movimiento sin modificar la magnitud de la velocidad, es decir, la rapidez que lleva el cuerpo. Por tanto, en un movimiento circular uniforme el vector velocidad mantiene constante su magnitud, pero no su dirección, toda vez que ésta siempre se conserva tangente a la trayectoria del cuerpo.
VELOCIDAD ANGULAR: Representa el cociente entre el desplazamiento angular de un cuerpo y tiempo que tarda en efectuarlo.
VELOCIDAD ANGULAR MEDIA
MOVIMIENTO RECTILINEO UNIFORMEMENTE VARIADO (MRUV)
Cuando en un movimiento rectilíneo no se mantiene constante la velocidad sino que ésta varía, se dice que existe una aceleración.
Aceleración: Es la variación de la velocidad con respecto al tiempo
Si la aceleración tiene el mismo sentido del movimiento la velocidad aumentará. Si la aceleración tiene sentido contrario al movimiento, la velocidad disminuirá y se tiene una desaceleración o aceleración negativa.
Un MRUV, se presenta cuando un móvil varía su velocidad en cada unidad de tiempo de manera constante.
Algunas expresiones matemáticas derivadas de este concepto son:
Movimiento circular uniformemente variado
Este movimiento se presenta cuando un móvil con trayectoria circular varia en cada unidad de tiempo su velocidad angular en forma constante, por lo que se aceleración angular permanece constante.
Las ecuaciones empleadas para el movimiento circular uniformemente variado son las mismas que las que se utilizan en el MRUV considerando el cambio en la nomenclatura y unidades.
Velocidad lineal o tangencial
Representa la velocidad que llevaría una partícula que se mueve circularmente si saliera disparada tangencialmente.
ACELERACION LINEAL O TANGENCIAL
Una partícula presenta esta aceleración cuando durante su movimiento circular cambia su velocidad lineal.
ACELERACION RADIAL O CENTRÍPETA
En un movimiento circular uniforme la magnitud de la velocidad lineal permanece constante, pero su dirección cambia permanentemente en forma tangencial a la circunferencia. Dicho cambio en la dirección de la velocidad se debe a la existencia de la llamada aceleración radial o centrípeta. Es radial porque actúa perpendicularmente a la velocidad lineal y centrípeta porque su sentido es hacia el entro de giro o eje de rotación.
Como la aceleración lineal representa un cambio en la velocidad lineal y la aceleración radial presenta un cambio en la dirección de la misma, se puede encontrar la resultante de las dos aceleraciones mediante la suma vectorial de ellas
La causa del movimiento de los cuerpos es una fuerza.
Fuerza. Es todo aquello capaz de deformar un cuerpo o de variar su estado de reposo o de movimiento. Es la medida de la interacción entre los cuerpos. El efecto que una fuerza produce sobre un cuerpo depende de su magnitud, así como de su dirección y sentido, una fuerza es una magnitud vectorial.
Leyes de la Dinámica.
Primera Ley de Newton: Todo cuerpo se mantiene es su estado de reposo o movimiento rectilíneo uniforme, si la resultante de las fuerzas que actúan sobre él es cero. (A menos que exista una fuerza no balanceada que actúe sobre él y cambie dicho estado)
Segunda Ley de Newton: Toda fuerza no equilibrada que actúe sobre un cuerpo le produce a este una aceleración que es directamente proporcional a la fuerza e inversamente proporcional a la masa del cuerpo.
Masa: Es la cantidad de materia de un cuerpo. La masa de un cuerpo es una medida de su inercia.
Peso: Es la fuerza gravitacional con la que la tierra atrae a los cuerpos hacia su centro.
Segunda Ley de Newton aplicada al movimiento de rotación pura (MCU).
