1 2 (10) a b u e 1 Donde Gab = Rab 2 Rgab , E0 = stein en cinco dimensiones: 1 siguiente expresión: 2 2 1 2 T 4 e u v a b u + 1 2 2 a G = R e R nu dxu = dy; lo cual implica que au = nv @v nu = (5) 0 , que es una condición sobre la coordenada en la dirección de la dimensión extra. De tal manera que a partir de la ecuación de En forma genérica asumiendo, una métrica 5- Gauss contraída, se puede obtener el tensor de dimensional, tenemos: Ricci y el escalar de curvatura, obteniendose la siguiente expresión para el tensor de Einstein: ds2 = e dx dx + dy2 G = Gab e e + 2 Rv nu nv + Manteniendo el espíritu del brane-word en mente, tenemos que el tensor momentum-energía 5-dimensional, se puede escribir de la siguiente KK K K (6) forma: e 2 K 2 K K E0 Tuv = guv + ( uv huv ) (y) (11) donde, es la constante cosmológica del espa- R n n ea e ciotiempo cinco-dimensional o volumétrico, es Haciendo uso de la ecuación de campo de Ein- la energía del vacío de la brane, es el tensor momentum-energía del universo sobre la brane. El parámetro se puede asociar con la tensión Rab gab R = 2 Tab (7) de la brane en 5-dimensiones. 2 Dentro del marco del brane-word, el tensor y descomponiendo el tensor de Riemann en el momentum-energía, solamente se mani…esta tensor de curvatura de Weyl, el tensor de Ricci sobre la brane, por ello su carácter singular, el y el escalar de curvatura, podemos obtener la cual se representa mediante la función delta que aparece en la expresión anterior, en considera- ción de lo anterior , se encuentra la condición G = 2 Tab ea eb + Tuv nu nv 3 +KK K K e K K K E 2 de frontera sobre la brane, que debe de cump- lir la métrica inducida y la curvatura extrín- seca, [h ] = Limy!+0 euv Limy! 0 euv = 0; (8) [Kuv ] = ( uv euv ) 3 euv ( ) : Imponiendo la simetría Z2 , con la brane como punto …jo, la simetría unicamente determina la donde E = Cavb nu n e e ; De la ecuación de Codacci y con la ecuación de Einstein 5-dimensional, se encuentra: curvatura extrínseca de la brane en términos del tensor momentum-energía: @v Kv @u K = 2 Tab nb eu (9) Hasta el momento no se ha asumido nin- guna simetría ni forma partícular del tensor Kuv = Kuv = 1 euv ( ] ) 3 [( uv euv ) (12) momentum-energía. Asumiendo, desde ahora el Sustituyendo esta ecuación en la expresión escenario brane-world, tomamos por convenien- del tensor de Einstein, se obtiene la ecuación cia una coordenada y adicional, de tal forma que gravitacional 4D sobre la brane, y considerando la hipersuper…cie y = 0 coincide con la brane- la simetría Z2 ; la forma partícular del tensor world y además se tiene la siguiente condición momentum-energía y las condiciones de frontera: 3
1 1 48 ; + 12 4 8 1 2 24 (14) covariante de las ecuaciones de campo. La an- estándar tomando el límite ! 0: Es import- pacta o extensa. Además, si nuestro universo 6 se relaciona con el tensor tenemos @ Tuv = 0, cuando tengamos campos 2 (y;t) i j mann, de tal forma que en el marco del brane- G = 4 e +8 GN + 4 E world, es posible obtener tales ecuaciones, las (13) cuales nos permitiran modelar e interpretar fenó- menos y parámetros del universo observable. To- donde 4 = 2 2 + 1 2 2 ; GN = mando en consideración la isotropía y homo- 4 = 1 + 1 h géneidad de nuestro universo, requerimos que e M 5 ; gab contenga un subespacio 3-dimensional La ecuación gravitacional de la brane describe de máxima simetría V; , de tal forma que la curvatura de ella en téminos de su conten- se puedan obtener soluciones cosmológicas, por ido de materia-energía, su energía de vacío, la lo cual se formula el siguiente ansatz2 : constante cosmológica 5-dimensional, y de la curvatura extrínseca de la brane en el espacio 2 2 2 2 i j 2 2 5-dimensional, este es el usual modelo de Brane- ds5 = n (t; y)dt +a (t; y) ij dx dx +b (t; y)dy World Randall-Sundrum, desde el punto de vista donde, como se ha dicho anteriormente y es la terior relación se puede reducir a la descripción dimensión extra, sin especi…car cuando es com- ante notar que el hecho de haber introducido una es tomado para ser la hipersuper…cie en y = 0 dimensión adicional, nos conduce a una ecuación , el factor de escala es simplemente dado por de campo modi…cada, en la cual aparecen dos a(t; y = 0); como en el modelo RS esta métrica términos adicionales, conocidos en la literatura no es factorizable. como, el término de energía del vacío y de ra- diación oscura[4]. De la ecuación de Einstein 4D, inducida sobre la brane G = 4 e + 8 GN T + 4 Para la condición de conservación de la energía E ; donde v momentum-energía, y E es la corrección que escalares u otra clase de campos en el volumen, la aparece del tensor de Weyl en el volumen, que in- a…rmación anterior en general no es cierta, es de- troduce una densidad de energía no local U ; la cir que Tuv no se conserva, produciéndose un in- cual surge del campo gravitacional en el volumen tercambio de energía-momentum entre la brane y en consideración del modelo Randall-Sundrum, y el volumen. En el caso de que exista sólo una con una brane localizada en y = 0 , conduce a constante cosmológica en el volumen, no se daría un formalismo en el cual se pueden obtener can- tal intercambio de energía, Considerando la an- tidades observables. Para determinar la ecuación terior expresión, encontramos que la identidad de de Friedmann se procede según lo anterior y con- Bianchi contraída @v Guv = 0; conduce nueva- siderando una métrica reparametrizada mente a que la proyección del tensor de Weyl, 2 obdedece la restricción @ E = 6 @v , esto muestra que E ; se comporta como una fuente del tensor momentum-energía volumétrico. ds2 = e2 (y;t) dt2 +e2 (y;t) dy2 +eij ij dx dx (15) La métrica solo depende de t; y y es plana en el espacio 3D. Por simplicidad también se restringe 3 Ecuación de Friedmann ; al caso de funciones pares de y , para esta métrica las componentes no-cero del tensor de modi…cada Einstein son: En cosmología las ecuaciones que permiten una interpretación y asociación directa con los pará- metros observables, son las ecuaciones de Fried- 4 2 Este anzatz corresponde al mismo que se consideró en el modelo Randall-Sundrum, y como ya se mencionó an- teriormente permite obtener soluciones cosmológicas co- herentes con el modelo estándar de la cosmología.
2 2( ) 2 2 0 0 0 0 a jyj y de t , se puede considerar 1 2 1 2 funciones suaves en una vecindad de jyj ; de ( + 3p) e2 0 2 0 + 0 0 = B + 3 a (25) " # (y;t) (jyj;t) _ jyj=0 cosmológico convencional, esto es el tiempo pro- Sustituyendo en G00 , G04; Gij ; G44 ; e intro- 0 lim stante cosmológica volumétrica. 2 2 + 4 G00 = 3 2 + 00 2 02 + 0 0 (16) 2 + 00 2 02 + 0 0 = 2 3 B e (21) Gij = ij e +3 02 [ 2 + 00 ] 3 2 +2 00 (17) 2 3 2 +2 00 +3 02 + 00 = 2 B e (22) G44 = 3 2 2 + + 02 + 0 0 (18) 2 2 + + 02 + 0 0 = 2 3 B e (23) 0 + 0 0 0 =0 (24) G04 = 3 + (19) Debido a la consideración de suavidad de las funciones , , se puede realizar una expansión Asumiendo que ; son funciones suaves de en serie de potencias de las mismas y haciendo (y; t) = ( uso del sistema acoplado, se logra determinar, a a orden cero, la siguiente ecuación: jyj ; t) y (y; t) = ( jyj ; t); que representan tal forma que se puede demostrar lo siguiente: 2 @ (y;t) @ (jyj;t) 36 1 (t) = lim @y = @jyj ; 1 (t) = y!0+ jyj=0 _ a de…niendo una nueva