La fuerza dirigida hacia el centro necesaria para mantener el movimiento circular uniforme se conoce como fuerza centrípeta. De acuerdo con la segunda Ley de Newton del movimiento, la magnitud de ésta fuerza debe ser igual al producto de la masa por la aceleración centrípeta:
Peralte de curvas
Cuando un automóvil toma una curva cerrada en una carretera perfectamente horizontal, la fricción entre las llantas y el pavimento genera una fuerza centrípeta. Si la fuerza centrípeta no es la adecuada, el auto puede derrapar y salirse de la carretera. El máximo valor de la fuerza de fricción determina la velocidad máxima con la que un automóvil puede tomar una curva de un radio determinado.
Es posible peraltar una curva, con un ángulo ( tal, que los autos que transiten con cierta rapidez no requieran fuerza de fricción que los mantenga en su trayectoria.
Para determinar el ángulo del peralte adecuado para una curva en donde la fuerza normal tenga componentes vertical y horizontal, de tal manera que la componente horizontal proporciona la fuerza centrípeta necesaria, tenemos:
Movimiento circular vertical.
En un circulo vertical para determinar la fuerza centrípeta, es necesario tomar en cuenta las fuerzas que intervienen como es el peso del objeto (dirigido siempre hacia abajo) y la tensión de la cuerda dirigida siempre hacia el centro de la trayectoria circular, por lo tanto cuando el objeto pasa por el punto mas alto, la resultante de esas fuerzas es la fuerza centrípeta y se determina como:
Energía cinética rotacional y momento de inercia.
Para un movimiento trasnacional, la Energía cinética está definida como:
Un cuerpo rígido se puede considerar formado por muchas partículas de diferentes masas localizadas a diversas distancias del eje de rotación. La energía cinética total de un cuerpo será entonces la suma de las energías cinéticas de cada partícula que forma el cuerpo:
Para cuerpos que no están compuestos por masas separadas, sino que son en realidad distribuciones continuas de materia, los cálculos del momento de inercia son más difíciles y generalmente se realizan utilizando herramientas como el cálculo integral. Para algunas figuras regulares se han determinado sus expresiones matemáticas que se presentan en la siguiente figura:
La segunda Ley del movimiento en la rotación.
Se puede deducir una expresión similar para todas las demás porciones del objeto que gira. Sin embargo, la aceleración angular será constante para cada porción independientemente de su masa o de su distancia con respecto al eje. De donde:
Momento de torsión= momento de inercia x aceleración angular.
La segunda ley de Newton para el movimiento rotacional se enuncia de la siguiente manera:
"Un momento de torsión resultante aplicado a un cuerpo rígido siempre genera una aceleración angular que es directamente proporcional al momento de torción aplicado e inversamente proporcional al momento de inercia del cuerpo"
Trabajo y potencia rotacionales.
El trabajo en un movimiento trasnacional se define como el producto del desplazamiento por la componente de la fuerza en dirección del desplazamiento:
Ejemplo:
Una rueda de 60 cm de radio tiene un momento de inercia de 5 kg m2. Se aplica una fuerza constante de 60 N al borde de ella. a) Suponiendo que parte del reposo ¿Qué trabajo se realiza en 4 s? b)¿Qué potencia se desarrolla? 2070 J 518 W
Cantidad de movimiento angular.
La cantidad de movimiento lineal se define como : C= m v
En un movimiento rotacional la cantidad de movimiento angular se designa con la letra L y será:
Ejemplo:
Una barra uniforme delgada de 1 m de largo tiene una masa de 6 kg. Si la barra se apoya sobre su centro y gira con una velocidad de 16 rad/s, calcule su cantidad de movimiento angular. 8kg m2/s
Conservación de la cantidad de movimiento angular.
Cantidad de movimiento angular final = Cantidad de movimiento angular inicial
Podemos en expresar el enunciado para la conservación de la cantidad de de movimiento angular:
Si la suma de los momentos de torsión externos que actúan sobre un cuerpo o sistema de cuerpos es igual a cero, la cantidad de movimiento angular permanece inalterado.
Autor:
Emanuel
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