variable temporal t ; por y!0+ @ @y = @ @jyj d t = e 0 dt , el cual representa el tiempo propio pio medido por observadores coomóviles sobre la duciendo adecuadamente el tensor momentum- brane, se obtiene: energía en la siguiente forma: T = diag[( ; p; p; p; 0)e ( B; B; B; ; B; B; )] (y) + (20) d2 0 _2 d t 2 d 0 _ d t 2 = 2 3 B + 4 ( + 3p) 36 (26) donde y p es la densidad de energía y Asumiendo que = + m ; p = + pm , presión de materia sobre la brane, B es la con- donde es la energía del vacío o tensión sobre la brane, se obtiene la siguiente expresión: De tal forma que se puede encontrar una serie de ecuaciones que de…nen el acople dinámico entre los grados de libertad de la brane y el volu- men. d2 0 _2 d t 2 d 0 _ d t 2 (27) Para y = 0, es decir sobre la brane, tenemos: (0;t) (2 +3p) (0;t) 1 = 6 e ; 1 = 6 e : Para y > 0; es decir en el volumen o espacio 5D, tenemos: = 2 3 4 B (3pm 36 4 2 + 18 m ) m ( m + 3pm ) 36 5
2 2 d 0 0 ( 2 2 2 2 4 = 2 1 2 1 2 2 1 4 3 ] 1 d m pm = 2 2 k 4 2U 4 4 2 H 2 = + + + R2 3 6 3 0 2 4 0 obtenemos el siguiente sistema dinámico, aná- 4 2 2 R + 2 2 B m m 4 0 3 2 3 + 4 R2 + + 4 2 0 Con lo cual se puede encontrar una ecuación 2 para H , de…nida por H = _ ; se puede d t encontrar: llegando a ser despreciable si m << : Ter- cero, el término Ke 4 0 que surge solamente de condiciones iniciales, muestra un nuevo hecho cu- alitativamente distinto del escenario RS, como consecuencia de la reducción de 5D a 4D en la d H 2 e4 d 0 (28) cual H 2 puede ser libremente especi…cado en al- gún tiempo inicial. Si se consideran las relaciones = e4 0 [ 4 4 2 9 m 18 2 3pm ) 2 3 + B + 4 m ( m 18 + 3pm ) entre las constantes, se logra obtener una forma más natural para la ecuación de Friedmann: = 6 B , = 48 G, 4 = 8 G; ( B + 6 ); U = 12 4 Según, las relaciones anteriores, se obtiene la La ecuación anterior representa una ecua- ción lineal a primer orden para H 2 ; si se consid- era el lado derecho como un término fuente que es una función de 0 : Para solucionar la ecuación anterior, se reescribe la ecuación de conservación de energía, como d m + 3( m + pm ) = 0; lo cual implica m 3 d 0 , sustituyendo este resultado en la ecuación anterior, se obtiene: ecuación de Friedmann modi…cada[5]: m m 2 (31) 4 4 Cosmológia sobre una membrana con 4 6= 0 Si consideramos un modelo de membrana con d H e d 0 4 2 = e4 0 [ 9 2 2 3 B + (29) constante cosmológica no despreciable 4 6= 0, logo al que se encuentra en la cosmológia es- tándar duce a: 2 18 4 m + d d m d m + 4 m + ] 0 36 d 0 Expresión que nos con- R 2 = 8 G m 2 8 G 3 6 U + R k 4 G 2 m R2 + 1 3 4 R (32) 4 2 2 4 4 2 H 2 = + + + Ke 36 6 18 36 (30) Donde K es una constante de integración que puede ser positiva o negativa, la expresión anterior representa la ecuación de Friedmann R = 4 GR (3pm + m ) 3pm U +2 m 4 G 8 GR m 3 1 R + 4 R (33) 3 modi…cada, en una brane la ecuación para H 2 tiene una estructura diferente por tres razones. Primero existen dos términos adicionales que res- ultan de la tensión en la brane y de la constante cosmológica negativa en el volumen. Segundo, Ahora, si consideramos materia no relativista sobre la brane, es decir polvo sobre la brane m = 0 R ; p = 0; se obtiene en adición al término normal proporcional a m existe un término proporcinal a m , 2 R = 8 G 0 8 G 2 1 3R 6 R 3 U R2 4 G k (34) 6
5 2 ; 8 G 0 U 2 + R (35) 4 G 3 8 G v = 2 ; 3 H0 0 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 + 2 R 1 R4 1 1] 2 3 4 + 1 dt r 2 Z 2 r = Resultados Gra…cos 4 G 0 8 G 2 R = 3R2 3 R5 en el cual podemos de…nir 3H0 U = 4 G H0 ; 4 = 3H0 UR 4 Se muestran gra…cos comparativos para la dis- tancia coordenada radial comóvil, según la ex- 3H0 0 = presión anterior. En cada …gura se han dejado = 4 G 20 ; junto con algunos parámetros …jos y otros se han variado, como muestra cada …gura. obtenemos el sistema en términos de densid- adades 2 R = H0 R 0 + H0 R4 + H0 R2 + H0 U R k (36) R = 1 H0 0 H0 0 2 R2 R5 H0 U +RH0 (37) considerando que para el tiempo presente se 2 tiene t = t0 , R0 = 1 , R0 = H0 , se obtiene k = H0 [( 0 + + U ) 1] de tal forma que la constante k se puede ree- mplazar en la expresión general para obtener Figure 1: Coordenada radial comóvil estándar para diferentes valores de densidad de materia 2 R = H0 [ 0 1 + R2 1 + m0 = 0:28; m0 = 0:40; 0:60; m0 = 0:90: m0 = 0:50; m0 = 1 + U R2 1 + (38) expresando la relación anterior en términos del corrimiento al rojo z , obtenemos R 2 1 2 = H0 (1 + z) [(1 + z) ( 0 z + 1) z (z + 2) U z (z + 2) (39) 2 (1 + z) 4z + 6z + 4z + z ]1=2 Tenemos que dz = R2 R , y para la dis- tancia coordenada radial comóvil tenemos dr = (1 + z) dt; se encuentra, la cual es reducible a la forma estándar[6] 1 H0 + [(1 + z) ( 0 z + 1) 0 z (z + 2) U z (z + 2) (40) (1 + z) 4z + 6z2 + 4z3 + z4 ] 1=2 dz 7 Figura 2: Coordenada radial comóvil con densidad de tensión y radiación oscura …ja y diferentes valores de densidad de materia sobre la brane m0 = 0:28; m0 = 0:04; m0 = 0:5; m0 = 0:6; m0 = 0:9:
, , , , 6 , Springer 1998 , en el caso donde la densidad de radiación oscura se hace mayor, las distancias se harían mayores y ello suministraria una forma de probar la ex- istencia de interación de la brane con su bulk o viceversa. Igualmente, para corrimientos al rojo pequeños y diferentes valores de tensión se ob- serva diferencias apreciables en las distancias, lo cual permitiría determinar el efecto de tensión sobre la membrana. También, se observa en la última …gura que aumentando el valor del pará- metro de densidad de radiación oscura, se hace mayor el valor de la coordenada radial, con poca sensibilidad, mientras que aumentado el valor del Figura 3: Coordenada radial comóvil con densidad de materia y de radiación oscura …jas y diferentes valores de densidad de tensión parámetro de densidad de tensión se hace menor el valor de la coordenada radial con mucha mayor sensibilidad. Estas diferentes variaciones son las sobre la brane 0 = 0:10; 0 = 0:01; 0 = 0:15; 0 = 0:05; 0 = 0:20: que permiten dar explicaciones alternas a los res- ultados convencionales. References [1] Martens, R., “Brane-World Gravity” Living Reviews in Relativity, gr-qc/0101059 [2] Randall, L., and Sundrum, R., “An Altern- ative to Compacti…cation” Phys. Rev. Lett., 83, 4690-4693, (1999) [3] Randall, L., and Sundrum, R., “ Large Mass Hierarchy from a Small Extra Dimension” Phys. Rev. Lett., 83, 3370-3373, (1999) Figura 4:Coordenada radial comóvil con densidad de tensión y de materia …jas y diferentes valores de densidad de radiación oscura sobre la brane U 0 = 0:01; U 0 = 0:05; [4] Maeda, K., Mizumo., and Torii, T ., “ Ef- fective Gravitational equations on a brane world with indeced gravity” Phys. Rev. D, 68, 024033-1-8, (2003) U 0 = 0:10; U 0 = 0:15; U 0 = 0:20: [5] Éanna, É., S. H. Henry, Tye., and Ira Wasserman, “Cosmological expansion in Conclusiones the Randall-Sundrum brane world scenari” Phys. Rev. D, 62, 044039, (2000) Se puede concluir, que la coordenada radial [6] Malcolm S. Longair, “Galaxie Formation” comóvil se torna más monótona para valores mayores en las densidades de materia, tensión o radiación oscura. Ello produce que para corrimi- entos al rojo grandes las distancias sean menores a las obtenidas en la cosmología estándar, pero 8
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